Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Transkript

1 Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr. Eva Hrubešová Ph.D.

2 FORMULACE ÚLOH MECHANIKY KONINUA a) diferenciální problém je definován soustavou diferenciálních rovnic ( rovnice rovnováhy geometrické rovnice fyzikální rovnice) b) variační hledá řešení problému jako stav v němž energie analyzovaného tělesa dosahuje extrémní hodnoty forma energie a podmínky kladené na hledané řešení je určeno tzv. variačními principy mechaniky Na základě variačního (energetického) principu definována podstata metody konečných prvků.

3 VARIANY ŘEŠENÍ ÚLOH MECHANIKY KONINUA a) Silová neznámé jsou složky napětí b) Deformační neznámé jsou složky posunů c) Smíšená neznámé jsou složky posunů i napětí Metoda konečných prvků je variantou deformační.

4 ŘEŠENÍ ROVNIC MECHANIKY KONINUA a) Analytické výsledek hledáme ve tvaru spojitých funkcí metodami matematické analýzy a) Numerické převádí problém hledání spojitých funkcí na problém hledání konečného počtu neznámých parametrů pomocí nichž se hledané funkce přibližně aproximují Metoda konečných prvků metoda numerická

5 Obecná charakteristika přístupů k řešení úloh mechaniky kontinua - shrnutí

6 Charakteristika metody konečných prvků -shrnutí: Metoda konečných prvků je metoda variační deformační numerická

7 Pokud je hledané řešení aproximováno danou aproximační funkcí na celé oblasti dostáváme tzv. Ritzovu metodu. Ritzova metoda- aproximuje hledané řešení na celé oblasti sumou neznámých konstant a i a známých aproximačních (bázových) funkcí y i. n u~ n a i y i1 Metoda konečných prvků je jistou variantou této Ritzovy metody aproximační funkce je volena zvlášť pro každou podoblast konstrukce (pro každý konečný prvek). i

8 Variace funkce du: du je nekonečně malá libovolná změna funkce u jako celku du tedy opět funkce du(x) u1 x ux u1(x)=u(x)+du u(x)

9 Funkcionál: stručně řečeno jedná se o funkci jiných funkcí přiřazuje tedy funkci nějaké číslo. Ve variačních metodách pro řešení okrajových úloh je funkcionál definován obecně: du du F u... d Eu... d dx dx oblast na níž hledáme řešení hranice oblasti na níž hledáme řešení F E- funkce závislé na funkci u a jejich derivacích Změna (variace) funkcionálu odpovídá variaci v řešení.

10 CHARAKERISIKA ŘEŠENÍ u ROVINNÉ VARIAČNÍ ÚLOHY : 1) u je křivka popsaná nějakou funkcí 2) u musí splňovat podmínky okrajové i počáteční 3) křivka u musí splnit podmínku extrému daného funkcionálu (musí být extremála musí mít funkcionál)

11 PRINCIP VIRUÁLNÍ PRÁCE: virtuální práce práce plynoucí buď: a) z práce virtuálních sil dp na reálných posunech u princip virtuálních sil (CASIGLIAN) b) z práce reálných sil p na virtuálních posunech du princip virtuálních posunutí (LAGRANGEŮV) tento princip výhodnější pro formulaci metody konečných prvků

12 Lagrangeův variační princip: mezi všemi funkcemi posuvů které zachovávají spojitost tělesa a splňují geometrické okrajové podmínky se realizují ty které udílejí celkové potenciální energii minimální hodnotu. Analogie variačního principu: Představte si kuličku kterou vložíme do misky kulovitého tvaru a to nikoliv na dno. Kulička v misce chvíli kmitá až se ustálí na dně misky. Každá z poloh kuličky je v misce přípustná na dně má však kulička potenciální energii minimální. (A. Ženíšek: řicet let matematické teorie metody konečných prvků (medailon prof. M. Zlámala) Pokroky matematiky fyziky a astronomie Vol.44(1999) No. 1 str )

13 Potenciální energii lze obecně vyjádřit jako rozdíl potenciální energie vnitřních sil i (odpovídá deformační práci vnitřních sil) a potenciálu vnějšího zatížení e ( odpovídá deformační práci vnějších sil): i e Nastane tedy právě ten deformační stav tělesa pro nějž je variace d potenciální energie soustavy nulová: d 0

14 LAGRANGEŮV PRINCIP VIRUÁLNÍCH POSUNUÍ pd u d X u d e i 2 1 virtuální práce vnitřních sil virtuální práce vnějších sil práce od objemového zatížení práce od povrchového zatížení na hranici z y x z y x zx yz xy z y x zx yz xy z y x p p p p X X X X w v u u Metoda konečných prvků Charakteristika metody

15 Určení řešení dané okrajové úlohy je tedy ekvivalentní se stanovením funkce posunů u která minimalizuje funkcionál: i e 1 2 d u X d u pd

16 Aplikace Lagrangeova variačního principu (analytické řešení) Stanovení posunutí uo koncového bodu pružiny s tuhostí k zatížené tělesem o tíze G:

17 Postup řešení Energie akumulovaná v pružině: (u 0 - posun koncového bodu) W 1 ku Potenciál vnějšího zatížení: P G u 0 Celková potenciální energie: ku Gu 0 Podmínka minimalizace celkové energie (Lagrangeův princip): d du 0 0 ku 0 G

18 Řešení předchozí rovnice a řešení úlohy: u 0 G k Grafické schéma řešení variační úlohy

19 Při aplikaci variačních úloh je obvykle hledané přesné řešení úlohy aproximováno jinou tzv. aproximační funkcí : n u~ n a i y i1 i a i. neznámé konstanty y i * známé bázové funkce Pak tedy: u ua a... a 1 2 n? min u a 1 a 2... a n vzhledem k neznámým konstantám a i

20 Z podmínky pro extrém plyne soustava rovnic pro určení neznámých koeficientů ai: d d ai 0 pro i=1 n Čím větší počet členů obsahuje aproximační funkce tím lepší je aproximace hledaného řešení avšak počet rovnic v soustavě je rovněž vyšší a vzrůstají tedy požadavky časové hardwarové apod..

21 u F Obecný maticový zápis metody konečných prvků Ku u 1 F u 1 2 F... u 2... F n F n K globální matice tuhosti - uzlové parametry - známé síly (objemové povrchové apod.) Řešení úlohy je převedeno na řešení soustavy algebraických rovnic pro neznámé parametry (např. posuny) v uzlových bodech výsledná matice soustavy(matice tuhosti) je symetrická a pásová- metoda vyžaduje využití výpočetní techniky velká dimenze soustavy