Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
|
|
- Vladimír Vopička
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
2 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic 4 Matematické modely (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 2 / 36
3 Co to je derivace? Derivace ve zkratce Geometricky: Derivace je směrnicí tečny ke grafu funkce, tj. f (x 0 ) = tg α. Animace Vyjadřuje rychlost změny Definice Bud f funkce a x 0 D(f ). Existuje-li f (x) f (x 0 ) lim, x x 0 x x 0 nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x 0 a značíme f (x 0 ) nebo df dx. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 3 / 36
4 Co to je derivace? Derivace a pohyb (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 4 / 36
5 Co to je derivace? Derivace a integrál v pohybu (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 5 / 36
6 Co to je derivace? Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci funkce f : y = x 4 v bodě x 0. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 6 / 36
7 Co to je derivace? Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci funkce f : y = x 4 v bodě x 0. Řešení: f f (x) f (x 0 ) x 4 x0 4 (x 0 ) = lim = lim = x x0 x x 0 x x0 x x 0 = lim x x0 (x x 0 )(x 3 + x 0 x 2 + x 2 0 x + x 3 0 ) x x 0 = = lim x x0 (x 3 + x 0 x 2 + x 2 0 x + x 3 0 ) = = x x x x 3 0 = 4x 3 0. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 6 / 36
8 Co to je derivace? Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci funkce f : y = x 4 v bodě x 0. Řešení: f f (x) f (x 0 ) x 4 x0 4 (x 0 ) = lim = lim = x x0 x x 0 x x0 x x 0 = lim x x0 (x x 0 )(x 3 + x 0 x 2 + x 2 0 x + x 3 0 ) x x 0 = = lim x x0 (x 3 + x 0 x 2 + x 2 0 x + x 3 0 ) = = x x x x 3 0 = 4x 3 0. Vzorečky pro derivace: f f konst. 0, x n nx n 1, e x e x, ln x 1 x,... Inverzní operace k derivaci je integrace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 6 / 36
9 Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Definice Bud G R 2 množina, f funkce definovaná na množině G. Rovnici tvaru y = f (x, y) nazýváme (obyčejnou) diferenciální rovnici prvního řádu. Jejím řešením rozumíme funkci y = ϕ(x) definovanou na intervalu I, která splňuje následující podmínku: (x, ϕ(x)) G ϕ(x) = f (x, ϕ(x)) pro I. Graf řešení diferenciální rovnice se nazývá integrální křivka, množina G obor diferenciální rovnice. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 7 / 36
10 Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Definice Bud G R 2 množina, f funkce definovaná na množině G. Rovnici tvaru y = f (x, y) nazýváme (obyčejnou) diferenciální rovnici prvního řádu. Jejím řešením rozumíme funkci y = ϕ(x) definovanou na intervalu I, která splňuje následující podmínku: (x, ϕ(x)) G ϕ(x) = f (x, ϕ(x)) pro I. Graf řešení diferenciální rovnice se nazývá integrální křivka, množina G obor diferenciální rovnice. Příklad: Jaké je řešení diferenciální rovnice y = 4x 3? (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 7 / 36
11 Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Definice Bud G R 2 množina, f funkce definovaná na množině G. Rovnici tvaru y = f (x, y) nazýváme (obyčejnou) diferenciální rovnici prvního řádu. Jejím řešením rozumíme funkci y = ϕ(x) definovanou na intervalu I, která splňuje následující podmínku: (x, ϕ(x)) G ϕ(x) = f (x, ϕ(x)) pro I. Graf řešení diferenciální rovnice se nazývá integrální křivka, množina G obor diferenciální rovnice. Příklad: Jaké je řešení diferenciální rovnice y = 4x 3? Hledáme funkci, která po zderivování bude 4x 3 Řešení: y = x 4 + konst. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 7 / 36
12 Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice pod lupou y = f(x, y)... f (x, y) je směrnice tečny ke grafu řešení y = ϕ(x) Řešení není jednoznačné (výsledek integrálu se liší o konst.) - obecné řešení Počáteční podmínka y(x 0 ) = y 0, tj. integrální křivka projde bodem (x 0, y 0 ) - jednoznačná Cauchyova úloha Partikulární řešení - obecné řešení s jednoznačnou volbou konstanty Diferenciální rovnice vyšších řádů - podle násobnosti derivace (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 8 / 36
13 Diferenciální rovnice Rovnice y = x 2 + y 2 Izokliny = křivky k = x 2 + y 2 (vrstevnice funkce) - směrnice tečny ke grafu integrální křivky Lineární element dif. rce = (x, y, f (x, y)) - směrové pole (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 9 / 36
14 Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36
15 Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? 2. Newtonův zákon: F = m a... mg = m d 2 y(t) dt 2 (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36
16 Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? 2. Newtonův zákon: F = m a... mg = m d 2 y(t) dt 2 Diferenciální rovnice 2. řádu: d 2 y(t) = g dt 2 (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36
17 Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? 2. Newtonův zákon: F = m a... mg = m d 2 y(t) dt 2 Diferenciální rovnice 2. řádu: d 2 y(t) = g dt 2 Integrací dostaneme: dy(t) dt = gt + c 1 y(t) = 1 2 gt2 + c 1 t + c 2 (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36
18 Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? 2. Newtonův zákon: F = m a... mg = m d 2 y(t) dt 2 Diferenciální rovnice 2. řádu: d 2 y(t) = g dt 2 Integrací dostaneme: dy(t) dt = gt + c 1 y(t) = 1 2 gt2 + c 1 t + c 2 Počáteční podmínky: y(0) = 0 a dy(0) dt = v 0 y(t) = 1 2 gt2 + v 0 t + y 0 (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36
19 Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36
20 Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo Pohybová rovnice: F = mg sin θ (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36
21 Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo Pohybová rovnice: F = mg sin θ Aproximace: sin θ θ = y L Úprava: m d 2 y(t) dt 2 = mg y L (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36
22 Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo Pohybová rovnice: F = mg sin θ Aproximace: sin θ θ = y L Úprava: m d 2 y(t) dt 2 = mg y L Dif. rce 2. řádu: d2 y(t) dt 2 + g L y(t) = 0 Substituce: ω 2 = g L (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36
23 Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo Pohybová rovnice: F = mg sin θ Aproximace: sin θ θ = y L Úprava: m d 2 y(t) dt 2 = mg y L Dif. rce 2. řádu: d2 y(t) dt 2 + g L y(t) = 0 Substituce: ω 2 = g L Výsledek (2 poč. podm.): y = y 0 cos ωt (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36
24 Diferenciální rovnice Ukázky diferenciálních rovnic Radioaktivní rozpad dm = λm dt dm m = λ dt m = m 0e λt (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 12 / 36
25 Diferenciální rovnice Ukázky diferenciálních rovnic Radioaktivní rozpad dm = λm dt dm m = λ dt m = m 0e λt Barometrická rovnice Závislost atmosferického tlaku na nadmořské výšce Stavová rovnice: pv = konst. p 0 p = V V 0 = ρ 0 ρ Dif. rce 1. řádu: dp = ρg dh dp p = ρ 0 p 0 g dh Výsledek: p = p 0 e ρ 0 p 0 gh (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 12 / 36
26 RLC obvod Diferenciální rovnice Vznik elektromagnetického vlnění (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 13 / 36
27 Systémy diferenciálních rovnic Systém diferenciálních rovnic Definice Uvažujme systém rovnic x 1 =f 1(t, x 1,..., x n ). x n =f n (t, x 1,..., x n ), kde t, x 1,..., x n jsou reálné proměnné, f j : G R pro j = 1,..., n, kde G R n+1. Množina G se nazývá obor systému diferenciálních rovnic. Řešením systému diferenciálních rovnic rozumíme uspořádanou n-tici funkcí (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) G definovanou na intervalu I R takovou, že po dosazení do uvedeného systému dif. rovnic dostaneme identitu pro každé t I. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 14 / 36
28 Systémy diferenciálních rovnic Autonomní rovnice Definice Necht Ω R n je oblast a necht f : Ω R n. Rovnici X = f (X) nazveme autonomní rovnicí (nezávisí na t). Oblast Ω se nazývá fázový prostor, proměnná t čas. Geometrická interpretace řešení X = ϕ(t): Graf funkce ϕ(t) v prostoru R n+1... pohyb Křivka v prostoru R n daná parametricky rovnicím X = ϕ(t)... trajektorie trajektorie je kolmý průmět pohybu do fázového prostoru (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 15 / 36
29 Systémy diferenciálních rovnic Fázový portrét - trajektorie a pohyb Libovolné dvě trajektorie nemají bud žádný společný bod, nebo splývají. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 16 / 36
30 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod Definice Bod X 0 Ω nazýváme singulární bod (stacionární, rovnovážný) rovnice X = f (X), jestliže f (X 0 ) = 0. Rovnice X = f (X) má konstantní řešení X(t) = X 0... X 0 je singulární bod Druhy trajektorií: Singulární body Uzavřené trajektorie (cykly) Trajektorie, které samy sebe neprotínají (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 17 / 36
31 Systémy diferenciálních rovnic Typy singulárních bodů v rovině Střed: v jistém okolí všechny trajektorie uzavřené Bod rotace: existuje posloupnost uzavřených trajektorií kolem singulárního bodu (nemusí být všechny křivky uzavřené) (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 18 / 36
32 Systémy diferenciálních rovnic Typy singulárních bodů v rovině Ohnisko: existuje okolí takové, že každá trajektorie procházející v tomto okolí se limitně blíží do singulárního bodu (otočí se nekonečně mnohokrát) Uzel: stejná vlastnost jako u ohniska, ale trajektorie se otočí konečně mnohokrát - vlastní nebo nevlastní uzel (na obr. jen 4 polotečny) Sedlo: existuje pouze konečný počet trajektorií blížících se k singulárnímu bodu (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 19 / 36
33 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 2D (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 20 / 36
34 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 2D (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 21 / 36
35 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 2D (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 22 / 36
36 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 2D Střed: pro vlastní číslo s nulovou reálnou částí. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 23 / 36
37 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 3D (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 24 / 36
38 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 3D (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 25 / 36
39 Systémy diferenciálních rovnic Stabilita řešení Jak se změní řešení rovnice při malé změně počátečních podmínek? (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 26 / 36
40 Systémy diferenciálních rovnic Stabilita řešení Definice Řešení X 0 (t) rovnice X = f (t, X) se nazývá stejnoměrně stabilní, jestliže ke ε > 0 δ(ε) > 0 takové, že pro t 1 t 0 platí, že libovolné řešení X(t) rovnice X = f (t, X) splňující podmínku, že X(t 1 ) X 0 (t 1 ) < δ je definováno pro všechna t t 1 a pro všechna t platí, že X(t) X 0 (t) < ε. Trajektorie začínající v δ okolí nevyjde s rostoucím časem z ε okolí Silnější než ljapunovská stabilita (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 27 / 36
41 Modely Matematické modely Zjednodušené zobrazení zkoumané skutečnosti Matematické modely: stochastické (prvky náhodné veličiny) x deterministické statické (nezávislé na čase) x dynamické deterministické matametické modely: diskrétní (diferenční rce) x spojité (diferenciální rce) Matematické modelování Sestavení modelu (vlastnosti a zákonitosti objektu) Matematická analýza modelu, teoretické důsledky Souhlas se skutečností přijetí modelu Analýza modelu, případná modernizace modelu, určení hodnot parametrů v modelu (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 28 / 36
42 Matematické modely Modely existence dvou živočišných druhů N 1... velikost 1. populace, N 2... velikost 2. populace N 1 = (ε 1 α 11 N 1 )N 1 + γ 1 N 1 N 2 N 2 = (ε 2 α 22 N 2 )N 2 + γ 2 N 1 N 2 Znaménka γ 1, γ 2 : Symbióza, kooperace Predátor - kořist Konkurence Neutralismus (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 29 / 36
43 Matematické modely Konkurence Zajímá nás N 1 0, N 2 0. Substituce γ 1 = α 12, γ 2 = α 21. N 1 = (ε 1 α 11 N 1 )N 1 α 12 N 1 N 2 N 2 = (ε 2 α 22 N 2 )N 2 α 21 N 1 N 2 Substituce: a = α 12 ε 1, b = α 21 α 11, c = ε 2 ε 1. N 1 = (1 N 1 an 2 )N 1 N 2 = (c bn 1 N 2 )N 2 Singulární body: (0, 0), (0, c), (1, 0), ( 1 ac 1 ab, c b 1 ab ). (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 30 / 36
44 Matematické modely Konkukrence - druhy Slabá konkurence: b < c, ac < 1 Silná konkurence: b > c, ac > 1 Dominance 2. druhu: b < c, ac > 1 Dominance 1. druhu: b > c, ac < 1 Jakobián: ( 1 2N1 an J = 2 an 1 bn 2 c bn 1 2N 2 ) Dosazení bodu a určení vlastních čísel typ singulárního bodu (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 31 / 36
45 Matematické modely Slabá konkurence (0, 0)... nestabilní uzel (0, c)... sedlo (1, 0)... sedlo ( 1 ac 1 ab, c b uzel 1 ab )... stabilní (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 32 / 36
46 Matematické modely Silná konkurence (0, 0)... nestabilní uzel (0, c)... stabilní uzel (1, 0)... stabilní uzel ( 1 ac 1 ab, c b 1 ab )... sedlo (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 33 / 36
47 Matematické modely Dominance 2. druhu (0, 0)... nestabilní uzel (0, c)... stabilní uzel (1, 0)... sedlo ( 1 ac 1 ab, c b 1 ab )... mimo 1. kvadrant (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 34 / 36
48 Matematické modely Dominance 1. druhu (0, 0)... nestabilní uzel (0, c)... sedlo (1, 0)... stabilní uzel ( 1 ac 1 ab, c b 1 ab )... mimo 1. kvadrant (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 35 / 36
49 Literatura Matematické modely Přednáška doc. RNDr. Josefa Kalase, CSc.: Diferenciální rovnice a spojité modely, MU. Kalas, Josef - Ráb, Miloš. Obyčejné diferenciální rovnice. 2. vyd. Brno : MU, s. ISBN Kalas, Josef - Pospíšil, Zdeněk. Spojité modely v biologii. 1. vyd. Brno : MU, s. ISBN X. Diferenciální rovnice - příklady z praxe: (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 36 / 36
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceDodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceQ(y) dy = P(x) dx + C.
Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
Více1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
1/15 Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu 2/15 Vsuvka: Vlastní čísla matic Definice: Bud A čtvercová matice a vektor h 0 splňující rovnici A h = λ h pro nějaké číslo λ R. Potom λ nazýváme
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceDerivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
Více8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
VíceKapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme
VíceRadiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice
Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2008, pátá přednáška Derivace a tečny aneb matematika libovolně malých změn Nejen velké,
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceM4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU
M4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU jaro 2010 Rozsah 4/2/0. 6 kr. Ukončení: zk. 1) Obyčejné diferenciální rovnice: 1.1. Úvod základní pojmy, přímé metody řešení některých
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Víceekologie Pavel Fibich rovnice rovnice Pavel Fibich Shrnutí Literatura
a diferenční - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 27. září 2012 Obsah 1 2 3 4 5 6 7 Proč povídat o diferenciálních (δr) a diferenčních rovnicích ( R) v kurzu? δr a R jsou vhodné pro popisy vztahů a vývoje
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDiferenciální geometrie
Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceMnohé problémy analýzy dynamických systémů vedou k řešení diferenciální rovnice (4.1)
4 Řešení odezev dynamických systémů ve fázové rovině 4.1 Základní pojmy teorie fázové roviny Mnohé problémy analýzy dynamických systémů vedou k řešení diferenciální rovnice ( ) x+ F x, x = (4.1) kde F(
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(7) Křivky a křivkový integrál Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 1 / 39 y Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 2 / 39 y Kristýna Kuncová (7) Křivky
VíceNekonečné číselné řady. January 21, 2015
Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
Více0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému
2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
Více1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
VíceModelování a simulace Lukáš Otte
Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast
VíceZákladní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
Více7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky
7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
Více6. dubna *********** Přednáška ***********
KMA/MAT2 Přednáška a cvičení č. 8, Obyčejné diferenciální rovnice 2 6. dubna 2016 *********** Přednáška *********** 1 Existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy Stále uvažujeme rovnici y = f(t, y).
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceŘetězovka (catenary)
Řetězovka (catenary) Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Řetězovka - křivka lan a řetězů prověšených vlastní vahou Budeme se zajímat
VíceBIOMECHANIKA KINEMATIKA
BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceTest M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.
Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceModelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček. 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015 verze: 2015-04-14 12:31
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceDiferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více