Coulombův zákon I. 0 = C 2 / Nm 2 je permitivita vakua. jednotkou náboje v soustavě SI je 1 Coulomb [C] k = 1/4 0 = 9.

Transkript

1 1

2 Coulombův zákon I Mějme dva bodové náboje Q 1 a Q 2 ve vzdálenosti r od sebe. Potom je velikost síly, kterou na sebe navzájem působí rovna : F = k Q 1 Q 2 / r 2 jednotkou náboje v soustavě SI je 1 Coulomb [C] k = 1/4 0 = Nm 2 /C 2 0 = C 2 / Nm 2 je permitivita vakua

3 *Coulombův zákon II Protože síly jsou vektory, je důležitá i informace o jejich směru. Úplnou informaci dostaneme, umístíme-li bodový náboj Q 1 do počátku a poloha druhého Q 2 bude určena polohovým vektorem. Pro sílu, působící na Q 2 platí : r kqq 1 2 r kqq F ( r r 21 ) síly působí ve směru spojnice 2 2 síly působící na oba náboje jsou akce a reakce positivní síla je odpudivá r r r

4 Příklady elektrostatických jevů I Hřeben, kterým jsme si právě prohrábli vlasy přitahuje malé kousky papíru. Způsobuje to dalekodosahová síla, která může být i odpudivá. Pozorované síly přiřazujeme vlastnosti částic, kterou nazýváme elektrický náboj. Většinou se tělesa projevují elektricky neutrálně. Aby na sebe tělesa silově působila docílíme: nabitím přidáním nebo odebráním náboje přerozdělením náboje

5 Příklady elektrostatických jevů II Přerozdělení náboje lze docílit působením na dálku, nazývaným indukce. To se někdy mylně považuje také za nabití. Nabití je možné jen vedením náboje neboli kondukcí a vyžaduje vodivý kontakt. Jím se na těleso přivede dodatečný náboj nebo se z něj naopak odvede. Pomocí materiálů, zvaných vodiče, lze náboje přenášet snadno. Pomocí jiných, zvaných izolátory, je to obtížné nebo nemožné

6 Koncepce elektrického pole Je-li náboj umístěn v určitém bodě prostoru, vysílá kolem sebe informaci o své pozici, polaritě a velikosti. Tato informace se šíří rychlostí světla. Může být zachycena jiným nábojem. Výsledkem interakce náboje a elektrostatického pole je silové působení

7 Hlavní vlastnosti náboje Protože existují přitažlivé i odpudivé elektrické síly, musí být náboje dvojího druhu, pozitivní a negativní. Shodné náboje se odpuzují a rozdílné přitahují. Náboje jsou kvantovány existují jen v násobcích elementárního náboje e = C. Ve všech známých procesech náboje vznikají nebo zanikají pouze v párech (+q a -q), takže se celkový náboj zachovává. Náboj je invariantní vůči Lorentzově transformaci

8 Gravitační síla a pole Věnujme se první dalekodosahové síle, síle gravitační. Jejím prostřednictvím na sebe hmotné body působí, aniž by byly v přímém vzájemném kontaktu. Na základě gravitačního působení funguje nebeská mechanika a gravitační zákon vznikl zobecněním dlouhodobých astronomických pozorování. Tyto představy se mění až v rámci obecné teorie relativity, která chápe gravitaci jako důsledek existence neinerciální vztažné soustavy

9 Gravitační pole I Gravitační pole si představujeme jako informaci, kterou o sobě šíří hmotné body do svého okolí nese údaje o jejich hmotnosti a poloze šíří se rychlostí světla na tuto informaci reagují jiné zdroje stejného typu pole = hmotnosti tím, že na ně působí síla

10 Newtonův gravitační zákon I Keplerovy zákony byly později geniálně shrnuty do všeobecného gravitačního zákona Issacem Newtonem : Každé dva hmotné body na sebe působí přitažlivou silou, která působí ve směru jejich spojnice. Je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti

11 Newtonův gravitační zákon II Pro jednoduchost umístíme m 1 do počátku a poloha m 2 bude určena polohovým vektorem r. Potom síla působící na bod m 2 v důsledku existence bodu m 1, resp. její velikost jsou : m1m 2 0 F12 ( r ) r 2 r m1m 2 F12 2 r

12 Srovnání elektrostatického a gravitačního působení Formálně je Coulombův zákon podobný Newtonovu gravitačnímu zákonu. ale elektrostatická síla je ~ (!) krát silnější tak slabá síla přesto dominuje ve vesmíru, protože hmota je obvykle neutrální nabít nějaké těleso znamená nepatrně porušit obrovskou rovnováhu

13 2

14 Elektrická intenzita I Elektrické pole by bylo možné popsat pomocí vektoru síly F(r ), která by působila na jistý testovací náboj Q v každém bodě, který by nás zajímal. Tento popis by ale závisel na velikosti a polaritě testovacího náboje, který by se musel uvádět jako doplňující informace. Jinak by byl popis nejednoznačný

15 Elektrická intenzita II Vydělením testovacím nábojem je definována elektrická intenzita, která již je jednoznačnou funkcí popisovaného pole : E( r) F( r) Q Číselně je rovna síle, která by v daném bodě působila na jednotkový kladný náboj. Intenzita ale nemá rozměr pouhé síly

16 Elektrické siločáry Elektrické pole je trojrozměrné vektorové pole, které se v obecném případě obtížně znázorňuje. V jednoduchých symetrických příkladech, lze užít siločáry. Jsou to křivky, které jsou v každém bodě tečné k vektorům elektrické intenzity, čili se nemohou protnout! Velikost intensity se znázorňuje délkou nebo hustotou těchto siločar. Kladný náboj nepatrné hmotnosti by se pohyboval po určité siločáře, náboj záporný také, ale v opačném smyslu

17 Tok elektrické intenzity Tok elektrické intenzity je definován jako : d E e ds. Popisuje množství elektrické intenzity E, která proteče kolmo ploškou, která je tak malá, aby se intenzita na ní dala považovat za konstantní a je popsána svým vnějším normálovým vektorem ds. Zopakujme si skalární součin

18 Gaussova věta I Celkový tok elektrické intenzity skrz libovolnou uzavřenou plochu je roven celkovému náboji, který plocha obepíná dělený permitivitou vakua d E e ds Q 0 Věta je ekvivalentní tvrzení, že siločáry elektrického pole začínají v kladných a končí v záporných nábojích

19 Gaussova věta II V nekonečnu mohou siločáry začínat i končit. Gaussova věta platí protože intenzita klesá s r 2, což je v toku intenzity kompenzováno růstem plochy jako r 2. Skalárním součinem je ošetřena vzájemná orientace siločar a plošek

20 Gaussova věta III Neuzavírá-li plocha žádný náboj, musí siločáry, které do objemu vstoupí zase někde vystoupit. Je-li celkový uzavřený náboj kladný více siločar vystoupí než vstoupí. Je-li naopak celkový uzavřený náboj záporný více siločar vstoupí než vystoupí. Pozitivní náboje jsou zdroji a negativní propadly. Nekonečno může být i zdrojem i propadlem

21 Gaussova věta VI Gaussova věta může být považována za základ elektrostatiky podobně jako Coulombův zákon a dokonce je obecnější! Gaussova věta je užitečná : pro teoretické úvahy nebo v případech speciální symetrie například při výpočtu pole: bodového náboje nekonečného drátu nabitého s konstantní hustotou nekonečné roviny nabité s konstantní hustotou

22 Konzervativní pole Gravitační pole pro hmotné částice, podobně jako elektrostatické pole pro částice nabité, jsou příkladem konzervativních polí. Jsou definovány tak, že je nich celková vykonaná práce při přesunu částice po libovolné uzavřené křivce rovna nule

23 Nabitý plný vodič I Vodiče obsahují volné nosiče náboje jedné nebo obou polarit. Nabít je znamená, přinést do nich nějaké přebytečné náboje jedné z polarit. Speciálním případem jsou kovy : každý atom, který je součástí kovu, si ponechává vnitřní elektrony ve své blízkosti. Ale elektrony valenční, slaběji vázané, jsou sdíleny celým kovem. Ty jsou volnými nosiči náboje. Působí-li na ně elektrická (nebo i jiná) síla mohou se v kovu volně pohybovat. Je relativně snadné kovu volné elektrony přidat nebo ubrat

24 Nabitý plný vodič II Přidání elektronů znamená nabití kovu záporně Odebrání elektronů je ekvivalentní nabití tělesa kladně. Pro naše účely můžeme mezery po chybějících elektronech považovat za volné kladné náboje +1e. V oblasti polovodičů se nazývají díry. Nabitý vodič efektivně obsahuje přebytečné kladné nebo záporné náboje, které jsou navíc volné

25 3

26 Existence potenciálu Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli (nebo hmotné částice v poli gravitačním) z bodu A do bodu B, nezávisí na cestě, ale pouze na jisté skalární vlastnosti pole v těchto dvou bodech. Tato vlastnost se nazývá elektrický potenciál e nebo gravitační potenciál g

27 Práce vykonaná na částici I Přesune-li například nějaký vnější činitel částici s nábojem q v elektrostatickém poli nebo hmotností m v gravitačním poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci : W(A->B) q[ e (B)- e (A)] nebo W(A->B) m[ g (B)- g (A)]

28 Práce vykonaná na částici II Pro potenciální energii částice obecně platí : E p (B)=E p (A)+W(A->B) Tuto definici srovnáme s předchozími vztahy : W(A->B)=q[ e (B)- e (A)] =E p (B)-E p (A) W(A->B)=m[ g (B)- g (A)] =E p (B)-E p (A) Vykoná-li vnější činitel na částici kladnou práci, zvýší tím její potenciální energii E p definovanou : E E p p ( r) q e( r) ( r) m ( r) g

29 Práce vykonaná na částici III Ve většině praktických případů nás zajímá rozdíl potenciálů dvou míst. U elektrického pole o něm hovoříme jako o napětí U : U BA (B)- (A) Pomocí napětí je vykonaná práce : W(A->B)=q U BA

30 Práce vykonaná na částici IV Pro práci vykonanou vnějším činitelem na nabité částici tedy platí : W=q[ (B)- (A)]=E p (B)-E p (A)=qU BA Je důležité si uvědomit principiální rozdíly : Mezi potenciálem, což je vlastnost pole, potenciální energií částice v poli a napětím. Mezi prací vykonanou vnějším činitelem nebo polem

31 Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli I Volné nabité částice se snaží pohybovat podél siločar ve směru poklesu své potenciální energie. Z druhého Newtonova zákona : dp dt qe V nerelativistickém případě : ma qe a q m E

32 Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli II Poměr q/m, nazývaný specifický náboj je důležitou vlastností částice. 1. elektron, positron q/m = C/kg 2. proton, antiproton q/m = C/kg (1836 x) 3. -částice (He jádro) q/m = C/kg (2 x) 4. Další ionty Akcelerace elementárních částic může být obrovská! Snadno lze dosáhnout relativistických rychlostí

33 Obecný vztah E ( ) Obecný vztah je analogický u elektrického i gravitačního pole: E( r) grad ( r) Gradient skalární funkce f v určitém bodě je vektor : Který směřuje do směru nejrychlejšího růstu funkce f. Jeho velikost je rovna změně hodnoty funkce f, kdybychom se v tomto směru přesunuli o jednotkovou vzdálenost

34 4

35 Kapacita Napětí U mezi dvěma vodiči nabitými na náboj +Q a Q je obecně úměrné tomuto náboji : Q = C U Kladná konstanta úměrnosti C se nazývá kapacita. Fyzikálně je to schopnost příslušného uspořádání vodičů jímat náboj. Jednotkou kapacity je Farad 1 F = 1 C/V

36 Různé typy kondenzátorů Je mnoho důvodů vyrábět elektronickou součástku, která má schopnost jímat náboj kondenzátor. Kapacita kondenzátoru by neměla záviset na okolí. Hlavní užití je pro jímání náboje a potenciální energie a některé doprovodné jevy související s nabíjením a vybíjením. Nejčastěji se užívá deskových, válcových, kulových a svitkových kondenzátorů

37 Dvě paralelní nabité roviny Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou druhá s hustotou -. Intenzita mezi deskami bude E i a intenzita vně E o. Co platí? A) E i = 0, E o = / 0 B) E i = / 0, E o =0 C) E i = / 0, E o = /

38 Určení kapacity kondenzátoru I Obecně: najdeme závislost náboje Q na napětí U a vyjádříme kapacitu jako koeficient úměrnosti. Například deskový kondenzátor s rovnoběžnými deskami o ploše S a vzdálenosti d, nabité na náboj +Q a -Q: Z Gaussovy věty : E = / 0 = Q/ 0 S Také : E = U/d Q = 0 SU/d C = 0 S/d Obdobně by se postupovalo u kondenzátooru kulového

39 Nabíjení kondenzátoru Kondenzátor nabíjíme budˇ propojíme jednu elektrodu kondenzátoru s kladným a druhou se záporným pólem zdroje stejnosměrného napětí. Po dosažení rovnováhy bude každá elektroda kondenzátoru mít stejný potenciál jako elektroda zdroje s ní spojená a napětí na kondenzátoru bude rovné napětí zdroje. nebo uzemníme jednu elektrodu a na druhou přivedeme náboj. Po dosažení rovnováhy zůstane na uzemněné elektrodě jen náboj opačné polarity. Podrobné chování veličin v čase si ukážeme později

40 Sériové zapojení kondenzátorů I Mějme kondenzátory C 1 a C 2 zapojené do série za sebou. Můžeme je nahradit jedinou kapacitou: C s Nabijeme-li jednu elektrodu, ostatní se nabijí indukcí a náboj na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být stejný : Q = Q 1 = Q 2 C1C 2 C C

41 Sériové zapojení kondenzátorů II K sobě připojené elektrody jsou na stejném potenciálu. Celkové napětí na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být tedy součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech 1 C s U = U 1 + U 2 U U U 2 Q Q Q C 1 C

42 Paralelní zapojení kondenzátorů I Mějme dva kondenzátory C 1 a C 2 zapojené paralelně vedle sebe. Můžeme je nahradit jediným kondenzátorem s kapacitou C p : C p = C 1 + C 2 Celkový náboj se rozdělí na jednotlivé kondenzátory Q = Q 1 + Q 2 Napětí na všech kondenzátorech je stejné U = U 1 = U 2 C p = Q/U = Q 1 /U+ Q 2 /U = C 1 + C

43 Mezní náboj Kapacita deskového kondenzátoru (ve vakuu) může být zvětšena buď zvětšením ploch desek nebo jejich přiblížením. Pouze první způsob však povede ke snížení intenzity elektrického pole a tedy i ke zvýšení mezního náboje, který kondenzátor může pojmout! Z tohoto hlediska by bylo lepší uzemnit vnitřní a nabít vnější kouli v našem Leydenském příkladu

44 Jímání elektrické energie I K nabití kondenzátoru musíme vykonat práci. Tato práce je uschována jako potenciální energie a veškerá (neuvažujeme-li ztráty) může být využita později. Například při rychlém vybití optimalizujeme výkon (fotoblesk, defibrilátor). Při změnách parametrů nabitého kondenzátoru může konat práci vnější činitel nebo pole. Musí se odlišit situace, kdy ke kondenzátoru zůstává připojen vnější zdroj

45 Jímání elektrické energie II Nabít kondenzátor znamená brát postupně malé kladné náboje ze záporné elektrody a přenášet je na elektrodu kladnou nebo přenášet obráceně náboje záporné. V obou případech se zvyšuje potenciální energie přeneseného náboje na úkor vnější práce. Práce nezávisí na cestě. Můžeme představit, že náboj přenášíme přímo přes prostor mezi elektrodami, i když takto ve skutečnosti náboj proudit nesmí!

46 Vložení vodiče do kondenzátoru I Vložme vodivou destičku s plochou S a tloušťkou < d do mezery mezi desky kondenzátoru S,d, 0,. Vodivá destička obsahuje dostatek volných nosičů náboje, aby na svých plochách vytvořila nábojovou hustotu p stejnou, jako je hustota budící. V důsledku platnosti principu superpozice je pole uvnitř destičky přesně kompenzováno a tedy je nulové. Efektivně se mezera zmenšila na d

47 *Test Může být nabitý kondenzátor využit jako elektrický zdroj k dosažení stacionárního proudu? A) Ano B) Ne

48 *Odpověď Odpověď je NE! Nabitý kondenzátor může být využit jako zdroj například k pokrytí krátkodobých výpadků jiných zdrojů. Vybíjecí proud kondenzátoru však je nestacionární. Proud totiž vybíjí kondenzátor, čili způsobuje pokles jeho napětí a proto i sám klesá

49 5

50 Vložení dielektrika do kondenzátoru I Nabijme kondenzátor, odpojme od zdroje a měřme na něm napětí. Zaplňme nyní celou mezeru nevodivým, tzv. dielektrickým materiálem (destičkou). Pozorujeme : napětí pokleslo v poměru r = U 0 /U destička byla polem vtažena r nazýváme dielektrickou konstantou nebo (lépe) relativní permitivitou dielektrika. r obecně závisí na řadě veličin (T, f)!

51 Vložení dielektrika do kondenzátoru II Co se stalo : Protože vložená destička je dielektrická nemá volné nosiče náboje, které by vytvořily nábojovou hustotu dostatečnou k úplné kompenzaci vnitřního pole. Pole ale zorientuje nebo předtím i vytvoří elektrické dipóly uvnitř dielektrika. Výsledkem je opět objevení se plošného náboje na deskách destičky. Nyní je ale plošná hustota indukovaného náboje nižší, takže dojde pouze k zeslabení pole. Nicméně se opět zvýší kapacita

52 Vložení dielektrika do kondenzátoru III Náboje zorientovaných dipólů se vykompenzují v celém objemu, kromě hraničních ploch. Na nich zůstává nenulová plošná nábojová hustota p <. Výsledné pole je opět superpozicí původního pole, vytvořeného původními hustotami a pole indukovaného, vytvořeného indukovanými nábojovými hustotami p. V případě homogenní polarizace je indukovaná hustota náboje rovna p = P, což je polarizace neboli hustota dipólového momentu

53 Existence potenciálu Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli (nebo hmotné částice v poli gravitačním) z bodu A do bodu B, nezávisí na cestě, ale pouze na jisté skalární vlastnosti pole v těchto dvou bodech. Tato vlastnost se nazývá elektrický potenciál e nebo gravitační potenciál g

54 roztřídili jsme látky na vo_diče, které mají schopnost převádět elektrický náboj, a nevodiče, dielektrika, která tuto schopnost nemají a mohou sloužit jako izolanty. To však neznamená, že by se dielektrikum a vnější elektrostatické pole vzájemně nijak neovlivňovaly. O charakteru tohoto vlivu se můžeme přesvědčit jednoduchým experimen_tem. Vezměme například deskový kondenzátor, jehož vlastnosti jsme studovali v článku a zaplňme prostor mezi jeho elektrodami homogenním izotropním dielektrikem. Experimentálně zjistíme, že při zachování náboje na elektrodách napětí mezi elektrodami po vložení dielektrika poklesne z původní hodnoty U 0 na jistou hodnotu U a kapacita naopak vzroste z původní hodnoty C 0 na hodnotu C. Označíme-li U 0 /U = e r bude podle C = Q/U platit:

55 Vložením izolantu do elektrického pole nastává jev, který se nazývá polarizace dielektrika. Při polarizaci se z atomů nebo molekuldielektrika (nepolární dielektrikum) působením přitažlivé a odpudivé elektrické síly stanou elektrické dipóly dojde knesymetrickému rozložení částic s elektrickým nábojem uvnitř atomů nebo molekul (blíž k jedné straně elektrony, blíž ke druhé straně jádro atomu). Taková polarizace se nazývá atomová polarizace. Některé látky (polární dielektrika, např. voda) obsahují elektrické dipóly i bez působení vnějšího elektrického pole. Jejich směr je ale chaotický a při polarizaci dojde pouze k uspořádání dipólů do jednoho směru. Taková polarizace se nazývá orientační polarizace. Všechny elektrické dipóly mají při polarizaci stejnou polaritu opačnou k polaritě vnějšího elektrického pole. Tím se velikost vnějšího elektrického pole zmenšuje. Poměr intenzity E 0 vnějšího elektrického pole k intenzitě výsledného elektrického pole E udává relativní permitivita dielektrika ε r :

56 *Hustota energie v dielektriku V případě homogenních (stejnorodých) dielektrik lze definovat celkovou permitivitu = r 0 a použít ji ve všech vztazích, v nichž ve vakuu vystupovala permitivita vakua. Tedy například hustotu elektrické energie v dielektriku lze psát jako : E 2 /

57 * Kondenzátor vyplněn dielektrikem částečně Je-li možné zanedbat okrajové jevy, tedy, jsouli příčné rozměry kondenzátoru i vloženého dielektrika zanedbatelné proti rozměrům ploch, můžeme takový systém považovat za určitou sério-paralelní kombinaci kondenzátorů

58 6

59 Elektrické proudy I Zatím jsme se zabývali rovnovážnými stavy. Avšak než je jich dosaženo, dochází obvykle k pohybu volných nosičů náboje v nenulovém elektrickém poli, čili tam existují proudy. Často záměrně udržujeme na vodičích rozdíl potenciálů, abychom udrželi tok nosičů náboje, snažících se dosáhnout rovnováhy - elektrický proud. V určitém okamžiku je proud definován jako : dq( t) I( t) dt

60 Elektrické proudy II Z fyzikálního hlediska rozlišujeme tři druhy proudu. První dva jsou přímo pohybem nosičů náboje: kondukční pohyb volných nosičů náboje v látkách, pevných nebo roztocích konvekční pohyb nábojů ve vakuu (např. elektronů v obrazovce) posuvný je spojený s časovou změnou elektrického pole (nabíjení kondenzátorů, depolarizace dielektrik)

61 Elektrické proudy III Elektrické proudy mohou být uskutečněny pohybem nábojů obojí polarity. Podle konvence směřuje proud ve směru elektrického pole, čili stejně, jako kdyby pohybující se nosiče náboje byly kladné. Pokud jsou volné nosiče v určité látce záporné, jako například u kovů, pohybují se fyzicky proti směru konvenčního proudu

62 Elektrické proudy IV Nejprve se budeme zabývat stacionárními proudy. Jedná se o zvláštní případ rovnováhy, kdy napětí a proudy v obvodech jsou stálá a konstantní. Stacionární proudy mohou být pouze konvekční nebo kondukční. Později se také zmíníme o časově proměnných proudech. Ty mohou být i posuvné

63 Elektrické proudy V Jednotkou proudu je 1 ampér se zkratkou A 1 A = 1 C/s. Protože proudy lze relativně snadno měřit je právě ampér přijat jako základní elektrická jednotka v soustavě SI. Pomocí něj jsou potom definovány i další elektrické jednotky. Například 1 Coulomb : 1C = 1 As

64 *Elektrické zdroje I Abychom udrželi konstantní proud, například ve vodivé tyčce, musíme udržet konstantní elektrické pole, které se snaží přivést náboje v tyčce k rovnováze. To je ekvivalentní udržování konstantního rozdílu potenciálu neboli napětí mezi konci tyčky. K tomu slouží zdroj elektrického napětí

65 Ohmův zákon Každé vodivé těleso potřebuje jisté napětí mezi svými konci, aby vzniklo elektrické pole s dostatečnou intenzitou k dosažení proudu určité velikosti. Toto napětí a proud jsou si přímo úměrné podle Ohmova zákona : U = RI Konstanta úměrnosti se nazývá rezistance (odpor). Je to napětí potřebné k dosažení proudu 1 A, čili se jedná o schopnost vzdorovat průtoku proudu. Jednotkou odporu je 1 ohm : 1 = 1 V/A

66 Rezistance a rezistory I Každé situaci, kdy jistým vodičem protéká při určitém napětí určitý proud, můžeme přiřadit určitou rezistanci. U ideálního rezistoru (odporu) je rezistance konstantní bez ohledu na napětí a proud. V elektronice se používají speciální součástky rezistory, které jsou vyvíjeny tak, aby jejich vlastnosti byly blízké ideálním rezistorům. Rezistance může obecně záviset na napětí, proudu, a řadě jiných faktorů

67 Rezistance a rezistory II Důležitou informací o každém vodivém materiálu je jeho volt-ampérová charakteristika. Je to naměřená a (vhodně) vynesená závislost proudu na napětí nebo naopak. Může odhalit důležité vlastnosti látek. V každém bodě takové charakteristiky můžeme definovat diferenciální rezistanci jako : dr = U/ I Pro ideální odpor je tato veličina všude konstantní

68 Měrný odpor a vodivost I Mějme ohmický vodič, tedy takový, jaký splňuje Ohmův zákon: U = RI Rezistance R závisí na geometrii a na vlastnostech materiálu vodiče. Mějme vodič délky l a průřezu S, definujeme měrný odpor (rezistivitu) a její reciprokou hodnotu, měrnou vodivost : R l S 1 l S

69 Měrný odpor a vodivost II Měrný odpor je schopnost látek vzdorovat průtoku elektrického proudu. Při stejném tvaru je k dosažení určitého proudu u látek s velkou rezistivitou potřeba větší napětí. Jednotkou rezistivity v SI je 1 m. Měrná vodivost je naopak schopnost vést proud. Jednotkou měrné vodivosti v SI je 1-1 m -1. Jednotka vodivosti je siemens 1 Si =

70 Volné nosiče nábojů I Obecně jsou volnými nosiči náboje nabité částice nebo pseudočástice, které se mohou ve vodičích volně pohybovat. Mohou jimi být elektrony, díry a různé ionty. Vodivostní vlastnosti látek závisí na tom, jak volně se nosiče mohou pohybovat, což hluboce souvisí se strukturou příslušné látky

71 Volné nosiče náboje II V pevných vodičích, sdílí každý atom své nejslaběji vázané (valenční) elektrony s ostatními atomy. Ty se tedy mohou více nebo méně volně pohybovat v celém objemu vodiče. V nulovém elektrickém poli se elektrony pohybují chaoticky velkými rychlostmi náhodnými směry a často se sráží s atomy. Připomíná to chaotický pohyb molekul plynu, což vede k používání (ne úplně přesného) názvu elektronový plyn

72 7

73 Měrný odpor a vodivost I Mějme ohmický vodič, tedy takový, jaký splňuje Ohmův zákon: U = RI Rezistance R závisí na geometrii a na vlastnostech materiálu vodiče. Mějme vodič délky l a průřezu S, definujeme měrný odpor (rezistivitu) a její reciprokou hodnotu, měrnou vodivost : R l S 1 l S

74 Měrný odpor a vodivost II Měrný odpor je schopnost látek vzdorovat průtoku elektrického proudu. Při stejném tvaru je k dosažení určitého proudu u látek s velkou rezistivitou potřeba větší napětí. Jednotkou rezistivity v SI je 1 m. Měrná vodivost je naopak schopnost vést proud. Jednotkou měrné vodivosti v SI je 1-1 m -1. Jednotka vodivosti je siemens 1 Si =

75 Teplotní závislost měrného odporu I Ve většině případů je teplotní chování blízké lineárnímu. Definujeme změnu měrného odporu vzhledem k jisté referenční teplotě t 0 (0 nebo 20 C): = (t) (t 0 ) Relativní změna měrného odporu je přímo úměrná změně teploty : ( t t0) t ( t ) 0 ( t) ( t )(1 t)

76 Teplotní závislost měrného odporu II [K -1 ] je lineární teplotní koeficient. Je určen teplotní závislostí n a v d. Může být i záporný, např. u polovodičů (ale ty mají chování exponencíální). V případě většího roszahu teplot nebo vyšší požadované přesnosti musíme přidat další (kvadratický) člen : / (t 0 ) = t + ( t) 2 + (t) = (t 0 )(1 + t + ( t) 2 + )

77 Seriové zapojení rezistorů Rezistory, zapojenými seriově, prochází stejný společný proud. Současně napětí na všech dohromady musí být součet napětí na rezistorech jednotlivých. Seriové zapojení tedy můžeme nahradit jedním rezistorem, pro jehož rezistanci platí : R = R 1 + R

78 Paralelní zapojení rezistorů Jsou-li rezistory zapojeny paralelně, je na každém stejné společné napětí. Současně se celkový proud dělí mezi ně a je tedy součtem proudů jednotlivými rezistory. Paralelní zapojení tedy můžeme nahradit jedním rezistorem, pro jehož rezistanci platí 1/R = 1/R 1 + 1/R

79 Termočlánek I Termočlánek je příkladem čidla, které převádí nějakou fyzikální veličinu (zde teplotu) na veličinu elektrickou, obvykle snáze dále zpracovatelnou. Na rozdíl od jiných běžných teplotních čidel, odporového teploměru (např. Pt100) nebo termistoru, u nichž se měří závislost vodivosti na teplotě, termočlánek je zdrojem napětí

80 Termočlánek II Činnost termočlánku je založena na Seebeckovu neboli termoelektrickém jevu (Thomas 1821), který spočívá v tom, že na vodiči, jehož dva konce mají rozdílnou teplotu, se objevuje napětí. Toto napětí je úměrné velikosti teplotního rozdílu a materiálovému parametru, tzv. Seebeckově koeficientu

81 Peltierův jev Popsaný jev funguje i obráceně. Teče-li elektrický proud spojem dvou různých vodičů, může se z tohoto bodu odebírat nebo do něj přinášet teplo. Tento jev se nazývá jevem Peltierovým (Jean 1834). Komerčně jsou dostupné peltierovy články, s jejichž pomocí lze elegantně temperovat určitou oblast v rozpětí teplot cca 50 až 200 C. Lze jich ve speciálních případech použít i jako zdrojů napětí, např. u kosmických sond

82 Supravodivost I H. K. Onnes v roce 1911 zjistil, že u rtuti pod tzv. kritickou teplotou T c = 4.2 K se měrný odpor snižuje řádově na m, což je efektivně nula, protože to je méně než je hodnota při pokojové teplotě. Smyčkový proud v supravodivém materiálu teče bez znatelných ztrát a proto může existovat několik let bez dodávání energie!

83 Supravodivost II V současnosti jsou vyvinuty materiály na bázi Y, Ba, Cu, které mají kritickou teplotu T c 160 K, například: YBa 2 Cu 3 O 7 Tyto keramické látky jsou za normální teploty nevodivé, zatímco u dobrých vodičů nelze dosáhnout supravodivosti při žádné teplotě. Supravodivost je kvantový jev, který spočívá v tom, že elektrony se látkou pohybují v párech, čímž se snižuje možnost jejich současně interakce s atomy mřížky a tudíž ztrát energie

84 Termoelektrický jev Peltier-Seebeckův neboli termoelektrický jev je vznik teplotní diference způsobené elektrickým proudem nebo vznik elektrického proudu, způsobený teplotním rozdílem. Oba jevy jsou reverzibilní. Na videu je pravá nádobka (z pohledu pozorovatele) naplněna vodou s ledem, do levé je nalita teplá voda.

85 8

86 Kirchhoffovy zákony Fyzikálním základem pro řešení obvodů jsou Kirchhoffovy zákony. Vyjadřují obecné vlastnosti, vyplývající ze zachování náboje a konzervativnosti stacionárního elektrického pole. V nejjednodušší formě platí jen pro stacionární pole a proudy. Mohou ale být snadno zobecněny pro určité typy polí časově proměnných, např. pro střídavé proudy harmonického průběhu

87 I. Kirchhoffův zákon První Kirchhoffův zákon, zákon pro uzly, říká, že součet proudů přitékajících do jistého uzlu se musí rovnat součtu proudů z tohoto uzlu vytékajících. Je to speciální případ zákona zachování náboje. Obecně je vyjádřen rovnicí kontinuity náboje. Ta popisuje navíc směrové záležitosti a připouští nabíjení nebo vybíjení bodu

88 II. Kirchhoffův zákon Druhý Kirchhoffův zákon, zákon pro smyčky, říká, že součet napětí (rozdílů potenciálů) na každém prvku v každé uzavřené smyčce se musí rovnat nule. Zákon je založen na existenci potenciálu v obvodech stacionárního elektrického proudu, které je obecně konzervativní a zachování potenciální energie ve smyčce

89 Použití Kirchhoffových zákonů I Musíme sestavit soustavu nezávislých rovnic, jejichž počet bude roven počtu větví : Nejprve si označíme všechny proudy a každému přiřadíme určitý směr. Nevadí, pokud se zmýlíme. Pouze nám vyjde na závěr záporný proud. Napíšeme rovnice, vyplývající z I. KZ pro všechny uzly až na poslední, v němž bychom již dostali lineárně závislou rovnici. Napíšeme rovnici z II. KZ pro všechny nezávislé smyčky

90 Princip superpozice I Princip superpozice spočívá ve faktu, že každý zdroj pracuje nezávisle na ostatních. Postupně vypínáme (a zkratujeme) všechny zdroje až na j-tý a najdeme proud I ij v každé i-té větvi. Opakujeme to postupně pro všechny zdroje a nakonec pro proud jistou j-tou větví : I i = I i1 + I i2 + I i

91 Princip superpozice II Jednoduchá ilustrace: Máme zdroj 12 V, jeho kladná elektroda je spojena s kladnou elektrodou druhého zdroje 6 V. Záporné elektrody obou zdrojů jsou spojeny přes odpor 3. První zdroj generuje proud I 1 = +4 A Druhý zdroj generuje proud I 2 = 2 A Oba zdroje působí současně, tedy celkový proud je: I = I 1 + I 2 = +2 A

92 Elektrické proudy I Zatím jsme se zabývali rovnovážnými stavy. Avšak než je jich dosaženo, dochází obvykle k pohybu volných nosičů náboje v nenulovém elektrickém poli, čili tam existují proudy. Často záměrně udržujeme na vodičích rozdíl potenciálů, abychom udrželi tok nosičů náboje, snažících se dosáhnout rovnováhy - elektrický proud. V určitém okamžiku je proud definován jako : dq( t) I( t) dt

93 Elektrické proudy II Z fyzikálního hlediska rozlišujeme tři druhy proudu. První dva jsou přímo pohybem nosičů náboje: kondukční pohyb volných nosičů náboje v látkách, pevných nebo roztocích konvekční pohyb nábojů ve vakuu (např. elektronů v obrazovce) posuvný je spojený s časovou změnou elektrického pole (nabíjení kondenzátorů, depolarizace dielektrik)

94 Elektrické proudy III Elektrické proudy mohou být uskutečněny pohybem nábojů obojí polarity. Podle konvence směřuje proud ve směru elektrického pole, čili stejně, jako kdyby pohybující se nosiče náboje byly kladné. Pokud jsou volné nosiče v určité látce záporné, jako například u kovů, pohybují se fyzicky proti směru konvenčního proudu

95 Elektrické proudy IV Nejprve se budeme zabývat stacionárními proudy. Jedná se o zvláštní případ rovnováhy, kdy napětí a proudy v obvodech jsou stálá a konstantní. Stacionární proudy mohou být pouze konvekční nebo kondukční. Později se také zmíníme o časově proměnných proudech. Ty mohou být i posuvné

96 Přenos náboje, energie a výkonu I Ke zdroji o určitém napětí U připojme vodiči se zanedbatelným odporem jistý rezistor R. Získáváme jednoduchý elektrický obvod. Na odporu je stejné napětí jako na zdroji. Věnujme pozornost orientaci elektrického pole

97 Přenos náboje, energie a výkonu II Pole má snahu vyvolat proudy, které zdroj vybíjí v jeho vnitřku i vnějším obvodem. Proudy mají samozřejmě směr snižování potenciální energie. Ve zdroji ale jsou síly neelektrické povahy, které pohybují náboji proti směru pole, takže v celém obvodu se proud pohybuje stejným směrem. Ve zdroji vykonávají vnější síly práci, kterou pole vrací v rezistoru opět do vnějšího prostředí

98 Přenos náboje, energie a výkonu III Vezmeme náboj dq a obejdeme s ním obvod. Ve zdroji musíme, jako vnější činitel, vykonat práci proti poli Udq a pole vykoná práci Udq. V rezistoru koná pole práci Udq, čili vnější činitel koná práci Udq. Celková práce vykonaná jak vnějším činitelem tak i polem je rovna nule, což je samozřejmě ekvivalentní konzervativnosti elektrického pole. Derivujeme-li časem, dostáváme výkon : P = UI. A po dosazení za rezistanci : P = U 2 /R = RI

99 Řešení obvodů Úplné řešení obvodu znamená nalezení proudu v každé jeho větvi. Někdy nás ale zajímají jenom některé z nich. Při řešení obvodů je nutné najít nezávislé smyčky. Na to existují geometrické metody a možností je obvykle několik. Smyslem je nalézt dostatečný počet lineárně nezávislých rovnic pro proudy

100 Théveniova poučka I Mějme jistou větev spojující dva uzly A a B libovolně složité sítě v jsou ale obsaženy pouze pasivní prvky: zdroje a rezistory. Potom lze ukázat, že celá síť se vůči naší větvi chová jako jeden ideální zdroj elektromotorického napětí s jedním odporem zapojeným do série nebo ideální zdroj proudu s paralelní vnitřní vodivostí

101 Théveniova poučka II Toto elektromotorické napětí je principiálně možné zjistit odpojením větve a změřením napětí mezi body A a B ideálním voltmetrem naprázdno. Vnitřním odpor se určí vydělením elektromotorického napětí zkratovým proudem, který by větví tekl, kdyby obsahovala pouze ideální ampérmetr - rezistor s nulovou rezistancí. Obě veličiny a zvláště zkratový proud se ale obvykle nedají měřit přímo. Získávají se ale extrapolací tzv. zatěžovací charakteristiky

102 Théveniova poučka III Příkladem na využití Théveniovy poučky je výpočet vlastností zatíženého odporového děliče. Mějme dva rezistory R 1 a R 2 zapojené do série s ideálním zdrojem napětí. Napětí mezi jednou elektrodou zdroje a bodem mezi odpory je k celkovému napětí v určitém poměru

103 Reálné zdroje I Elektrické zdroje obsahují síly neelektrické povahy, které kompenzují vybíjení, když je dodáván proud tak, aby napětí bylo konstantní. Reálné zdroje nejsou schopny kompenzovat vybíjení úplně a jejich svorkové napětí se stává klesající funkcí proudu, který dodávají. Obvykle mají zdroje lineární chování, což je v souladu s Théveniovou poučkou. Jejich vlastnosti tedy můžeme popsat dvěma parametry

104 Reálné zdroje II Obvyklým modelem reálného zdroje je sériová kombinace ideálního zdroje s jistým konstantním napětím a ideálního rezistoru. Svorkové napětí takové kombinace v závislosti na proudu je : U(I) = - R i I Porovnáme-li chování tohoto modelu s chováním reálného zdroje, vidíme, že je svorkové napětí při nulovém odebíraném proudu, tzv. elektromotorické napětí a vnitřní odpor R i je záporně vzatý sklon celé závislosti

105 Reálné zdroje III Napětí může být nalezeno pouze extrapolací k nulovému proudu. Vidíme také, že vnitřní odpor R i lze chápat jako míru, kterou se reálný zdroj blíží zdroji ideálnímu. Čím je jeho hodnota nižší, tím více se závislost U(I) blíží konstantní a zdroj zdroji ideálnímu. Model lze použít, i když je zdroj např. nabíjen

106 9

107 Biot-Savartův zákon I Existuje mnoho analogií mezi elektrostatickým a magnetickým polem a nabízí se otázka, zda existuje vztah analogický Coulombovu zákonu, který by popisoval, jak na sebe působí dva krátké rovné kousky vodičů, protékaných proudem. Takový vztah existuje, ale právě jeho složitost je důvodem pro rozdělení problémů magnetismu na generování polí a jejich působení

108 Biot-Savartův zákon II Vše, co je potřebné pro nalezení sil, kterými na sebe působí dva makroskopické vodiče libovolné velikosti a tvaru je aplikovat princip superpozice a integrovat. V obecném případě se takovým způsobem musí postupovat, ale v případě speciální symetrie existuje analogická pomůcka, jako je Gaussova věta elektrostatiky

109 Ampèrův zákon Podobně jako v případě elektrostatického pole existuje v magnetismu zákon, který může výrazně usnadnit výpočty v případech speciální symetrie a může být také použit pro vysvětlení fyzikálních myšlenek v mnoha důležitých situacích. Je to Ampérův zákon, který dává do souvislosti integrál B přes uzavřenou křivku s proudy, které tato křivka obemyká

110 Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem I Podobně jako při použití Gaussovy věty, je Ampérův zákon jednoduše použitelný, podaří-li se najít vhodnou integrační křivku, která je všude tečná k B, čili siločáru, na níž je navíc B všude konstantní. Potom lze B vytknout před integrál, který je jednoduše délkou integrační cesty uzavřené křivky

111 Magnetické pole I Podobně jako v případě elektrických polí, přijímáme představu, že je magnetické interakce jsou zprostředkovány magnetickém polem. Od každého zdroje magnetického pole (např. magnetu) se rychlostí světla šíří informace o jeho pozici, orientaci a síle. Tato informace může být přijata jiným zdrojem. Výsledkem je silové působení mezi těmito zdroji

112 Magnetické pole II Pomocí zmagnetované jehly lze ukázat, že magnetické pole může mít v každém bodě obecně různý směr. Proto musí být popsáno vektorovou veličinou a je tedy polem vektorovým. Magnetické pole se obvykle popisuje vektorem magnetické indukce. B

113 Magnetické pole III Magnetické siločáry jsou křivky: v každém bodě tečné k vektoru magnetické indukce uzavřené a procházející zdroji polí i prostorem v jejich okolí mající směr stejný, jakým by ukazoval v daném bodě severní pól magnetky se dají snadno studovat kompasem

114 Magnetické pole IV Protože neexistují magnetické monopóly, jsou magnetické siločáry uzavřené křivky a vně magnetů připomínají pole elektrického dipólu. Přestože by bylo principiálně možné studovat přímo vzájemné působení zdrojů magnetismu, rozdělují se problémy z praktických důvodů na úlohy vytváření polí zdroji magnetismu a působení polí na zdroje magnetismu

115 Elektrické proudy jsou zdrojem magnetického pole I Prvním důležitým krokem k nalezení relace mezi elektrickým a magnetickým polem byl objev Dána Hans Christian Oersteda v roce 1820: Zjistil, že elektrické proudy jsou zdroji magnetického pole. Dlouhý přímý vodič protékaný proudem je zdrojem magnetického pole, jehož siločáry jsou kružnice se středem ve vodiči, ležící v rovinách na něj kolmých

116 Elektrické proudy jsou zdrojem magnetického pole II Tyto uzavřené kružnice vypadají, jako by byly způsobeny neviditelnými magnety. Magnetické pole kruhové smyčky protékané proudem je toroidální. Směr siločar lze určit pravidlem pravé ruky: jeli palec ve směru proudu, ukazují prsty směr siločar Později si ukážeme, čím je odůvodněno toto pravidlo a jak vypadají tato pole kvantitativně

117 Magnetické pole solenoidu I Solenoid je dlouhá cívka s mnoha závity. V případě konečného solenoidu je nutné magnetické pole počítat jako superpozici magnetické indukce vyvolané jednotlivými závity. Ukážeme výpočet pro solenoid téměř nekonečný, kdy lze zanedbat okrajové jevy a elegantně použít ampérova zákona

118 Magnetické pole solenoidu II Jako uzavřenou křivku zvolíme obdélník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné s osou solenoidu. Ze symetrie lze předpokládat, že siločáry budou paralelní s osou solenoidu. Protože se uzavřené siločáry vrací celým vesmírem jsou vně solenoidu nekonečně zředěny

119 Magnetické pole toroidu I Toroid si lze představit jako solenoid uzavřený do sebe. Protože siločáry nemohou uniknout, nemusíme dělat žádné předpoklady o jeho velikosti. Má-li toroid střední poloměr R a N závitů, protékaných proudem I, můžeme jednoduše ukázat, že pole jen v toroidu a vypočítat jaká bude jeho velikost pro určitou siločáru

120 Magnetické pole toroidu II Budeme integrovat podél siločáry o poloměru r : B 2 r = 0 NI B(r) = 0 NI/2 r Toto platí pro každé r uvnitř toroidu. Je patrné, že magnetické pole toroidu je: uvnitř nehomogenní, protože závisí na r. vně nulové

121 Mag. Intenzita Základním obecným vztahem pro intenzitu stacionárního magnetického pole buzeného (ustáleným) volným elektrickým proudem I vol je Ampérův zákon: kde integrace probíhá podle délky l libovolně zvolené uzavřené křivky c obemykající volný elektrický proud

122 10

123 Síla působící na elektrický náboj v pohybu I Protože proudy jsou pohybující se elektrické náboje, platí pro proudy vše, co platí pro náboje v pohybu. Síla, kterou působí magnetické pole o indukci F na náboj q, pohybující se rychlostí je popsána B Lorentzovým vztahem: v F q( v B)

124 Síla působící na elektrický náboj v pohybu II Obecněji se Lorentzovou silou nazývá síla, která zahrnuje společné působení elektrických a magnetických sil: F q[ E ( v B)] Tento vztah může být považován za definici elektrických a magnetických sil a může být i počátečním bodem pro jejich studium

125 Síla působící na elektrický náboj v pohybu III Lorentzova síla je centrem celého elektromagnetismu. Vrátíme se k ní probráním několika příkladů a zjistíme, že pomocí ní lze jednoduše vysvětlit téměř všechny elektromagnetické jevy. Nyní si ukážeme, jak je magnetické pole generováno kvantitativně

126 Pohybující se náboj v magnetickém poli I Vstřelme nabitou částici q, m rychlostí v kolmo do homogenního magnetického pole o indukci B. Velikost síly působící na částici je F = qvb a její směr můžeme najít z vlastností vektorového součinu FvB musí tvořit pravotočivý systém. Protože F je kolmá k v, bude neustále měnit směr pohybu, ale nikoli velikost rychlosti a výsledný pohyb částice bude kruhový

127 Pohybující se náboj v magnetickém poli II Výsledný pohyb je analogický pohybu planetárnímu. Lorentzova síla musí být silou dostředivou kruhového pohybu : mv 2 /r = qvb Obvykle se měří r, aby se identifikovaly částice nebo našly jejich parametry : v 1 r q m B r je úměrné velikosti rychlosti a nepřímo úměrné specifickému náboji a magnetické indukci

128 Pohybující se náboj v magnetickém poli III Tento vztah je základem pro identifikaci částic například v mlžné komoře, používané v částicové fyzice. Můžeme okamžitě určit polaritu částice. Jsou-li dvě částice stejné, má ta s větším r větší rychlost a energii. Jsou-li stejné rychlosti, má částice s větším specifickým nábojem menší r

129 Mlžná komora Wilsonova mlžná komora je fyzikální přístroj umožňující pozorovat dráhy elektricky nabitých částic. Částice prolétávající vzduchem obsahujícím podchlazené páry v něm zanechávají stopu v podobě vysrážených kapiček vody. Tyto stopy lze následně vyfotografovat

130 Hmotová spektroskopie I Výše popsané principy jsou také základem významné analytické metody hmotnostní spektroskopie, která funguje následovně : Analyzovaný vzorek je separován, např. GC a ionizován. Ionty se urychlí a nechají prolétnout rychlostním filtrem Nakonec vletí kolmo do magnetického pole a měří se množství částic v závislosti na poloměru dráhy

131 Hmotová spektroskopie II Výsledkem je množství částic v závislosti na specifickém náboji, z něhož lze, alespoň principiálně rekonstruovat chemické složení analyzované látky. Moderní hmotnostní spektroskopy obvykle pracují s proměnným polem, aby poloměr r byl konstantní a svazek částic dopadal po stejné dráze do velice citlivého detektoru. Základní princip ale zůstává stejný

132 11

133 Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem I Podobně jako při použití Gaussovy věty, je Ampérův zákon jednoduše použitelný, podaří-li se najít vhodnou integrační křivku, která je všude tečná k B, čili siločáru, na níž je navíc B všude konstantní. Potom lze B vytknout před integrál, který je jednoduše délkou integrační cesty uzavřené křivky

134 Proudova smyčka Magnetické pole solenoidu. dostatečně dlouhého, aby bylo možné zanedbat okrajové efekty, najdeme pomocí ampérova zákona. Jednotlivé závity můžeme chápat jako spolupracující proudové smyčky. Ze symetrie lze předpokládat, že siločáry jsou paralelní s osou solenoidu.

135 Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem II Mějme přímý dlouhý vodič protékaný proudem I. Předpokládáme, že B(r) je osově symetrická a vodič je přirozeně osou symetrie. Siločáry jsou kružnice a tedy naše integrační cesta bude kružnice s poloměrem r, která prochází bodem, kde chceme zjistit velikost magnetického pole. Potom: 2 rb( r) I B( r) 0I 2 r

136 Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem III Vektory magnetické indukce jsou tečné ke kružnicím, jejichž centrem je vodič, které jsou tudíž siločaramy, a klesá s první mocninou vzdálenosti. To je situace podobná jako u elektrostatického pole dlouhého nabitého vodiče. Ovšem siločáry elektrického pole jsou radiální, zatímco siločáry pole magnetického jsou kružnice, tedy jsou navzájem v každém bodě kolmé

137 Ampérův zákon pro sílu v magnetickém poli Zákon formulovaný v diferenciálním vektorovém tvaru stanoví sílu, kterou působí magnetické pole o magnetické indukci na element lineárního elektrického vodiče o délce a směru protékaného elektrickým proudem. Tento vztah lze zapsat rovnicí (element vodiče je orientován ve směru protékajícího proudu).pro homogenní magnetické pole a přímkový vodič lze vztah zjednodušit na tvar pro celkovou sílu kde je tzv. aktivní délka vodiče, tj. ta část, která zasahuje do magnetického pole, a úhel, který svírá směr vodiče se směrem magnetických indukčních čar (tedy směrem vektoru magnetické indukce). Orientace síly je dána Flemingovým pravidlem levé ruky

138 12

139 Úvod do magnetismu Magnetické a elektrické jevy jsou známy mnoho tisíc let, ale až v 19. století byla nalezena jejich blízká vzájemná příbuznost. Hlubšího porozumění bylo dosaženo, až když byla formulována speciální teorie relativity, na začátku 20. století. Studium magnetických vlastností látek je doposud oblastí aktivního výzkumu

140 Permanentní magnety I Matematický popis magnetických polí je podstatně složitější než je tomu u polí elektrických. Vhodné je začít kvalitativním popisem jednoduchých magnetických jevů. Již dlouhou dobu je známo že jisté materiály na sebe mohou působit silami dalekého dosahu

141 Úvod do magnetických vlastností látek I Magnetické vlastnosti látek jsou složitější než vlastnosti elektrické i v mikroskopickém měřítku. Tam existovaly vodiče, ve kterých bylo pole nulové a dielektrika, v nichž se vždy zeslabilo. Jemnější efekty musely být studovány s využitím dalších efektů, např. závislosti na teplotě nebo frekvenci

142 Úvod do magnetických vlastností látek II Je-li látka vložena do vnějšího magnetického pole, jistým způsobem se zmagnetizuje a objeví se v ní vnitřní magnetické pole, které lze chápat jako hustotu magnetických dipólových B m momentů : m B m Objem V je malý makroskopicky, V ale velký mikroskopicky

143 Úvod do magnetických vlastností látek III Celkové magnetické pole v látce lze potom napsat jako superpozici pole vnitřního a pole původního : Můžeme-li předpokládat B Blineární 0 B m chování, platí : Materiálový parametr B m je B m m magnetická 0 susceptibilita, která může tentokrát být větší i menší než nula

144 Úvod do magnetických vlastností látek IV Dosadíme do první rovnice : B ( 1 m) B0 rb0 a definujeme relativní permeabilitu r. Celková (absolutní) permeabilita je definována jako : = 0 r Pole dlouhého solenoidu s jádrem lze například napsat jako :. B ni

145 Úvod do magnetických vlastností látek V Existují tři možné typy magnetického chování. Vnější magnetické pole může být : zeslabeno ( m < 0 nebo r < 1), tato vlastnost se nazývá diamagnetismus. mírně zesíleno ( m > 0 nebo r >1), tato vlastnost se nazývá paramagnetismus výrazně zesíleno, ( m >> 0 nebo r >> 1), tato vlastnost se nazývá ferromagnetismus

146 Úvod do magnetických vlastností látek VI Může-li být materiál ferromagnetický, bude tato vlastnost dominantní a překryje jiné magnetické chování, které je mnohem slabší. Dominantní chování se ale může změnit při určité vyšší teplotě. Například ferromagnetické chování se nad Courieovou teplotou mění na paramagnetické

147 Magnetismus v mikroskopickém měřítku I Magnetické vlastnosti látek jsou otevřenou a obtížnou oblastí výzkumu. Základní typy magnetického chování ale lze ilustrovat pomocí jednoduchých modelů. Musí se začít od mikroskopických představ. Víme, že libovolný odštěpek permanentního magnetu je opět permanentním magnetem s oběma póly

148 Magnetismus v mikroskopickém měřítku II Budeme-li dělit permanentní magnet, dostaneme se jednou na atomární úroveň a je otázkou, které elementární částice jsou zodpovědné za magnetické chování látek? Ukážeme, že magnetický dipólový moment částice závisí na jejím specifickém náboji, takže dominantní magnetické chování je určeno elektrony. Existují ale experimenty citlivé na magnetické momenty atomových jader. (NMR, Neutron. D.)

149 13

150 Faradayův pokus I Michael Faraday ( ) používal dvě cívky na jednom toroidálním jádru. Pomocí zdroje vytvářel proud v první cívce a na druhou měl připojen galvanometr. Pravděpodobně nebyl první, kdo zjistil, že galvanometrem netekl proud, ať bylo magnetické pole jakkoli silné

151 Faradayův pokus II Byl ale první kdo si všiml, že galvanometr ukazoval silnou výchylku při připojení zdroje a výchylku na druhou stranu, při jeho odpojení. Správně došel k závěru, že galvanometr nereaguje pouze na přítomnost magnetického pole, ale na jeho časové změny

152 Faradayův zákon I Elektromagnetickou indukci obecně popisuje Faradayův zákon, který říká, že velikost indukovaného elektromotorického napětí v určitém obvodu je rovna velikosti časové změny magnetického toku tímto obvodem: d m d( B s) U Znaménko minus popisuje dt orientaci dt napětí, což popisuje zvláštní zákon (pravidlo)

153 Faradayův zákon II Magnetický tok je skalární součin vektoru magnetické indukce B a vektoru normály plošky s. Principiálně se mohou v čase měnit nezávisle tři veličiny: B například v transformátorech s například v příkladu s tyčkou vzájemná poloha a generátory s B

154 Lenzův zákon Lenzův zákon se zabývá orientací indukovaného elektromotorického napětí: Indukované elektromotorické napětí vyvolá proud takového směru, že magnetické pole, jím vyvolané, působí proti změně magnetického toku, která ho vyvolala. Není-li obvod uzavřen, můžeme si jeho uzavření, abychom určili směr proudu, představit

155 Přenos energie Elektromagnetická indukce je základem výroby a přenosu elektrické energie. Výhoda je, že elektrická energie je vyráběna v elektrárnách, efektivně a na vhodném místě a potom je relativně snadno přenášena na místo spotřeby, které může být značně vzdáleno. Princip lze ukázat na naší vodivé tyčce

156 Překonávání momentu síly I Lze očekávat, že podobně jako je nutné překonávat sílu při translačním pohybu tyčky, je nutné při její rotaci překonávat moment síly. Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé tyčce. Musíme změnit translační veličiny na rotační : P = Fv = T

157 Překonávání momentu síly II Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky L, která se může otáčet kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B, proud I, působí na ni moment síly. Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat

158 Překonávání momentu síly III Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce rezistorem R, poteče proud I = U /R. V důsledku principu superpozice musíme tím pádem při rotaci překonávat moment síly. Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí musíme dodat výkon : P = T = BIL 2 /2 = U I, který je opět roven výkonu, jenž se na rezistoru R změní v teplo

159 Princip elektromotoru I Z výše uvedeného vidíme, že rotační i translační pohyby vedou k obdobným závěrům. Proto se zatím bez újmy na obecnosti vrátíme k vodivé tyčce, která se může pohybovat přímočaře a bez tření po kolejnicích. Nechť je tyčka v klidu a ke kolejnicím připojíme vnější zdroj. Poteče rozběhový proud I 0, daný napětím zdroje U a rezistancí obvodu R : I 0 = U/R

160 Princip elektromotoru II Jemu odpovídá jistá rozběhová síla : F 0 = BlI 0 = BlU/R Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v obvodu, stejně jako kdyby tyčkou pohyboval vnější činitel, elektromotorické napětí. Jeho velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle Lentzova zákona. Nazýváme ho proto elektromotorické proti-napětí (counter EMF)

161 Princip elektromotoru III Za pohybu bude celkový proud superpozicí původního proudu a proudu způsobeného elektromotorickým proti-napětím a zjevně závisí na rychlosti tyčky: I(v) = [U - U (v)]/r = (U vbl)/r Síla působící na tyčku potom závisí právě na tomto celkovém proudu : F(v) = BlI(v)

162 Princip elektromotoru IV Není-li tyčka mechanicky zatížena bude se zprvu pohybovat zrychleně. S rostoucí rychlostí se ale zvětšuje indukované elektromotorické napětí, tím i protiproud a tedy se snižuje celkový proud a tudíž i síla, působící na tyčku. Děj vede k rovnováze, při které napětí indukované je rovno napětí zdroje. Zde mizí proud a tedy i síla a tyčka se dále pohybuje rovnoměrně tzv. volnoběžnou rychlostí v e = U/Bl

163 Princip elektromotoru IV Volnoběžná rychlost volné tyčky v e tedy závisí na napětí zdroje U. Předpokládejme dále, že tyčka je zatížena jistou silou v intervalu od nuly po sílu rozběhovou F (0, F 0 ) S rostoucí zátěží proud lineárně poroste a rychlost bude lineárně klesat : I = F/Bl v = (I 0 -I).R/Bl

164 Princip elektromotoru V Úpravou původního vztahu pro proud získáme zajímavou informaci o výkonech : I = I 0 Bvl/R Bvl/R = I 0 I rozšíříme proudem I a zavedeme sílu F = BIl P m = Fv = RI 0 I RI 2 = UI RI 2 = P P z

165 Princip elektromotoru VI Mechanický výkon P m = Fv nabývá maxima při síle F = F 0 /2. Zde jsou také proud a rychlost rovny polovině svých rovnoběžných hodnot. Ohmický ztrátový výkon P z = RI 2 roste kvadraticky s růstem zátěže i proudu. Výkon zdroje P, který je jejich součtem, roste lineárně. Efektivita výkonu P m /P lineárně klesá. K obdobným závěrům lze dojít i u elektromotorů otáčivých

166 Princip elektromotoru VII Elektromotory bývají obvykle optimalizovány na maximální mechanický výkon: Jejich pracovní otáčky jsou polovinou otáček volnoběžných a pracovní proud je polovinou proudu rozběhového. Na tyto parametry je navrženo chlazení, aby je motor mohl dlouhodobě vydržet. Chlazení obvykle souvisí s otáčkami a je-li motor přetížen a velmi se zpomalí nebo dokonce zastaví, spálí se, přestože proud je necelým dvojnásobkem proudu pracovního

167 14

168 Vlastní indukčnost I Viděli jsme, že po připojení volné vodivé tyčky, ponořené do magnetického pole, objevuje se elektromotorické protinapětí, které má opačnou polaritu než napět budící. Dokonce i jednoduchý obvod realizovaný smyčkou vodiče bez vnějšího magnetického pole se bude chovat kvalitativně stejně

169 Vlastní indukčnost II Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý proud. Je vlastně ponořen do magnetického pole generovaného tímto jeho vlastním proudem. Chceme-li v tomto okamžiku změnit proud, měníme magnetické pole a tím i magnetický tok a objevuje se elektromotorické napětí, vyvolávající proud jehož účinky působí proti změně, o níž se snažíme. Chceme-li proud zvýšit, musíme konat práci, dokonce příslušnou rychlostí

170 Vlastní indukčnost III Uděláme-li v obvodu N závitů, tento efekt se N krát znásobí. Lze očekávat, že elektromotorické napětí indukované v tomto případě závisí na: geometrii vodiče a vlastnostech okolního prostoru rychlosti změny proudu Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu zahrnout do veličiny zvané (vlastní) indukčnost (cívky) L

171 Vzájemná indukčnost I Dvě cívky blízko sebe, se mohou ovlivňovat prostřednictvím magnetického pole. Toto ovlivňování popisujeme vzájemnou indukčností. Jedná se o celkový tok v jedné cívce jako funkce proudu v cívce druhé. Mějme dvě cívky N i, I i na společném jadře nebo blízko sebe. Budiž 21 tok v každém závitu cívky 2, způsobený proudem v cívce

172 Vzájemná indukčnost II Potom definujeme vzájemnou indukčnost M 21 jako celkový tok ve všech závitech cívky 2 na jednotkový proud (1 ampér) v cívce 1: M 21 = N 2 21 /I 1 I 1 M 21 = N 2 21 Indukované napětí ve 2. cívce přímo z Faradayova zákona a s použitím vzájemné indukčnosti je : U 2 = - N 2 d 21 /dt = - M 21 di 1 /dt Použití M 21 má smysl, když se vzájemné působení cívek nemění v čase. Obecně závisí na geometrii obou cívek a vlastnostech prostředí mezi nimi

173 Vzájemná indukčnost III Lze dokázat, že vzájemná indukčnost obou cívek je stejná M 21 = M 12. Skutečnost, že proud v jedné cívce indukuje napětí v cívce druhé, má řadu praktických aplikací. Používá se například k napájení kardiostimulátorů, aniž by se vedly vodiče tkání. Nejdůležitějším využitím jsou transformátory

174 Transformátor I Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí jedna, dvě nebo více cívek stejný (časově proměnný) magetický tok. Cívka, ke které je připojeno vstupní napětí a která tento tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární. (Existují i autotransformátory s jednou cívkou a odbočkami) Transformátory se užívají hlavně k převodu napětí a proudu nebo přizpůsobení vnitřního odporu (impedančnímu přizpůsobení)

175 Transformátor II Ilustrujme princip funkce transformátoru na jednoduchém typu se dvěma cívkami, které mají N 1 a N 2 závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelný proud. Vstupní napětí musí být časově proměnné. Každým jedním závitem každé cívky prochází stejný tok a indukuje se v něm elektromotorické napětí U 1 : U 1 = - d /dt

176 Transformátor III Připojíme-li k primární cívce napětí U 1, bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu: U 1 = N 1 U 1 Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů: U 2 = N 2 U

177 Úvod do střídavých proudů I Střídavé proudy jsou obecně proudy, které se mění v čase a občas mění svůj směr. V průběhu času tedy náboj teče oběma směry (EKG). Střídavými proudy (AC alternating currents) se často myslí důležitá podskupina: proudy periodické a harmonické. Ovšem i proudy jiných průběhů např. obdélníkový nebo trojúhelníkový (pilový) mají velký praktický význam

178 Úvod do střídavých proudů II Nejprve budeme definovat určité střední hodnoty, které umožní jednoduše popsat důležité vlastnosti střídavých proudů. Později se soustředíme na periodické proudy harmonického průběhu, protože: se hojně vyrábějí a užívají. každou funkci lze vyjádřit jako řadu nebo integrál harmonických funkcí a proto dědí jejich některé vlastnosti

179 Střední hodnota I Střední hodnota <f> časově závislé funkce f(t) je konstantní hodnota, která má za určitý čas stejný integrál jako funkce f(t). Například střední proud je konstantní proud, který by za určitou dobu přenesl stejný náboj jako střídavý proud, o jehož střední hodnotu se jedná

180 Střední hodnota II Je možné snadno ukázat, že střední hodnota harmonického napětí nebo proudu je nulová, zatímco u usměrněného napětí není. Znamená to, že náboj se nepřenáší, ale pouze osciluje a energie, která přenášena je, je skryta právě v oscilacích

181 Efektivní hodnota I Při práci se střídavými veličinami je užitečný jestě další druh střední hodnoty hodnota efektivní. Teče-li střídavý proud rezistorem, jsou tepelné ztráty v něm úměrné druhé mocnině proudu. Ztráty tedy nezávisí na směru, kterým je přenášen náboj

182 Efektivní hodnota II Efektivní hodnota f ef časově závislé funkce f(t) je konstantní hodnota, která má za nějaký čas stejné teplotní účinky jako časově závislá funkce. Budeme například napájet žárovku časově proměnným proudem I(t). Kdybychom ji nápajeli konstantním stejnosměrným proudem o velikosti I ef, svítila by se stejným jasem. Efektivní hodnota se často nazývá hodnota střední kvadratická a značí f rms z angl. root mean square

183 Výkon střídavého proudu Výkon v každém okamžiku je součin proudu a napětí: P(t) = U(t) I(t) = U 0 sin( t)i 0 sin( t + ) Střední hodnota výkonu závisí na fázovém posunu mezi napětím a proudem: <P> = U ef I ef cos Výraz cos se nazývá účiník

184 15

185 Voltmetry a ampérmetry I Měření napětí a proudů je důležité nejen ve fyzice a elektrotechnice, ale v mnoha jiných oblastech vědy a technologie, protože většina veličin se převádí na veličiny elektrické (například teplota, tlak...). Je to proto, že elektrické veličiny se snadno přenáší i měří

186 Konstrukce V- a A- metrů I Základem ručkových přístrojů je galvanometr. Je to velice citlivý voltmetr i ampérmetr. Je obvykle charakterizován, proudem při plné výchylce a vnitřním odporem. Obdobné parametry, maximální proud nebo napětí a vnitřní odpor má i centrální jednotka přístrojů digitálních. Měřený obvod vnímá měřící přístroj právě jako odpor. Měřící přístroj můžeme tedy chápat jako inteligentní odpor, který ukazuje, jaký jím teče proud nebo jaké je na něm napětí

187 Konstrukce V- a A- metrů II Mějme galvanometr s proudem při plné výchylce I f = 50 A a vnitřním odporem R g = 30. Z ohmova zákona je napětí při plné výchylce U f = I f R g = 1.5 mv Chceme-li měřit větší proudy, musíme galvanometr přemostit tzv. bočníkem, který odvede přebytečný proud mimo

188 Konstrukce V- a A- metrů III Například chceme měřit proud I 0 = 10 ma. Jedná o paralelní zapojení, je U f = 1.5 mv a bočníkem musí procházet proud I = ma, takže jeho odpor je R p = a celkový vnitřní odpor přístroje je R = Je tedy blíže ideálnímu ampérmetru, než vlastní galvanometr. Bočníky mají zpravidla malý odpor, ale musí být přesný a vydržet velké proudy

189 Použití V- a A- metrů I Voltmetry a ampérmetry mají konečný vnitřní odpor a proto zatěžují měření systematickou chybou. Jak by se chovaly ideální přístroje? Voltmetry se zapojují paralelně. Aby přitom neovlivnily měřený obvod, měly by mít nekonečný vnitřní odpor. Ampérmetry se zapojují sériově. Aby neovlivnily obvod, musí na nich být nulový spád napětí a tedy musí mít vnitřní odpor nulový

190 Použití V- a A- metrů II Měřme odpor metodou přímou. Můžeme použít dvou zapojení. V prvním je napětí měřené správně, ale vnitřní odpor voltmetru způsobuje, že ampérmetr měří větší proud než teče měřeným odporem. Hodnota rezistoru vyjde menší. Toto zapojení může být použito pro měření malých odporů, kdy je chyba zanedbatelná

191 Použití V- a A- metrů III Ve druhém zapojení se měří správně proud, ale vnitřní odpor ampérmetru způsobuje, že měřené napětí je vyšší než napětí na měřeném rezistoru. Jeho hodnota pak vychází vyšší. Toto zapojení lze použít pro měření velkých odporů. Vnitřní odpory přístrojů lze určit kalibrací

192 Wheatstonův můstek I Jedna z nejpřesnějších a nejsprávnějších metod měření rezistance používá Wheatstonův můstek. Jsou to v principu rezistory zapojené do čtverce. Jeden z nich je neznámý. Ostatní tři jsou známé a navíc alespoň jeden z nich musí být (definovaně) proměnný. V jedné diagonále je napájecí zdroj a ve druhé galvanometr. Ten měří proud v diagonále a tedy vlastně i napětí mezi body, kde je připojen

193 Wheatstonův můstek II V průběhu měření se mění hodnota proměnného odporu s cílem můstek vyrovnat, což znamená, že galvanometrem neteče měřitelný proud. To je možné pouze, když jsou potenciály v bodech a a b stejné: I 1 R 1 = I 3 R 3 a I 1 R 2 = I 3 R 4 po vydělení R 2 /R 1 = R 4 /R 3 e.g. R 4 = R 2 R 3 /R

194 16

195 Obecné střídavé obvody I Je-li v obvodu více elementů R, C, L, je možné vždy principiálně sestavit odpovídající integrální a diferenciální rovnice. Problémem je komplikovanost příslušných rovnic i ve velmi jednoduchých případech. Naštěstí existuje několik způsobů, jak problém elegantně zjednodušit

196 Obecné střídavé obvody II Řešení střídavých obvodů, napájených jedním zdrojem nebo více zdroji se stejnou frekvencí, je dvojrozměrný problém. Napájíme-li obvod napětím U 0 sin t, budou napětí a proudy záviset na čase také jako t. Je tedy nutné a postačující popsat každou veličinu v každé větvi dvěma parametry, velikostí a fází

197 RC v sérii Ilustrujme použití aparátu na sériové kombinaci RC : Proud I, společný pro oba R a C, budeme považovat za reálný. Z = Z R + Z C = R j/ C Z = (ZZ*) 1/2 = (R 2 + 1/ 2 C 2 ) 1/2 tg = 1/ RC < 0 kapacitní zátěž

198 RL v sérii Nyní mějme R a L, zapojené do serie: Proud I, společný pro oba R a L, bude opět reálný. Z = Z R + Z L = R + j L Z = (ZZ*) 1/2 = (R L 2 ) 1/2 tg = L/R > 0 induktívní zátěž

199 RC paralelně Nyní mějme R a L zapojené paralelně: Napětí U, společné pro oba R i C, bude nyní reálné. Y = Y R + Y C = 1/R + j C Y = (YY*) 1/2 = (1/R C 2 ) 1/2 tg = [ C/R] < 0 opět kapacitní zátěž

200 RLC v sérii I Nyní mějme R, L a C zapojené do série: Opět proud I je společný pro všechny R, L, i C a bude reálný. Z = Z R + Z C + Z L = R + j( L - 1/ C) Z = (R 2 + ( L - 1/ C) 2 ) 1/2 Nyní může být celková zátěž buď induktivní pro: L > 1/ C > 0 nebo kapacitní pro: L < 1/ C <

201 RLC v sérii II Objevuje se nový jev rezonance, když : L = 1/ C 2 = 1/LC imaginární složky se vykompenzují a celý obvod se chová jako čistá rezistance. Z a U mají minimum, zatímco I má maximum lze ji dosáhnout nezávisle změnou L, C nebo f!

202 RLC paralelně I Mějme R, L a C zapojené paralelně: Nyní je napětí U společné všem R, L, C a bude tedy reálné. Y = Y R + Y C + Y L = 1/R + j( C - 1/ L) Y = (1/R 2 + ( C - 1/ L) 2 ) 1/2 Celková zátěž bude buď induktivní pro: L > 1/ C > 0 nebo kapacitní : L < 1/ C <

203 RLC paralelně II Opět se objevuje rezonance, je-li splněno: L = 1/ C 2 = 1/LC Opět se imaginární složky vyruší a celý obvod se chová jako čistá rezistance (nebo čistá vodivost) : Y, I mají minimum, Z,U mají maximum lze ji dosáhnout nezávisle změnou L, C nebo f!

204 Impedanční přizpůsobení. Ze stejnosměrných obvodů již víme, že potřebujeme-li přenést maximální výkon mezi dvěma obvody, musí se výstupní odpor prvního rovnat vstupnímu odporu následujícího. Ve střídavých obvodech se musí obdobně rovnat komplexní impedance. Nevyrovnaná fáze vede k odrazu!

205 Vícefázové proudy Při rozvodu elektrické energie se používá vícefázových soustav. Zcela běžný je rozvod třífázový v některých zařízeních se používá soustavy pětifázové. Výhodou jsou hlavně úspora materiálu vodičů na přenesení jednotky středního výkonu přenos otáčivé informace točivého pole

206 Obvody střídavého proudu s L I Protéká-li proud I(t) = I 0 sin t, dodávaný jistým střídavým zdrojem, indukčností L, platí v každém okamžiku druhý Kirchhoffův zákon: U(t) LdI(t)/dt =0 Napětí na indukčnosti tedy je: U(t) = LI 0 cos t = U 0 sin( t+ /2) U 0 = LI

207 Obvody střídavého proudu s L II Mezi proudem a napětím na indukčnosti je tedy fázový posun. Napětí předchází proud nebo proud je opožděn za napětím o úhel = /2. Střední výkon bude nyní nulový: <P> = U ef I ef cos = 0 Definujeme impedanci indukčnosti - induktanci: X L = L U 0 = I 0 X L

208 Obvody střídavého proudu s C I Protéká-li proud I(t) = I 0 sin t, dodávaný jistým střídavým zdrojem, kapacitou C, platí v každém okamžiku opět druhý Kirchhoffův zákon: U(t) Q(t)/C =0 To odpovídá integrální rovnici pro napětí: U(t) = I 0 / C cos t = U 0 sin( t /2) U 0 = I 0 / C

209 Obvody střídavého proudu s C II Mezi proudem a napětím na kondenzátoru je opět fázový posun. Tentokrát se proud předbíhá o úhel = /2 před napětím. Střední výkon bude opět nulový: <P> = V ef I ef cos = 0 Definujme impedanci kondenzátoru - kapacitanci: X C = 1/ C U 0 = I 0 X C

210 17

211 Maxwellovy rovnice I Základní elektromagnetické principy lze shrnout do čtyřech Maxwellových rovnic, které existují v několika verzích, a vztahu pro Lorentzovu sílu. V případě časově neproměnných polí se rozpadají na dvě nezávislé dvojice popisující elektrické a magnetické pole. Časově proměnná pole jsou spolu vázána a tvoří jedno elektromagnetické pole

212 Maxwellovy rovnice II dt d I dl B ds B dt d dl E Q ds E e m

213 Maxwellovy rovnice III První rovnice je Gaussova věta, kterou známe z elektrostatiky, říká, že : Existují zdroje elektrického pole náboje. Jsou-li náboje přítomny, začínají elektrické siločáry v kladných nábojích (nebo nekonečnu) a končí v nábojích záporných (nebo nekonečnu). Pole bodového náboje klesá jako 1/r

214 Maxwellovy rovnice IV Druhá rovnice je Faradayův zákon elektromagnetické indukce, který říká, že : Elektrické pole může vznikat také časovou změnou pole magnetického. V tomto případě není konzervativní a jeho siločáry jsou uzavřené křivky. Není-li přítomno časově proměnné magnetické pole, je elektrické pole konzervativní a existuje v něm skalární potenciál

215 Maxwellovy rovnice V Třetí rovnice je Gaussova věta magnetismu, která říká, že : Neexistují oddělené zdroje magnetického pole magnetické monopóly. Magnetické siločáry jsou uzavřené křivky. Pole proudového elementu klesá jako 1/r

216 Maxwellovy rovnice VI Čtvrtá rovnice je zobecněný Ampérův zákon, který říká, že: Magnetické pole je vytvářeno buď proudy nebo časovými změnami elektrického pole. Magnetické siločáry jsou uzavřené křivky

217 Maxwellovy rovnice VII Shrnutí: V M. rovnicích a rovnici pro Lorentzovu sílu je veškerá informace o elektromagnetismu. Z těchto rovnic vyplývá mnoho zajímavých důsledků, z nichž některé byly předpověděny: Existuje jedno elektro-magnetické pole. Pouze ve speciálním statickém případě není první dvojice rovnic propojena s druhou a elektrostatické a magnetostatické pole mohou být uvažována zvlášť. Existují elektromagnetické vlny

218 18

219 Dualismus vln a částic Elektromagnetické vlny projevují řadu vlnových vlastností, ale s rostoucí frekvencí a tedy zkracující se vlnovou délkou se u nich výrazněji projevují vlastnosti částicové - korpuskulární. Ukazuje se, že energie je kvantovaná a jeden foton nese energii danou Planckovým zákonem: hc E hf

220 Rovinné elektromagnetické vlny Důležitým typem řešení MR jsou rovinné lineárně polarizované. Pohybují-li se ve směru +x, rychlostí c, mohou být pole popsána : E = E y =E 0 sin(kx - t) B = E z =B 0 sin(kx - t) E a B jsou ve fázi vektory,, tvoří pravotočivý systém Mohou existovat s různou polarizací vlnové číslo : k = 2 / úhlová frekvence : = 2 /T = 2 f rychlost vlny : c = f = /k c E B

221 Typicky vlnové vlastnosti Na EMA vlny lze aplikovat Huygensův princip (Christian ): Každý bod, kam vlny dospějí, se stává novým zdrojem kulových vln. Nová vlna je superpozicí těchto kulových vln. Rovinná vlna, v případě přímočarého šíření je obálkou kulových vln. V případě překážek dochází k interferenci a difrakci

222 Vytváření EMA vln Protože měnící se elektrické pole vytváří pole magnetické a naopak, jsou-li jednou taková pole vytvořena, existují dál nezávisle a šíří se od svého zdroje rychlostí světla do prostoru. Může to být ilustrováno na jednoduché dipólové anténě a střídavém generátoru. Rovinné vlny existují jen daleko (ve srovnání s vlnovou délkou) od antény, kde vymizí rychle klesající dipólové pole

223 Spektrum EMA vln I Ukazuje se, že zdánlivě nesrovnatelné jevy, jako jsou radiové vlny, tepelné záření, viditelné světlo, ultrafialové záření, rentgenové záření, paprsky gama a záření kosmické jsou elektromagnetické vlny s různou vlnovou délkou a energií

224 Spektrum EMA vln II Velmi rozdílné jevy jsou způsobeny stejnými EMA vlnami, majícími pouze jinou frekvenci: Radiové vlny > 0.1 m Mikrovlny 10-1 > > 10-3 m Infračervené záření 10-3 > > m Viditelné záření > > m Ultrafialové záření > > m Rentgenové záření 10-8 > > m Gama a kosmické záření > > m

225 EMA záření v látkách I Řešení MAX může být obecně dosti složité. V nevodivých látkách jsou řešením též elektromagnetické vlny, které se ale šíří menší rychlostí než ve vakuu c Poměr c/v se nazývá index lomu. Téměř u všech dielektrik (vyjma feromagnetik) je r 1 a platí Maxwellův zákon n v c v 1 r r r r r

226 Rozhlas a TV Ve vysílači je vlna určité nosné frekvence napřed modulována přenášeným signálem. Obvykle to bývá amplitudově AM nebo frekvenčně FM. Potom je zesílena a přes anténu vyslána do prostoru. Přijímač musí mít anténu citlivou buď na elektrickou nebo magnetickou složku vlny. Jeho důležitou částí je ladící obvod, v němž se vybírá správná frekvence přijímaných vln

227 19

228 Úvod do optiky I Již od nepaměti si lidstvo klade otázku: Co je světlo? První důležité objevy byly uskutečněny ve staré Číně a v Antice, cca před třemi tisíci lety. Nyní se naše znalosti dvojnásobí téměř každý rok. Ale nejhlubší poznání se mění pomalu a původní otázka zůstává nezodpovězená

229 Úvod do optiky II Dlouhou dobu se věřilo tomu, že světlo je proud jakýchsi mikroskopických částic. Tzv. korpuskulární teorie, založená na této představě, byla podporována například Isaacem Newtonem ( ). Tento genius dovršil lidské poznání v několika oblastech (mechanika, gravitace ). Přes obrovskou autoritu, kterou měl i po své smrti, se objevily experimenty, které jasně ilustrovaly vlnové vlastnosti světla. Zhruba před sto lety se zjistilo, že světlo je přecejenom proud částic, ovšem velmi zvláštních, protože se nemohou zastavit a chovají se podle vlnového jízdního řádu

230 Úvod do optiky III Existují dvě skupiny experimentů. Jedna podporuje teorii korpuskulární, druhá částicovou. Každá z nich podporuje jednu z těchto představ. Problém, zda světlo jsou vlny nebo částice se ukázal hlubší, než se původně zdálo a zůstal nevyřešen. Protože světlo nejsou ani klasické vlny ani klasické částice. Vlnové vlastnosti byly geniálně shrnuty Jamesem Clerkem Maxwellem ( ). Nyní v řadě aplikací postačuje považovat světlo za elektromagnetické vlny s vlnovou délkou nm

231 Úvod do optiky IV Přenos energie, podobně jako absorpce a emise se uskutečňují po jistých minimálních kvantech fotonech. Jsou to částice s celočíselným spinem, tzv. bosony, u nichž není omezení na počet částic ve stejném stavu laser. Nicméně pohyb světla přes optické elementy jako čočky, otvory a štěrbiny je řízen vlnovými vlastnostmi světla

232 Odraz světla I K nalezení zákona odrazu na rovné ploše použijme Fermatův princip: Bod S bude zdroj radiálně se šířících paprsků a bod P bodem pozorování. Protože oba body jsou ve stejném prostředí (homogenním a izotropním), musí být odražený paprsek nejkratší ze všech možných. Najdeme jej, pomocí triku, kdy si promítneme jeden z bodů za zrcadlo a využijeme shodnosti vzniklých trojúhelníků

233 Odraz světla II Z jednoduché geometrie plyne, že úhel odrazu se rovná úhlu dopadu. V optice se podle konvence (obvykle) měří úhly od příslušných normál. Zákon platí pro každý element plochy. Je-li zrcadlící plocha konečné velikosti hladká, je reflexe spekulární a z bodu P vidíme ostrý obraz bodu S. Není-li plocha hladká je reflexe difúzní (papír, Měsíc). Tu nelze použít k zobrazování, zato však nese jistou informaci o struktuře povrchu

234 Refrakce I Další důležitý základní optický jev je lom záření neboli refrakce. K lomu dochází, prochází-li paprsky rozhraním z jedné fáze do druhé a tyto fáze se liší optickou hustotou. Refrakce je vždy doprovázena reflexí. Čím je materiál opticky hustší, tím je v něm menší rychlost šíření světla. Optickou hustotu charakterizujeme absolutním indexem lomu: n = c/v, kde c je rychlost světla ve vakuu a v rychlost světla v příslušné látce (fázi). Vzpomeňte si na Maxwellův zákon : n c v r r r

235 Refrakce II Pro odvození zákona lomu můžeme opět použít Fermatova principu. Nalezení paprsku, který doputuje nejrychleji z bodu S do P, je podobný problém, jako hledání časově nejkratší cesty při zachraňování tonoucího člověka, vezmeme-li v úvahu, že běžíme rychleji než plaveme

236 Refrakce III Použijeme obecnější formulace Fermatova principu, která říká, že správný paprsek je stacionární. Jinými slovy to znamená, že doba letu sousedního velice blízkého paprsku bude přibližně stejná. Ať je bod S v prostředí, kde se paprsek šíří rychlostí v 1 = c/n 1 a bod P v prostředí, kde se šíří rychlostí v 2 = c/n

237 Refrakce IV S E n 1 φ 1 n 2 X C F EC/v 1 = XF/v 2 XCsinφ 1 /v 1 = XCsinφ 2 /v 2 n 1 sinφ 1 = n 2 sinφ 2 φ 2 P

238 Refrakční optika I Refrakce se využívá ke konstrukci optických prvků a systémů. Máme-li bod S v prostředí n 1 a bod P v prostředí n 2 > n 1 můžeme použít Fermatův princip, k nalezení tvaru rozhraní, aby se všechny paprsky, vycházející z bodu S lámaly do bodu P, čili oba body byly konjugované nebo optický systém by byl vůči nim stigmatický

239 Refrakční optika II Porovnáme-li některý paprsek, který se láme s paprskem na optické ose, která oba body přímo spojuje, najdeme vztah : l 1 n 1 + l 2 n 2 = s 1 n 1 + s 2 n 2 Je také ihned vidět, že čočka z opticky hustšího materiálu musí být konvexní. Vztahu přesně odpovídá plocha čtvrtého řádu, zvaná karteziánský ovoid. Tuto plochu lze v paraxiální oblasti aproximovat plochou sférickou

240 Tenká čočka I Důležitou aproximací jsou takzvané tenké čočky. Mohou být charakterizovány jediným parametrem, ohniskovou vzdáleností f. Je to vzdálenost optického středu od ohniska F, což je bod ve kterém se sbíhají paprsky přicházející rovnoběžně s optickou osou. Vlastnosti tenké čočky jsou z obou stran stejné

241 Tenká čočka II K porozumění funkce optických přístrojů je dobré vědět, že rovnoběžné paprsky se za čočkou sbíhají v jednom bodě, i když nepřichází rovnoběžně s optickou osou. Každému směru přísluší určitý bod v ohniskové rovině a ohnisko je speciálním případem. Oftalmologové a optici charakterizují čočky pomocí síly nebo optické mohutnosti P = 1/f, vyjadřované v dioptriích 1D = 1m

242 Tenká čočka III Pro tenké čočky lze odvodit vztah (lensmaker s equation), který dává do souvislosti poloměry křivosti ploch, index lomu a ohniskovou vzdálenost čočky : 1/f = (n-1)(1/r 1 + 1/R 2 ) Musí se dodržet znaménková konvence. Je patrné, že v této aproximaci, je ohnisková vzdálenost na obou stranách čočky stejná, i při různých poloměrech křivosti

243 Lidské oko I Na lomu se nejvíce podílí (rohovka cornea n = 1.376), čočka obstarává jen jemné doostření. Kvalita zaostření a hloubka ostrosti závisí na zorničce, obě jsou lepší při menší apertůře (při větším osvětlení), protože propustí jen paraxiální paprsky. Podobného efektu lze částečně docílit zacloněním předmětu nějakou hranou. Blízký bod normálního oka je 25 cm, daleký bod je nekonečno

244 Lidské oko II Důvodem krátkozrakosti (myopie) je obvykle dlouhé oko. Daleký bod není v nekonečnu a pacienti vidí špatně na dálku, ale dobře na blízko. Při čtení si kladou předmět blíže než do konvenční vzdálenosti. Krátkozrakost lze korigovat rozptylkou. Důvodem dalekozrakosti (hypermetropie, hyperopie, presbyopie) je krátké oko nebo ztráta pružnosti čočky, která se vyvíjí také s věkem. Pacienti nedokáží zaostřit oko na blízké předměty a při čtení si kladou předmět dále než do konvenční vzdálenosti. Dalekozrakost lze korigovat čočkou spojnou

245 Lidské oko III Relaxované oko je zaostřeno na nekonečno. Proto okuláry některých přístrojů vytvářejí paralelní paprsky. Jiné optické přístroje vytvářejí virtuální obraz v konvenční optické vzdálenosti 25 cm. Příkladem jsou především brýle a mikroskopy. Do nich nebo jejich okuláru je nutné se dívat z přesné vzdálenosti. Existují na to opěrky očí. Bez opěrek je správné použití stereo-mikroskopu velice obtížné

246 Lupa Lupa se užívá : buď je předmět v ohniskové rovině a pozorujeme jej relaxovaným okem. nebo je oko těsně u čočky (alias Sherlock Holmes) a virtuální obraz se vytváří přibližně v konvenční optické vzdálenosti. Zvětšení souvisí se zvětšením zorného úhlu. Objekty nám totiž připadají tak velké, pod jakým úhlem se nám jeví na sítnici

247 Dalekohled I Jednoduchý Keplerův hvězdářský dalekohled má dvě čočky, které mají společnou ohniskovou rovinu. Tedy obrazová ohnisková rovina objektivu (téměř) splývá s předmětovou rovinou okuláru, který má kratší ohniskovou vzdálenost. Úhlové zvětšení je dáno poměrem ohniskových vzdáleností f obj /f oku. Existují dalekohledy s přímým obrazem Galileův, který má společnou zadní ohniskovou rovinu. nebo s více čočkami

248 Mikroskop Princip mikroskopu může být opět ukázán na jednoduchém typu se dvěma čočkami : Objektiv, který má nyní velmi krátkou ohniskovou vzdálenost, vytváří skutečný obraz. Ten je pozorován okulárem, tak že výsledný obraz se jeví jako zdánlivý v konvenční optické vzdálenosti. Dobré mikroskopy, podobně jako jiné kvalitní optické přístroje, bývají značně komplikované, protože je nutné kompenzovat optické vady čoček

249 Fresnelova čočka Na konci 18. století vznikla potřeba vyrábět velké spojné čočky pro námořní majáky. Augustin Jean Fresnel ( ) přišel s myšlenkou, že důležité je zakřivení povrchu čočky a vyvinul plochou čočku se zónami příslušné křivosti. Fresnelovy čočky nejsou vhodné pro kvalitní zobrazování. Zato však znamenají značnou úsporu materiálu, mají nižší absorpci a snadněji se mechanicky upevňují světlomety, semafory

250 20

251 Základy geometrické optiky I Prvním důležitým předpokladem je, že se světlo šíří ve formě paprsků. To jsou obecně křivky, podél nichž se šíří zářivá energie. V izotropních a homogenních materiálech jsou paprsky přímkami, které jsou kolmé k vlnoplochám. V dané aproximaci mohou být tyto křivky studovány čistě geometricky. Předměty principiálně emitují záření, které pozorujeme. Příčiny emise mohou být různé. V GO obvykle uvažujeme, že předměty odrážejí dopadající záření

252 Základy geometrické optiky II Je relativně snadné stopovat paprsky (ray tracing), tedy sledovat jejich průchod optickým systémem a vlnoplochy a ostatní parametry zobrazení mohou být rekonstruovány dodatečně. Paprsky se řídí zákonem reciprocity: prochází-li paprsek (jednoduchým) optickým systémem jedním směrem, může procházet přesně po stejné dráze i směrem opačným. To je jeden z důsledků Fermatova principu

253 Fermatův princip I Fermatův princip je vhodný základ pro vysvětlení jednoduchých, ale i těch nejsložitějších optických jevů. Říká: Světlo z bodu S do bodu P musí procházet po optické dráze, která je stacionární vůči variacím dráhy

254 Fermatův princip II Vyplývá to z vlnových vlastností záření, kde lze ukázat, že vlny pohybující se po dráhách blízkých skutečnému chodu paprsku, s ním musí být téměř ve fázi. Často platí zjednodušená formulace, že skutečná dráha je ta, po níž putuje paprsek nejkratší dobu. V homogenním a izotropním prostředí se jedná o nejkratší dráhu, což odpovídá přímočarému šíření světla

255 Hranice geometrické optiky I Přestože je optika široká a složitá disciplína, pro mnoho praktických aplikací lze uvažovat první přiblížení geometrickou optiku. V ní lze jevy popisovat čistě geometricky pomocí paprsků, které dědí určité vlastnosti vln: přímočaré šíření nezávislost reciprocita Geometrická optika přestává být dobrou teorií v okamžiku, kdy začnou hrát významnou roli částicové nebo vlnové vlastnosti světla

256 Hranice geometrické optiky II Typicky vlnové vlastnosti začínají hrát roli, když je velikost optických elementů srovnatelná s vlnovou délkou světla. Tato situace nastává vždy u radiových vln a mikrovln. V optice viditelného světla je limitním faktorem pro rozlišení optických přístrojů. Částicové vlastnosti elektromagnetických vln se projevují hlavně u vyšších energií. Viditelné světlo je bohužel právě na hranici

257 Hranice geometrické optiky III Popis geometrickou optikou může být použit tam, kde lze vlnovou délku záření považovat za nulovou, rychlost za nekonečnou a energii za malou vzhledem k použitým materiálům (lze například zanedbat fotoelektrický jev). Tyto podmínky obvykle splňuje viditelné světlo nízkých intenzit

258 Typicky vlnové vlastnosti Na EMA vlny lze aplikovat Huygensův princip (Christian ): Každý bod, kam vlny dospějí, se stává novým zdrojem kulových vln. Nová vlna je superpozicí těchto kulových vln. Rovinná vlna, v případě přímočarého šíření je obálkou kulových vln. V případě překážek dochází k interferenci a difrakci

259 Ideální optický systém I Optickým systémem se snažíme zaostřit všechny paprsky vycházející z určitého bodu S v předmětovém prostoru do jediného bodu P v prostoru obrazovém. Je-li toho dosaženo, říkáme že zobrazení je pro body v těchto prostorech ostré neboli stigmatické. Ideální optický systém by ostře zobrazoval určitou třírozměrnou podmnožinu předmětového prostoru do jisté třírozměrné oblasti prostoru obrazového. Vzhledem k reciprocitě jsou oba prostory záměnné

260 Ideální optický systém II Vlastnosti reálného optického systému by se měly ideálnímu co nejvíce přibližovat. Navíc by mělo být snadné určit chod paprsků a díky jednoduché parametrizaci by měla existovat jednoduchá rovnice popisující vztah předmětu a obrazu. Optické systémy jsou založeny na odrazu (reflexi), lomu (refrakci) nebo difrakci záření

261 Disperze I Průhledné látky mají zajímavou vlastnost: Rychlost světla v nich a tedy i jejich index lomu závisí na vlnové délce procházejícího záření. Znamená to, že světlo (záření) každé vlnové délky se láme pod trochu jiným úhlem. Geometrická optika tedy neplatí přesně u refrakce ani v prvním přiblížení. Problém ale obvykle řeší korekcemi v rámci g.o

262 Disperze II Jev disperze komplikuje vývoj optických systémů. Na druhé straně dává možnost rozkládat viditelné světlo a blízké IČ a UV záření do různých vlnových délek, což má velký význam například u spektroskopických metod. Ty lze provádět i u nesmírně vzdálených objektů a např. z Dopplerova jevu zjišťovat navíc jejich relativní pohyb. I romantická duha je způsobena mimo jiné disperzí

263 21

264 Zákony záření černého tělesa Definice absolutně černého tělesa: Je to těleso, absorbující veškeré dopadající záření bez ohledu na jeho vlnovou délku. V tepelné rovnováze s okolím je dopadající energie za jednotku času na jednotku plochy rovna energii vyzářené. Spektrální zářivost: R(λ,T) je energie, vyzářená jednotkou plochy za jednotku času, vztažená na jednotkový interval vlnových délek při teplotě T. Zářivost: (9)