Determining the Risk Free Yield Curve in Business Valuation from the Interest Rate Swap

Transkript

1 VŠB-TU Ostrava, faculty of ecoomics, fiace epartmet 6 th 7 th September 0 Determiig the isk Free Yiel Curve i Busiess Valuatio from the Iterest ate Swap Staoveí bezrizikové výosové křivky ve výosovém oceňováí poiků za použití IS Pavel Pláička Abstract This article summarizes i etail the use of yiel curves as the risk-free rate of retur i busiess valuatio. Base o the aalysis of historic ata, I coclue that the iterest rate swap is well applicable as up-to-ate iformatio o the yiel curve. Key wors isk-free rate of retur, yiel curve, market iterest rate, yiel to maturity, IS, iterest rate swap, govermet bos, bootstrappig JEL Classificatio: G, G30. Úvo V rámci tohoto čláku se zabývám etailím rozborem ílčího parametru iskotí míry požívaé při hooceí ivestic a výosovém oceěí poiku a aktiv bezrizikové výosové míry (r F. Cílem příspěvku je avázat a rozbor teoretických výchoisek pro staoveí r F publikovaý v textu Pláička (0 a oložit, že pro staoveí r F při výosovém oceěí v pomíkách České republiky je vhoé použít úrokové swapy (IS iterest rate swap jako sao ostupý zroj iformací o hootách bezrizikové výosové křivky. Prví část ásleujícího textu shruje argumety poporující použití výosové křivky jako veličiy, která ejlépe z praktického i teoretického hleiska splňuje kritéria bezrizikové výosové míry. V ruhé části textu okláám vhoost použití úrokových swapů při ovozeí bezrizikové výosové křivky íky jejich schoposti kopírovat aktuálí spotovou výosovou křivku České republiky. Čláek je zpracová jako jee z výstupů výzkumého projektu Oceňováí specifických poiků registrovaého u Iterí gratové agetury Vysoké školy ekoomické v Praze po registračím číslem F/4/00 (IG Ig. Pavel Pláička, Katera fiací a oceňováí poiku, Fakulta fiačí a účetictví, VŠE v Praze; Corporate Fiace aiffeisebak, a. s.; pavel.plaicka@vse.cz.

2 VŠB-TU Ostrava, faculty of ecoomics, fiace epartmet 6 th 7 th September 0. Výosová křivka jako záklaí bechmark bezrizikové výososti při výosovém oceěí poiku. Zásaí výzam výosové křivky Výosovou křivkou (yiel curve, term structure of iterest rates se rozumí závislost výososti luhových istrumetů a obě o splatosti. Výosová křivka je záklaí ástroj ejeom při oceňováí aktiv a pasiv a ivestičím rozhoováí, ale i při aalýze fiačích trhů a makroekoomické situace aé ekoomiky, jelikož je jeím z ejlepších iikátorů aktuálích ekoomických pomíek. Výosová křivka ovozeá z tržích ce státích luhopisů přestavuje záklaí bechmarkovou strukturu úrokových (spotových sazeb, které jsou ivestoři ochoti v aém okamžiku a trhu akceptovat.. Negativa použití kostatí bezrizikové výosové míry Výosová křivka má ůležitou úlohu i při staoveí iskotí míry ve výosovém oceňováí poiků, ky přestavuje bezrizikovou výosovou míru (r F. Výosová křivka je v praxi obvykle suplováa výosem o splatosti louhoobého státího kupoového luhopisu (reálě jsou ostupé luhopisy s životostí 0 až 30 let, což elze považovat za vhoé řešeí. Přijetím tohoto zjeoušujícího přístupu se ztrácí přesá iformace o vývoji hooty ivestice v průběhu pláovaého ivestičího horizotu a ále ochází k porušeí teoretických kritérií bezrizikové výosové míry a bezrizikového aktiva. Pro připomeutí uváím, že efiice bezrizikového aktiva souvisí s pricipem měřeí rizika při ivestičím rozhoováí, ky je riziko chápáo jako volatilita skutečého výosu oproti očekávaému výosu. Má-li být aktivum bezrizikové (Pratt 998, musí se skutečý výos vžy rovat očekávaému výosu. Damoara (00, Brigham (007 i Pratt (008 se shoují, že bezriziková ivestice (i esmí poléhat jakémukoliv efaultímu riziku emiteta, (ii esmí poléhat likviímu riziku a (iii esmí poléhat reivestičímu riziku 3. Více o teoretických výchoiscích r F viz. Pláička (0..3 Charakteristika výosové křivky Existuje více ruhů výosových křivek v závislosti a charakteristice úrokových sazeb, ze kterých se skláá, ivestičích istrumetů, ze kterých je ovozea, a emitetů těchto istrumetů. Účastíci fiačích trhů sleují zejméa spotovou výosovou křivku, fiačí istituce se však zabývají i par výosovou křivkou. Pole emiteta luhových ástrojů (Jílek 009, ze kterých je výosová křivka ovozea, rozlišujeme státí výosovou křivku (bezriziková výosová křivka a bakoví výosovou křivku. V závislosti a typu úrokových sazeb použitých ke kostrukci výosové křivky rozlišujeme ásleující výosové křivky. Spotová výosová křivka (spot yiel curve, zero-cupo yiel curve je mometálí závislost výosu zero-boů a obě o splatosti. Forwarová výosová křivka je oha výosové křivky k určitému atu v buoucosti. Obvykle se ovozuje o spotové výosové křivky. Par výosová křivka je mometálí závislost výososti o splatosti (tj. v aém 3 eivestičí riziko je riziko poklesu očekávaého výosu z ivestice o obligací v ůsleku změ úrokových měr v okamžiku reivestice peěžích prostřeků plyoucích z ržeí luhopisu (kupoové platby v průběhu životosti a jistia v obě splatosti luhopisu. Aby výos epoléhal reivestičímu riziku, musí platit, že se ivestorovi poaří reivestovat přijaté peěží toky pře koečou splatostí luhopisu (kupóové platby za výos shoý s výosem o oby splatosti. Teto přepokla je ovšem ereálý, jelikož trží úrokové míry se eustále měí. Vziká tak reivestičí riziko, které při striktím oržeí kritérií bezrizikové ivestice vylučuje, aby byl výos o splatosti kupóového luhopisu považová za bezrizikovou výosost.

3 VŠB-TU Ostrava, faculty of ecoomics, fiace epartmet 6 th 7 th September 0 přípaě kupóové míry kupóových luhopisů o reálé hootě, která se rová jmeovité hootě luhopisů. Příklaem, i kyž e zcela přesým, je swapová výosová křivka (swap yiel curve, která vyjařuje závislost kotace úrokového swapu a splatosti swapu Vhoé istrumety pro staoveí výosové křivky Jeiá ivestice, která eí vystavea reivestičímu riziku, je ivestice o bezkupoového státího luhopisu (zero-bo se stejou obou životosti, jako je élka ivestičího horizotu. Koupí zero-bou je zajiště buoucí příjem a koci životosti luhopisu a zároveň ejsou vyplácey žáé kupoy, které by bylo třeba reivestovat. Použití výososti zero-bou při staoveí r F implikuje použití časové struktury úrokových měr (výosové křivky, což je teoreticky ejsprávější postup staoveí r F (a čemž se shoují Pratt (008, Damoara (008 i Maříková (007. Ke zjištěí výosové křivky, se abízejí istrumety, jež mají charakteristiky zeroboů (za přepoklau, že jejich emitet epoléhá efaultímu riziku: bezkupoové státí luhopisy; STIPS ( strippe bos", tzv. svlečeé luhopisy; úrokové swapy (IS iterest rate swap; alterativě i výosová křivka ovozeá ze státích kupoových luhopisů. Z uveeých istrumetů, jsou v pomíkách kapitálového trhu České republiky k ispozici pouze úrokové swapy a kupoové luhopisy. 3. Ovozeí výosové křivky z kupoových luhopisů Český kapitálový trh eumožňuje přímé ovozeí výosové křivky z ce zero-boů, jelikož bezkupóové luhopisy ai istrumety s vlastostmi zero-boů se a ěm eobchoují. Metoa bootstrappigu (metoa svépomoci, Jílek 009 je rověž epoužitelá 5. Je proto uté ajít způsob, jak ostatečě přesě aproximovat úaje získaé z at kupóových luhopisů. K tomu byly vyviuty moely, které moelují závislost spotové úrokové míry a čase pomocí vhoě zvoleé fukce. Ke zjištěí implicití spotové a forwarové výosové křivky z tržích ce luhopisů se ejlépe hoí moely, které jsou schopé ohaout výosovou křivku tak, aby co ejlépe opovíala výosostem a trhu obchoovaých luhopisů. Tomuto přístupu se říká tzv. curve fittig. Nejčastěji se lze setkat s těmito postupy moelováí výosové křivky (Málek, aová, Štěrba 007: Polyomické fukce Spliy Nelso-Siegelův a Svessoův moel Samotá aplikace těchto matematických meto, je svým obsahem poměrě začě vzáleá oboru poikových fiací a přísluší le mého ázoru spíše školeým aktuárům. Bohužel v České republice eí žáá reomovaá istituce, která by hooty výosové křivky ovozeé ze státích luhopisů publikovala. Jeiým mě zámým zrojem kvalitích 4 Swapová výosová křivka (Jílek 009 se obvykle používá jako referečí křivka v zemích Eurozóy, ke trh se státími luhopisy eí homogeí, ale stále se liší pole jeotlivých zemí. V ůsleku růzého efaultího rizika v Eurozóě eexistuje homogeí eurová výosová křivka. Swapová křivka se tak stala staarem pro peěží i luhopisový trh. 5 Samotý výpočet výosové křivky metoou bootstrappigu aráží a praktické problémy, kterými je malé možství obchoovaých luhopisů, estejá ata a v růzé výše vypláceých kupoových plateb, at. Navíc je oba o splatosti jeotlivých luhopisů eceločíselá a kažý e se zkracuje, kvůli čemuž musí být použita iterpolace. Z těchto ůvoů je metoa bootstrappig v praxi epoužitelá (Málek 007.

4 VŠB-TU Ostrava, faculty of ecoomics, fiace epartmet 6 th 7 th September 0 a porobých at je práce Kamila Klaívka (009, 00, který využívá ke staoveí výosové křivky Nelso-Siegelův moel, jež je velmi oblíbeý apř. u cetrálích bak Evropských zemí. Zroj aktuálích at o výosové křivce ovozeé ze státích luhopisů však k ispozici eí. 3. Ovozeí výosové křivky z úrokových swapů Úrokové swapy jsou po státích kupóových luhopisech ruhým možým zrojem aktuálích at pro staoveí výosové křivky českého kapitálového trhu. 3.. Charakteristika úrokových swapů Úrokový swap je erivát umožňující směu úrokových sazeb 6. Jeá se o eburzoví úrokový erivát, jehož obchoováí je o začé míry staarizováo. IS ovoluje výměu fixí a pohyblivé úrokové sazby, přičemž platby probíhají v pravielých itervalech. Jea straa platí pohyblivou, ruhá fixí sazbu. Přesouvají se pouze rozíly. Úrokové swapy jsou ze všech erivátů ejoblíbeějším ástrojem pro řízeí a hegig úrokového rizika, arbitráže či spekulaci a vývoj úrokových sazeb. Swapy globálě tvoří více ež poloviu všech erivátových istrumetů. Table : Objem sjeaých OTC erivátů (ml. USD; BIS OTC erivatives statistics at e-december 00 Úrokové swapy jsou velice likvií a iformace o vývoji kotací IS je obře ostupá 7. U většiy swapů přestavuje jeu z protistra swapový ealer, typicky velká baka, která a eí bázi abízí bi a ask kotaci pro ákup a proej swapu. Swapoví ealeři často využívají swapové sazby jako bechmark pro ostatí istrumety s pevým výosem (fixe icome securities a převážá část fiačích istitucí v Č i zahraičí používá swapové sazby pro staoveí spotové výosové křivky. Kvůli vazbě swapů v Č a PIBO se swapová křivka často užívá při oceňováí erivátů (PIBO je ze brá jako cea kapitálu alterativích příležitostí r F. Použití swapů ke staoveí výosové křivky se tak ostalo i o oborých oporučeí 8 oborových istitucí ve fiačím sektoru, přeevším v pojišťovictví. 6 O počátku 80. let jsou swapy běžě používáy bakami, fiačími istitucemi a poiky jako způsob úpravy struktury bilace a řízeí fiačího rizika. Určující trasakcí pro buoucost IS byla swapová ohoa o výměě fixí a plovoucí úrokové platbě mezi IBM a Worl Bak z roku Aktuálí a historické hooty IS pro splatosti -0,, 5 a 0 let lze zjistit a 8 ČSpA Doporučeí č. Staoveí bezrizikové výosové křivky:.. Data o tržích úrokových měrách úrokových swapů (IS, Iterest ate Swap získáme z Bloombergu. ( CFO Forum MCEV priciples: Priciple 4: The referece rates use shoul, wherever possible, be the swap yiel curve appropriate to the currecy of the cash flows.

5 VŠB-TU Ostrava, faculty of ecoomics, fiace epartmet 6 th 7 th September Kreití riziko úrokového swapu Použití swapů pro staoveí bezrizikové výosové křivky je poporováo tvrzeím, že swapy jsou relativě bezpečé. Defaulí expozice kupóového luhopisu opovíá součtu všech kupóů a omiálí hooty. Expozice úrokového swapu opovíá součtu rozílů mezi pevou a promělivou platbou po obu trváí swapu. V porováí s efaultě rizikovými luhopisy tak mají úrokové swapy meší expozici vůči efaultímu riziku. Jií autoři amítají 9, že swap elze považovat za bezrizikovou ivestici, jelikož přestavuje pouze ohou o výměě cash flow, ejeá se o reálý luhový istrumet. K tomu, aby mohl být swap uzavře, musí existovat poklaové aktivum, které ese úrokový výos (fixí či plovoucí. K uzavřeí úrokového swapu avíc musí existovat protistraa, kterou je obvykle fiačí istituce. Ta ese sama o sobě efaultí riziko, které je obvykle větší ve srováí s efaultím rizikem státích luhopisů. V ůsleku toho (Jílek 009 je swapová křivka obvykle umístěa a státí par výosovou křivkou o tzv. swapové rozpětí (swap sprea, jelikož v přípaě swapů se ejeá o zcela bezrizikovou úrokovou míru. To je však v rozporu s realitou posleích let, ky swapové sazby v České republice osahovaly ižších hoot ež spotové sazby státích luhopisů a sprea tak byl záporý. Na vyspělých efektivích trzích bývá sprea oproti státím luhopisům ízký Swapová křivka Swapová výosová křivka vyjařuje závislost kotace úrokového swapu (iterest rate swap, IS a splatosti swapu. Swapová výosová křivka je příklaem par výosové křivky, tey mometálí závislosti výososti o splatosti kupóových luhopisů o reálé hootě, která se rová jmeovité hootě luhopisů. Pomocí íže uveeého postupu vycházejícího z bootstrappigu lze z par výosové křivky ovoit spotovou výosovou křivku (Jílek 009. Pro staarí koruové, ale apř. i olarové, swapy se proměé i pevé úrokové platby počítají pole kovece act/360. Pak z jeoročí swapové sazby ovoíme iskotí faktor ásleujícím způsobem: ( + oku + Z této rovice staovíme iskotí faktor a z rovice /(+r 0; obržíme bo výosové křivky r 0;. V přípaě vouletého swapu platí: + oku + ( + Z této rovice staovíme iskotí faktor a z rovice /(+r 0; obržíme bo výosové křivky r 0;. Pro tříletý swap platí: oku 3 3 ( ( + + Z této rovice staovíme iskotí faktor 3 a z rovice 3 /(+r 0;3 3 obržíme bo výosové křivky r 0;3. Obecě pro -letý úrokový swap platí: ( + 3 CEIOPS Solvecy II. 9 Porobou iskuzi o využití úrokových swapů při staoveí výosové křivky lez alézt a

6 VŠB-TU Ostrava, faculty of ecoomics, fiace epartmet 6 th 7 th September 0 oku ( j + j Z této rovice staovíme iskotí faktor a z rovice /(+r 0; obržíme bo výosové křivky r 0;. 4. eplikuje swapová křivka ostatečě přesě a spolehlivě spotovou křivku? Názory a použití swapových sazeb k ovozeí výosové křivky se liší. Pro využitelost swapové křivky ke staoveí bezrizikové výosové křivky pro oceěí poiku je rozhoující zejméa to, za swapová křivka ostatečě přesě a spolehlivě replikuje spotovou výosovou křivku ovozeou ze státích luhopisů, která přestavuje záklaí bechmark bezrizikové výosové míry. K ověřeí, za tomu ochází, jsem provel aalýzu a porováí vývoje swapové křivky oproti státí spotové výosové křivce publikovaé Klaívkem (00. Aalýza byla zpracováa a eích atech v obobí o červa 003 o srpa 00 a zahrovala celkem 84 obchoích í. K porováí jsem použil korelačí koeficiet, střeí čtvercovou ochylku (MSE oot Mea Square Error, porováí iiviuálích ochylek swapových a spotových sazeb. Porovávací aalýzu jsem oplil aalýzou ochylky vziklé v oceěí typizovaé ivestice při použití růzých variat křivek. 4. Vývoj korelace swapové a státí spotové výosové křivky Vztah swapové a spotové křivky měřeý pomocí korelačího koeficietu vykazuje v průběhu sleovaého obobí silou závislost. Přes 90% pozorováí vykazuje hooty korelačího koeficietu 0,95 či více (hooty korelačího koeficietu 0,99 osáhlo 68% pozorováí. Síla závislosti mezi křivkami se sížila v ruhé poloviě roku 008 s příchoem ejistoty a volatility a fiačích trzích a vrcholila v průběhu listopau a prosice 008. Korelačí koeficiet se pak v průběhu prvího čtvrtletí roku 009 vrátil k vysokým hootám. Figure : Vývoj korelačího koeficietu popisujícího vztah swapové a státí spotové výosové křivky,0 Korelačí koeficiet,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,

7 VŠB-TU Ostrava, faculty of ecoomics, fiace epartmet 6 th 7 th September 0 Doatečou iformaci o vztahu swapové a spotové křivky poskytuje střeí kvaratická ochylka (MSE root mea square error, která ukazuje chybu způsobeou ochylkou vysvětlovaé proměé (swapové sazby v jeotkách pozorovaé veličiy le ásleujícího vzorce, ke y i opovíá spotové sazbě a ŷ i swapové sazbě. MSE i ( y i yˆ i MSE potvrzuje po většiu sleovaého obobí silou závislost swapové a spotové sazby, ky celkový ochylka epřesahovala hootu 0, %. Zhoršeé hooty MSE lze pozorovat v posleím kvartálu 008 s maximálími hootami MSE v březu 009. Oproti korelačímu koeficietu uává MSE ejvětší oáleí swapové a spotové výosové křivky o tři měsíce pozěji. Figure : Vývoj MSE popisující vztah swapové a státí spotové výosové křivky,80,60 MSE,40,0,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0, Iiviuálí ochylka mezi swapovými a spotovými sazbami (a grafu íže uveey ochylky mezi jeoletými, pětiletými a esetiletými sazbami potvrzuje výše uveeé závěry. V obobí let 003 až o koce roku 008 se iiviuálí ochylky pohybovaly po úroví 0 %. Nejprve kocem roku 008 a louhém i krátkém koci výosové křivky swapové sazby osahovaly vyšších hoot ež spotové sazby. O úora 009 však spotové sazby a krátkém koci výosové křivky vzrostly a swapové, zatímco a louhém koci výosové křivky tomu bylo aopak. V ůsleku toho se swapová i spotová výosová křivka lišila ejeom svým umístěím, ale i skloem.

8 VŠB-TU Ostrava, faculty of ecoomics, fiace epartmet 6 th 7 th September 0 Figure 3: Vývoj iiviuálí ochylky ročí, ročí a 0-ti leté swapové a spotové sazby 50% 40% 30% 0% 0% 0% -0% -0% -30% -40% -50% Y 5Y 0Y Chyba v oceěí typizovaé ivestice způsobeá použitím spotové ebo swapové výosové křivky Po převážou většiu sleovaého obobí se swapová křivka proti spotové prakticky elišila. Situace a fiačích trzích o koce roku 008 způsobila očasý oklo jeotlivých křivek. Pro posouzeí závažosti ásleků této situace jsem použil test v poobě opaů použití růzých výosových křivek a oceěí typizovaé ivestice s těmito charakteristikami: omezeá oba životosti 0 let (tey bez perpetuity pokračující hooty; kažoročí klaé cash flow z ivestice v kostatí výši; iskotí míra skláající se pouze z bezrizikové výososti přestavovaé výosovou křivkou. Násleě jsem měřil vývoj procetuálí ochylky v oceěí vziklé použitím buď spotové ebo swapové křivky. Vývoj ochylky je zazameám v ásleujícím grafu. Figure 4: Vývoj chyby vziklé v oceěí typizovaé ivestice při použití swapové ebo spotové křivky 0% 8% Ochylka v hootě 6% 4% % 0% -% Použití růzých výosových křivek mělo v 76 % pozorováí a oceěí opa meší ež %. Defiujeme-li výzamou opa a oceěí jako ochylku přesahující hraici 5 %, pak byla tato hraice překoáa v 8 % pozorováí z obobí úora až květa 009.

9 VŠB-TU Ostrava, faculty of ecoomics, fiace epartmet 6 th 7 th September 0 Defiice výzamého opau o oceěí lze chápat růzě. Vzhleem k volatilitě a epřesosti astaveí alších parametrů oceěí poiku, tey vývoje cash flow (apř. tempa růstu, ziskové marže a retability a iskotí míry, lze za závažou chybu chápat takovou ochylku v hootě, která výrazě převyšuje výše uveeou hraici 5 %. Nepřesost astaveí parametrů se aále zvyšuje v přípaě, že je oceňová poik za přepoklau goig cocer, ke je třeba staovit hootu a parametry pokračující hooty (v postatě vývoj poiku o ekoeča. 5. Závěr Teto čláek je věová porobějšímu popisu použití výosových křivek při staoveí bezrizikové výosové míry při oceěí poiku. Stěžejím obsahem čláku je závěr, že ke zjištěí aktuálích iformací o hootě výosové křivky v pomíkách České republiky lze použít sazby úrokových swapů (IS. Ačkoliv s příchoem volatility a fiačích trzích kocem roku 008 ošlo k očasému ochýleí výosové křivky ovozeé z tržích ce státích luhopisů o swapové výosové křivky, omívám se a záklaě uveeé aalýzy, že úrokové swapy lze použít při výosovém oceěí poiku. efereces [] BIGHAM, E.F. HOUSTON, J.F.: Fuametals of fiacial maagemet th Eitio. Cegage Learig, 007, ISBN [] DAMODAAN, A.: What is the iskfree ate? A Search for the Basic Builig Block. Ster School of Busiess, New York Uiversity 008 [3] JÍLEK, J.: Fiačí trhy a ivestováí. Praha 009, Graa, ISBN [4] KLADÍVKO, K.: The Czech Treasury Yiel Curve from 999 to the Preset Dostupé a: [5] KLADÍVKO, K.: The Czech Treasury Yiel Curve from 999 to the Preset. Fiace a úvěr Czech Joural of Ecoomics a Fiace, 60, 00, o. 4 [6] MÁLEK, J ADOVÁ, J. ŠTĚBA, F.: Kostrukce výosové křivky pomocí vláích luhopisů v České republice. Politický ekoomie č. 6, ročík 007 [7] MAŘÍK, M. a kol.: Metoy oceňováí poiku. Praha 007, Ekopress, ISBN [8] MAŘÍKOVÁ, P. MAŘÍK, M.: Diskotí míra pro výosové oceňováí poiku. Praha 007, Oecoomica, ISBN [9] PLÁNIČKA, P.: Teoretická výchoiska staoveí bezrizikové výosové míry. Praha 0, Oceňováí č. /0, ročík 4 [0] PATT, P.S. GABOWSKI,.J.: Cost of capital. Applicatios a Examples 3r Eitio. New Jersey, Joh Wiley & Sos, Ic. 008, ISBN [] PATT, P.S. EILLY,.F. SCHWEIHS,.P.: Valuig Small Busiesses a Professioal Practices 3r Eitio. New York, The McGraw-Hill Compaies, Ic. 998, ISBN X