Kondenzátor, mapování elektrostatického pole

Transkript

1 Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha č. : Kondenzátor, mapování elektrostatického pole Jméno: Ondřej Ticháček Pracovní skupina: 7 Kruh: ZS 7 Datum měření:..3 Klasifikace: Kondenzátor, mapování elektrostatického pole Zadání. DÚ: Připomeňte si odvození kapacity deskového kondenzátoru.. DÚ: Bezpečnostní normy připouštějí maximální náboj 5 µc na deskách kondenzátoru. Stanovte jednu náhodnou geometrii deskového kondenzátoru, který by překročil tuto normu při napětí kv. 3. Změřte přitažlivé síly mezi deskami kondenzátoru pro různé vzdálenosti desek. Náboj přivádějte až do průrazu mezi deskami kondenzátoru. Napětí odhadněte z dielektrické pevnosti vzduchu. Naměřené hodnoty silového působení změřené na vahách porovnejte s předpovědí ze vztahu ().. Změřte přitažlivé síly mezi deskami kondenzátoru pro tři různé vzdálenosti desek (dle distancí). Náboj přivádějte až do průrazu na kulovém jiskřišti Wimshurstovy elektriky. Ze silového působení spočtěte napětí () a ze vztahu () se pokuste určit neznámou funkci f(s/d). Experimentální data a nalezenou funkci zpracujte do grafu. 5. Zvolte si různé konfigurace elektrod (viz obr. 5, a 7 v []), nastavte na nich napětí cca V a zmapujte potenciál v síti bodů. Vyhodnoťte pomocí příslušného software v systému Linux (odečítání dat voltmetru, gnuplot). Data si vyzálohujte a proveďte důkladné vyhodnocení v domácím zpracování. Použité přístroje Wimshurstova elektrika, kulové jiskřiště, váhy, deskový kondenzátorm podstavec, vodiče, zkratovač, posuvné měřítko, regulovatelný zdroj V, souprava pro mapování elektrostatického pole, multimetr, PC, MS Excel, voda 3 Teoretický úvod Energie elektrostatického pole, síla mezi deskami kondenzátoru Energii kondenzátoru je možné spočítat z práce potřebné pro jeho nabití. Uvažujme kondenzátor o kapacitě C, s elektrodami nabitými náboji +q a q. Máme-li přenést elementární náboj z jedné desky na druhou proti potenciálovému rozdílu U = q/c, musíme vykonat práci W = Q Udq = Q Pro deskový kondenzátor platí vztah (odvození viz dále) q Q dq = C C = CU. () C = ε ε r S, () d kde ε je permitivita vakua, ε r relativní permitivita prostředí mezi deskami a d vzdálenost mezi deskami o ploše S (každá). Protože v našem případ uvažujeme pouze vzduchový kondenzátor a měření nebude dostatečně přesné, budeme aproximovat ε r a dále s ním již nepočítat. Z těchto vztahů společně s vztahem U = Ed plyne vyjádření práce W = ε E V = w E V, (3)

2 kde V = Sd je objem uzavřený mezi deskami kondenzátoru a w E = ε E je objemová hustota energie elektrického pole. Sílu, kterou se přitahují desky kondenzátoru odvodíme ze změny energie při infinitezimálním posunutí desek kondenzátoru. Máme tedy F = dw dd = d dd ε E Sd = ε E S Kapacita deskového kondenzátoru odvození = ε U S d () Mezi deskami kondenzátoru nabitého s konstantní plošnou hustotou s je homogenní elektrické pole o intenzitě E = σ ε. (5) Mezi napětím mezi deskami, nábojem na kondenzátoru a jeho kapacitou platí vztah U = Q C () a zároveň platí mezi napětím a intenzitou elektrického pole vztah U = Ed, (7) kde d je vzdálenost desek kondenzátoru. Dosadíme-li ze vztahu () za U do vztahu (7), dostaneme C = Q Ed. () Nyní dosadíme za E ze vztahu (5) a máme Z definice plošné hustoty elektrického náboje C = εq dσ. (9) σ = Q S () dále stačí dosadit σ do (9) a máme výsledný vztah pro kapacitu deskového kondenzátoru C = εs d () Kulové jiskřiště Kulové jiskřiště je jedním z nejjednodušších přístrojů pro měření vysokých napětí. Jsou-li jeho elektrody geometricky definovatelné a takové, že pro ně jde matematicky určit tvar pole, lze průrazné napětí vypočítat a je možno mluvit o absolutní měřící metodě. Pro kulové jiskřiště (složené ze dvou stejně velkých koulí) platí vzorec ( U = ) δs δd f, () kde U je průrazné napětí [kv], s doskok, tedy vzdálenost mezi uličkami jiskřiště [cm], D průměr koulí [cm], δ je relativní hustota vzduchu, pro kterou platí vztah δ = b T, (3) kde b je barometrický tlak [torr], T teplota [ ] a kde f = f(s/d) je funkce závislá na poměru s/d a na geometrické pravidelnosti pole. Pro s/d = je f =, s zvětšujícím se s funkce f roste.

3 Mapování elektrostatického pole Elektrické pole E definujeme v daném bodě prostoru jako sílu F na jednotkový náboj q: E = F q Experimentálně ale těžko mapujeme přímo elektrostatické pole. Můžeme však použít nepřímé metody stanovením pole z ekvipotenciálních ploch. Potenciálový rozdíl U je definovaný () U = W q (5) Elektrické pole je záporně vzatý gradient potenciálu E = grad U () Postup měření. Přitažlivá síla desek kondenzátoru Wimshurstovu elektriku jsme zapojili k dvěma kruhovým kovovým deskám, tak aby dohromady tvořily vzduchový kondenzátor. Desky byly nastaveny vodorovně nad sebou, horní byla provázkem připojena k vahám, spodní pevně nevodivě připevněna k stojanu s šroubem pro regulaci výšky. Malým závažíčkem jsme desky vyrovnali, aby byly přesně nad sebou. Pomocí posuvného měřítka jsme nastavili požadovanou vzdálenost v rozsahu. až 5. cm. Poté jsme otáčením disků Wimshurstova stroje generovali na deskách kondenzátoru vysoké napětí. Na vahách jsme zároveň sledovali hodnotu, která odpovídala síle jíž se desky kondenzátoru přitahovaly. Tato hodnota stále rostla až do průrazu vzduchu elektrickým proudem mezi deskami kondenzátoru (úkol 3), nebo na připojeném kulovém jiskřišti (úkol ). Náboj jsme generovali co nejrychleji, ale zároveň jen tak rychle, aby ještě šla přečíst hodnota na vahách ve chvíli, kdy nastalo vybití kondenzátoru. V praxi to znamenalo nejdříve otáčet rychle a postupně zpomalit. Pro každou vzdálenost desek kondenzátoru jsme změřili několik hodnot, v každém měření byla konečná hodnota mírně odlišná. Během měření jsme dávali pozor na různé možnosti, kdy aparatura probíjela a generování napětí na kondenzátoru bylo obtížné nebo nemožné. Mezi tyto případy patřilo např. přiblížení přívodních kabelů příliš blízko sebe nebo blízko elektrodě s opačnou polaritou. Po každém průrazu zůstal na kondenzátoru ještě zbytkový náboj, který bylo potřeba vybít. Během úkolu jsme dále dávali pozor na to, zda k průrazu došlo opravdu na jiskřišti a ne na kondenzátoru. V takovém případě bylo nutné vzdálenost koulí jiskřiště zmenšit. V tomto úkolu jsme pro každou ze čtyř nastavených vzdáleností desek změřili sílu (hmotnost na vahách) s postupným měněním vzdálenosti koulí jiskřiště.. Mapování elektrostatického pole Skleněnou misku s vodou jsme umístili nad souřadnou síť bodů. Ze zdroje jsme vedli napětí V na elektrody, které jsme ponořili do vody. Digitálním voltmetrem jsme pak měřili napěťový rozdíl mezi jednou z elektrod a určitým místem na souřadné síti. Při proměřování jsme dávali pozor, abychom nehnuli elektrodami, miskou nebo souřadnou sítí. Protože hodnota napětí kolísala, uvažovali jsme přes čas středovanou hodnotu, kterou ukazoval multimetr. Hodnoty jsme zapisovali do tabulky v programu MS Excel. Konfiguraci elektrod jsme volili následovně. dvě dlouhé elektrody rovnoběžně zapojené na krajích souřadné sítě; elektrody opačně polarizovány jedna dlouhá elektroda na kraji sítě, na druhém kraji bodová elektroda; elektrody opačně polarizovány bodová elektroda uprostřed souřadnicové sítě, okolo kruhová elektroda (kružnice), bodová elektroda je ve středu této kružnice; elektrody opačně polarizovány 5 Naměřené hodnoty 3

4 Tab. : Tabulka konstant a veličin považovaných za konstanty používaných při výpočtech; g je gravitační zrychlení [3], k je dielektrická pevnost vzduchu, ε permitivita vakua [], S = πr je plocha desek kondenzátoru podle změřeného poloměru r, D průměr koulí jiskřiště, δ je relativní hustota vzduchu spočítaná podle vztahu 3, b je barometrický tlak [] a T je teplota g [ms ] k [kv/mm] ε [F/m] S [m ] r [m] D [mm] δ b [torr] T [ C] Tab. : Tabulka hodnot pro úkol 3; m je odhadnutá chyba měření hmotnosti způsobená rychlým posuvem rysky a stupnice vah, d odhadnutá chyba určování vzdáleností desek kondenzátoru, F v chyba určení přitažlivé síly mezi deskami kondenzátoru určené na základě vážení, tedy podle m, U k je chyba průrazného napětí spočteného podle vzdálenosti desek kondenzátoru d a dielektrické pevnosti vzduchu k vztahem U k = kd, tato chyba tedy plyne z chyby určení vzdálenosti d, F p je předpovídaná síla, kterou se desky kondenzátoru přitahují určená na základě (), kde za U/d se dosazuje právě dielektrický pevnost vzduchu k m [g] d [mm] F v [N] U k [kv] F p [N] Tab. 3: Tabulka naměřených dat pro úkol 3; m je hmotnost určená vážením odpovídající síle F v kterou se přitahují desky kondenzátoru, d je vzdálenost desek, U k je napětí mezi deskami kondenzátoru při průrazu spočítané podle dielektrické pevnosti vzduchu k = U k /d a U p je napětí na kondenzátoru při průrazu spočítané podle vztahu (); Tučně je vyznačena střední hodnota F v s statistickou chybou na prvním místě a systematickou chybou na místě druhém; m [g] d [mm] F v [N] U k [kv] U p [kv] ±. ± ±.9 ± ±. ± ±. ±.5

5 Tab. : Tabulka hodnot pro úkol 3; m je odhadnutá chyba měření hmotnosti způsobená rychlým posuvem rysky a stupnice vah, s je odhadnutá chyba měření vzdálenosti koulí jiskřiště, d odhadnutá chyba určování vzdáleností desek kondenzátoru, F v chyba určení přitažlivé síly mezi deskami kondenzátoru určené na základě vážení, tedy podle m m [g] s [mm] d [mm] F v [N].5..5 Tab. 5: Tabulka naměřených dat pro úkol ; m je hmotnost určená vážením odpovídající síle F v kterou se přitahují desky kondenzátoru, s je vzdálenost koulí jiskřiště, d je vzdálenost desek, U p je napětí na kondenzátoru při průrazu spočítané podle vztahu (), f(s/d) je neznámá funkce z vztahu závislá na poměru vzádleností s a D (viz tabulku ) m [g] s [mm] d [mm] F v [N] U p [kv] s/d f(s/d)..7 ±..93 ±.. 5. ±.3.95 ±..5. ±..9 ± ±..9 ± ±.55.9 ± ±..9 ± ±..7 ± ±.. ± ±.9. ± ±.9.3 ± ±.. ± ±..7 ± ±.55.5 ± ±.9.33 ± ±.3.3 ± ±.. ± ±.55. ± ±.9.3 ± ±.3.3 ± ±.9. ±.5 5

6 f(s/d).. d = mm d = 3 mm d = mm d = 5 mm d = mm.9 d = 3 mm d = mm d = 5 mm Obr. : Graf závislosti neznámé funkce f(s/d) ze vztahu () na poměru vzdáleností s/d (viz tab. a 5); Naměřenými daty byla proložena přímka procházející bodem (,), tedy f(s/d) = a d (s/d) +, kde index d ukazuje vzdálenost mezi deskami kondenzátoru v mm; výsledky fitu jsou: a =.7 ±. (. %), a 3 =. ±.3 (3.3 %), a =.39 ±.3 (7.79 %), a 5 =.7 ±. (.77 %) s/d f(s/d).. d = mm d = 3 mm d = mm d = 5 mm d = mm.9 d = 3 mm d = mm d = 5 mm Obr. : Graf závislosti neznámé funkce f(s/d) ze vztahu () na poměru vzdáleností s/d (viz tab. a 5); Naměřenými daty byla proložena exponenciála procházející bodem (,), tedy f(s/d) = exp(a d (s/d)), kde index d ukazuje vzdálenost mezi deskami kondenzátoru v mm; výsledky fitu jsou: b =.±. (.593 %), b 3 =. ±. (.7 %), b =.3 ±. (.73 %), b 5 =. ±. (.7 %) s/d

7 rozložení pole U [V] x [d] y [d] Obr. 3: Prostorové rozložení potenciálu elektrostatického pole v konfiguraci dvou dlouhých rovnoběžných elektrod opačné polarity, tedy např. deskový kondenzátor; d značí dílky rozložení pole U [V] x [d] y [d] Obr. : Prostorové rozložení potenciálu elektrostatického pole v konfiguraci bodová elektroda uprostřed kruhové elektrody opačné polarity; d značí dílky 7

8 rozložení pole U [V] x [d] y [d] Obr. 5: Prostorové rozložení potenciálu elektrostatického pole v konfiguraci rovná dlouhá elektroda a bodová elektroda opačné polarity; d značí dílky Diskuze Změřili jsme přitažlivé síly mezi deskami kondenzátoru, výsledky lišící se pro jednotlivé vzdálenosti desek jsou v tabulce 3 ve sloupci F v. Tato data můžeme porovnat s hodnotou F p v tabulce, která je teoreticky předpovězená na základě () a dielektrické pevnosti vzduchu (viz tab.. Vidíme, že naměřené hodnoty přitažlivé síly jsou několikanásobně menší, než hodnoty předpovězené, řádově ovšem sedí.) Systematická chyba byla způsobena vážením (určováním síly) s poměrně velkou chybou (.5 g). Statistická chyba tím, že při stejné konfiguraci nastával průboj při jiných hodnotách. Původ odchylky naměřené přitažlivé síly od teoreticky předpovídané bychom mohli patrně hledat v dielektrické pevnosti vzduchu, která jistě závisí na mnoha faktorech, jako např. teplota, vlhkost vzduchu, tlak a další. Přesto nepředpokládáme, že by celá tato odchylka byla tímto faktorem způsobena. Musela tedy nastávat nejspíše ještě chyba jiná. Protože jsme při vybíjení kondenzátoru mezi jednotlivými pokusy desky mírně rozhoupali, mohlo se stát, že při některých měřeních byla vzdálenost desek v určitou chvíli jiná, než uvažovaná. Průrazné napětí (a síla při průrazu) také dle našich zkušeností závisely na rychlosti nabíjení. Tuto závislost jsme ovšem nebyli schopni identifikovat kvalitativně, pouze se nám zdálo, že čím rychleji nabíjíme, tím vyšších hodnot napětí a síly dosahujeme. V dalším úkolu jsme změřili přitažlivé síly mezi deskami kondenzátoru při průrazu na kulovém jiskřišti v závislosti na vzdálenosti desek kondenzátoru a koulí jiskřiště. Z těchto hodnot jsme učili napětí na kondenzátoru U p, které jsme spočítali podle vztahu (). Výsledky jsou v tabulce 5. Dále jsme pomocí vztahu () a naměřených hodnot určili hodnotu neznámé funkce f(s/d) z tohoto vztahu. Ze zadání jsme věděli, že má funkce procházet bodem (,) a stoupat s rostoucím s. Vzhledem k poměrně značné chybě jednotlivých hodnot a malému počtu naměřených dat v malém rozsahu jsme neměli žádný ukazatel, jakou funkcí data proložit. Protože očekáváme, že funkce nebude na daném intervalu nabývat lokální extrémy jinde než v krajních bodech, rozhodli jsme se data fitovat lineární funkcí a exponenciálou. Výsledky těchto fitů jsou v grafu na obrázku a. Je patrné, že rozdíl v průběhu exponenciály a přímky je minimální. Chyby jsou v tomto případě totožné jako v úkolu předchozím. Museli jsme jen navíc dávat pozor, kde nastává průraz (zda na jiskřišti nebo kondenzátoru), což ovšem bylo velmi jednoduché. V zadání sice stojí, že funkce f by měla být rostoucí, nám se ale v případě s nejbližší vzdáleností desek kondenzátoru podařilo naměřit taková data, že její průběh je zřejmě klesající. Toto nedokážeme vysvětlit, neznáme totiž hlubší teorii kulového jiskřiště. Jelikož nám ostatní data vyšla již podle předpokladu a během

9 měření jsme nijak neměnili postup nebo konfiguraci (až na proměnné parametry) a výpočet je pro všechny části rovněž stejný, považujeme tato data za správná. Nutno přiznat, že jsme si v praktiku zapomněli opsat teplotu, tuto hodnotu jsme odhadli na základě zkušeností nás a spolužáků. Protože teplota jistě byla v intervalu několika málo stupňů od odhadnuté hodnoty a vzhledem na tvar vzorce, ve kterém se používá, výsledná hodnota by se změnila jen nepatrně. Oproti ostatním chybám měření můžeme tuto klidně zanedbat. Tlak jsme brali z webových stránek [], hodnotu naměřenou v den měření v hodin, tedy přibližně v dobu, kdy jsme měření prováděli. Jedinou odlišností bylo místo, nicméně alespoň byla tato hodnota měřena v Praze. V obou úkolech bychom mohli zlepšit přesnost hlavně vyšším počtem měření popřípadě vysokorychlostní kamerou (nebo jiným zařízením) pro přesné vážení. V posledním úkolu jsme zmapovali elektrostatické pole pro různé konfigurace elektrod. Naměřená data jsou zobrazena v grafech na obrázcích 3, a 5. Výsledky dopadly podle očekávání. Bylo by dobré, změřit ještě jiné konfigurace elektrod (např. dvě bodové elektrody), na což jsme již ovšem neměli čas. Měření by prospěla určitá automatizace, program uvedený v návodu prý nefunguje, tudíž jsme vše zapisovali manuálně, což je náročná a zdlouhavá práce. V daných konfiguracích byla síť dostatečně hustá, pokud bychom chtěli měřit složitější rozložení elektrod (např. více než dvě elektrody), bylo by možná nutné použít jemnější síť. 7 Závěr. Pro odvození kapacity deskového kondenzátoru viz teoretický úvod.. Jednou z konfigurací překračujících bezpečnostní normu může být podle vztahu Q = UC = UεS d (7) při napětí U = kv, Q max = 5 µc, S =. m, d = cm. 3. Změřili jsme přitažlivé síly mezi deskami kondenzátoru, výsledky lišící se pro jednotlivé vzdálenosti desek jsou v tabulce 3 ve sloupci F v. Tato data můžeme porovnat s hodnotou F p v tabulce, která je teoreticky předpovězená na základě () a dielektrické pevnosti vzduchu (viz tab.. Vidíme, že naměřené hodnoty přitažlivé síly jsou několikanásobně menší, než hodnoty předpovězené, řádově ovšem sedí.). Změřili jsme přitažlivé síly mezi deskami kondenzátoru při průrazu na kulovém jiskřišti v závislosti na vzdálenosti desek kondenzátoru a koulí jiskřiště. Z těchto hodnot jsme učili napětí na kondenzátoru U p, které jsme spočítali podle vztahu (). Výsledky jsou v tabulce 5. Dále jsme pomocí vztahu () a naměřených hodnot určili hodnotu neznámé funkce f(s/d) z tohoto vztahu. Funkci jsme odhadli a fitovali, výsledky těchto fitů jsou v grafu na obrázku a. 5. Zmapovali jsme elektrostatické pole pro různé konfigurace elektrod. Naměřená data jsou zobrazena v grafech na obrázcích 3, a 5. Reference [] Kolektiv KF, Návod k úloze: Kondenzátor, mapování elektrostatického pole [Online], [cit.. května 3] [] meteostanice.agrobiologie.cz, Tabulka atmosferických tlaků [Online], [cit.. května 3] [3] en.wikipedia.org, Gravitational acceleration [Online], [cit.. května 3] [] en.wikipedia.org, Permittivity [Online], [cit.. května 3] 9