PRUŽNOST A PEVNOST II PŘEDNÁŠKY

Transkript

1 PRUŽNOST PVNOST II PŘNÁŠY Jan Řeníček Paa 06

2 : Já se cdím na přednášk bavi a b bc mc ád, kdbse se v bavii spu se mnu a s pán Hkem, Newnem, ueem a dašími Te nepše jakvu ani edakční úpavu Jan Řeníček, akua sjní ČVUT v Pae

3 ÚSTV CHNIY, BIOCHNIY CHTRONIY OBOR PRUŽNOSTI PVNOSTI V BLÁŘSÝCH STUIJNÍCH PROGRCH STROJÍRNSTVÍ TORTICÝ ZÁL STROJNÍHO INŽNÝRSTVÍ V ZINÍ SSTRU ICÉHO ROU 06/07 přednáší Jan Řeníček Paa áří 06

4 PRUŽNOST PVNOST Vážené kegně a vážení kegvé, dsa se mi é ci, že mu vés na akuě sjní České vské učení ecnické v Pae přednášk předměu Pužns a pevns II p suden bakaářské sudijní pgamu Teeický ákad sjní inženýsví, ae aké i p ájemce bvé bakaářské sudijní pgamu Sjíensví Při přípavě pdkadů p en předmě jsem vcáe e kušensí, keé mám d akademické ku 007/08 s nvu fmu výuk předměu Pužns a pevns I ve duém čníku bakaářskýc sudijníc pgamů na S ČVUT v Pae Ten e má Vám sudenkám a sudenům usnadni páci při přednáškác a avně ušeři čas, keý mnd ávíe bečným překesváním někd jednducýc, ae někd i vemi sžiýc báků abue Já sice předem vím, c cci nakesi, ae ne vžd se mi pvede ideáně Na dué saně V čas ani dpředu neušíe, c má báku vniknu, a ak si mé mininepřesnsi překesíe s dašími cbami a vniknu mainepřesnsi, keé Vám při učení spíše uškdí, než b Vám pm a učení jednduši Přebné vsupní infmace předměu Pužns a pevns I, keé bse měi ná db Vaše předcí bakaářské sudia, jsu v m eu p jisu aké uveden v kmpimvané pdbě, pže čas činí v paměi všec nás nenapaviené škd a nejjedndušší věci se nejceji apmínají Pkud pbíaná pbemaika dví, je sučásí eu aké snuí avníc ávěů včeně nanačení suvissí mei jednivými pbém, keé b m usnadni jejic pcpení Přednášk bsaují p bjasnění pbemaik i řadu vvýc příkadů Někeé nic budeme kmpeně ceé na přednáškác řeši, ae někeé budu jen jak námě p vaše případné samsudium Na ávě věšin kapi jsem nvě přida daší příkad, keé se v psedníc eec bjevi buď v psupvýc esec v ámci SPP II neb přím ve kuškvýc písemkác PP II V násedujícím eu budu pužíván p výanění jednivýc čásí eů smb: Ineme Zásadní dvení Vvý příkad Snuí pbané aemaik I-III Pužnsi I je vdné umě je dbé cápa suvissi ák neb ik I a II c vpad av! a avně pcpi! neb se ned epa! usnadní pcpení! I O P O čem bude? Věšinu kapi se pkusím uvés jednducými příkad pae, abc svěi jednak pakicku apikaci pbíané pbemaik a jednak abc ukáa cesu d eáné sučási k výpčvému mdeu Na ávě bc Vám všem cě ppřá dně úspěců běem ceé sudia Pkud budee v půběu násedujícíc e na fakuě ckiv přebva, ak jsem Vám k dispici, pže jednu jse OJI STUNTI, a je p mě ávaek i d buducna, kd Vás již nebudu uči Σ V Pae ve sředu dne 8 áří 06 : 5 : : janenicek@fscvuc : enicekjan : wwwfacebkcm/puns Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

5 PRUŽNOST PVNOST ÚSTV CHNIY, BIOCHNIY CHTRONIY OBOR PRUŽNOSTI PVNOSTI Zdje infmací: wwwmecanikafscvuc wwwfacebkcm/puns wwwpunsunasc Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

6 PRUŽNOST PVNOST OBSH OPOVÁNÍ PP I 5 ROTČNĚ SYTRICÉ ÚLOHY TNOSTĚNNÉ NÁOBY SILNOSTĚNNÉ TLUSTOSTĚNNÉ NÁOBY 8 ROTUJÍCÍ TNÉ OTOUČ 50 TNÉ RUHOVÉ SY 6 STBILIT PŘÍÝCH PRUTŮ VZPĚR 6 PŘSNÉ ŘŠNÍ RITICÉ SÍLY 6 NPRUŽNÝ ROZSH ŘŠNÍ VZPĚRU 69 PŘIBLIŽNÉ ŘŠNÍ VZPĚRU 7 OBINC VZPĚRU S OHYB 80 TTICÁ TORI PRUŽNOSTI 87 ROZŠÍŘNÝ HOOŮV ZÁON pakvání 88 ROVNIC PŘTVOŘNÍ 89 ROVNIC ROVNOVÁHY 9 SPOJNÍ VŠCH ROVNIC TTICÉ TORI PRUŽNOSTI 9 5 PROSTOROVÁ NPJTOST TNZOR NPĚTÍ 9 RUT NRUHOVÝCH PROILŮ 00 VOLNÉ ROUCNÍ NRUHOVÉHO PROILU 0 TNOSTĚNNÉ PROILY 5 ZNÍ STVY - SHRNUTÍ 5 ZNÍ STVY JIŽ PROBRNÉ V PP 5 ZNÍ STVY JIŽ PROBRNÉ V PP 5 ZNÍ STVY, TRÉ BUOU JŠTĚ PROBRNÉ V PP 6 TCHNICÁ PLSTICIT 7 TH TL V PLSTICITĚ 7 7 RUT V PLSTICITĚ 7 OHYB V PLSTICITĚ 0 7 PLSTICIT PŘI VÍCOSÉ NPJTOSTI 55 7 PROĚNNÉ ZTÍŽNÍ ÚNV 6 7 TYPY ZTÍŽNÍ 65 7 POUŽÍVNÉ IGRY 65 7 ONCNTRÁTORY NPĚTÍ vub 69 7 ÍR BZPČNOSTI 7 8 ZÁLY LOOVÉ CHNIY 79 8 TORI LN RTHUR GRIITH 8 8 TORI GORG RNIN IRWIN 85 9 LITRTUR 88 OSLOV 89 Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

7 PRUŽNOST PVNOST 5 OPOVÁNÍ PP I Pužns a pevns jak sučás fik, esp její užší čási mecanik pddajnýc ěes asická Pužns a pevns vs mdení výpčvé numeické med ejména P I Zákadní pjm: SÍLY Vnější Vniřní Saická vnváa vnějšíc si všec VNITŘNÍ SÍLY becněé: Pjmem becněá sía se umí veškeé mžné aížení ed jak saměá sía, ak i sía spjiě žená neb aké saměý esp spjiě žený mmen Obdbně se v případě becněé defmace může jedna jak psunuí ak aké načení n dt d d dn n d a sučasně 0 V V Inenia vniřní sí NPĚTÍ mecanické becné nmávé smkvé ν d d dn d Rmě napěí v susavě SI: [Nm - ] [Pa] pasca esp [Nmm - ] [Pa] megapasca Pa 0 6 Pa dt d Pnámka: Zejména v angsaské dbné ieauře se ásadně uvádí mecanické napěí v ákadníc jednkác Nm - esp Nmm - např aumbik d neb BW uvádějí ve všec ecnickýc předpisec a díenskýc manuáec pevnsi šubů v Nmm - Jednk Pa esp Pa případně kpa jsu pužíván p načvání aků pnů a kapain Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

8 PRUŽNOST PVNOST 6 ORC TĚLS: ε [] γ [] pměné pdužení kadné ks dříve pměné psunuí pměné kácení ápné měna pavé úu v eemenu d u ε esp ε d bude dven pději u v γ bude dven pději PRUŽNOST TĚLS: Scpns ěesa vái se d půvdní savu pkud pmine vnější aížení TUHOST TĚLS: Scpns ěesa dáva defmacím ZÁLNÍ PŘPOLY ŘŠNÍ ÚLOH PP: Předpkad maýc defmací v eaci s saními mě, Pans ineání ávissi mei napěím a defmací Hkův ákn, Pans Sain-Vénanva pincipu měna aížení se nese na maé vdáensi d ceé půřeu sučási a vivní ak jen mau bas, keu anedbáme, isence ideání maeiáu - mgenní be vměsků, vů,, - ispní ve všec směec sejné vasnsi Skuečná sučás čas anaick neřešiené peimen veice čas pvádíme přím na skuečné sučási neb na skuečném mdeu veice bíkém é, sučási Přes však nemusí bý en mde žný s výpčvým mdeem P mu bý mei výsedk ískanými epeimenáně a výpč načné dí Výpčvý mde řada jedndušení - řešiené P výpč v pužnsi a pevnsi vužíváme v výpčvý mde, keý vnikne a pužií ůnýc jedndušujícíc předpkadů - čím věší je jedndušení ím nepřesnější jsu výsedk vedem ke skuečnsi Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

9 PRUŽNOST PVNOST 7 NPJTOST: u napjasi: jednsá dvjsá jsá přímkvá vinná psvá Obecně adaná napjas: jediné nmávé dvě nmává a jedn smkvé ři nmává a ři smkvá napěí napěí napěí všecna v jediné vině neb neb Napjas adaná avními napěími jediné nmávé dvě nmává ři nmává napěí napěí a napěí, a bě v jediné vině neb neb Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

10 PRUŽNOST PVNOST 8 ZÁLNÍ ZPŮSOBY NÁHÁNÍ: Taem/akem uem Obem Smkem ±N T T N N T Vvá napjas: jednsu vinnu jednsu vinnu OBINC ZÁLNÍCH ZPŮSOBŮ NÁHÁNÍ: veducí na jednsu napjas veducí na vinnu napjas šikmý b b b ; a/ak a b a/ak a ku ; b a ku ; b a smk HONOCNÍ NPJTOSTI TORI PVNOSTI: Převd edukce jakékiv becné napjasi dvj- neb jsé na jednsu p svnání s dnami ískanými při nmaivané avé kušce maeiávýc vků Rděení pde pu maeiáu, p keý jsu vdné řeké maeiá iina, řčíkvé siin, Teie maimání nmávé napěí X ma ed p min ma min > 0 < 0 Huževnaé maeiá knsukční cei, msai, Teie maimání smkvé napěí ed X ma min Teie va Teie enegeická ed ma ρ min HH p ma > 0 a min < 0, kde R m ρ ed Rmd 6 ed Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

11 PRUŽNOST PVNOST 9 ORČNÍ NRGI: Jedná se vniřní enegii akumuvanu v ěese Zákadem řad výpčů není přím cekvá veiks defmační enegie U, ae usa defmační enegie λ, cž je defmační enegie U važena na jednku bjemu: du λ dv Ta je becně definvaná při pužií šířené Hkva ákna a vau mei mduem pužnsi v au a mduem pužnsi ve smku jak: [ v ν ] λ V případě jednsé napjasi esp napjasi čisé smku se výa p usu defmační enegie výaně jednduší: λ esp λ G sadíme-i nní d ěc vců va p učení napjasi při jednivýc půsbec namáání a budeme-i výsedk inegva přes ceý bjem řešené ěesa dv d, dsáváme: N p a/ak: U N d, p ku: U d G J, p vinný b: U d J, β T p smk d psuvající sí: U T d G P β ávisí na vau půřeu efmační enegie je pak v řadě ú vužívána spečně s předpkadem pansi ákna acvání enegie beávé děje jak psředek k řešení Sučasně paí vě dvené iaským inženýem Caem beem Casigianem: Paciání deivace cekvé defmační enegie U akumuvané v ibvném ěese pde becné sivé účinku půsbící v učiém bdě ěesa S j se vná defmaci ěesa j v mísě a směu půsbící sivé účinku S j : U S j Je-i becným sivým účinkem S j sía j, je vpčená defmace j POSUNUTÍ u j Je-i becným sivým účinkem S j mmen j, je vpčená defmace j NTOČNÍ ϕ j Saick neučiá veičina X i minimaiuje cekvu defmační enegii U akumuvanu v susavě přída vše děá ak, ab jí sá c nejméně enegie: U X i 0 j paí p susav neřáé a nepředepjaé Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

12 PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST 0 Přednášk nvé PP II 5 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi ZS akademické ku 06/07 Úsav mecanik, bimecanik a mecanik Cekvá defmační enegie při kmbinvaném namáání: Při všec výpčec, keé vužívají cekvu defmační enegii U, nesmíme apmenu, jak výsedný va vnik - ákadem vše je usa defmační enegie λ a dva ákadní půsb namáání - nmávé napěí a smkvé napěí Při kmbinaci napěí je řeba uvažva výsednu napjas: nmává napěí např kmbinace a/ak b N : cek cek λ J N J N λ d d J N J N dv U V c λ Odkud vcáí * : N N U U U c d d J N d J d N U nmává a smkvá napěí např kmbinace b ku : λ λ λ G ρ λ p J G J d d J G d d J dv U p V c ρ λ Odkud vcáí ** : d J d d J G d U p U p U c ν * Zde pě funguje pádka dědkvi a bábě, keří spečně s vnučku, psem, kčku a mší aai řepu a spečně dai dmad víc enegie než psý suče enegie každé nic Sejně ak funguje kníže Svapuk a je ři pu ve Saýc pvěsec českýc d ise Jiáska ** Na dí d předcí úva de každý účinek děá něc jiné, a ak se efek spupáce nepjeví a výsedná enegie je pue psým sučem enegií d bu účinků

13 PRUŽNOST PVNOST ROTČNĚ SYTRICÉ ÚLOHY TNOSTĚNNÉ NÁOBY skřepin p adub HH R Učee dvený přeak p, keý přenese pášť enksěnné kuvé akvé nádb, keá má ušťku sěn, sřední pmě R a dvené namáání Sanve minimání ušťku sěn vácvé čási akvé ásbníku sačené vducu aimání pvní ak uvniř váce je p ma Pa, sřední pmě vácvé čási je s 00 mm Nádba je vbena knsukční cei mei kuu R e 50 Pa Nádba má bý navžená s bepečnsí k k 5 vůči mei kuu Lkmiva čás v ivněná usí dna nev ivněná vácv á čás čás v ivněná usí dna BRÁNOVÝ STV: Pdmínk ajišění membánvé savu: Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

14 PRUŽNOST PVNOST Pušení membánvé savu: TBUL ONSTRUČNÍ ŘŠNÍ TNOSTĚNNYCH NÁOB: Užení Spjení T Vdné řešení Nevdné řešení ROTČNĚ SYTRICÉ SOŘPINY: Havní pmě křivsi - Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

15 PRUŽNOST PVNOST OVOZNÍ NPJTOST ROTČNĚ SYTRICÉ BRÁNY: Lapaceva vnice O Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

16 PRUŽNOST PVNOST Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

17 PRUŽNOST PVNOST 5 PŘÍL TNOSTĚNNÁ ULOVÁ NÁOB: s án: p, R, s, a µ R Uči: a avní napěí vnikající v páši nádb p dvený ak pde eie X R a s měn avníc měů nádb U cekvu def enegii akumuvanu v páši é nádb Řešení: Zákadem řešení je Lapaceva vnice upavená p předpkad: R R R 0 u kuvé nádb nee dnu, keý smě je ečný a keý smě je svý, pže pdmínk keékiv dva navájem kmé smě v ečné vině k pvcu kuvé pášě P P dsaení dsáváme: R R p s dkud vcáí Pevnsní pdmínka pde pé X bude mí va: ed p R s p R s p R s ma min 0 p s R nejmenším minimáním napěím je v m případě řeí nuvé napěí P výpče měn avníc měů nádb pužijeme šířený Hkův ákn p vinnu napjas: R p R s s µ R R ε µ µ a s s ε [ µ ] p R Cekvu defmační enegii U učíme pmcí us defmační enegie λ a bjemu V pášě nádb bjem pášě enksěnné kuvé nádb vpčeme jak V Ss, kde S je pvc kue a s je ušťka: U λ dv λ V ε ε S s V P dsaení dsáváme: p R U µ π R s π µ s Na ávě pvedeme měvu knu výsedku: N [ m] m U [ ] [ ] [ N m] a je ed O! N [ m] m Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

18 PRUŽNOST PVNOST 6 PŘÍL TNOSTĚNNÁ VÁLCOVÁ NÁOB: R s án: p, R, s, a µ Uči: a p evřenu nádbu a avní napěí v páši nádb R a s měn avníc měů b p uavřenu nádbu a avní napěí v páši nádb R a s měn avníc měů Řešení: Zákadem řešení bu případů je Lapaceva vnice, P keu musí pai: R R a R 0 P saením d Lapacev vnice dsáváme: R p s dkud vcáí v bu případec pvní avní napěí: p R s ué avní napěí bude v případě evřené váce př a nuvé: 0 ve sěně evřené vácvé nádb ak vniká pue jednsá napjas V případě uavřené vácvé nádb př b vpčeme dué avní napěí pdmínk sivé vnvá d své směu: R s π R s p p π R a dud již dsáváme: p R s ve sěně uavřené vácvé nádb vniká vinná napjas, kd pvní avní napěí je dvaká věší než dué: P výpče měn avníc měů nádb pužijeme šířený Hkův ákn p jednsu esp vinnu napjas: a evřená nádba: R a uavřená nádba: p R p R R p R s s p R ε µ ε a s s [ µ ] p R s R µ a [ ] u µ s u s p R µ µ Pnámka: P Pissnv čís µ 0, vcáí: Změna pměu uavřené nádb je 5% menší než u nádb uavřené: R u 0,85 R Sěna uavřené nádb se esabí 50% více než sěna evřené nádb: s u,5 s Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

19 PRUŽNOST PVNOST 7 PŘÍL TNOSTĚNNÁ UŽLOVÁ NÁOB: ϕ án: ρ,, a s ϕ acg Uči: a avní napěí v páši nádb Řešení: Zákadem řešení je pě Lapaceva vnice, jen musíme věnva pns spávnému učení avníc pměů křivsi R a R : Pvní avní pmě křivsi R é kuževé nádb se sejně jak u vácvé nádb bíží neknečnu: R uý avní pmě křivsi R vjádříme pde báku: R, kdž sučasně paí gϕ csϕ Spjením bu vaů dsáváme výsedný výa p učení dué avní pměu křivsi: gϕ sin ϕ R csα cs ϕ Pmě R a R dsadíme d Lapacev vnice R R kdž víme, že dsaický ak ávisí na ubce: p ρ g p, s ϕ R ϕ P dsaneme výsedný va p avní napěí ve směu ečném: ρ g sin ϕ s cs ϕ ρ g sin ϕ s cs ϕ Zbývající avní napěí ve směu meidiánu učíme vnvá dřínué čási: Q π s csϕ Tívá sía kapain Q, keá půsbí v mísě řeu je pde báku: π Q ρ g π ρ g gϕ Výsedný va pak je: ρ g gϕ π gϕ scsϕ ρ g sin ϕ s cs ϕ Q Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

20 PRUŽNOST PVNOST 8 PŘÍLY Z ZOUŠ TNOSTĚNNÉ NÁOBY: P Oevřený sud vácvé vau je psaven na ué pdžce a je až p kaj napněn vdu án: R 700 mm; s mm; 000 mm; 0 5 Nmm - ; v 0, a ρ 000 kgm - Uči: Upsřed výšk váce sudu uči měnu pměu R a měnu ušťk sěn / s R Pnvý ásbník ve vau kue půměu je vben cevé pecu ušťce s án: 5 m; s 0 mm; 0 5 Nmm - ; v 0, a 00 Nmm - Uči: vený přeak v nádbě p a p něj měnu půměu, měnu ušťk sěn a enegii U akumuvanu v páši ásbníku s R Pnvdní cevé pubí pvažujeme vedem k je déce a evřenu vácvu nádbu půměu a ušťce sěn s án: 00 mm; s 0 mm; 0 5 Nmm - ; v 0, a 50 Nmm - Uči: vený přeak v pubí p při bepečnsi k P veiks p vpčěe měnu půměu, měnu ušťk sěn a enegii U akumuvanu v jednm meu dék sěn pubí včeně jednek s m Vácvá nádba půměu a ušťce sěn s je uavřená uým víkem, na keé půsbí svisá sía p án: 00 mm; s mm a 0 5 N Uči: Veiks vniřní aku p ak, ab ve sěně váce vnika napjas čisé smku p? a 0 s Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

21 PRUŽNOST PVNOST 9 SILNOSTĚNNÉ TLUSTOSTĚNNÉ NÁOBY PŘPOLY ŘŠNÍ SILNOSTĚNNÝCH VÁLCOVÝCH NÁOB: Paí Hkv ákn všecn uvažvané defmace jsu vané nap í nep!ek"í me úm nsi u esp me kuu, Vše je a"n smeické gemeie, aížení, nap í, defmace, Vše paí v dsae"né vdáensi d den neb jinýc impefekcí p!íub, v,, keé psbují vužení vnikající napjas v c basec b ba pdsan sži jší Vpčěe ušťku sěn akvé vá ce dviací aříení kb eké nákadní vu Taa 805, náe-i přebnu síu, půmě písu, maeiá váce a ak eje, keý je scpn vvdi čepad Taa 805 / / p d p Umísění dauické váce ve ve, je výpčvý mde a napjas v je sěně Pde předpisů p děské ačk knuje síu, keá je přebná ke sažení kečka řídek a sučadně jisěe, da při výbě isváním nedjde k žení nábje pasvé kečka Sanve ed přebný minimání a maimání přípusný přesa půměu řídek, náe-i její maeiá a sučasně i maeiá naisvané kečka nábje sa d eai 00 : Bbuag b ečk naisvané na říde a výpčvý mde naisvané spje Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

22 PRUŽNOST PVNOST 0 Úa je ačně smeická vjmeme eemen ve vácvýc su!adnicíc ZÁLNÍ ROZĚLNÍ pde psbu, keým je uav!en vni!ní ps nádb NÁOB UZVŘNÁ dn neb vík je pevnu su"ásí vasní!ešené nádb je k ní p!išubvané, p!iva!ené, V é nádb ak VZNIÁ své nap í NÁOB OTVŘNÁ akvý ps uvni! nádb je uav!en jiným esem, keé není s nádbu pevn spjen pís, V é nádb ak nevniká žádné své nap í R p p Hdauický váec Pnámka: U av šené dauické váce vnikne své nap í jak dsedek p!ensu eak"ní sí R d pdp v av šení Nevivn ná "ás sins nné vácvé nádb Nádba jadené eaku Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

23 PRUŽNOST PVNOST TTICÉ INTRZZO V násedujícíc přednáškác budeme řeši vnváu eemenu ační smeické ěesa sinsěnné nádb, ující kuče neb enké kuvé desk, keá pvede až na difeenciání vnici dué řádu Při dvení budu vužíva někeé ba, keé jsu vám učiě nám přednášek maemaik, ae p jisu a své čisé svědmí vůči vám je de ješě jednu připmenu: deivace sučinu dvu funkcí: deivace pdíu dvu funkcí: deivace sžené funkce: u v u v u v u u v u v v v u [ v ] u v v difeenciá funkce jedné pměnné: du d [ u ] d d 5 difeenciá funkce více pměnnýc: f f f d 6 ueva difeenciání vnice: f f f 0 6 difeenciání vnice řádu a její řešení: f f f g Řešení f se skádá e dvu čásí: [ f,, ] d d d Čás mgenní f H dpvídající vau difeenciání vnice Čás paikuání f P dpvídající pavé saně difeenciání vnice f f f H Hmgenní čás řešení f H má v ěc případec vžd va: B f H Paikuání čás řešení f P budeme dadva pde vau pavé san g půvdní vnice: n Je-i pavá sana ve vau mcnin g k, dadneme paikuání řešení ve vau úpné pnmu sejné supně: f n i P ai i eficien a i v dadu učíme p dsaení paikuání řešení d půvdní vnice Paikuání řešení f P iž jak jedn mžnýc řešení dané difeenciání vnice musí é vnici vvva P Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

24 PRUŽNOST PVNOST OVOZNÍ ZÁLNÍ IRNCIÁLNÍ ROVNIC ŘŠNÍ NPJTOSTI SILNOSTĚNNÝCH VÁLCOVÝCH TLOVÝCH NÁOB s n vácvé nádb vjmeme eemen dék d b vni!ním pm u pd úem dϕ a dϕ ušťce d Nejpve p!edpkádáme ev!enu nádbu, kd nepsbí na eemen žádné své kde e"né nap í je, ae adiání nap í se m ní e na d Za c p!edpkad nní sesavíme sivu vnváu!ešené eemenu: nap í 0 d b Takže na eemen psbí pue vinná napjas, d dϕ d dϕ d v Jednivé "en é vnice vnvá vjád!íme pde báku: emenání e"ná sía je d b d Výsedná eemenání adiání sía je d d b [ d dϕ] [ b dϕ] d dϕ b d dϕ b d d dϕ b [ d d d d ] dϕ b [ v 0 d d d Pdsaení d vnice vnvá dsáváme a p!edpkadu b 0 a dϕ 0 výsednu vnici: d [ ] d 0 ] dϕ b Jedná se difeenciání vnici ae se dv ma nenámými vei"inami úa je saick neu"iá a je ed!eba dpni defma"ní pdmínku Tu sesavíme eemenu p!ed a p defmaci: d d d { d [ u du] u } d du ε u, u du d d d d v u d dϕ dϕ d d d d u dϕ u ε d dϕ Nní va dsadíme d ší!ené Hkva ákna, abcm vjád!ii e"né nap í a adiání nap í pmcí jediné nenámé psunuí u: u [ ε ] u µ ε µ µ, µ u [ ε µ ε ] u µ µ µ u d µ µ µ [ ] d u µ [ u d u d u d] d O Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

25 PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST Přednášk nvé PP II 5 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi ZS akademické ku 06/07 Úsav mecanik, bimecanik a mecanik Nní "en dsadíme d pvdní difeenciání vnice v nap íc: [ ] d u d u d u d u d u d d µ µ µ Pže p!edpkádáme eáný maeiá, p keý je 0 µ a aké p!edpkádáme, že difeenciá dék d je sice nekne"n maý avšak nenuvý d 0, musí pai: 0 u u u Tím jsme ískai difeenciání vnici dué!ádu, ae již jen jediné nenámé psuvu u 8ešení é vnice je vžd ve vau: u n Pvedeme ed deivace!ešení: n n u a n n n u a dsadíme je d pvdní vnice a upavíme ji: 0 n n n n n n [ ] 0 n n n n Za p!edpkadu, že n 0, musí bý nue vna anaá ávka, dkud vcáí vnice: 0 n a její!ešení je n ± T namená, že jednivá!ešení jsu a Výsedná edaná funkce u je pak ineání kmbinací bu c mžnýc!ešení: C C u Pvedeme-i nní deivaci esp vd ení!ešení su!adnicí, ískáme "en p!ebné k dsaení d va p jednivá nap í ší!ený Hkv ákn: C C u a C C u sadíme-i nní "en dsáváme: C C C C u u µ µ µ µ µ, C C C C u u µ µ µ µ µ V bu c vnicíc se vskují sejné "en Pkud ed avedeme nvé na"ení knsan: C a C Cž jsu b žn pužívané vnice pp vjad!ující pb nap í jak funkci su!adnice

26 PRUŽNOST PVNOST p p Nv avedené dv knsan a C naaují pvdní dv knsan C a C u"íme kajvýc pdmínek, keé musí vácvá nádba sp<va na vni!ním a na vn jším pvcu: p a p saením dsáváme vjád!ení knsan a C ji! jen pmcí adanýc vei"in p, p, a : p p a C p p Rm c knsan jsu: [Pa] a C [N] Nní si pb baíme a dvdíme n keé dežié va mei jednivými nap ími Ze vau vnic pp je pané že: p bude i, p 0 bude i ±, p jakékiv paí, pže p bude p, 5 pže p bude p p p C p C p p p Výpče své napěí v uavřené sinsěnné nádbě: p p Vni!ní ak p psbí evni! jak na s nu nádb ak i na její dn Sejn ak vn jší ak p psbí vn jšku na s nu nádb i na její dn Hedané své nap í p!edpkádáme knsanní p ceé ušťce s n a psbící ve sm u s nádb Sivá vnice vnvá d sm u s nádb je: 0 Nní d é vnice dsadíme a jednivé "en: ; p a p p π p π 0 p p π Všimn e si, že veiks své nap í je sejn veká jak je veiks inega"ní knsan P je v n keýc, ejména sašíc u"ebnicíc, knsana na"vána jak Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

27 PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST 5 Přednášk nvé PP II 5 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi ZS akademické ku 06/07 Úsav mecanik, bimecanik a mecanik SROVNÁNÍ VÁLCOVÉ UZVŘNÉ SILNOSTĚNNÉ TNOSTĚNNÉ NÁOBY: Tenksěnná vácvá nádba je pdmnžinu sinsěnné vácvé nádb esp sinsěnná vácvá nádba je nadmnžinu enksěnné vácvé nádb Pužijeme ákadní vnice p napěí v sinsěnné vácvé uavřené nádbě: C, C,, kde knsan a C upavíme p enksěnnu nádbu, předpkádáme-i že paí: R R a ; R Výsedné va pak budu mí p úpavác va: R p R R p p p p R, R p R R p p p p C R Nní již upavené dn dsadíme d ákadníc vnic půběů napěí v sinsěnné uavřené vácvé nádbě: R p R p R p R R p R p R C, 0 R p R p R R p R p R C, R p T výsedk přesně dpvídají výsedkům, keé b dven pmcí Lapacev vnice v PP I p vácvu uavřenu, esp evřenu nádbu Σ

28 PRUŽNOST PVNOST 6 OVOZNÍ ORC PLÁŠTĚ SILNOSTĚNNÉ NÁOBY O Pže ve s n sins nné nádb vniká becn psvá napjas uav!ená nádba neb vinná napjas ev!ená nádba, musíme ke sanvení defmací m n pm nádb a vuží ší!ené Hkva ákna P!i sanvení m n pm u vjdeme e ákadní dvení sins nnýc nádb vau p výp"e e"nýc defmací: u ε Pže u je psunuí becné mísa ppsané su!adnicí ve sm u é su!adnice, musí na vni!ním pvcu pai: ε Obdbný va musí pai i na vn jším pm u: ε Odud ískáme p!ebné va p u"ení m n pm nádb a : ε a ε P!i daším výp"u defmací pmcí ší!ené Hkva ákna musíme iši, jedná-i se nádbu uav!enu neb nádbu ev!enu: a p nádbu uav!enu 0: { µ [ ]} esp { µ [ ]} b p nádbu ev!enu 0: { µ [ ]} esp { µ } Zm na dék sins nné nádb se aké musí p"ía ší!ené Hkva ákna s uvažvání uav!ené neb ev!ené nádb: a p nádbu uav!enu 0: b p nádbu v!enu 0: ε µ [ ] u u Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

29 PRUŽNOST PVNOST 7 OVOZNÍ INZOVÁNÍ SILNOSTĚNNÝCH NÁOB PVNOSTNÍ POÍNY a nádba s vni!ním p!eakem p > p ev!ená Nejnamáan jším mísem je vžd p vni!ní pm V m mís bude pevnsní pd mínka de pé X : ed Jednivé "en v é pevnsní pdmínce vjád!íme pmcí ákadníc va p výp"e nap í sins nnýc nádb: p p p 0 O p p p p a p P dsaení d pevnsní pdmínk dsáváme: ed p p p p ed p p p dud již p úpav dsáváme b žn pužívaný va p dvený akvý spád: p p b nádba s vni!ním p!eakem p > p uav!ená Nejnamáan jším mísem je vžd p vni!ní pm Pevnsní pdmínka de X bude mí sejný va jak v p!í- pad ev!ené nádb, pže p p a své nap í je vžd mei e"ným a adiáním nap ím ed Veškeé úpav budu sdné s úpavami pvedenými v p!ípad ev!ené nádb, a ak i výsedný va bude naps sejný: p p p p 0 ed Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

30 PRUŽNOST PVNOST 8 c nádba s vn jším p!eakem p > p ev!ená Nejnamáan jším mísem je vžd vni!ní pm, a i v p!ípad, že je nádba namáána vn jším p!eakem V m mís bude pevnsní pdmínka p de pé X : ed 0 Te"né nap í v é pevnsní pdmínce vjád!íme pmcí ákadní vau p výp"e nap í sins nnýc nádb: p p p p P dsaení d pevnsní pdmínk dsáváme: p ed p 0 0 p p p 0 Ten výa již nemá cenu dáe becn upavva, pže jednducý va p dvený akvý V c p!ípadec je výdné vžd již vjád!i p!ím edanu vei"inu a vp"ía ji ed p p d nádba s vn jším p!eakem p > p uav!ená Nejnamáan jším mísem je vžd vni!ní pm, a i v p!ípad, že je nádba namáána vn jším p!eakem V m mís bude pevnsní pdmínka p de pé X : ed Jednivé "en v é pevnsní pdmínce vjád!íme pmcí ákadníc va p výp"e nap í sins nnýc nádb: p p p p a p P dsaení d pevnsní pdmínk dsáváme: p 0 ed p p p p p p ed p p p p p Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

31 PRUŽNOST PVNOST 9 PŘÍL SILNOSTĚNNÁ NÁOB PVNOSTNÍ TORI: án: Váec sacinání dauické vedáku má vniřní půmě d 00 mm a vnější půmě 60 mm Ceý je vben cei mduu pužnsi,0 5 Nmm - a mei kuu 0 Nmm - Uči: S bepečnsí k 5 maimání síu ma, keu e íska na písu váce p d ma P Řešení: Jedná se evřenu akvu sinsěnnu nádbu, a ak ve vácvé čási budu vnika pue dvě napěí ečné a adiání Obas vivněnu dnem nebudeme řeši, pže de vniká pdsaně sžiější napjas, keá překačuje sa kuu Paame výpču ed jsu: d/ 50 mm, / 80 mm, p p? a p 0 P výpče pde pé X můžeme puží přím dsaení d dvené vce: k 0 5 d 00 p p,0 Pa 60 P výpče pde enegeické pé HH musíme vjádři napěí jak funkce nenámé aku p : p ; p ; p p p T dn nní dsadíme d pevnsní pdmínk p dvjsu napjas a :, p p 5,8 Pa k k Hedaná maimání sía pak bude: ma p písu X : ma,0π N 0 kn HH: ma 5,8π50 09 N kn Pnámka: Jednivé dn pde X jsu: Nmm - 9 Pa ed 6 Nmm - Nmm - 0 Nmm - 8 Nmm - 9 p 8 [ ed ] X 6 Pa Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

32 PRUŽNOST PVNOST 0 PŘÍLY Z ZOUŠ SILNOSTĚNNÉ NÁOBY: P án: 00 mm; 00 mm; p 90 Pa; p 5 Pa; 0 5 Nmm - ; v 0, a 00 Nmm - Uči: ed pde pé X ; a p: a evřenu nádbu b uavřenu nádbu a OTVŘNÁ NÁOB: b UZVŘNÁ NÁOB: p p X X ed ed án: 50 mm; 00 mm; p 5 Pa a 50 Nmm - Uči: p pde pé X p p X ed 0 án: 50 mm; 50 mm; p 0 a 60 Nmm - Uči: p pde pé X p 0 X ed án: 0 mm; p 5 Pa; p 5 Pa; 00 Nmm - ; 0 5 Nmm - a v 0, Uči: pde pé X a a p p X ed 0 Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

33 PRUŽNOST PVNOST Tabuka snuí všec mžnsí pevnsníc pdmínek sesavenýc pde pé X p dimenvání sinsěnnýc vácvýc nádb namáanýc přeak p a p : Σ p nádb uavřená nádba UN evřená nádba ON p > p p p p > p p p 0 Pnámka: B b samřejmě mžné dvdi bdbné va pde enegeické pé HH, ae b b bečně pacné vedem ke vau ed pde é pé Hpéa X je vedem k HH knevaivní, a ak dvené pdmínk vi předcí abuka jsu na saně bepečnsi OVOZNÍ ZVLÁŠTNÍ PŘÍPY SILNOSTĚNNÝCH VÁLCOVÝCH NÁOB: O Nádba be vu: 0; p 0 Jedná se pakick pný!íde pm u d, na keý psbí vn jší p!eak p : Nádba s maým vem: 0; p 0 Jedná se pakick pný!íde pm u d, ve keém je vván vemi maý maací v 0 aím be vni!ní p!eaku p 0, na keý psbí jen vn jší p!eak p : p p p p Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

34 PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST Přednášk nvé PP II 5 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi ZS akademické ku 06/07 Úsav mecanik, bimecanik a mecanik Vjád!íme si pmcí c dn knsan a C užívané v vnicíc nap í p p p p 0 p p C T dn dsadíme d ákadníc va: C C dkud ískáme výsedné pb nap í: 0 0 p p Pb bu nap í jsu knsanní a sdné a aké sdné s knsanu a jejic veiks je vna dn vn jší aku p Pnámka: nsana C musí bý nuvá i maemaick, pže jinak b "en C/ v vnicíc pb e"né a adiání nap í ved v se nádb p 0 na maemaick nep!ípusný výa C/0 Vjád!íme si pmcí c dn knsan a C užívané v vnicíc nap í p p p p p p p p C T dn dsadíme d ákadníc va: C C uý "en v c vnicíc musíme psudi pedu veiksi su!adnice : p: je p p C, p: > je 0 p C, dkud ískáme výsedné pb nap í v ávissi na su!adnici : : : p p p p > : 0 : p p p > Pb bu nap í ve v šin ušťk s n dpvídají nádb be vu a jsu ed knsanní a jejic veiks je vna ápné dn vn jší aku p Pue v maé basi bíké vu se pb výan dišují d p

35 PRUŽNOST PVNOST NLISOVNÉ SILNOSTĚNNÉ NÁOBY: Jednducá sins nná nádba má eaivn nevýdné žení nap í aimání edukvané nap í je na pm u a v ceé bývající s n je edukvané nap í nižší, až na vn jším pm u je nejnižší Znamená, že v šina nádb je pevnsn nevužívána p Pže u nádb namáané vni!ním p!eakem je dminanní avé e"né nap í je!eba vnés akvá nap í d nádb T dsáneme pmcí p!esau na pm u, se keým na sebe b sins nné nádb naisujeme Zaímc pb adiání nap í se m ní pue má, ak pb e"né nap í se m ní výan, "ímž djde k dínému namáání vni!ní a vn jší "ási naisvané nádb Obecn paí va bude dven násedn : p in p e p p e p in ed in ed e II I Vdným ásaem d pb u adiání nap í mžeme výan vivni cekvé žení nap í Cíemnaisvání je vnesení p!edp í pa"né naménka než je nap í p!i pvu a ím dsánu výšení p!ípusné p!eaku p Pakick p ceé s n paí ed kns aší výdu c vsvenýc knsukcí km pimaiace žení nap í mže bý aké abán ní ší!ení in, pže ina bížn p!esk"í p!es aní dvu susedníc vsev p p Teeick e na sebe isva i více nádb neb knakní ak vvva navíjením vn jší vsv na vni!ní s u"iým p!edp ím Tak dsaneme mnvsvé nádb bdba nýc vsvenýc aminávýc knsukcí apd T nádb mu mí pb edukvané nap í p ceé ušťce s n pakick knsanní ed in ed e áe budeme!eši pue dvuvsvé naisvané vácvé nádb vícevsvé b se p"ía sejn, jen b va pdsan dée II I p p p p ed p ed p p I p p II ed II ed I I ed II ed I II I II Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

36 PRUŽNOST PVNOST OVOZNÍ URČNÍ PŘSHU U VOUVRSTVÉ NLISOVNÉ VÁLCOVÉ NÁOBY O I sav p naisvání a aížení p!eak p a p I I II II II L II L I L I L II pvdní nap í nap í d naisvání Supepice napjasi v naisvané nádb P!edpkádáme b ev!ené sins nné nádb I II 0 vbené e sdné maeiáu a vše v basi maýc defmací nap! v ámci výbníc eance Také uvažujeme že: II I Z báku je pané, že p naisvání a aížení nádb vni!ním p a vn jším p p!eakem mžeme edaný p!esa vjád!i pmcí díu defmací vn jší II a vni!ní I nádb: II I Tu vnici vd íme pm em a vužijeme p!edpkadu sk sejnýc pm I a II : II I II I II I II I ε ε Te"né defmace na pm u vjád!íme ší!ené Hkva ákna pmcí e"nýc a adiáníc nap í, esp pmcí aku p : I I I [ µ ] [ ] I ε µ p, II II II [ µ ] [ ] II ε µ p Nní vjád!íme dí e"nýc defmací na pm u : ε II I II I {[ µ p ] [ µ p ]} [ ] I ε II Pkud dsadíme a e"né nap í vn jší esp vni!ní nádb námé va: dsáváme: II II I I p esp p II I II I [ p p ] I II ε ε Hedaný p!esa mžeme pak vjád!i jak vi báek na p!edcí san : Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

37 PRUŽNOST PVNOST 5 Pde eie naisvanýc nádb e vřeši aké nábj na řídei užení s přesaem H!íde je vni!ní nádba I be vu a p a nábj je vn jší II ev!ená nádba ; a p, a ak pde vau p p!esa bude: p II I p Z vnice vjád!íme ak p jak funkci p!esau : p Známe-i ak p a m!ídee i nábje, mžeme pvés pevnsní knu bu "ásí naisvané spje pde pé X : H H H H!íde H: ed 0 p p, p N N N N Nábj N: ed p p p p Je vid, že namáání nábje je více než v ší než namáání!ídee, na keý je nábj naisván Pnámka: Z c va e u"i minimání esp maimání únsns naisvané spje neb aké síu, keá je!eba k naisvání nábje na!íde esp síu, keu musíme vvinu, abcm nábj!ídee sundai Ve všec c p!ípadec musíme ná ší!ku nábje b a aké su"inie!ení, keý vniká na s"nýc pcác nábje a!ídee nakní ak p vvá mei nábjem a!ídeem na eemenání pše d dϕd knakní nmávu síu dn, keu mžeme vjád!i pmcí m, p!esau a mduu pužnsi : dn min min p d d dn dn ma ma Nní u nmávu sžku N p!ep"eme pmcí su"iniee!ení f na e"nu sžku T isují dv mžnsi: p H H H N N N d d P výp"e isvací sí L nás ajímá e"ná sía d sm u s!ídee T pužijeme svý su"inie!ení f P výp"e p!enášené kuicí mmenu nás ajímá e"ná sía d sm u spe"né e"n vácvé pc nábje a!ídee T pužijeme e"ný su"inie!ení f Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

38 PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST 6 Přednášk nvé PP II 5 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi ZS akademické ku 06/07 Úsav mecanik, bimecanik a mecanik Lisvací/savací sía L/S ed bude: ma ma / min min / / π π b f b f dn f dt S L S L S L P!enášený kuicí mmen bude: ma ma min min π π b f b f dn f dt Pnámka: Všecn p!edcí výp" b pvád n p sdné maeiá!ídee i nábje, esp p maeiá se sdným mduem pužnsi a sdným Pissnvým "ísem µ V p!ípad naisvání nábje na!íde vbený jiné maeiáu pas/ce, je!eba dvdi va s pužiím dínýc maeiá Odvení a"íná již pužiím ší!ené Hkva ákna, kde je!eba ve všec vaíc išva mdu pužnsi nábje a!ídee a p!ípadn i Pissnv "ís µ Sanve maimání namáání řídee a nábje Nábj je psupně naisván na pný říde, na říde s maým vem a na říde vřený ubku nábj na pný říde: nábj na říde s maým vem: nábj na duý říde: Příkad eaiace naisvané spje a výpčvé mde dn dt b dn dt H ed H ed H ed N ed N ed N ed

39 PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST 7 Přednášk nvé PP II 5 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi ZS akademické ku 06/07 Úsav mecanik, bimecanik a mecanik OVOZNÍ INILIZC NÁHÁNÍ NLISOVNÉ NÁOBY de pé X : Předpkádáme: b sins nné nádb jsu knsuvané jak ev!ené I II 0, b nádb jsu vbené e sejné maeiáu I II, µ I µ II µ a I II, namáání naisvanýc nádb je vni!ním p!eakem p > p > p paí pdmínka sdné maimání namáání bu nádb: ed ed II I Nní pužijeme p vni!ní nádbu I i vn jší nádbu II pdmínku dvenu pde pé X p ev!enu nádbu a dv vnice se"eme a p!edpkadu, že knakní ak p musí psbící jak na vni!ní ak na vn jší nádbu musí bý sejný: I: p p, II: p p, Σ: p p T je výa p dvený akvý spád ak p p, ab páv v bu "ásec ba spn na OVOZNÍ OPTILIZC GOTRI NLISOVNÉ NÁOBY: P dvený dvený akvý spád p p a námé m a edáme pimání veiks pm u naisván ak, ab b akvý spád c nejv ší usí ed pai: 0 p p Za p!edpkadu nenuvé dvené nap í musí ed bý: Odud již dsáváme p!ebný va mei pm ve vau: p Opimání pm p je ed dán jak gemeický pm pm a a maimání dvený akvý spád bude: O O

40 PRUŽNOST PVNOST 8 OLHČNÝ STV NLISOVNÉ NÁOBY pevnsní kna de pé X : P!edpkádáme sav, kd nádba nebude aížena ani vni!ním ani vn jším p!eakem p p 0 a bude pue namáání nenámým knakním akem p, keý je pue a jen dsedkem p!esau Výp"e de"ené savu e pvés jak dí mei skue"ným a fikivním savem sins nné naisvané nádb a neb je mžn p!esau nejpve u"i nenámý knakní ak p a n namáání vni!ní a vn jší nádb p 0 p p p p p 0 p p de"ený sav skue"ný sav fikivní sav naisvané nádb naisvané nádb nádb jedn kusu p p 0 a p 0 p 0 ; p 0 a p 0 p 0 a p 0 Gafick baíme en výp"e pmcí vkesení všec p!ebnýc pb d jedn spe"né diagamu su"asn se baením edukvanýc nap í jednivýc nádb pde pé X II fik I II I II fik fik I II I Skue"ný sav napjasi ikivní sav napjasi Nní již jen nana"ený dí pb pvedeme gafick I II fik fik II I fik II d I d II d II d I d II I II I d I Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

41 PRUŽNOST PVNOST 9 Pb adiání a e"né nap í v jednivýc "ásec Ia II naisvané nádb ppíšeme pmcí ákadníc va p nap í ve s n sins nné nádb ; ; a p ; p ; p : p p I I I I C I I C a, II II II II C II II C a I II ; p p I II ; C p p ; C p p Budeme p!edpkáda, že v aíženém savu a naisvaná nádba pevnsn vvuje: I II ed I a ed II Pb adiání a e"né nap í ve fikivní nádb v!ené jedn kusu ppíšeme aké pmcí ákadníc va p nap í ve s n sins nné nádb ; a p ; p : C C fik fik fik fik fik fik a p p fik ; C fik p p V báku jsu puži ješ knsan de"ené nádb, keé u"íme jak: d II II fik a d I I fik Výsedná nap í v de"eném savu ed na jednivýc pm ec budu: vni!ní nádba I na pm u : d I I fik d I I fik a 0 spjení vni!ní I a vn jší II nádb na pm u : d I d I I fik d II II fik a, I fik d II II fik p a p vni!ní nádba II na pm u : d II II fik d II II fik a 0 Redukvaná nap í v de"eném savu u"íme pde pé X sejn jak v aíženém savu p vni!ní nádbu I na pm u a p vn jší nádbu II na pm u : d I d I d I d I d I ed 0, d II d II d II d II ed p bcm mi knsava, že naisvaná nádba kmpen pevnsn vvuje, musí pai: d I d II ed I a ed II Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

42 PRUŽNOST PVNOST 0 ROTUJÍCÍ TNÉ OTOUČ PŘPOLY ŘŠNÍ ROTUJÍCÍCH OTOUČŮ: Všecn defmace jsu maé a vše je ineání paí Hkv ákn Tušťka ku"e je ak maá, že není!eba uvažva vnik svýc nap í 0 Sanve namáání jedn kuče pevné disku a je defmace pměů a při pvu Sandadní áčk mdeníc pevnýc disků jsu n 7 00 min - a jednivé kuče pevné disku jsu vben cei 0 ω H W Cavia H,5 a výpčvý mde je jedn disku Učee maimání namáání C disku v mecanice kmečně načené 5 a jisěe, jak se při maimáníc áčkác mění mě C disku a a C-R80, mecanika 5 a výpčvý mde disku s nanačenými půbě napěí Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

43 PRUŽNOST PVNOST ZÁLNÍ ROZĚLNÍ pde půsbu, c vše na kuč půsbí vný ku" naisvaný ku" naisvaný ku" s pakami aížený jen ú"ink aížen ú"ink d ds!edivé aížen ú"ink d ds!edivé sí, ds!edivé sí sí a d vni!ní aku d vni!ní aku a vn jší au OVOZNÍ ZÁLNÍ IRNCIÁLNÍ ROVNIC ŘŠNÍ NPJTOSTI TNÉHO ROTUJÍCÍHO OTOUČ O d dϕ dϕ ω d d v d Z enké ku"e ušťk b vjmeme eemen vni!ním pm u pd úem dϕ a déce d P!edpkádáme, že nevniká v eemenu žádné své nap í 0 Takže na eemen psbí pue vinná napjas, kde e"né nap í je, ae adiání nap í se m ní e na d Za c p!edpkad nní sesavíme sivu vnváu!ešené eemenu: d dϕ d v Jednivé "en vnice vnvá vjád!íme pde báku: emenání e"ná sía je d b d Výsedná eemenání adiání sía je d [ d b d dϕ] [ b dϕ ] v do d dϕ b d dϕ b d d dϕ b ρ dϕ b d ω d d d ] dϕ b [ d d d d ] dϕ b [ 0 b d d do Zavedením ρω a p dsaení d vnice vnvá dsáváme a p!edpkadu b 0 a dϕ 0 výsednu vnici bdbnu jak u nádb, ae s pavu sanu: Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

44 PRUŽNOST PVNOST Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

45 PRUŽNOST PVNOST Jedná se p difeenciání vnici ae se dv ma nenámými vei"inami úa je saick neu"iá a musíme dpni defma"ní pdmínku, keu sesavíme eemenu p!ed a p defmaci sejn, jak v p!ípad sins nné nádb: d du ε u a d d d u ε d Nní va sejn jak u nádb dsadíme d ší!ené Hkva ákna, abcm vjád!ii e"né nap í a adiání nap í pmcí jediné nenámé psunuí u: u u u Pkud nní v!ešíme u vnici, musí mí mgenní!ešení sejné, jak m sins nné nádb a paikuání!ešení, keé dadneme pde pavé san ve vau u P nsanu u"íme dsaením dadnué paikuání!ešení d pvdní vnice: 6 8 C C C a u P u C 8 8 u H Výsedné va p nap í pak budu: C µ C 8 C µ C 8 a Jejic pb se p!ibižují k asmpám, keými jsu paab a a a : C a µ C 8 µ 8 ω µ 8 a a C d d u dϕ a C 8 d d µ dϕ u du d d b a ed C a a a Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

46 PRUŽNOST PVNOST OVOZNÍ ZVLÁŠTNÍ PŘÍPY TNÉHO ROTUJÍCÍHO OTOUČ: kuč be vu ω kuč s vemi maým vem ω O ed 0 C Vjád!íme ákadní va a ískáme p výsedné pb nap í: ed 0 C P!i pužií kajvé pdmínk: 0 0 ískáme výsedné vnice pb e"né a adiání nap í p ceém ujícím ku"i: µ C a 8 µ C a 8 Pb bu nap í jsu ed sdné s pb asmp a a a a su ace 0 pínají v dn C nsanu C u"íme dué kajvé pdmínk p vný kaj ku"e: Odud vcáí: 0 µ C 8 Pnámka: I de musí vcáe knsana C nuvá i maemaick, pže jinak b "en C / v vnicíc pb e"né a adiání nap í ved v se nádb p 0 na maemaick nep!ípusný výa C /0 C µ C 8 C µ C 8 nsan C a C u"íme p kajvýc pdmínek p vné ba kaje ku"e: 0 a 0 uý "en v c vnicíc musíme psudi pedu veiksi su!adnice : C µ p: je C p: > je 0 C dkud ískáme výsedné pb bu nap í v ávissi na su!adnici : 8 : C > : a : 0 > : a Pb nap í ve v šin ující ku"e s maým vem dpvídají pb m nap í v ujícímu ku"i be vu a jsu ed pakick vné asmpám Pue v maé basi bíké vu se pb výan dišují Veiks adiání nap í kesá k nue a e"né nap í dsauje dvjnásbku knsan C Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

47 PRUŽNOST PVNOST 5 PŘÍL VOLNÝ TNÝ ROTUJÍCÍ OTOUČ: án: Uvažujme běžné C neb V vbené pkabnáu Zákadní paame disku jsu: d 5 mm, 0 mm,, mm, maeiá ρ 90 kgm -, ν 0,, 850 Nmm -, 60 Nmm -, P 70 Nmm - POZOR!! Numeické výpč je řeba pvádě v jednkác susav SI: s ; m a Nm Nm -, Nm -, P Nm - Uči: aimání namáání vnikající při áčkác n min - 07, s - Řešení: Va p ečné a adiání napěí vnikající v enkém ujícím kuči becně jsu: C ν C ν C a C, 8 8 Veiks knsan ávisí pue na maeiáu kuče a je áčkác úvé csi: π π 9 - ω n , s a ρ ω 90 07,,05 0 kg m s nsan C a C učíme kajvýc pdmínek C disk můžeme pvažva vedem ke půsbu unášení jak vný kuč, p keý musí pai: 0 0 C 0 C 8 ν ν C C 0 C 8 ν ν C aimání ečné napěí vniká na vniřním pměu disku a je veiks ve dána vaem: ν µ 8 ν [ ν ν ] 8 8 9, [ 0,0075 0, 0,06 0, ],9 0 Nm,9N mm Pže pde předpkadu enké kuče je 0 a pde kajvé pdmínk je 0 bude: ed,9 Nmm - << 60 Nmm - Nní ješě učíme ečné napěí na vnějším pměu 0, pže adiání napěí náme p vný kaj kuče musí pai 0:,9 Nmm - C,97 Nmm - a a 0,9 Nmm - P ν 8 9,05 0 [ ν ν ] [ 0,0075 0, 0,06 0, ] 6 0,9 0 Nm - ν 8 0,9N mm - ν 8 Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

48 PRUŽNOST PVNOST 6 TNÉ RUHOVÉ SY PŘPOLY ŘŠNÍ RUHOVÝCH S: Všecn defmace jsu maé a vše je ineání paí Hkv ákn Tušťka desk je ak maá, že není!eba uvažva vnik svýc nap í 0 ani vnik smkvýc nap í Vedem k maé ušťce desk paí Benui eie ineání žení bvýc nap í Sanve veiks dvené své aížení ve sředu iinvé ku kanáu, náe-i dvené namáání v au, dvené napěí v aku a mě q w ma R Vík kanávé veu v dažbě a je výpčvý mde Jaký ak muse vniknu v důsedku bigickýc pcesů v knevě, pkud se její vík vkenu 5 mm, jsu-i dán mě a maeiá pecu něž je kneva vbena w ma neva, její vík jak enká deska a její výpčvý mde Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

49 PRUŽNOST PVNOST 7 ZÁLNÍ ROZĚLNÍ pde psbu, jak je deska užená nepdep!ená vná deska pdep!ená vná deska veknuá deska OVOZNÍ ZÁLNÍ IRNCIÁLNÍ ROVNIC ŘŠNÍ NPJTOSTI TNÉ RUHOVÉ SY d q dt d dt dt d O d d d d d d d V desce vnikají dvje bvá nap í ve sm u e"ném a ve sm u adiáním vvána bvými mmen d a d Pže paí Benui ineání eie žení nap í, jsu nap í s mmen váána p!es p!evé mdu v bu T p eemen budu: dα d d d d d dw dα 6 Nní vjád!íme jednivé mmen ak, abcm mi sesavi mmenvu vnici vnvá!ešené eemen: d v d dα dw esp d, 6 dw men vjád!íme pmcí e"né nap í a p!evé mduu W : * d d dα 6 d dα d d d v d d Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

50 PRUŽNOST PVNOST 8 men d vjád!íme pmcí adiání nap í a p!evé mduu dw : d dw dα 6 men d d vjád!íme pmcí nap í d a p!evé mduu dw * : d d [ d ] dw P!i anedbání vei"in dué!ádu d d 0 dsáváme: d d [ [ d ] d * dϕ 6 d 67 8 d d 6 ] dα Síu dt esp dt dt vjád!íme pmcí spjié aížení q esp výsedné sí dq, keá psbí d s!edu desk neb d vni!ní kaje desk až d!ešené mísa ppsané su!adnicí : Q Q dq dt dα a dt dt π d π d dα Nní p!i anedbání vei"in dué!ádu dqd 0 vjád!íme pmcí sí dt mmen d: dq d dt d d dα π Výsedný mmen d v ed bude: d [ d d ] d d v Q d v [ d ] dα d dα 6 π d Q dα d dα 6 π P dsaení všec c výsedk d vnice vnvá dsáváme: d Q dα d dα 6 π 6 Výsedná difeenciání vnice p dα 0 bude mí va: Q d d 6 d π d dα Jedná se difeenciání vnici ae se dv ma nenámými vei"inami úa je saick neu"iá a je ed!eba dpni defma"ní pdmínku Tu sesavíme enká p eemen p!ed a p bu a psunuí u vjád!íme pmcí m n vcvé úu ϕ, keý p!edpkádáme maý, a ak psunuí desk u na daném pm u bude: u ϕ ϕ ϕ / / ϕ u ϕ Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

51 PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST 9 Přednášk nvé PP II 5 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi ZS akademické ku 06/07 Úsav mecanik, bimecanik a mecanik Radiání a e"nu defmaci ak mžeme vjád!i jak: d d d d d du ϕ ϕ ϕ ε, u ϕ ϕ ε Nní va sejn jak u nádb a u ku" dsadíme d ší!ené Hkva ákna, abcm vjád!ii e"né nap í a adiání nap í pmcí jediné nenámé úu ϕ: [ ] ϕ µ ϕ ϕ µ ϕ µ ε µ ε µ, [ ] ϕ µ ϕ ϕ µ ϕ µ ε µ ε µ Pmcí c va vjád!íme "en evé san pvdní vnice d d : [ ] d d d d d ϕ µ ϕ ϕ ϕ µ ϕ, d d ϕ µ ϕ P dsaení d pvdní difeenciání vnice v nap íc dsáváme: d d d d d d d ϕ µ ϕ ϕ µ ϕ ϕ ifeenciá dék d je sice nekne"n maý avšak nenuvý d 0, a ak musí pai: π 6 Q ϕ ϕ ϕ N ke!í au!i apisují u difeenciání vnici v upaveném vau: ϕ ϕ ϕ, kde: [Nm - ] je aížení desk d p"áku až d mísa važené na jednku dék: Q π, [Nm] je deskvá us jednkvé dék bvdu: " " " " J µ 8ešení difeenciání vnice se bude p skáda mgenní "ási, keá bude sdná s nádbami a ku"i a paikuání!ešení, keé bude áeže na pavé san!ešené vnice a mže ak nabýva nýc va pde psbu aížení!ešené desk: C C P P H ϕ ϕ ϕ ϕ Inega"ní knsan C a C p áeží na kajvýc pdmínkác!ešené desk

52 PRUŽNOST PVNOST 50 Tu difeenciání vnici e apsa aké v v saženém vau: 6 Q π ϕ neb s vužiím aížení na jednku dék a deskvé usi : ϕ Sažený va je veice výdný ediska!ešení difeenciání vnice psupnu inegací pkud nedkážeme p!ím dadnu paikuání!ešení Pnámka: Va p nap í esp naménk v nic je sanven pde namáání SPONÍHO pvcu!ešené desk: Je-i spdní pvc naaván, je naménk a je-i spdní pvc sa"ván, je naménk ORC PRŮHYB TNÉ RUHOVÉ SY Z báku pbu desk pdep!ené na kaji je pané, že paí: dw ϕ d Odkud vjád!íme pb desk w inegací evé a pavé san a p!idáním inega"ní knsan : w ϕ d Inega"ní knsanu u"ujeme kajvé pdmínk p užení desk: pdep!ená esp veknuá deska na pm u : 0 w, ϕ spjení dvu desek I a II na pm u : I II w pbvá pca USÍ bý spjiá ϕ w dϕ 0 d dw Pnámk: Pdmínk p pb nepužíveje v žádném p!ípad p!i u"vání inega"níc knsan C a C, pže ím d ú vnášíe jen daší knsan Obecn e!íci, že pb mžeme!eši až ed, máme-i kmpen d!ešen na"ení enké desk ϕ, a v"en knsan C a C Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

53 PRUŽNOST PVNOST 5 ORJOVÉ POÍNY POUŽÍVNÉ PŘI ŘŠNÍ RUHOVÝCH S Pdmínk na kaji desk: Pkud se jedná desku be vu ups!ed, je jedním kaj páv sa desk, kde e smeie desk vžd paí: ϕ 0 0 V!ešení USÍ vžd vpadnu "en C /, pže b jinak nasa maemaick nep!ípusný sav d ení 0 N ke!í au!i uvád jí pdmínku ve vau: 0 0, pže ups!ed desk nee dnu, keý sm je e"ný a keý adiání, esp pkud vpad "en C / a paikuání inegá bude v nue aké nuvý, bude ve s!edu desk pue knsana C, a ak b nap í USÍ vcáe sejn Pkud má deska ve svém s!edu v je en a"áek desk jedním kajem a duým kajem je knec ceé desk Na c kajíc mu nasa cekem!i mžnsi: Vný neaížený kaj desk na pm u mže bý i pdep!ený, ae není de aížen mmenem: 0 O Zaížený kaj desk na pm u mmenem ± esp ±m mže bý i pdep!ený: ± W ± m 6 π m "" 6 ± π 6 esp ± ± ± w 6 m Veknuý kaj desk na pm u mže bý jak vni!ní kaj desk ak i vn jší : ϕ 0 esp ϕ 0 m m Pdmínk ve spjení dvu pí desk: Ve spjení dvu pí a enké kuvé a"n smeické desk na becném pm u je!eba sesavi dv kajvé pdmínk Pvní pdmínka vžd au"uje adks pbvé pc ve spjení na pm u : ϕ ϕ uá pdmínka ávisí na individuáním usp!ádáním každé ú desk a psbu spjení pí a desk na pm u isují cekem "!i mžnsi spjení dvu pí desk: Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

54 PRUŽNOST PVNOST 5 Spjení desek sejné ušťk be aížení vn jším mmenem W 6 W W π W W Spjení desek dínýc uš k a be aížení vn jším mmenem: W π a W π 6 6 W W W W Spjení desek sejné ušťk se aížení vn jším mmenem ± : W 6 W W π ± W 6 ± ± W W π Spjení desek dínýc uš k a se aížení vn jším mmenem ± : W W π, 6 π 6 P ± L Odkud vcáí: W W ± W W W W 6 π 6 ± π π 6 π 6 π ± Pnámka: Psední vaiana p!edsavuje univesání pdmínku p spjení dvu pí enké kuvé desk, pže spjuje všecn!i p!edcí, a p!i adání mmenu 0 neb uš k Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

55 PRUŽNOST PVNOST 5 V p!ípad, že namís mmenu [Nm] je adán mmen na jednku dék bvdu m [Nm/m], sávají p!edcí úva v pansi a je!eba jen W - p!evý mdu v bu bvdu na pm u naadi w - p!evým mduem v bu jednkvé dék bvdu m π 6 W π 6 a w "" π m 6 m ± ± ± ± ± W π W w π PŘÍL JNOUCHÁ S: án: Tenká kuvá ačně smeická pná deska vnějším pměu je na m vnějším kaji veknuá d absuně ué ákadu a p ceé své pše je aížena knsanním spjiým aížením akem q eska má ušťku << a je vbena maeiáu mduu pužnsi v au a Pissnvě číse ν P Uči: ifeenciání vnici ppisující cvání adané desk, va p napěí a učee aké maimání půb é desk q kns Řešení: Ta deska je be vu a aížená knsanním spjiým akem q Příčné aížení desk Q, keé dsadíme d pavé san bude: Q q π Řešíme ed difeenciání vnici: ϕ 6 q π π ϕ ϕ Paikuání inegá dadneme ve vau: a je deivace budu: ϕ P ϕ P a P ϕ 6 Nenámu knsanu ískáme dsaením paikuání řešení ϕ P a je deivací d půvdní difeenciání vnice, pže i řešení jí musí vvva: 6 q π 6 π 8 Řešení é difeenciání vnice můžeme napsa jak: C ϕ C 6 q π q π q w ma 0 0 ma Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

56 PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST 5 Přednášk nvé PP II 5 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi ZS akademické ku 06/07 Úsav mecanik, bimecanik a mecanik nsan C a C učíme kajvýc pdmínek p užení esp uspřádání desk: OP: 0 0 ϕ 0 C neapmeňe na pavid, že nuu se nesmí děi, 0 ϕ 0 q C q C Úpné řešení difeenciání vnice p úe načení adané enké kuvé desk pak je: q ϕ P výpče defmací a násedně napěí musíme sanvi: q ϕ a q ϕ a dn dsadi d vaů p adiání a ečnu defmaci enké kuvé desk: 8 8 q q ϕ ε ϕ ε a násedně d šířené Hkva ákna: [ ] [ ] [ ] [ ] 8 8 ν ν ε ν ε ν ν ε ν ε q q Pnámk: Z půběů je pané, že adiání napěí kesá směji než ečné, pže ν > ν áe je půběů pané, že vvují pdmínce ve sředu a maimánímu napěí na pměu : ν q a ma q q Výpče defmace desk je pak již jen jednducu inegací funkce ϕ: C q C d q w Inegační knsanu učíme pdmínk p užení desk na pměu : w 0 0 C q q C ed: q w esp 0 ma q C w w

57 PRUŽNOST PVNOST 55 PŘÍL JNOUCHÁ S: án: Tenká kuvá ačně smeická pná deska vnějším pměu je na m vnějším kaji aížena mmenem m, keý je spjiě žen p ceém bvdě desk eska má ušťku << a je vbena maeiáu mduu pužnsi v au a Pissnvě číse ν P Uči: ifeenciání vnici ppisující cvání adané desk a va p napěí m Řešení: Jedná se desku be vu aíženu jen mmenem m, na keu ed nepůsbí žádné příčné aížení Q 0, a p bude pavá sana difeenciání vnice vna 0: 6m/ ϕ ϕ ϕ 0, 0 cž dpvídá ákadní vnici sinsěnnýc nádb a řešení ed sanvíme sejně jak u nádb, ed be paikuání čási ve vau: C ϕ C Sejně jak u nádb be vu bude muse bý C 0, pže p 0 b výa C / nemě sms Půbě funkce ϕ ed bude jen ineání funkcí suřadnice Tím se jednduší va p napěí vjádřené pmcí becnýc vaů p defmace a šířené Hkva ákna: ε ϕ C ϕ ε C [ ε ν ε ] C [ ε ν ε ] C ν ν Znamená ed, že ba půbě budu žné a jejic veiks učíme kajvé pdmínk, kd na vnějším kaji musí bý adiání napěí vvané pue bvým mmenem m Pže mmen půsbuje naavání spdní vákna, budeme adiání napěí uvažva kadné: m m 6 m w "" 6 Hedané půbě napěí v é enké kuvé desce jsu: 6 m a 6 m Pnámk: Pkud bcm dá cěi řeši funkci ϕ, musei bcm sanvi knsanu C : 6 m C ν m C ν áe si pvšimněe, že půbě napěí dpvídají nádbě be vu řídei a jejic veiks je dána veiksí mmenu m, keý půsbí na kaji desk Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

58 PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST 56 Přednášk nvé PP II 5 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi ZS akademické ku 06/07 Úsav mecanik, bimecanik a mecanik PŘÍL JNOUCHÁ S: án: Tenká kuvá ačně smeická deska upsřed s vem pměu a vnějším pměu je na svém vnějším kaji aížena mmenem, keý je spjiě žen p ceém bvdě desk eska má ušťku <<, a je vbena maeiáu mduu pužnsi v au a Pissnvě číse ν Uči: Va p napěí vnikající v é desce Řešení: eska s vem upsřed je aížená jen mmenem a nepůsbí na ní žádné příčné aížení Q 0 P bude pavá sana difeenciání vnice vna 0, cž pě dpvídá ákadní vnici sinsěnnýc nádb, a p k řešení pužijeme a upavíme námé va: C a C Znamená ed, že ba půbě budu sejně jak u nádb pp, keé budu mí su v dně knsan P výpče knsan a C vužijeme va pané p sinsěnné nádb pue s ím, že kajvé pdmínk není řeba přepčíáva aků, ae budu přím: 0 π 6 0 W a π π 6 W P p výpče knsan a C v m případě paí: π, [ ] π C Zbývající kajvé dn ečnýc napěí a ed budu: π π π, π π π Nejnamáanějším mísem é desk bude, sejně jak mu b u sinsěnné nádb, spdní sana vniřní vu upsřed desk, kde bude edukvané napěí pde eie X : ed π 6 0 π X Pnámka: aimání edukvané napěí je jak u nádb s p 0 vn pávě dvjnásbku knsan P 0

59 PRUŽNOST PVNOST 57 PŘÍL SLOŽITĚJŠÍ S POL: án: Tenká kuvá ačně smeická pná deska je na pměu aížena siu ženu p kužnici a na vnějším pměu je kubvě pdepřena p ceém svém bvdu eska má pě ušťku <<, a je maeiá má a ν P Uči: ifeenciání vnice jednivýc pí, na keé je řeba desku děi a přebné kajvé pdmínk Řešení: Tu desku USÍ děi na dvě pe, pže na pměu se mění aížení Pe I: 0 ; : Q I 0, ifeenciání vnice bude: ϕi ϕ I ϕ I 0 II-I Pe II: ; : Q II ifeenciání vnice bude: I I R ϕ I 6 II ϕ II ϕ II π II Řešení ěc dvu vnic budu mí va: C C ϕ I C a ϕ II C ϕii P Paikuání řešení dué vnice bcm učii psupnu inegací sažené vau: 6 II ϕ 6 ϕ IIP n π π Pnámka: V řešení sice vcáí n, kde [m] neb [mm], cž je maemaick nesmsné, ae násedné kajvé pdmínk převedu u funkci d maemaick spávné beměné vau: n / nsan C, C, C a C učíme kajvýc pdmínek c kaj desk, jedna pdmínka: OP: 0: ϕ I 0 0 C 0 - neapmeňe pě na pavid, že nuu se nesmí děi, : ϕ I ϕ II - půbvá pca ve spjení pí musí bý adká : I-II II-I I II - ve spjení není žádný vnější mmen : II 0 - vný neaížený kaj desk Pkud bcm en ssém dřešii, ískai bcm násedující půbě napěí: I I ν ν n ν π, II ν n ν ν, π I-II II ν n ν ν π I II Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

60 PRUŽNOST PVNOST 58 PŘÍL SLOŽITĚJŠÍ S POL: án: Tenká kuvá ačně smeická deska s vem upsřed pměu je na meikuží mei pmě a aížena spjiým aížením akem q 0, na pměu je p ceém bvdu pdepřena a na pměu 5 má deska vný neaížený kaj eska má ušťku <<,,,,5 a její maeiá má mduu pužnsi a Pissnv čís ν P Uči: ifeenciání vnice jednivýc pí, na keé je řeba desku děi a přebné kajvé pdmínk Řešení: Nejpve musíme e saické pdmínk vnvá d svisé směu uči veiks eakce R v pdepření na pměu : R q π Nní ceu desku děíme na čři pe: d 0 d se nemůže jedna pe desk, pže am nic není Pe I: ; Q I 0, Pe II: ; Pe III: ; Q II q π, Q III q π, Pe IV: ; 5 : Q IV q π R 0 ifeenciání vnice můžeme apsa p všecn čři desk ve vau: ϕi 6 Qi ϕ i ϕ i p i I, II, III a IV π Řešení čř difeenciáníc vnic dué řádu namená eisenci smi inegačníc knsan P jejic sanvení musíme sesavi pde uspřádání řešené desk sm kajvýc pdmínek pě neapmeňe ne pavid c kaj desk jedna pdmínka, cž namená, že ve všec spjeníc dvu pí se sekávají dva kaje a musí am bý dvě kajvé pdmínk OP: : I 0 - vný neaížený kaj desk, : ϕ I ϕ II - půbvá pca ve spjení pí musí bý adká, : I-II II-I I II - ve spjení není žádný vnější mmen, : ϕ II ϕ III - půbvá pca ve spjení pí musí bý adká, 5 : II-III III-II II III - ve spjení není žádný vnější mmen, 6 : ϕ III ϕ IV - půbvá pca ve spjení pí musí bý adká, 7 : III-IV IV-III III IV - ve spjení není žádný vnější mmen, 8 5 : IV vný neaížený kaj desk II-I q I-II R II-III R III-II III-II q 5 II-III III-IV R II-III R III-IV IV-III R I II III IV Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

61 PRUŽNOST PVNOST 59 PŘÍLY Z ZOUŠ TNÉ, RUHOVÉ SY: P án: q 0, esp ; ; ; ; a ν Uči: Napiše difeenciání vnice p řešení desk Všecn kajvé pdmínk přebné p řešení q án:,, a, q,, a v absuně uý váec q Uči: Rděe desku na přísušný pče pí Napiše difeenciání vnice p každé pe Napiše kajvé pdmínk p učení inegačníc knsan Nanače va p učení půbu desk w án:, q,, a v Uči: ϕ jak funkci adanýc dn a suřadnice w jak funkci adanýc dn a suřadnice w ma upsřed desk q w án: ; ;,, a v absuně uý čen Uči: ϕ jak funkci adanýc dn a suřadnice jak funkci adanýc dn a suřadnice jak funkci adanýc dn a suřadnice án: q 0 ; ; ; ; ; a ν q Uči: Rděe desku na přísušný pče pí Napiše difeenciání vnice p každé pe Napiše kajvé pdmínk p učení inegačníc knsan Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

62 PRUŽNOST PVNOST 60 Σ Tabuka snuí řešení a spečnýc neb pdbnýc vasnsí všec ří ačníc ú: úa vasns Nádb uče esk dϕ vnváa v dϕ eemenu dα v sivá sivá mmenvá evá sana dife vnice pavá sana becné řešení kajvé pdmínk půbě napěí knsan v dϕ v dϕ v dα u u ϕ u u u u ϕ ϕ 0 ρω 6 Q na eemen nepůsbí π žádné daší účink kvadaická funkce d pde aížení Q dsředivé sí do C C C ϕ C ϕ pa u C u C 8 ϕ pa ůné pde Q kaj desk, ± W kaj nádb kaj kuče sřed neb veknuí, p,, ±, desk ϕ 0 0 neb ϕ 0 C C C p p p p a C a C a ν C 8 ν C 8 a C v ν 8 µ 8 C, a pde vau příčné aížení Q esp q C a C pde vau příčné aížení Q esp q Pnámka: Z é abuk je pané, že danýc ú je nejsžiější řešení enkýc kuvýc ačně smeickýc desek, kd eisuje vedem k vaiabiiě mžné příčné aížení Q esp q načná vaiabiia mžnýc řešení Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

63 PRUŽNOST PVNOST 6 STBILIT PŘÍÝCH PRUTŮ VZPĚR STBILIT PŘÍÝCH PRUTŮ NÁHNÝCH N TL Vpčěe kiicku déku ki, při keé b dš k vbčení cevé ešenářské ubk při aížení svu siu Při výpču budeme uvažva bepečns k a budeme dík ešenářským spjkám předpkáda kubvě uženu na bu kncíc Omuc d ki Lešenářská ubka duý enký pu namáaný akem a ešenářské spjk pdpě knců puu VZPĚR vcáí e TŘCH ákadníc savů: Sabiní: Indifeenní: Labiní: STBILIT: PVNOST VZPĚRNÁ: Vpěa: ČTYŘI ákadní případ pde půsbu užení: I případ: II případ: III případ: IV případ: I II III IV Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

64 PRUŽNOST PVNOST 6 aší dpňující případ NŘŠÍ!!! Zákadní předpkad řešení: ideání ideání ideání ideání všší k ideání Skuečns: PŘSNÉ ŘŠNÍ RITICÉ SÍLY LSTICÉ LSICÉ ŘŠNÍ PROVL LONR ULR OVOZNÍ II PŘÍP VZPĚRU ákadní a nejjedndušší: O menvá vnice: Benui dif vnice Zavedeme p jedndušení: J min α esp α [m ] J min Okajvé pdmínk p II případ vpěu: V dbě, kd Lenad ue va dvva, neb ješě aveden mdu pužnsi a neb maemaick fmuván Hkův ákn T vše uděa až v ce 807 Tmas Yung Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

65 PRUŽNOST PVNOST ue si ak ve svýc výpčec muse pmáa aváděním jediné knsan, keá caakeivaa pu jak maeiávě ak gemeick dnes víme, že š sučin J Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

66 PRUŽNOST PVNOST 6 OVOZNÍ I PŘÍP VZPĚRU: O menvá vnice: Benui dif vnice Zavedeme p jedndušení: J min α esp α [m ] J min Odad paikuání řešení: Okajvé pdmínk p I případ vpěu: Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

67 PRUŽNOST PVNOST 65 OVOZNÍ III PŘÍP VZPĚRU: O menvá vnice: Benui dif vnice Zavedeme p jedndušení: J min α esp α [m ] J min Odad paikuání řešení: Okajvé pdmínk p III případ vpěu: Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

68 PRUŽNOST PVNOST 66 OVOZNÍ IV PŘÍP VZPĚRU: O menvá vnice: Benui dif vnice Zavedeme p jedndušení: J min α esp α [m ] J min Odad paikuání řešení: Okajvé pdmínk p VI případ vpěu: Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

69 PRUŽNOST PVNOST 67 POÍN PLTNOSTI ULROV VZTHU PRUŽNÝ ROZSH VZPĚRU: iická sía de uea: iické napěí: Pdmínka easické cvání puu: Šís puu: ení šís puu: Pnámka: P jedndušení se někd pužívají při výpčec p běžnu knsukční ce u 0 Nmm a,0 5 Nmm přibižné dn meníc šísí p π 0: TBUL PŘIBLIŽNÉ HONOTY ZNÍCH ŠTÍHLOSTÍ: T Případ vpěu I II III IV ení šís λ me [] Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

70 PRUŽNOST PVNOST 68 Obecné svnání všec čř ákadníc případů vpěu pde uea: I IV π J min k n I II III IV k k k k Σ n / n n n H v α v α c v α v 0 v α v α v α v α Okajvé pdmínk: v0 0 v0 0 v0 0 v0 0 v I 0 0 v 0 v I 0 0 v I 0 0 v c v 0 v 0 Výsedná gnimeická vnice: csα 0 sinα 0 gα α csα V někeýc sašíc učebnicíc a kniác e naé pjem RUOVNÁ ÉL ed a ueův vec má va: I II III IV k k k k ed ed I IV k π J min ed ed ed ed ed / ed / ed Redukvaná déka puu ed převádí všecn případ vpěu na II ákadní případ vpěu a je dána jak vdáens infeníc bdů půbvé čá přísušné případu vpěu Z uvedené vpývá jednducý va mei keficienem n a edukvanu déku: ed esp n n ed Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

71 PRUŽNOST PVNOST 69 NPRUŽNÝ ROZSH ŘŠNÍ VZPĚRU napěí překčí me úměnsi: imenvání puů: á šíé pu: Redukvaný mdu pužnsi: Nejjedndušší definice: ngesseva definice: Výsedný va: Řešení pmcí PIRICÝCH VZORCŮ: Nejčasěji Temajeva náada: k neb P u čisý ak Temaje ue 0 λ me λ Někd p λ 0 uvažujeme pue čisý ak be sabii Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

72 PRUŽNOST PVNOST 70 VÝPOČTY N VZPĚR áu sabii, vbčení, : Výpče dvené sí? nám mě vpě a její maeiá Výpče měů dimenvání m? nám aížení vpě, její maeiá a va půřeu Rdvání: Náv de ueva vau: Výpče pde vdné vau: na pansi ueva vau: nec výpču: nec NBO přepče de Temajeva vau: nec výpču: PŘÍL VÝPOČT OVOLNÉ SÍLY: án: 60 Nmm, u 00 Nmm,,0 5 Nmm, 0,7 m, d 0 mm, k,5 Uči: dvená sía p I případ vpěu Řešení: Nejpve ppíšeme gemeii puu vpě: J π min a 6 d π d π d Jmin 6 d i min π d 700 Šís řešené puu ed bude: λ 9, i d 0 min d? P I π π, 0 ení šís p I případ vpěu je: λme n 50, 9 00 Pže λ > λ me pvedeme daší výpče pde ueva vau: π πd 6 I π J π min k n Hedaná dvená sía ed bude: u π d 56 I k k 05 0 N kn,5 5, N Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

73 PRUŽNOST PVNOST 7 PŘÍL VÝPOČT OVOLNÉ SÍLY: án: 60 Nmm, u 00 Nmm,,0 5 Nmm, 0, m, a b 0 0 mm, k Uči: dvená sía p IV případ vpěu a pak p I, II a III Řešení: Nejpve ppíšeme gemeii puu vpě: J min a b a a b a b Jmin a i min a b 00 Šís řešené puu ed bude: λ 0 i a 0 min? a b P 5 IV π π, 0 ení šís p IV případ vpěu je: λ me n 0, 6 00 Pže λ < λ me pvedeme daší výpče pde Temajeva vau: T u k k λ ab N λme 0,6 Hedaná dvená sía ed bude: N 9,6 kn k k Nní ješě učíme, jak výsedek vivní užení vpě případ I, II a III: I případ II případ III případ k k k u I π, 0 II π, 0 III π, 0 λ me 50,9 λ me 0, 8 λ me, 0, T T k Pa 6 T k Pa k Pa,,6 kn 7, kn 8,7 kn V I případu vpěu nejméně bvě uá vpěa vcáí dvená sía cca % nižší než je dvená sía ve IV případu vpěu bvě nejužší vpěa Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

74 PRUŽNOST PVNOST 7 PŘÍL INZOVÁNÍ VZPĚRY: án: 80 Nmm, u 0 Nmm,,0 5 Nmm, 0,5 m, 00 kn, k,5 Uči: d přebný půmě če p III Případ vpěu Řešení: Všecn gemeické caakeisik puu vjádříme jak funkce edané měu d: π d π d J min J min 0, 09 d, 0,785 d a imin 0, 5 d 6 Šís puu je: 500 III λ a mení šís je: λ me n 0, 5 i d min RO: NÁVRH POL ULROV VZTHU PRO I PŘÍP VZPĚRU π J III k min k π k J min 0, 09 π u d 00 kn d P Odkud dsáváme mě: d k 0,09π, ,09 π, 0 5 6, mm RO: ONTROL PLTNOSTI ULROV VZTHU k, λ, esp k 69, N mm i d 6, 0,785 d min Pže λ < λ me esp > u, neb mžné puží při dimenvání va p pužný sa ueův va a je ed řeba dáe pvés přepče pmcí vaů panýc p nepužný sa Temajeův va RO: PŘPOČT POL TTJR T iické Temajev napěí je u k λ a aké musí pai λme T k k Spjením ěc vnic dsaením a λ a funkce edané měu d dsáváme vnici: k u 000 u 000 k d d 0,785 d λ d λ 0,785 0 me Odkud vcáí: d T u 000 ± λ me me 000 u λme k 0,785, Výsedkem jsu dva mě: d T 70,9 mm je edaná VLIOST půměu d na: d T 67, mm ápný půmě nemá fikání sms! T k, k 66 N mm 0,785 70,9 T O dna Temajeva napěí spňuje pdmínku nepužné vpěu: k u ; - Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

75 PRUŽNOST PVNOST 7 PŘÍLY Z ZOUŠ VZPĚR: án: b 0 mm; 0 mm; 500 mm; k ;,0 5 Nmm - ; u 0 Nmm - a 50 Nmm - Uči: P b án: 5 mm; 600 mm; k ;,0 5 Nmm - ; u 0 Nmm - a 50 Nmm - Uči: án: a 0 mm 600 mm; k ;,0 5 Nmm - ; u 0 Nmm -, 50 Nmm - Uči: a a a án: 0,5 m; 0 5 N; k ;,90 5 Nmm - ; u 90 Nmm - ; 0 Nmm - Uči: d d án: 0 N; 50 mm; k ;,0 5 Nmm - ; u 0 Nmm - a 50 Nmm - Uči: Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

76 PRUŽNOST PVNOST 7 PŘIBLIŽNÉ ŘŠNÍ VZPĚRU Na ákadě přibižné eie vpěu vpčěe kiicku a dvenu síu, keu je scpna přenés savební vpěa pužívaná při benvání 600 J 7 80 mm J 98 9 mm J 8 mm,0 5 Pa šák Gae Savební vpěa, výpčvý mde a její pakické pužií Pveďe výpče á sabii pmcí přibižnýc med veknué puu, keý je na ním knci vný a je aížen spjiě ženu vasní mnsí např vsíač Cukák, keý eží jižně d Pa, i kdž v m případě je pbém ješě sžiější, pže vasní ěes vří půře bíký kmému kužei a ssém anén na ním knci předsavuje ješě aížení saměu siu Sěna vsíače je vbena pecu ušťce 6 mm a ceý váží k 000 panina m n m 9,5 m q Vsíač Cukák a přibižný výpčvý mde 6 Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

77 PRUŽNOST PVNOST 75 OVOZNÍ NRGTICÁ TO půvdní au Raeg dává ní dad neb v p!ípad vdné návu e íska i p!esné!ešení: k eneg k Ta meda vcáí becné pincipu acvání enegie esp beávé p!em n penciání enegie vn jší své akvé sí na vni!ní defma"ní enegii: W P U Vni!ní defma"ní enegie U se u"í snadn jak defma"ní enegie d bu a p!edpkadu pansi Benui difeenciání vnice pbvé "á: O v J U U d v J d J P výp"e páce vn jší sí musíme nejpve vjád!i dáu, p keé bude sía kna páci: dv d dv [ ] ds ds d dv d d v d v d Zkácení eemenu vjád!íme jak dí pvdní a nvé dék a n pak cekvu dáu: d ds d v d d v d dv Cekvý psuv kncvé bdu puu ed bude: d v d Cekvá penciání enegie vn jší sí p dáe ed bude: W P v d ds d v k d Pnámka: V m p!ípad není p!ím defmace puu, ak jak b mu b p!i namáání "isým akem, ae je psuv bdu, kde psbí sía, vvaný pnuím puu p!i á je sabii P ve vci p výp"e penciání enegie není ½ saením d pvdní vnice vnsi penciání W P a defma"ní U enegie dsaneme: Odud vpývá výsedný va: v d v J d v J d I IV eneg k v d Ten va je cea univesání a paí p všecn "!i p!ípad vp u Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

78 PRUŽNOST PVNOST 76 P II p!ípad vp u pu je na bu kncíc kubv užen, ak se nám výsedný va ješ výan jednduší sníží se supe< deivací funkce v jak v "iaei ak ve jmenvaei Obvý mmen je ve II p!ípad vp u dán jak psý su"in své sí a pbu: U U d v v d J J Na páci vn jší sí se v m p!ípad nic nem ní, a ak výsedná vnice bude mí va: Odud vpývá výsedný va: v d v J v d II eneg k v d J d Obdbný jedndušený va b b mžné dvdi i p daší p!ípad vp u, ae je!eba vžd spávn vjád!i funkci pb u bvé mmenu Nap!íkad u I p!ípadu vp u musí pai: [ c v ] ψ k k v c k ψ PŘÍL NRGTICÁ TO: án: Pu dék je vben če sáé půřeu kvadaickém mmenu půřeu J min a je na jednm knci veknuý a na duém vném je aížen saměu siu, b je na kncíc kubvě užen a aížen saměu siu Uči: V případec a a b kiické sí k sanvené pmcí enegeické med Řešení: V bu případec pužijeme nejjedndušší mžnu křivku dué řádu: V případě a se jedná pvní případ vpěu de uea a vená křivka musí vvě gemeickým pdmínkám: v 0 0 a v 0 0 Tu funkcí je paaba ve vau: v a Její deivace a jejic dué mcnin p dsaení d ákadní vau jsu: v a v a, v a v a P dsaení dsáváme výsednu kiicku síu učenu enegeicku medu: eneg k J min 0 0 a a d d π 0,0 J min k I π J dí cca % I min k 0,5 P Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

79 PRUŽNOST PVNOST 77 V případě b se jedná duý případ vpěu de uea a vená křivka musí vvě gemeickým pdmínkám: v 0 0 a v 0 Tu funkcí je paaba ve vau: v B C Ta funkce musí spni gemeické kajvé pdmínk: v 0 0 a v 0 Z nic vcáí: C 0 a B Pže půb při áě sabii může bý jakýkiv, musí bý půbvá čáa funkcí jedn vné paameu: v našem případě víme a a výsedná vnice půbvé čá bude: v a Její deivace a jejic dué mcnin p dsaení d ákadní vau jsu: v a v a, k II v a v a P dsaení dsáváme výsednu kiicku síu učenu enegeicku medu: eneg k J min 0 a a d 0 π J,6 d min π J dí cca,6% II min k Pkud bcm pužii upavený vec paný jen p II případ vpěu, ak dsáváme: eneg k J min 0 0 a d a d π,0 J min π J dí cca,% II min k OVOZNÍ TO POSTUPNÝCH PROXICÍ půvdní au Vianepvdní au Viane umž<uje íska pm n p!esný výsedek i p!i pm n nep!esném pvním návu pbvé "á O Benui difeenciání vnice: v J men jak funkce pbu v: v v v J aší psup: Zvíme dadneme mžný pb v 0 na pavé san a jemu dpvídající síu 0 a dvjí inegací ískáme dpvídající funkci na evé san v : 0 v v0 J Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

80 PRUŽNOST PVNOST 78 nsan C a C u"ím kajvýc pdmínek, keé budu dpvída užení vp Pm jisíme va mei pvdním navženým pbem v 0 a nv ískaným pbem v a dáe p!edpkádáme, že p!i dsažení skue"né kiické savu bude pai vns pací dvu p sb násedujícíc apimací: 0 v 0 v : v0 v kns kns v0 v k P 0 Zvíme ed a mžný pb v na pavé san a jemu dpvídající síu a dvjí inegací ískáme dpvídající funkci na evé san v : v v v v C C J J nsan C a C u"ím kajvýc pdmínek, keé budu dpvída užení vp Pm jisíme va mei veným pbem v a nv ískaným pbem v a dáe p!edpkádáme p vns pací dvu p sb násedujícíc apimací: v v kns kns v v k P v v Ten psup pakujeme n-ká, až bude p!edcí pb ku násedujícímu p!ibižn knsanní a a p!edpkadu, že p paí vns pací n- v n- n v n : vn vn kns k P n n v v n pka"vání daším kkem daší psupnu apimací pka"vání daším kkem daší psupnu apimací Pnámk: Pže v každém kku 0,,, máme mžns vi p!ísušnu síu 0,,,, je vdné vi n "", a pak bude výsedný vec ješ jedndušší: n k P vn n "" v n k P vn v n P!i výp"u pmcí enegeické med b!eba vi pbvu "áu, keá b sp<vaa ákadní gemeické kajvé pdmínk V p!ípad med psupnýc apimací není!eba spni ani ákadní gemeické pdmínk, pže psupnými apimacemi dcáí k psupné inegaci vené p"áe"ní funkce a ím pádem ke všvání její!ádu pže e becným nekne"ným pnmem vmdeva jakukiv funkci, dsáneme i v p!ípad naps nesmsné vb p"áe"ní funkce p n kika pvedenýc apimacíc uspkjivý výsedek U funkcí nesp<ujícíc ákadní gemeické pdmínk nee svnáva pvní neu"iý výa d ení 0 Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

81 PRUŽNOST PVNOST 79 PŘÍL TO POSTUPNÝCH PROXICÍ: án: Pu dék je vben če sáé půřeu kvadaickém mmenu půřeu J min a je na kncíc kubvě užen a aížen saměu siu Uči: Veiks kiické sí k sanvené pmcí med psupnýc apimací Řešení: Jak pčáeční dad pužijeme 0 a funkci k J min kns v 0 navneme ve cea nesmsném vau knsanní funkce p ceé déce puu: v 0 a kns v 0 a T dn nní dsadíme d ákadní vnice, keu psupně inegujeme: a a a v v C v C C J J J min min Inegační knsan C a C učíme kajvýc pdmínek p užení řešené vpě: OP: v 0 0 C 0 v 0 C a J min min a v J min k P Nní vjádříme pmě funkcí v 0 a v a budeme se abýva je ávissí na suřadnici : v 0 a Jmin a v J min J min ξ Ten pdí můžeme ppsa p ceu déku vpě, ae sačí jen např v pěi diskéníc bdec: 0, 0, 0, 0, 0,5 cba ξ,,5 9,5 8, 8,0,0,60% eficien ξ ppisující pdí funkcí v 0 a v dně není knsanní, půměná dna ae předsavuje p pvedení pvní psupné apimace cbu jen,6% Z výsedků je pané, že pvedení jedné psupné apimace k učení přesnější dn k nesačí a je řeba ceý psup pakva P pakvání ceé psupu ješě, až d vjádření pměu funkcí v a v ískáme jejic pmě v ávissi na ve vau: v J v min J Ten pdí můžeme pě ppsa p ceu déku vpě neb vba jen pě diskéníc bdů: min 0, 0, 0, 0, 0,5 cba ξ 9,975 9,97 9,880 9,88 9,86 9,89 0,7% eficien ξ se pde abuk již bíží knsaně a půměná dna ξ p řeí psupné apimace vkauje cbu jen 0,7%, cž je dna dsaečně přesná, a ak daší psupné apimace již není řeba pvádě a dsaženu dnu e pvažva a knečný výsedek P řec kcíc dánivě nesmsný pvní dad půbvé čá se dapimva přibižně d spávné výsedku ξ Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

82 PRUŽNOST PVNOST 80 OBINC VZPĚRU S OHYB Sanve becně maimání namáání ed ma vpě adní příačné křída vu Lus 9, keé jsu vben enksěnnýc cevýc ubek c N B ξ v ψ C Lus 9B - Gaam Hi Lus 8B adní příačné kříd a výpčvý mde Sanve becně maimání aížení N ma áa řaení u aumbiu Škda 0S, keé ved d řadicí pák v psu řidiče až d adní čási vu, kde b m s převdvku Při výpču uvažuje vasní mns áa vřené cevu ubku N q N Š 0S - eam ŠO Škda 0S á řaení a je výpčvý mde PVNOSTNÍ POÍN PŘI OBINCI VZPĚRU S OHYB jedná se b"ejný pevnsní pbém Nejedná se sabiiní ae PVNOSTNÍ pbém, p keý e napsa pevnsní pdmínku ve vau: N ma ed W Zákadní mmenvá vnice je vřena dvěma čen: - mmenem d p!í"né aížení: - mmenem d aížení svu siu: Nv N v Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

83 PRUŽNOST PVNOST 8 Ven na evé a pavé san vnice jsu na sb ávisé, pže su"asn paí Benui vnice: v Spjením mmenvé vnice a Benui difeenciání vnice vnikne nvá difeenciání vnice dué!ádu T spjení mžeme pvés dv ma nými psb pde, keu vei"inu cceme sanvi mmen neb pb v ZPŮSOB ŘŠNÍ ZÁLNÍ IRNCIÁLNÍ ROVNIC řešení v mmenec Nejpve dvaká deivujeme mmenvu vnici: N v a pak d ní dsadíme p!ím Benui vnici: v sáváme difeenciání vnici v mmenec: J N J nsanní "en na pavé san na"íme jak: N J α a dsaneme výsednu difeenciání vnici: α Její!ešení se skádá!ešení mgenní "ási a paikuání!ešení: cs α Bsin α P Paikuání!ešení p dadneme pde vau pavé san difeenciání vnice a knsan a B u"íme e dvu kajvýc pdmínek p bvý mmen nej"as ji vžíváme vasnsi kubvýc pdp, kde je mmen nuvý neb ven sam ému mmenu, keý je p!ipjen J řešení v půbec Nejpve vjád!íme mmen Benui vnice: J v a en pak dsadíme d mmenvé vnice: N v sáváme difeenciání vnici v pbec: v J N v nsanní "en na pavé san na"íme jak: N J α a dsaneme výsednu difeenciání vnici: v α v Její!ešení se skádá!ešení mgenní "ási a paikuání!ešení: v cs α B sin α v Paikuání!ešení v p dadneme pde vau pavé san difeenciání vnice a knsan a B u"íme e dvu kajvýc pdmínek p pb nej"as ji vužíváme vasnsí pdp, keé nsníku aba<ují v pbu neb vnsi pb ve spjení dvu pí J P áe musí pai Scwedeva v a: q, a ed pavá sana difeenciání vnice bude vna spjiému aížení q Z vau pavé san difeenciání vnice je pané, že nik nebude nuvá, pže pak b se nejedna kmbinaci vp u s bem, ae jen psý vp, keý již b cea v!ešen v PP I Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

84 PRUŽNOST PVNOST 8 PŘÍL OBINC VZPĚRU S OHYB: án: Přímý pu dék je aížen svými siami N a p ceé déce knsanním spjiým aížením q Pu je vben maeiáu mduu pužnsi a příčný půře je knsanní p ceé déce puu a má svý kvadaický mmen k se bu J Uči: aimání mmen ma vnikající v m puu při kmbinaci vpěu s bem Řešení: Řešení pvedeme v mmenec: α Půbě učíme pde PP I jak: q q, a p bude éž e psá přím e Scwedev vwě: q Řešíme ed difeenciání vnici dué řádu s knsanní pavu sanu Hmgenní řešení é vnice bude: C cs α C sin α H N Paikuání řešení dadneme jak knsanu H, keu učíme dsaením d půvdní vnice: Nv v q v Nv N ma P P H P 0 0 α H q H α Ceé řešení ed bude mí va: q C cs α C sin α α nsan C a C učíme kajvýc pdmínek, pže nsník je na bu kajíc kubvě užen, a ak pdpě nepřenášejí žádný mmen: OP: 0: C cs 0 C sin 0 C, α α q q : 0 0 cs α sin α q cs α C C α α α sin α Výsedný půbě mmenu p ceé déce puu bude ppsán vaem: q cs α cs α sin α α sin α Při pužií maemaickýc vaů p pviční ú bcm dsai jedndušený va: α q α α cs α an sin α α q q q Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

85 PRUŽNOST PVNOST 8 ís maimání mmenu ma bcm becně učvai pmcí pvní deivace pde suřadnice: d 0 d Z é pdmínk ískáme dnu e - mís eému funkce a u dnu dsadíme d půvdní vnice vjadřující půbě mmenu p ceé déce puu: ma V našem případě ae vužijeme smeie ú a maimání mmen ma bude pávě upsřed: e q α α α ma cs an sin α Ten výa můžeme pě ješě jednduši vužiím vaů p pviční ú: α cs q ma α α cs Pkud ješě v m vau avedeme nvu pměnnu u: α u α u můžeme pmcí ěc vaů vjádři maimání mmen ma jak: ma q csu q csu ma u csu 8 u csu, ψ aimání mmen d příčné aížení ma je ed násben keficienem ψ, keý je funkcí pměnné u esp sučinu α a e dkáa, že ψα > a ed ma > ma Pnámka: Známe-i půbě mmenu, můžeme vnici ppisující půb puu v namáané kmbinací vpěu a bu uči Benui difeenciání vnice půbvé čá vi PP I: q α v v cs α an sin α J J α Psupnu inegací dsaneme řešení se dvěma inegačními knsanami a T pě učíme kajvýc pdmínek na bu pdepřenýc kncíc, kde je nsník kubvě užen a nemůže se ed v ěc bdec pnu: OP: 0: v0 0 : v 0 a Výsedný va v ppisující půb puu při adané kmbinaci vpěu s bem b vcáe vedem k předcím výsedkům pměně sžiý Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

86 PRUŽNOST PVNOST 8 PŘÍL OBINC VZPĚRU S OHYB: án: Přímý pu dék děen na dvě čási dékác a a b je aížen svými siami N a příčnu siu, keá půsbí mim sřed Pu má p ceé déce knsanní sučin J Uči: aimání mmen ma vnikající v m puu při kmbinaci vpěu s bem Řešení: Řešení pvedeme pě v mmenec: Nsník si enká vedem k příčnému N N aížení siu musíme děi na dvě pe: I 0 ; a a II 0 ; b v v Také mmenvé vnice vjádříme p a b bě pe Pže na nsník půsbí jen saměá příčná sía víme, že: q 0 a q 0 Rvnice ed budu: α 0 a α 0 a jejic řešení apíšeme ve vau: C cs α C sin α, C cs α C sin α a b P P učení knsan C, C, C a C musíme sesavi cekem čři kajvé pdmínk: OP: 0: a pdmínka aučuje nuvý mmen v evé pdpěře, 0 : a pdmínka aučuje nuvý mmen v pavé pdpěře, a a b : a b - a pdmínka aučuje spjis mmenu ve spjení, a a b : a b - a pdmínka aučuje, že v mísě spjení, kde půsbí saměá sía, je v půběu psuvající sí pávě skk veiksi Při sesavení é pdmínk jsme vužii Scwedevu věu p psup eva i pava: T esp T P dsaení becnýc řešení d ěc pdmínek ískáme jednivé knsan: C 0, C 0, sin α b C a α sin α C sin α a α sin α a můžeme ed již vjádři va p půbě bu pí, keé budu pměně jednducé: sin α b sin α α sin α sin α a a sin α α sin α aimání mmen vniká gick ve spjení bu pí a můžeme vjádři jak: Nv sin α a sin α b ma a b α sin α Nv Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

87 PRUŽNOST PVNOST 85 PŘÍL OBINC VZPĚRU S OHYB: án: Přímý pu dék je aížen svými siami N a saměým mmenem v evé pdpěře Pu má p ceé déce knsanní sučin J Uči: Pu e a veiks maimání mmenu ma vnikající v m puu při kmbinaci vpěu s bem Řešení: V m případě bude pě pavá sana difeenciání vnice v mmenec vná nue, a ak N B N řešení nebude bsava paikuání čás ae jen mgenní čás: e C cs α C sin α Inegační knsan C a C učíme kajvýc pdmínek: OP: 0: 0 a pdmínka ppisuje evu pdpěu s saměým mmenem, : 0 a pdmínka aučuje nuvý mmen v pavé pdpěře, keá není aížená P dsaení ak dsáváme: C cs 0 C sin 0 C, 0 cs α C sin α Výsedný půbě mmenu ed bude: cs α C sin α cs α cs α sin α sin α aimum učíme pmcí deivace výsedné funkce pde suřadnice : ma P d! d cs α 0 cs α sin α 0 d d sin, α dkud a předpkadu, že α 0 dsáváme vnici: sin α cs α e e cs α, sin α e keé již vjádříme edanu vdáens e : e acg[ cg α ] α Nní mu nasa ři mžnsi: e < 0 funkce má eém mim pu ma funkce má pue supemum, e 0 funkce má eém pávě v evé pdpěře ma, e > 0 funkce má eém v becném mísě puu ma e Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

88 PRUŽNOST PVNOST 86 PŘIBLIŽNÉ ŘŠNÍ OBINC VZPĚRU S OHYB: P p!edb žný náv puu p!i kmbinaci vp u s bem musíme puží n keu p!ibižnýc N J med, pže "en α ávisí na kvadaickém mmenu p!eu ed na je gemeii Zákadem všec p!ísup je vba pbvé "á, keu pu asi aujme p defmaci Zvíme-i p pu aížený knsanním spjiým aížením a svu siu pbvu "áu ve vau: Bude její duá deivace: π v asin, π v π π a sin v a vše mžeme dsadi d difeenciání vnice pbvé "á p kmbinaci vp u s bem: Získáme ak vnici ve vau: π J v [ N v ] J v N v π J v N v Pže pvní "ás evé san p!edsavuje veiks kiické sí dué p!ípadu vp u de uea: II k π mžeme é vnice vjád!i pb v ve vau: v II k J N P dsaení é funkce d mmenvé vnice Nv dsáváme: de: N II II N k k II k k k N bepe"ns své N sí vedem ke kiické uev síe k k II k p!edsavuje Ten psup dává pm n dbé výsedk p smeické ú již d bepe"nsi k,5 b nápní veké "ási výkadu v PP I ŘŠNÍ OHYBU S LOU PŘÍVNOU OSOVOU SILOU: Jedná se p!ípad, kd je dminanní namáání d p!í"né aížení a svá sía pue esiuje je ú"inek Obecn je e spíše na"i a OHYB S P8ÍVNOU TLOVOU SILOU T psup apikujeme v p!ípad maé své sí N k Výp"e v c p!ípadec e veice jednduši: am a v př a budeme dsava pb a mmen pue d p!í"né aížení vi PP I, N N q N Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

89 PRUŽNOST PVNOST 87 PŘÍL PŘILIŽNÝ VÝPOČT OBINC VZPĚRU S OHYB: án: Přímý pu dék má p ceé déce J kns, je aížen svými siami N a: a knsanním spjiým aížením q p ceé své déce b saměu siu upsřed dék nsníku c saměými mmen v bu pdpěác Uči: Veiks maimání mmenu ma při řešení bu s mau přídavnu svu siu Řešení: Pvedeme psupně p jednivé případ půb v přma - vi PPI a V případě nsníku aížené knsanním spjiým aížením q bude: q 5q ma a v př ma v 8 8 J N aimání mmen při kmbinaci bu a aku bude: q 5 N ma 8 8 J áe je mžn ješě va upavi p: N k π J N π q kε N N J k 5 π ma ε 8 8 k ε Pmě maimání mmenu ku mmenu d příčné aížení bude áeže na bepečnsi k ε : např p k ε 5 bude: ma 5 π, 06 esíení cca % 8 5 ma b V případě nsníku aížené upsřed své dék saměu siu bude: ma a v př ma v N 8 J aimání mmen při kmbinaci bu a aku bude: N ma J q N ma N ma P c V případě nsníku aížené v bu pdpěác saměými mmen bude: ma a v př ma v 8 J N aimání mmen při kmbinaci bu a aku bude: N ma 8 J N ma PŘÍL Z ZOUŠ VZPĚR S OHYB: án: ; N; c; ; Uči: ma přesně N N P / / Přednášk nvé PP II 5 ZS akademické ku 06/07 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

90 PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST PRUŽNOST PVNOST 88 Přednášk nvé PP II 5 Jan Řeníček db pužnsi a pevnsi ZS akademické ku 06/07 Úsav mecanik, bimecanik a mecanik TTICÁ TORI PRUŽNOSTI Sanve p becnu napjas adanu všemi šesi sžkami napěí veiks nmávé a smkvé napěí v vině ρ ROZŠÍŘNÝ HOOŮV ZÁON Při učení ávissi mei nmá vými def mace mi a nmá vými napěími musí pai Pissnův va na def maci v jedn m s měu se pdíí napjas ve všec řec směec ε ν ε ν ε [ ] ν ε ε ε ε ν ε ν ε Zbývající dvě defmace ískáme ckicku áměnu indeů: [ ] ν ε ε ε ε a [ ] ν ε ε ε ε aicvě e šířený Hkův ákn apsa jak: [ ] ν ν ν ν ν ν ε ε ε ; ; uu čás šířené Hkva ákna vří va mei ks a smkvými napěími Zde není žádný va mei jednivými defmacemi a saními sžkami napěí, jak mu b v případě nmávýc napěí a defmací, a ak výsedné va jsu pměně jednducé G γ G γ G γ Pkud avedeme pměnu měnu bjemu ε ε ε Θ [] a sučasně předpkádáme va mei mduem pužnsi v au a mduem pužnsi ve smku G ve vau v G dsáváme šířený Hkův ákn p sanvení nmávýc napěí pmcí nmávýc defmací ve vau: Θ ν ν ε G, Θ ν ν ε G a Θ ν ν ε G [ ] G γ γ γ ; ; I