Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu."

Pavlína Křížová
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Jméno: P íjmení: Datum: 7. ledna 28 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Rotující nádoba Otev ená válcová nádoba napln ná do poloviny vý²ky vodou se za n otá et kolem svislé osy. Roztá ení je pomalé, neuvaºujte tedy proud ní vzhledem k nádob. Ur ete, která situace nastane d íve zda se hladina v prost edku dotkne dna nádoby, nebo zda kapalina za ne p etékat na okraji. Vypo t te, p i jakých otá kách ur ená situace nastane. Zadané hodnoty: Pr m r nádoby D = 25 cm, vý²ka nádoby H = 25 cm, po áte ní napln ní nádoby h (ω = ) = 2 H. ω H h(ω>) h(ω=) D. e²ení Vyjdeme z Eulerovy rovnice hydrostatiky p = ρ R, ()

2 kde R je vektor vn j²ích zrychlení, explicitn ve válcových sou adnicích, které jsou vhodné pro tuto úlohu: ω 2 r p = ρ g, (2) tedy r y ϕ ω 2 r = ρ g. (3) Podmínka pro volnou hladinu zní dp = = r dr + y dosadíme odst edivé a gravita ní zrychlení dy + dϕ, (4) ϕ dp = ρω 2 rdr ρgdy + dϕ =, (5) a integrujeme p = ρω 2 rdr ρgdy = C, (6) a vyjád íme y (r; ω) y (r; ω) = 2g ω2 r 2 + C. (7) Sem se je²t v t²ina z Vás dostala. Problémy d lalo ur ení integra ní konstanty C, která nám ur uje, jak je parabola posunutá ve svislém sm ru. Je t eba vyuºít n co, co je stálé a co známe; v t²ina z Vás se snaºila dosadit n jaký bod na okraji, nebo v prost edku, ale to nikam nevedlo, nebo jste si n co p imysleli a vedlo to k chybnému záv ru. To, co se zachovává bez ohledu na ω, je objem kapaliny v nádob : V = R 2π y dydϕdr = = πω2 2g R R ( ) y2πrdr = 2g ω2 r 2 + C 2πrdr = r 3 dr + 2πC R rdr = πω2 4g R4 + πcr 2, jen doplním, ºe objem musí být stejný, jako kdyº nádoba nerotovala, tedy V = πd2 4 2 (8) H, (9) 2

3 (zde jen p ipome me, ºe D = 2R). Porovnáním 8 a 9 získáme integra ní konstantu C C = H 2 ω2 R 2 4g. () Dosazením do 7 máme y (r; ω) = 2g ω2 (r 2 2 R2 ) + H. () 2 Nyní uº jen vy²et íme, p i jakém ω nastane dotek dna, respektive p ete ení. Dotek dna nastane, pokud y() = : y() = = 4g ω2 dr H ω2 d = 2Hg R 2 (2) a p ete ení nastane, pokud y(r) = H: y(r) = H = 4g ω2 dr H ω2 d = 2Hg R 2. (3) Ob události tedy nastanou p i stejných otá kách ω d,p = 7, 7 rad/s = 2, 8 Hz. 3

4 Jméno a p íjmení: 2 Výtok z nádoby Vypo t te výtokový sou initel µ ze zm ené doby výtoku vody kruhovým otvorem ve dn válcové nádoby zadaných rozm r a s po áte ní vý²kou hladiny H. Zadané hodnoty: doba výtoku T = 257 s, pr m r nádoby D = 2 cm, pr m r otvoru d = cm, H =, 3 m, ρ = kg/m 3. D H d 2. e²ení Vý²ka hladiny H platí jen na za átku d je, postupn se hladina sniºuje, ozna me si tedy aktuální hladinu v n jakém ase t jako h(t). Bernoulliovu rovnici mezi bodem ve výtoku (2) a n jakým bodem na aktuální hladin () lze zapsat jako 2 ρv2 + ρgh(t) + p = 2 ρv2 2 + p 2. (4) 4

5 BR uº jsme zapsali mezi dv ma body, tedy se net eba trápit s konstantou (ta uº se ode etla), vý²ka bodu (2) nech je a h(t) je p evý²ení mezi () a (2). N kte í tuto potenciální energii zapo etli obrácen. Tlaky p a p 2 jsou stejné, nebo nádoba i výtok jsou otev ené, lze je tedy ode íst. Vyuºijeme rovnici kontinuity v S = v 2 S 2, (5) kde S,2 jsou plochy hladiny v nádob a pr ezu výtokového otvoru, S = πd 2 /4, S 2 = πd 2 /4, vyjád íme v, dosadíme do 4 a získáme výtokovou rychlost v 2 V objemovém toku ven z nádoby 2gh(t) v 2 = (d/d) 4. (6) V = µv 2 S 2 = v S se uplatní ten výtokový sou initel µ tím, ºe efektivn zmen²í výtokovou plochu. Rychlost polesu hladiny v = dh/dt, tedy dt = dh/v a integrujeme: dt = T = dh = S H v S 2 µ ( ) 4 dh = D2 d H h /2 dh v 2 d 2 µ D 2g (7) N kte í z Vás neumí integrovat, ale, ud láte-li to správn, vyjde a nyní jen vyjád íme µ µ = T A je to bez jednotky. ƒlen T = D2 d 2 µ ( ) 4 d 2H D 2g ( ) D 2 4 d 2H d 2 D 2g (8) =, 8. (9) (d/d) 4 lze zanedbat. N kte í z vás rovnou uhádli vyjád ení asu, i kdyº mi nebylo jasné, kde se to vzalo, ale jelikoº jsem v zadání nespecikoval, ºe chci postup, hodnotil jsem to 7 body. 5

6 Jméno a p íjmení: 3 Pohybující se lopatka Proud vody o pr m ru d = 2 cm a rychlosti w = 6, 5 m/s dopadá na zahnutou lopatku, která se pohybuje stejným sm rem rychlostí u = 4 m/s. Lopatka ohýbá vodní proud o úhel α = 2. Ur ete sílu na lopatku. Zadané hodnoty: pr m r vodní paprsku d =, 2 m, ρ = kg/m 3, w = 6, 5 m/s, u = 4 m/s, α = 2. (Nezapome te, ºe na zapsání 2D-vektoru jsou pot eba 2 ísla ). w d β u α γ 3. e²ení Prvním krokem je Galileovská transformace do sou adné soustavy pohybující se s lopatkou rychlostí u = (u, ) T, lopatka tedy nyní stojí a proud vody st íká transformovanou rychlostí v = w u = (w u, ) T. Zapí²eme si v tu o zm n toku hybnosti vektorov : F = ṁ v ṁ 2 v 2, (2) kde v je transformovaná rychlost vody do systému vstupující a v 2 ze systému vystupující. Toky ṁ,2 jsou stejné kv li zákonu zachování hmotnosti ṁ = ṁ 2 = ρ πd2 4 v. (2) 6

7 N kte í z vás si neuv domili, ºe tok se musí také transformovat, dosazujeme v, nikoli w. Dosadíme do 2 a zapí²eme do sloºek F = ṁ v ṁ 2 v 2 = ρ πd2 4 v ( v v 2 ) (22) F x = ρ πd2 4 v 2 ( + cos β) = 6 N, (23) kde β je úhel, pod kterým se paprsek vrací, viz obrázek, β = π α. Velikost síly: F y = ρ πd2 4 v 2 ( sin β) = 6 N. (24) F = ρ πd2 4 v cos β = 22 N, (25) a sm r lze uhádnout ze symetrie úlohy nebo spo ítat: γ = arctg sin β cos β + =, 52 = π 6 = 3. (26) 7

Podobné dokumenty

Vektory. Vektorové veli iny

Vektory. Vektorové veli iny Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat