KOMENTOVANÉ PŘEDNÁŠKY

Transkript

1 České vské učení ecnické v Pae, akula sjní PRUŽNOST PVNOST II České vské učení ecnické v Pae, akula sjní PRUŽNOST PVNOST V THNIÉ PRXI PŘÍLDY II ONTOVNÉ PŘDNÁŠY Jan Řeníček Jan a Jika Řeníčkvi Paa 6 Paa 9

2 Te nepšel jakvu ani edakční úpavu Jan Řeníček, akula sjní ČVUT v Pae, 9

3 ČSÉ VYSOÉ UČNÍ THNIÉ V PRZ ULT STROJNÍ ÚSTV HNIY, BIOHNIY HTRONIY ODBOR PRUŽNOSTI PVNOSTI PRO BLÁŘSÝ NVZUJÍÍ GISTRSÝ S T U D I J N Í P R O G R PLNÁ VRZ S ONTÁŘI VZOROVÝI PŘÍLDY přednáší Jan Řeníček akademický k 9/ Paa psinec 9

4 Vážené klegn a vážení klegvé, dsal se mi é ci, že mu vés na akul sjní eské vské u ení ecnické v Pae p ednášk p edm u Pužns a pevns II jednak p suden navaující magiseské sudijní pgamu Sjní inženýsví, ale aké p suden bakalá ské sudijní pgamu Sjíensví, ke í sudují pdle individuální sudijní plánu P i p ípav pdklad p en p edm jsem vcáel e kušensí, keé mám d akademické ku 7/8 s nvu fmu výuk p edm u Pužns a pevns I ve duém níku bakalá ské sudijní pgamu Sjíensví na S VUT v Pae Ten e vnikl p vdn e slepýc pdklad p p ednášk, keé vám suden m m li usnadni páci p i vb vlasníc ápisk p ednášek ak, ab vás p i é innsi nic výan neušil Tím mám na msli bkeslvání bák abule Psupn jsem si d c pdklad v il vlasní pnámk, c bc nem l apmenu p i p ednášce u i íci a ml si knlva dvené vce, vp ené p íklad, ad V u ié fái jse m p esv d ili v mji sudeni, abc u páci dál dknce a své pdklad p p ednášk vám dal k dispici V e, že v p b u semesu nebl v bec jednducé, ale pkud alesp jednmu vás pdklad pmu ud la kušku, ak nebla be ná páce Jesliže v eu neb vcíc bjevíe cb, keé jsem p i clé keku e p elédl a a keé se p edem mluvám, budu vám vd ný, pkud m na n upníe, abc je ml pavi P ebné vsupní infmace Pužnsi a pevnsi I, keé bse m li ná db vaše bakalá ské sudia, jsu v eu p jisu aké uveden v kmpimvané pdb, pže as iní v pam i všec nás nenapavielné škd a nejjedndušší v ci se nejcleji apmínají Pkud pbíaná pblemaika dvlí, je su ásí eu aké snuí lavníc áv v en nana ení suvislsí mei jednlivými pblém, keé b ml usnadni jejic pcpení P ednášk km mýc kmená bsaují p bjasn ní pblemaik i adu vvýc p íklad N keé nic jsu kmplen celé vp íané, u jinýc je jen nana en ešení Ne všecn uvád nýc p íklad jsem na p ednáškác p íal Spíš jsem je d eu umísil p vaše samsudium V následujícím eu pak budu pužíván p výan ní jednlivýc ásí e smbl: I O P Ineme Ineme Zásadní dvení Vvý p íklad Snuí pbané aemaik I-III Pužnsi I je vdné um je dbé cápa suvislsi lák neb ik I a II! c vpadl lav! a kuší se! neb se ned epa! usnadní pcpení! Na áv bc vám c l pp á dn úsp c b em celé vaše sudia Pkud budee v p b u následujícíc le na fakul ckliv p ebva a nejen Pužnsi a pevnsi II ak jsem vám k dispici, pže jednu jse OJI STUDNTI, a je p m ávaek i d buducna, kd vás již nebudu u i P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ V Pae v úeý dne psince 9 Σ Jan ení ek : 45777; : janenicek@fscvuc : enicekjan ; : 4575

5 OBSH OPOVÁNÍ PP I 4 OHYB IVÉ PRUTY RÁY 9 ROT N SYTRIÉ ÚLOHY SILNOST NNÉ TLUSTOST NNÉ NÁDOBY ROTUJÍÍ TNÉ OTOU 4 TNÉ RUHOVÉ DSY 46 VZP R 59 P IBLIŽNÉ ŠNÍ VZP RU 6 OBIN VZP RU S OHYB 64 4 TTIÁ TORI PRUŽNOSTI 7 4 ROZŠÍ NY HOO V ZÁON 7 4 ROVNI P TVO NÍ 7 4 ROVNI ROVNOVÁHY SPOJNÍ VŠH ROVNI TTIÉ TORI PRUŽNOSTI PROSTOROVÁ NPJTOST TNZOR NP TÍ 76 5 THNIÁ PLSTIIT 8 5 TH TL V PLSTIIT 86 5 RUT V PLSTIIT 9 5 OHYB V PLSTIIT PLSTIIT P I VÍOSÉ NPJTOSTI 6 XPRINTÁLNÍ PRUŽNOST PVNOST 6 ODPOROVÁ TNZOTRI 6 OPTIÉ TODY 7 LITRTUR 8 SZN ODVOZNÍ Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

6 I 4 OPOVÁNÍ PP I Pužns a pevns jak su ás fik, esp její užší ási mecanik pddajnýc les lasická PRUŽNOST PVNOST vs mdení výp vé numeické med ejména P Základní pjm: SÍLY Vn jší Vni ní Saická vnváa vn jšíc sil všec VNITŘNÍ SÍLY becnělé: Pjmem becn lá síla se umí veškeé mžné aížení ed jak sam lá síla, ak i síla spji lžená neb aké sam lý esp spji lžený mmen Obdbn se v p ípad becn lé defmace m že jedna jak psunuí ak aké na ení d 4 dt d dn n n Inenia vni ní síl NP TÍ mecanické P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ d a su asn becné nmálvé smkvé ν d d V dn d Rmě napěí v susavě SI: [Nm - ] [Pa] pascal esp [Nmm - ] [Pa] megapascal Pa 6 Pa V Pnámka: Zejména v anglsaské dbné lieau e se ásadn uvádí mecanické nap í v ákladníc jednkác Nm - esp Nmm - nap aumbilk d neb BW uvád jí ve všec ecnickýc p edpisec a dílenskýc manuálec pevnsi šub v Nmm - Jednk Pa esp Pa p ípadn kpa jsu pužíván p na vání lak pln a kapalin dt d

7 5 DOR TĚLS: [] γ [] pm né pdlužení kladné pm né kácení ápné d l u d l bude dven pd ji ks d íve pm né psunuí m na pavé úlu v elemenu γ u v bude dven pd ji PRUŽNOST TĚLS: Scpns lesa vái se d p vdní savu pkud pmine vn jší aížení TUHOST TĚLS: Scpns lesa dláva defmacím ZÁLDNÍ PŘDPOLDY ŘŠNÍ ÚLOH PP: P edpklad malýc defmací v elaci s saními m Plans lineání ávislsi mei nap ím a defmací Hk v ákn Plans Sain-Vénanva pincipu m na aížení se nese na malé vdálensi d celé p eu su ási a vlivní ak jen malu blas, keu anedbáme 4 isence ideální maeiálu - mgenní be vm sk, v, - ispní ve všec sm ec sejné vlasnsi Výpčvý mdel ada jedndušení - ešielné P výp v pužnsi a pevnsi vužíváme v výp vý mdel, keý vnikne a pužií nýc jedndušujícíc p edpklad ím v ší je jedndušení ím nep esn jší jsu výsledk vledem ke skue nsi Skuečná sučás as analick ne ešielné peimen velice as pvádíme p ím na skue né su ási neb na skue ném mdelu, keý však nemusí bý žný s výp vým mdelem P mu bý mei epeimenem a výp em na né díl Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

8 6 NPJTOST: Du napjasi: jednsá dvjsá jsá p ímkvá vinná psvá Obecně adaná napjas: jediné nmálvé dv nmálvá a jedn smkvé i nmálvá a i smkvá nap í nap í nap í všecna v jediné vin neb neb Napjas adaná lavními napěími jediné nmálvé dv nmálvá i nmálvá nap í nap í a nap í, a b v jediné vin neb neb P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

9 7 ZÁLDNÍ ZPŮSOBY NÁHÁNÍ: Taem/lakem uem Obem Smkem ±N T T N N T Vvlá napjas: jednsu vinnu jednsu vinnu OBIN ZÁLDNÍH ZPŮSOBŮ NÁHÁNÍ: veducí na jednsu napjas šikmý b b b ; a/lak a b veducí na vinnu napjas a/lak a ku ; b a ku ; b a smk HODNONÍ NPJTOSTI TORI PVNOSTI: P evd edukce jakékliv becné napjasi na jednsu p svnání s dnami ískanými p i nmalivané avé kušce maeiálvýc vk Rdělení pdle pu maeiálu, p keý jsu vdné řeké maeiál liina, íkvé sliin, Teie maimální nmálvé nap í X ma ed p min ma min > < Huževnaé maeiál knsuk ní celi, msai, Teie maimální smkvé nap í ed X ma min Teie va Teie enegeická ed ma ρ min HH p ma > a min <, kde R m ρ ed R md 6 ed Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

10 8 DORČNÍ NRGI: Jedná se vni ní enegii akumulvanu v lese Základem výp u je usa defma ní enegie λ, keá je važena na jednku bjemu: P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ du λ dv Ta je becn definvaná p i pužií ší ené Hkva ákna a vau mei mdulem pužnsi v au a mdulem pužnsi ve smku jak: [ ] λ V p ípad jednsé napjasi esp isé smku se výa p usu defma ní enegie výan jednduší: λ esp λ G Dsadíme-li nní d c va va p u ení napjasi p i jednlivýc p sbec namáání a budeme-li výsledk inegva p es celý bjem ešené lesa dv d, dsáváme: N U N d, p a/lak: G p ku: U l d, J l P d, J l p vinný b: U β 4 p smk d psuvající síl: U T T G l Defma ní enegie je pak v ad úl vužívána sple n s p edpkladem plansi ákna acvání enegie beávé d je jak ps edek k ešení Su asn plaí v dvené ialským inženýem alem lbeem asiglianem: Paciální deivace celkvé defma ní enegie U akumulvané v libvlném lese pdle becné silvé ú inku p sbící v u iém bd lesa j se vná defmaci lesa j v mís a sm u p sbící silvé ú inku: U j Je-li becným silvým ú inkem síla, je vp ená defmace POSUNUTÍ Je-li becným silvým ú inkem mmen, je vp ená defmace NTO NÍ Saick neu iá veli ina X i minimaliuje celkvu defma ní enegii U akumulvanu v susav : U X i j d plaí p susav ne áé a nep edepjaé

11 9 Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik OHYB ŘIVÉ PRUTY RÁY analgie s p ímými nsník saick u iými a saick neu iými OHYB NOSNÍŮ p ímýc pu dminann namáanýc bem V PP I bl ešen b p ímýc pu namáanýc p evážn bvým mmenem nsník Základní dvení lineání eie lžení bvýc nap í p p eu η pvedl Benulli: η η J, kde J [m 4 ] je svý kvadaický mmen p eu k se bu aimální bvé nap í ma vniká v mís mísec nejvdálen jším d neuální s p eu: W e J ma ma, kde W [m ] je mdul p eu v bu Pže v PP I bl ešen pue vinné p ípad bu nsník, m l výnam pue dv defmace: v p b svislý psuv nsníku v vin bu v mís, ϕ v' úel na ení nsníku v vin bu v mís, Difeenciální vnici p bvé á analické ešení p bu dvdil na áklad analý k ivsi ýbané puu aké Benulli, a ve vau: J v Spjením se Scwedlevu v u q vnikla úplná difeenciální vnice p bvé á: [ ] J q v Na áklad Benulli lineání eie lžení bvýc nap í bl dven va p celkvu defma ní enegii akumulvanu v nsníku délk l, keý je namáán bvým mmenem : l d J U Vledem k plansi asiglianv v ve vau U v a U ϕ bl dven p J kns v inegál p výp e defmace v becném mís nsníku: l d m J v j f j a l d m J m j j ϕ Pže funkce m ať d jednkvé síl f j neb d jednkvé mmenu m j je buď knsanní neb je maimáln lineání funkcí su adnice, le k výp u va inegálu s výdu vuží Veeš aginv pavidl: n i f T j j i m i J v a n i m T j j i m i J ϕ I

12 ROZDĚLNÍ ŘIVÝH PRUTŮ RÁŮ PODL LOVÉ GOTRI R enké křivé pu R lusé křivé pu R 8 i 5 < 8 i 5 mál ak ivené siln ak ivené P edpkládáme, že neuální plca pcáí T P edpkládáme, že neuální plca je mim T e R R ρ T ds T d dϕ ρ R η T e ds ds ds η T d R ρ dϕ dϕ ds η dϕ ODVOZNÍ LINÁRNÍHO ROZLOŽNÍ NP TÍ ODVOZNÍ NLINÁRNÍHO ROZLOŽNÍ NP TÍ Z pdbnsi vp eme svu defmaci : Z délek ásí bluk u íme svu defmaci : ρ η d d d η η ρ ds η dϕ η d ds ρ η dϕ Za p edpkladu plansi Hkva ákna u íme své bvé nap í jak funkci pl η: η dϕ η η η η c η η η η ρ ρ η ϕ dϕ Z mmenvé vnvá η η d u íme knsanu c esp len dϕ/dϕ: c J P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ dϕ dϕ e ískáme ak výsledný va, keý se p enké a lusé k ivé pu velice pdsan liší: η J η η η e ρ η Dále uvažujeme pue enké mál ak ivené k ivé pu i ám

13 PODL USPOŘÁDÁNÍ vinné křivé pu psvé křivé pu q PODL ULOŽNÍ sejn jak u nsník R R R R R vlný knec psuvná pdp a klubvá pdp a pevné veknuí nedebíá nic debíá vlnsi debíá vlnsi debíá vlnsi křivé pu saick učié křivé pu saick neučié q saick u ié saick neu ié saick neu ié saick u ié q saick neu ié q saick u ié saick neu ié Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

14 Ta sánka je vlžena d p ednáškvýc pdklad jaksi navíc a pkud b vás její bsa uážel svjí jednducsí, ak ji s klidným sv dmím eje, spale, je kušensi e kušek pužnsi a pevnsi p ípadn dalšíc p edm však ukaují, že nejjedndušší v ci se nejcleji apmínají je smuné, kdž db e aájený p íklad nejse scpni dp ía jen p, že vám scáí n jaká dbns maemaik neb fik a já pak musím en p íklad dni jak nev ešený Z d vdu se n kliká v c p ednáškvýc pdkladec ucýlím k é fm dpln ní p ebnýc nalsí a m, keé ím uážím, se p edem mluvám pmi e! TTIÉ INTRZZO ada k ivýc pu, keé budeme eši, je v ena ásmi kuvýc bluk nej as ji ½ neb ¼ kužnice P i ešení pmcí va inegálu je eba inegva né kmbinace gnimeickýc funkcí P si de p ipmeneme n keé ve k, keé nám výp jednduší unkce sinus: unkce csinus: π / π / π π π / π / π π unkce sinus na duu: π π π π sinϕ d ϕ, sinϕ d ϕ, sinϕ d ϕ, sinϕ d ϕ π π π π π π π π sinϕ d ϕ, sinϕ d ϕ, sinϕ d ϕ, sinϕ d ϕ π π π π csϕ d ϕ, csϕ d ϕ, csϕ d ϕ, csϕ d ϕ π π π π π π π csϕ d ϕ, csϕ d ϕ, csϕ d ϕ, csϕ d ϕ π π / π /4 π π / π /4 π π sin π π ϕ d ϕ a 4 π sin π ϕ d ϕ π unkce csinus na duu: π /4 π / π π /4 π / π π π π cs ϕ d ϕ a 4 π π cs ϕ d ϕ π Su in funkcí sinus a csinus: π sinϕ sinϕ csϕ dϕ P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ ; csϕ dϕ d ; π d Su vé vce: sin α ± β sinα cs β ± csα sin β ; cs α β csα cs β sinα sin β sin α sinα csα ; cs α cs α ± m

15 PŘÍLD ŘIVÝ PRUT STTIY UČITÝ: Dán: lubvě ulžený křivý pu, keý má va plkužnice plměu R, je aížen samělým mmenem Pu je vben če mdulu a kvadaickém mmenu půřeu J R B ϕb P Uči: Načení ϕ B vcní bdu křivé puu a psunuí u pavé psuvné pdpě Řešení: Op se jedná k ivý pu ve vau ási kužnice a musíme ed puží k výp u v inegál s m mb s ds s ϕ B a J u s s m J f s ds Pže úla je saick u iá, m žeme p ím e saickýc vnic u i eakce v pdp ác vvlané mmenem : R R /R a R Nní p ipjíme d bdu B jednkvý mmen a p u íme eakce, keé vvlá v pdp ác a : /R a Vledem k ple aížení a ple mís ledanýc defmací sa í pu d li jen na dv ple ϕ /R ϕ /R B ϕ u ϕ /R B ϕ /R B ϕ ple -B B- ní me ds s m mb s dlní me R R cs R π R dϕ R csϕ dϕ π π "" R R "" cs R ϕ R m f s csϕ R ϕ "" " " R sinϕ " " R sinϕ Hledané defmace na ení ϕ B a psuv u vp eme inegací p es celu délku puu: ϕ B J π π π csϕ csϕ [ R dϕ ] csϕ csϕ "" [ R dϕ ] "" "" R J, u J π π π csϕ [ " Rsinϕ ] [ Rdϕ ] csϕ [ "" Rsinϕ ] [ Rdϕ ] R J Znaménka v bu výsledcíc namenají, že skue né smsl defmací ϕ esp u budu sdné se vlenými sm jednkvýc ú ink mmenu esp síl Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

16 4 P PŘÍLD ŘIVÝ PRUT STTIY URČITÝ: Dán: Veknuý lmený křivý pu délkác plí l a je vben celvé če mdulu a čvecvém půřeu saně a je aížen na svém vlném knci v bdě samělým mmenem B l ϕ v Uči: Půb v a úel načení ϕ vlné knce křivé puu a maimální namáání Řešení: P evé caakeisik p ebné v m p ípad budu svý kvadaický mmen p eu esp p evý mdul v bu: T l B B P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ B m T m T m f v m T m T m m i T a J 4 esp W a 6 Defmace saick u ié lmené k ivé puu aížené sam lým mmene je velice výdné eši s vužiím Veeš aginva pavidla vp u va inegálu v f m i T J a ϕ m i m i T J i i i menvé plc i v í dva bdélník pdél san k ivé puu Jejic žiš jsu pak páv ups ed délk jednlivýc san lmené k ivé puu Nní p ipjíme d mísa sílu ve sm u ledané defmace pavd pdbn dl menvé plc m f v í júelník a bdélník se sdnu maimální dnu l Hledaný psuv v bude: l l l "" l [ "" l ] J J Dále p ipjíme d mísa mmen ve sm u ledané defmace pavd pdbn pav ivé menvé plc m m v í bdbn jak vn jší aížení mmenem dva bdélník se sdnu maimální dnu Hledaný úel na ení ϕ bude: ϕ { [ l "" ] [ "" ]} l J a 4 aimální namáání ma puu je p celé je délce sejné a je veliksi Hledané nap í ed bude v kajníc vláknec p eu p celé délce l sejné: 6 ma ma W a

17 5 Ta sánka je vlžena d p ednáškvýc pdklad jaksi navíc a pkud b vás její bsa uážel svjí jednducsí, ak ji s klidným sv dmím eje, spale, je kušensi e kušek pužnsi a pevnsi p ípadn dalšíc p edm však ukaují, že nejjedndušší v ci se nejcleji apmínají je smuné, kdž db e aájený p íklad nejse scpni dp ía jen p, že vám scáí n jaká dbns maemaik neb fik a já pak musím en p íklad dni jak nev ešený Z d vdu se n kliká v c p ednáškvýc pdkladec ucýlím k é fm dpln ní p ebnýc nalsí a m, keé ím uážím, se p edem mluvám pmi e! YZIÁLNÍ INTRZZO ada k ivýc pu, keé budeme eši, bude áá T pi p vdnímu savu V p ípad saick u iýc úl vvlá áí defmaci a v p ípad saick neu iýc úl vvlá áí vni ní ú ink v d sledku abán ní vlným defmacím T vše suvisí s eplní ažnsí maeiál, keu le u b žnýc knsuk níc maeiál ppsa pmcí su iniele lineání eplní ažnsi α, keý pvažujeme p daný maeiál a knsanní Všicni ajisé náe vec p pdlužení puu p i je áí: T α T d a p knsanní ev T kns dsáváme l T α T l l l Ze kušensi d kušek vím, že en va vládáe, ale ší je s je aplikací, akže se pkusím snu: Teplní defmace se vžd vauje p áku esp n jakému pevnému bdu Teplní defmace nasává ve všec sm ec sejn a áleží jen na p vdní veliksi Teplní defmace v u iém sm u je vžd ávislá na klmé vdálensi vše vané mísa a važné bdu p áek esp pevný bd T Pže délka l vdálens mís a B ve vdvném sm uje ve všec ec p ípadec sejná eplní defmace d vdvné sm u: B l l T α T αl T l T α T l Obdbn bude u k ivýc pu dující klmá vdálens ešené mísa d važné esp pevné bdu Zde uvedu n keé p íklad p bjasn ní výp u eplníc defmací l T l T α T αl T T R R α T αr T POZOR!! Tepla nevliv uje na ení ve veknuí!! elkvá m na délk puu je lαπr T, ale v m p ípad není v bec d ležié Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

18 6 P PŘÍLD ŘIVÝ PRUT STTIY NURČITÝ OHŘÁTÝ: T Dán: Tenký křivý pu je na bu kajíc veknuý Tvří půlkužnice plměu R Pu je vben maeiálu mdulu pužnsi a sučinieli eplní ažnsi α Tč má kuvý půře půměu D a je celý řáý T B Uči: Reakční účink v ulžení R ; R a R B ; R B a mís a veliks nejvěší namáání ma enké křivé puu Řešení: Ta úla je becn saick neu iá: B UVOLN NÍ saick u iý pu NHRZNÍ DOPLN NÍ p idáme eakci R defma ní pdmínka u U R u u T R neb α T ŠNÍ en k ivý pu je v en ásí kuvé bluku, p pužijeme p ím ešení pmcí va inegálu Z vnvá d svislé sm u a p i acvání smeie puu musí plai: R R B dϕ T B ds Rsinϕ ϕ B R T R ple -B Tabulka funkcí dsaenýc d va inegálu: ní ds s m f s dlní R sinϕ " " sinϕ π dϕ v inegál vjad ující becné vlné vdvné psunuí bdu bude: U R P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ u J l f s m a p dsaení jednlivýc funkcí u enýc p en p íklad: π s ds R R π [ R ] [ ] [ d ] d T J sinϕ "" sinϕ ϕ J sin ϕ ϕ α J Odud již vcáí veliks ledané saick neu ié eakce: R 4 α T J π π α T D 6 Znaménk ve výsledku namená, že vlený sm eakce R dpvídá skue nsi aimální namáání vniká v ním a dlním kajním vlákn a v nejvdálen jším mís d nsielk síl R, ed ve vcním bd : ma R α T D 6 4 a ma α T D ma W π 4 ma ma

19 RÁY ám becný křivý pu se spjenými knci 7 Rvinný ám: ři vniřní NZNÁÉ účink, a esp N, T a je becně saick neučiý Psvý ám: šes vniřníc NZNÁÝH účinků,,,, a je becně 6 saick neučiý Dále budeme eši pue vinné ám ed pue se emi vni ními ú ink v každém bd ámu Způsb řešení: Pu uvlníme íneme v bd a dále p íáme jak veknuý k ivý pu: Reak ní síl p i adíme k vn jším aížením bd v defmační pdmínk U ϕ U uvln ní u N N T n u N U v T Obecný vinný ám je ed iká saick neu iý máme i nenámé vni ní ú ink Pvk vlivňující supeň saické neučisi ámu enké vinné: isují ale dv skue nsi, keé vliv ují saicku neu is a ed p e nenámýc ú ink : každá sa smeie SNIŽUJ saicku neu is jeden supe maimáln však každá p í ka vlžená d ámu ZVYŠUJ saicku neu is jeden supe be meení Příklad aplikace bu pavidel d pae: Uvažujme enký vinný ám ve vau vece, keý bude n a žván a bude se ak m ni je celkvá smeie a plnucí další p sb výp u Rám je aížen ůnými silami až 4 a dvěma ůnými spjiými aíženími q a q 4 q bd q Ten ám nemá žádnu su smeie, bude neu iý a ešíme vcelku Defma ní pdmínk p bd budu: U U U, a N T Získáme ak susavu vnic p ledané nenámé:, N a T 4 T N q q Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

20 8 Rám je aížen dvěma sejnými silami a spjiým aížením q bd Ten ám má jednu su smeie, bude saick neu iý a sa í eši jen je jednu plvinu Sílu T u íme e smeie a vnvá: T Defma ní pdmínk p bd ak sa í jen: N? T? q U U a N q Získáme ak susavu vnic p ledané bývající nenámé: a N Rám je aížen jednu silu a spjiým aížením q bd q Ten ám má jednu su smeie, bude saick neu iý a sa í eši jen je jednu plvinu Sílu T u íme e smeie, vnvá a pdmínk, že výsledná síla v bd musí mí p spjení bu ásí k sb veliks : T / Zbývající defma ní pdmínk p bd se nem ní: U U a Získáme ak susavu vnic p ledané bývající nenámé: a N N N?? T / q Pnámk: a Rám m žeme uvlni i pa n veknu v bd a eši v bd B T uvln ní není lediska pacnsi výdné, ale je mžné V m p ípad nesmíme apmenu, že na p vdním ámu v bd B nep sbila žádná sam lá síla spjié aížení je p celé délce, a ak p musí plai: T B U Defma ní pdmínk budu p sa i dv : B U a N B N B? T B B? q b Známe-li všecn vni ní ú ink v jednm bd u ené pmcí defma níc pdmínek esp saickýc vnic, náme vše, c jsme p ebvali Vni ní silvé ú ink v keémkliv jiném mís ešené ámu k ivé puu sanvíme pmcí í saickýc vnic vnvá slžkvýc neb mmenvýc P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

21 4 Rám je aížen dvěma silami bd Ten ám má dv s smeie, bude saick neu iý a sa í eši jen je jednu vinu Sílu T u íme e smeie, vnvá a pdmínk, že výsledná síla v bd musí mí p spjení bu ásí k sb veliks : T / Sílu N u íme e smeie a vnvá: N N U? Zbývá ed jediný nenámý mmen, a en u íme defma ní pdmínk: 9 T / Pnámk: Rám m žeme mí i více s smeie 4, ale v m p ípad se již nesnižuje saická neu is, jen b sa ila eši pue jedna smina ámu v šinu však ešíme celu vinu, pže namáání bývajícíc sedmi smin je sdné V c p ípadec je pak vžd jedinu nenámu mmen N /? T / Známe-li všecn vni ní ú ink v jednm bd u ené pmcí defma níc pdmínek esp saickýc vnic, náme vše, c jsme p ebvali Vni ní silvé ú ink v keémkliv jiném mís ešené ámu k ivé puu sanvíme pmcí í saickýc vnic vnvá slžkvýc neb mmenvýc 5 Rám je aížen dvěma silami bd B Ten ám má dv s smeie, ale ješ má jednu p í ku a bude ed a saick neu iý Sa í sice eši jen je jednu vinu, ale p í ka vnáší další nenámu sílu T B R př Tu již neu íme e smeie a vnvá, ale příčka př kns další defma ní pdmínk, keá au í sejné psunuí bdu B na ámu i na p í ce Sílu N B u íme e smeie a vnvá: N B Zbývají ed dva nenámé vni ní ú ink - mmen B a eakce v p í ce R př T u íme U e dvu defma níc pdmínek: a B U T B a TB př a/ T B R př N B B? T B? / uvažujeme jen ¼ p í k, pže bý vající vin pa í k dalším ásem d lené p vdní vecvé ámu Na celu p í ku ed p sbí na bu kncíc síl veliksi T B T B Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik a T B

22 P PŘÍLD RÁ: Dán: Tenký ám vří dvě plkužnice spjené přímými čásmi a v pilelýc bdec a je aížen samělými silami Uči: Zvěšení sřední vdálensi v důsledku aížení silami, náe-li mě a je-li J kns B D Řešení: Rvinný ám je becn saick neu iý, ale každá sa smeie snižuje neu is jeden supe maimáln ale Náš ám má páv dv s smeie, a ak bude jedenká saick neu iý saick neu iým ú inkem je v c p ípadec vžd vni ní bvý mmen Vledem k smeii sa í eši pue ¼ ámu jak veknuý k ivý pu s vlným kncem, na keý p ipjíme vni ní ú ink T, N a Hdn T a N musíme u i s vužiím smeie a saick neu iý mmen pmcí defma ní pdmínk Obecn eisují dv mžnsi uvln ní a ešení enké ámu vledem k dalšímu adání pu vekneme v bd, d B ψ bdu p ipjíme vni ní ú ink N, T a a dplníme T / defma ní pdmínku: ϕ Ze smeie nep sbí nic d svislé sm u N Ze smeie se síla d lí na b ási sejn T / Nní vjád íme defma ní pdmínku pmcí va inegálu p es ple B: π ϕ [ sin ] [""] [ ] [ ] [""] [ ] ψ dψ d J P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ π Defmaci u u íme aké pmcí va inegálu p es ple B, d keé dsadíme a saick neu iý mmen vp enu veliks a p ipjíme jednkvu sílu: J [ π [ sinψ ] [ "" sinψ ] [ dψ ] ] [ "" ] [ d] J Pnámka: Duý p sb uvln ní: ivý pu vekneme v bd a d bdu p ipjíme vni ní silvé ú ink N, T a a dplníme defma ní pdmínku: ϕ Ze smeie k vdvné se vcáí N / a e smeie ke svislé se a e ákna akce a eakce vcáí T Defma ní pdmínku vjád íme p pmcí va inegálu p es ple B: π ϕ [ ] [""] [ ] [ d J csψ ] [""] [ dψ ] Spávns výsledku v íme pmcí mmenvé vnice v mís e slžek v mís "" T / "" N N B B T N / "" π π

23 ROTČNĚ SYTRIÉ ÚLOHY TNOSTĚNNÉ NÁDOBY V PP I bl ešen enks nné nádb Ve s n akvé nádb p edpkládáme vnik membánvé vinné napjasi ppsané pmcí Laplacev vnice: a vnice vnvá d sm u s nádb: R R p π R csϕ p π R p R csϕ Pdmínku její pužií bl, že << R N ke í au i uvád jí pm R/ I ULOVÁ SO PIN nejjedndušší P i ešení kulvé sk epin R R R vcáejí b lavní nap í sejná: p R Pže v pláši kulvé sk epin vniká vinná napjas, u íme m nu plm u pmcí ší ené Hkva ákna: p R R R R VÁLOVÁ SO PIN P i ešení válcvé sk epin R R a R vcáel e né nap í v nevlivn né ási nádb: p R Osvé nap í pak áležel na usp ádání sk epin P uav enu nádbu vcáel: p R v ev ené nádb je Pže v pláši válcvé sk epin vniká becn vinná napjas, musíme defmace sk epin u i pmcí ší ené Hkva ákna: R R R P dsaení p íslušnýc dn vcáí: uav ená sk epina p R p R l R a l, l a l l R p R ev ená sk epina a p R l l Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

24 SILNOSTĚNNÉ TLUSTOSTĚNNÉ NÁDOBY PŘDPOLDY ŘŠNÍ SILNOSTĚNNÝH VÁLOVÝH NÁDOB: Plaí Hk v ákn všecn uvažvané defmace jsu vané nap í nep ek í me úm nsi u esp me kluu, Vše je a n smeické gemeie, aížení, nap í, defmace, Vše plaí v dsae né vdálensi d den neb jinýc impefekcí p íub, v,, keé p sbují vužení vnikající napjas v c blasec b bla pdsan slži jší d p b p ZÁLDNÍ ROZDĚLNÍ pdle p sbu, keým je uav en vni ní ps nádb NÁDOB UZV NÁ dn neb vík je pevnu su ásí vlasní ešené nádb je k ní p išubvané, p iva ené, V é nádb ak VZNIÁ své nap í NÁDOB OTV NÁ lakvý ps uvni nádb je uav en jiným lesem, keé není s nádbu pevn spjen pís, V é nádb ak nevniká své nap í R p p daulický válec Pnámka: Nevlivn ná ás silns nné válcvé nádb U av šené daulické válce vnikne své nap í jak d sledek p ensu eak ní síl R d pdp v av šení nádba jadené eaku P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

25 Ta sánka je vlžena d p ednáškvýc pdklad jaksi navíc a pkud b vás její bsa uážel svjí jednducsí, ak ji s klidným sv dmím eje, spale, je kušensi e kušek pužnsi a pevnsi p ípadn dalšíc p edm však ukaují, že nejjedndušší v ci se nejcleji apmínají je smuné, kdž db e aájený p íklad nejse scpni dp ía jen p, že vám scáí n jaká dbns maemaik neb fik a já pak musím en p íklad dni jak nev ešený Z d vdu se n kliká v c p ednáškvýc pdkladec ucýlím k é fm dpln ní p ebnýc nalsí a m, keé ím uážím, se p edem mluvám pmi e! TTIÉ INTRZZO V následujícíc p ednáškác budeme eši vnváu elemenu a ní smeické lesa silns nné nádb, ující ku e neb enké kuvé desk, keá pvede až na difeenciální vnici dué ádu P i dvení budu vužíva n keé ba, keé jsu vám u i nám p ednášek maemaik, ale p jisu a své isé sv dmí v i vám je de ješ jednu p ipmenu: deivace su inu dvu funkcí: deivace pdílu dvu funkcí: deivace slžené funkce: 4 difeenciál funkce jedné pm nné: 5 difeenciál funkce více pm nnýc: 6 difeenciální vnice ádu a její ešení: d u v u v u v u u v u v v v u [ v ] u v v d du d [ u ] d f f f [ f,, ] d d d f f f g B f f P Paikulání ešení f P dadneme pdle vau pavé san g p vdní difeenciální vnice: Je-li pavá sana ve vau mcnin g k n, dadneme paikulání ešení ve vau úplné plnmu sejné supn f P a n eficien a v dadu u íme p dsaení paikulání ešení d p vdní vnice Paikulání ešení f P iž jak jedn mžnýc ešení dané difeenciální vnice musí é vnici vvva Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

26 O 4 ODVOZNÍ ZÁLDNÍ DIRNIÁLNÍ ROVNI ŘŠNÍ NPJTOSTI SILNOSTĚNNÝH VÁLOVÝH TLOVÝH NÁDOB dϕ P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ Jednlivé len é vnice vnvá jsu: b d v Ze s n válcvé nádb vjmeme elemen délk b vni ním plm u pd úlem dϕ a lušťce d Nejpve p edpkládáme ev enu nádbu, kd nep sbí na elemen žádné své nap í Takže na elemen p sbí pue vinná napjas, kde e né nap í je, ale adiální nap í se m ní e na d Za c p edpklad nní sesavíme silvu vnváu ešené elemenu: dϕ v [ d b d dϕ] [ b dϕ] d dϕ b d dϕ b d d dϕ b [ d d d d ] dϕ b [ d d ] dϕ b d P dsaení d vnice vnvá dsáváme a p edpkladu b a dϕ výslednu vnici: d [ ] d Jedná se difeenciální vnici ale se dv ma nenámými veli inami úla je saick neu iá a je ed eba dplni defma ní pdmínku Tu sesavíme elemenu p ed a p defmaci: u du d d dϕ d v u d d d d dϕ { d [ u du] u } d d du u, d d d {[ u ] dϕ} d dϕ u d dϕ Nní va dsadíme d ší ené Hkva ákna, abcm vjád ili e né nap í a adiální nap í pmcí jediné nenámé psunuí u: u [ ] u, u [ ] u u d [ ] d u [ u d u d u d] u d u d Nní len dsadíme d p vdní difeenciální vnice v nap íc: b d

27 Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik [ ] d u d u d u d u d u d d Pže p edpkládáme eálný maeiál, p keý je a aké p edpkládáme, že difeenciál délk d je sice nekne n malý avšak nenulvý d, musí plai: u u u Tím jsme ískali difeenciální vnici dué ádu, ale již jen jediné nenámé psuvu u ešení é vnice je vžd ve vau: u n Pvedeme ed deivace ešení: n n u a n n n u a dsadíme je d p vdní vnice a upavíme ji: n n n n n n [ ] n n n n Za p edpkladu, že n, musí bý nule vna anaá ávka, dkud vcáí vnice: n a její ešení je n ± T namená, že jednlivá ešení jsu a Výsledná ledaná funkce u je pak lineání kmbinací bu c mžnýc ešení: u Pvedeme-li nní deivaci esp vd lení ešení su adnicí, ískáme len p ebné k dsaení d va p jednlivá nap í ší ený Hk v ákn: u a u Dsadíme-li nní len dsáváme: u u, u u V bu c vnicíc se vskují sejné len Pkud ed avedeme nvé na ení knsan: [ ] a [ ], m žeme výsledné va p e né a adiální nap í apsa ve vau: a

28 6 ž jsu b žn pužívané vnice plp vjad ující p b nap í jak funkci su adnice p Nv avedené dv knsan a naaují p vdní dv knsan a u íme kajvýc pdmínek, keé musí válcvá nádba spl va na vni ním a na vn jším pvcu: p p a p Dsaením dsáváme vjád ení knsan a ji jen pmcí adanýc veli in p, p, a : p p a p p Rm c knsan jsu: [Pa] a [N] Nní si p b baíme a dvdíme n keé d ležié va mei jednlivými nap ími Ze vau vnic plp je pané že: p bude i, p bude i ±, p jakékliv plaí, 4 pže p bude p, 5 pže p bude p p p p p p p Výpče své napěí v uavřené silnsěnné nádbě: p p P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ Vni ní lak p p sbí evni jak na s nu nádb ak i na její dn Sejn ak vn jší lak p p sbí vn jšku na s nu nádb i na její dn Hledané své nap í p edpkládáme knsanní p celé lušťce s n a p sbící ve sm u s nádb Silvá vnice vnvá d sm u s nádb je: Nní d é vnice dsadíme a jednlivé len: ; p a p p π p π p p π Všimn e si, že veliks své nap í je sejn velká jak je veliks inega ní knsan P je v n keýc, ejména sašíc u ebnicíc, knsana na vána jak

29 Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik SROVNÁNÍ VÁLOVÉ UZVŘNÉ SILNOSTĚNNÉ TNOSTĚNNÉ NÁDOBY: Tenks nná válcvá nádba je pdmnžinu silns nné válcvé nádb esp silns nná válcvá nádba je nadmnžinu enks nné válcvé nádb Pužijeme ákladní vnice p nap í v silns nné válcvé uav ené nádb :,,, kde knsan a upavíme p enks nnu nádbu, p edpkládáme-li že plaí: R R a ; R Výsledné va pak budu mí p úpavác va: R p R R p p p p R, R p R R p p p p R 4 Nní již upavené dn dsadíme d ákladníc vnic p b nap í v silns nné uav ené válcvé nádb : R p R p R p R R p R p R, R p R p R R p R p R, R p T výsledk p esn dpvídají výsledk m, keé bl dven pmcí Laplacev vnice v PP I Σ

30 O 8 DOR PLÁŠTĚ SILNOSTĚNNÉ NÁDOBY Pže ve s n silns nné nádb vniká becn psvá napjas uav ená nádba neb vinná napjas ev ená nádba, musíme ke sanvení defmací m n plm nádb a vuží ší ené Hkva ákna P i sanvení m n plm u vjdeme e ákladní dvení silns nnýc nádb vau p výp e e nýc defmací: u, a pže u je psunuí ve sm u su adnice, musí na vni ním a vn jším pvcu plai: a Odud ískáme p ebné va p u ení m n plm nádb a : a, d keýc dsadíme a e nu defmaci pdle ší ené Hkva ákna: u u a p nádbu uav enu : { [ ] } esp { [ ] } Odkud p dsaení p, p, p, p a vcáí: UN UN [ p ] esp [ p ] b p nádbu ev enu : { [ ]} esp { } Odkud p dsaení p, p, p, p a vcáí: ON ON [ p ] esp [ p ] Zm na délk l silns nné nádb se musí aké p ía ší ené Hkva ákna, ale s výdu de vužíváme ákladní vau napjasi ve s n nádb: : UN l l l l l l [ ] ON l l l P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

31 DINZOVÁNÍ SILNOSTĚNNÝH NÁDOB PVNOSTNÍ PODÍNY a nádba s vni ním p elakem p > p ev ená Nejnamáan jším mísem je vžd p vni ní plm V m mís bude pevnsní pd mínka dle pé X : ed D Jednlivé len v é pevnsní pdmínce vjád íme pmcí ákladníc va p výp e nap í silns nnýc nádb: p p p 9 O p p p p a p P dsaení d pevnsní pdmínk dsáváme: ed p p p p D ed p p p dud již p úpav dsáváme b žn pužívaný va p dvlený lakvý spád: D p p D b nádba s vni ním p elakem p > p uav ená Nejnamáan jším mísem je vžd p vni ní plm Pevnsní pdmínka dle X bude mí sejný va jak v p í- pad ev ené nádb, pže p- p la své nap í je vžd mei e ným a adiálním nap ím ed D Veškeé úpav budu sdné s úpavami pvedenými v p ípad ev ené nádb, a ak i výsledný va bude naps sejný: p p D D Pnámka: Sdns a jednducs bu va je dána pužiím pé X, keá p íá pue s nejv ším a nejmenším lavním nap ím V p ípad pé HH b výsledk bl slži jší a dílné p p ed Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

32 c nádba s vn jším p elakem p > p ev ená Nejnamáan jším mísem je vžd vni ní plm, a i v p ípad, že je nádba namáána vn jším p elakem V m mís bude pevnsní pdmínka p dle pé X : D ed Te né nap í v é pevnsní pdmínce vjád íme pmcí ákladní vau p výp e nap í silns nnýc nádb: p p p p P dsaení d pevnsní pdmínk dsáváme: p ed p p p p D Ten výa již nemá cenu dále becn upavva, pže jednducý va p dvlený lakvý spád jak v saníc p ípadec v m p ípad sesavi nele V c p ípadec je výdné vžd již vjád i p ím ledanu veli inu a vp ía ji p ed p d nádba s vn jším p elakem p > p uav ená Nejnamáan jším mísem je vžd vni ní plm, a i v p ípad, že je nádba namáána vn jším p elakem V m mís bude pevnsní pdmínka p dle pé X : ed D Jednlivé len v é pevnsní pdmínce vjád íme pmcí ákladníc va p výp e nap í silns nnýc nádb: p p p p a p P dsaení d pevnsní pdmínk dsáváme: p ed p p p p p p D ed p p p dud již p úpav dsáváme b žn pužívaný va p dvlený lakvý spád: D p p D P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

33 PŘÍLD SILNOSTĚNNÁ NÁDOB PVNOSTNÍ TORI: Dán: Válec sacinání daulické vedáku má vniřní půmě d mm a vnější půmě D 6 mm elý je vben celi mdulu pužnsi, 5 Nmm - a mei kluu Nmm - Uči: S bepečnsí k 5 maimální sílu ma, keu le íska na písu válce p d D ma P Řešení: Jedná se ev enu lakvu silns nnu nádbu, a ak ve válcvé ási budu vnika pue dv nap í e né a adiální Oblas vlivn nu dnem nebudeme eši, pže de vniká pdsan slži jší napjas, keá p eka uje sa kuu Paame výp u ed jsu: d / 5 mm, D / 8 mm, p p? a p P výp e pdle pé X m žeme puží p ím dsaení d dvené vce: p D D k 5 6 d D p 4, Pa D P výp e pdle pé HH musíme vjád i nap í jak funkce nenámé laku p : p ; p ; p p p T dn nní dsadíme d pevnsní pdmínk p dvjsu napjas a : D p k, p 5,8 Pa D 6 k Hledaná maimální síla pak bude: ma p D písu X: ma 4,π N kn HH: ma 5,8π5 4 9 N 4 kn Pnámka: Jednlivé dn pdle X jsu: 4 Nmm - 9 Pa Nmm - Nmm - 8 Nmm - ed 46 Nmm - D p [ ed ] X 46 Pa Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

34 Σ Tabulka snuí všec mžnsí pevnsníc pdmínek sesavenýc pdle pé X p dimenvání silns nnýc válcvýc nádb namáanýc p elak p a p : p nádb uav ená nádba ev ená nádba D p > p p p D D p > p p p D D D D Nele sesavi jednducý va jak v saníc p ípadec!!! Pnámka: Bl b sam ejm mžné dvdi bdbné va pdle enegeické pé HH, ale bl b be n pacné vledem ke vau ed pdle é pé Hpéa X je vledem k HH knevaivní, a ak dvené pdmínk vi p edcí abulka jsu na san bepe nsi ZVLÁŠTNÍ PŘÍPDY SILNOSTĚNNÝH VÁLOVÝH NÁDOB: Nádba be vu: ; p Jedná se pakick plný ídel p m u d, na keý p sbí vn jší p elak p : p p Nádba s malým vem: ; p Jedná se pakick plný ídel p m u d, ve keém je vván velmi malý maací v aím be vni ní p elaku p, na keý p sbí jen vn jší p elak p : p p X ed X ed P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

35 Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik Vjád íme si pmcí c dn knsan a užívané v vnicíc nap í p p p p p p T dn dsadíme d ákladníc va : dkud ískáme výsledné p b nap í: p p P b bu nap í jsu knsanní a sdné a aké sdné s knsanu a jejic veliks je vna dn vn jší laku p Pnámka: nsana musí bý nulvá i maemaick, pže jinak b len / v vnicíc p b e né a adiální nap í vedl v se nádb p na maemaick nep ípusný výa / Vjád íme si pmcí c dn knsan a užívané v vnicíc nap í p p p p p p p p T dn dsadíme d ákladníc va : Duý len v c vnicíc musíme psudi pledu veliksi su adnice : p: je p p, p: > je p, dkud ískáme výsledné p b nap í v ávislsi na su adnici : : : p p p p > : : p p p > P b bu nap í ve v šin lušťk s n dpvídají nádb be vu a jsu ed knsanní a jejic veliks je vna ápné dn vn jší laku p Pue v malé blasi blíké vu se p b výan dlišují d p

36 4 NLISOVNÉ SILNOSTĚNNÉ NÁDOBY: Jednducá silns nná nádba má elaivn nevýdné lžení nap í aimální edukvané nap í je na plm u a v celé bývající s n je edukvané nap í nižší, až na vn jším plm u je nejnižší Znamená, že v šina nádb je pevnsn nevužívána p p p ed p ed ed II ed I II I p p p p II I p II I I ed II II Vdným ásaem d p b u adiální nap í výšením laku mei plcami vni ní a vn jší nádb m žeme výan vlivni celkvé lžení nap í T výšení laku vvdíme p esaem na plm u, se keým na sebe b silns nné nádb nalisujeme ed I Teeick le na sebe lisva i více nádb neb knakní lak vvva navíjením vn jší vsv na vni ní s u iým p edp ím Tak dsaneme mnvsvé nádb bdba nýc vsvenýc laminávýc knsukcí apd T nádb mu mí p b edukvané nap í p celé lušťce s n pakick knsanní ed in ed e p e p e p in p in ed in ed e Pakick p celé s n plaí ed kns Další výdu c vsvenýc knsukcí km pimaliace lžení nap í m že bý aké abán ní ší ení lin, pže lina bížn p esk í p es aní dvu susedníc vsev Dále budeme eši pue dvuvsvé nalisvané válcvé nádb vícevsvé b se p íal sejn, jen b val pdsan déle P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

37 5 URČNÍ PŘSHU U DVOUVRSTVÉ NLISOVNÉ VÁLOVÉ NÁDOBY sav p nalisvání a aížení p elak p a p I II O I II p defmaci I II P edpkládáme b ev ené silns nné nádb I II vbené e sdné maeiálu a vše v blasi malýc defmací nap v ámci výbníc leance Také uvažujeme že: II I Z báku je pané, že p nalisvání a aížení nádb vni ním p a vn jším p p elakem m žeme ledaný p esa vjád i pmcí dílu defmací vn jší II a vni ní I nádb: II I Tu vnici vd líme plm em a vužijeme p edpkladu sk sejnýc plm I a II : II I II I II I II I Te né defmace na plm u vjád íme ší ené Hkva ákna pmcí e nýc a adiálníc nap í, esp pmcí laku p : I I I [ ] [ ] I p, II II II [ ] [ ] II p Nní vjád íme díl e nýc defmací na plm u : II I II I {[ p ] [ p ]} [ ] I II Pkud dsadíme a e né nap í vn jší esp vni ní nádb námé va: dsáváme: II II I I p esp p II I II I [ p p ] II I Hledaný p esa m žeme pak vjád i jak: II I II I [ ] Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

38 6 Pdle eie nalisvanýc nádb le vřeši aké nábj na řídeli ulžení s přesaem P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ H ídel je vni ní nádba I be vu a p a nábj je vn jší II ev ená nádba ; a p, a ak pde vau p p esa bude: II I p p Z vnice vjád íme lak p jak funkci p esau : p Známe-li lak p a m ídele i nábje m žeme pvés pevnsní knlu bu ásí nalisvané spje pdle pé X : H H H H ídel H: ed p p, p ed N N N N Nábj N: p p p p Je vid, že namáání nábje je více než v ší než namáání ídele, na keý je nábj nalisván Pnámka: Z c va e u i minimální esp maimální únsns nalisvané spje neb aké sílu, keá je eba k nalisvání nábje na ídel esp sílu, keu musíme vvinu, abcm nábj ídele sundali Ve všec c p ípadec musíme ná ší ku nábje b a aké su iniel ení, keý vniká na s nýc plcác nábje a ídele nakní lak p vvlá mei nábjem a ídelem knakní nmálvu sílu N, keu m žeme vjád i pmcí m a, p esau a mdulu pužnsi : N min π b min N p π b N ma ma π b Nní u nmálvu slžku N p ep eme pmcí su iniele ení f na e nu slžku T isují dv mžnsi: p H H H N H ed N N ed N P výp e lisvací síl L nás ajímá e ná síla d sm u s ídele T pužijeme svý su iniel ení f P výp e p enášené kuicí mmenu nás ajímá e ná síla d sm u sple né e n válcvé plc nábje a ídele T pužijeme e ný su iniel ení f

39 7 b Lisvací/savací síla L/S ed bude: N T L / S min min L / S T N f L / S ma N N ma f f P enášený kuicí mmen bude: N T min N min f T N f N f ma ma Všecn p edcí výp bl pvád n p sdné maeiál ídele i nábje, esp p maeiál se sdným mdulem pužnsi a sdným Pissnvým íslem V p ípad nalisvání nábje na ídel vbený jiné maeiálu plas/cel, nele puží va p ím, ale je eba je upavi p pužií dílnýc maeiál Ta úpava a íná již p i pužií ší ené Hkva ákna k vjád ení adiální defmace vni ní a vn jší nádb a pka uje ve všec vaíc, kde se vskuje mdul pužnsi neb Pissnv ísl Příklad ealiace nalisvané spje: nábj na plný ídel nábj na ídel s malým vem nábj na duý ídel Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

40 P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ OPTILIZ NÁHÁNÍ NLISOVNÉ NÁDOBY dle pé X : Předpkládáme: b silns nné nádb jsu knsuvané jak ev ené I II, b nádb jsu vbené e sejné maeiálu I II, I II a D I D II D, namáání nalisvanýc nádb je vni ním p elakem p > p > p 4 plaí pdmínka sdné maimální namáání bu nádb: D ed ed II I Nní pužijeme p vni ní nádbu I i vn jší nádbu II pdmínku dvenu pdle pé X p ev enu nádbu a dv vnice se eme a p edpkladu, že knakní lak p musí p sbící jak na vni ní ak na vn jší nádbu musí bý sejný: I: p p D D, II: p p D D, Σ: p p D D T je výa p dvlený lakvý spád ak, ab páv v bu ásec bla spln na pevnsní pdmínka pdle pé X OPTILIZ GOTRI NLISOVNÉ NÁDOBY: P dvený dvlený alkvý spád p p D a námé m a ledáme pimální veliks plm u nalisván ak, ab bl lakvý spád c nejv ší usí ed plai: D p p Za p edpkladu nenulvé dvlené nap í D musí ed bý: Odud již dsáváme p ebný va mei plm ve vau: 4 p Opimální plm je ed dán jak gemeický p m plm a

41 ODLHČNÝ STV NLISOVNÉ NÁDOBY pevnsní knla dle pé X : 9 P edpkládáme sav, kd nádba nebude aížena ani vni ním ani vn jším p elakem p p a bude pue namáání nenámým knakním lakem p, keý je pue a jen d sledkem p esau Výp e dle ené savu le pvés jak díl mei skue ným a fikivním savem silns nné nalisvané nádb a neb je mžn p esau nejpve u i nenámý knakní lak p a n namáání vni ní a vn jší nádb p p p p p p p p dle ený sav skue ný sav fikivní sav nalisvané nádb nalisvané nádb nádb jedn kusu p p a p p ; p a p p a p Gafick baíme en výp e pmcí vkeslení všec p ebnýc p b d jedn sple né diagamu su asn se baením edukvanýc nap í jednlivýc nádb pdle pé X II fik II II dl II dl II dl II I fik I fik dl I dl I I II I dl I II ed dl II ed I ed dl I ed P b adiální a e né nap í v jednlivýc ásec Ia II nalisvané nádb ppíšeme pmcí ákladníc va p nap í ve s n silns nné nádb ; ; a p ; p ; p :, I I I I I I a, II II II II II II a Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

42 4 kde: p p, I I a p p p p II II a p p Budeme p edpkláda, že v aíženém savu a nalisvaná nádba pevnsn vvuje: II a II I ed D I ed D P b adiální a e né nap í ve fikivní nádb v ené jedn kusu ppíšeme aké pmcí ákladníc va p nap í ve s n silns nné nádb ; a p ; p : kde:, fik fik fik fik fik fik a p p fik a fik p p V báku jsu puži ješ knsan dle ené nádb, keé u íme jak: a dl I I fik dl II II fik Výsledná nap í v dle eném savu ed na jednlivýc plm ec budu: vni ní nádba I na plm u : dl I I fik I fik I fik dl I p p, dl I I fik p p spjení vni ní I a vn jší II nádb na plm u : fik dl I I fik I fik p, fik dl II II fik II fik p, fik dl I I fik fik p p, fik dl II II fik fik p p P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

43 vni ní nádba II na plm u : 4 dl II II fik II fik II fik p p, dl II II fik p p Redukvaná nap í v dle eném savu u íme pdle pé X sejn jak v aíženém savu p vni ní nádbu I na plm u a p vn jší nádbu II na plm u : dl I dl I dl I dl I dl I ed, dl II dl II dl II dl II ed p bcm mli knsava, že nalisvaná nádba kmplen pevnsn vvuje, musí plai: dl II a II dl I ed D I ed D nac 95 icael Tune 989 wwwmspclleccm Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

44 4 ROTUJÍÍ TNÉ OTOUČ PŘDPOLDY ŘŠNÍ ROTUJÍÍH OTOUČŮ: Všecn defmace jsu malé a vše je lineání plaí Hk v ákn Tlušťka ku e je ak malá, že není eba uvažva vnik svýc nap í ZÁLDNÍ ROZDĚLNÍ pdle půsbu, c vše na kuč půsbí vlný ku nalisvaný ku nalisvaný ku s lpakami O ODVOZNÍ ZÁLDNÍ DIRNIÁLNÍ ROVNI ŘŠNÍ NPJTOSTI TNÉHO ROTUJÍÍHO OTOUČ ω dϕ d do b d Z enké ku e lušťk b vjmeme elemen vni ním plm u pd úlem dϕ a délce d P edpkládáme, že nevniká v elemenu žádné své nap í Takže na elemen p sbí pue vinná napjas, kde e né nap í je, ale adiální nap í se m ní e na d Za c p edpklad nní sesavíme silvu vnváu ešené elemenu: dϕ v Jednlivé len é vnice vnvá jsu: b d dϕ v v [ d b d dϕ] [ b dϕ] do ddϕ b d dϕ b d ddϕ b ρ dϕ bd ω [ d d d d ] dϕ b [ d d d ] dϕ b d Zavedením ρω a p dsaení d vnice vnvá dsáváme a p edpkladu b a dϕ výslednu vnici bdbnu jak u nádb, ale s pavu sanu: P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ [ ] d d d

45 Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik Jedná se difeenciální vnici ale se dv ma nenámými veli inami úla je saick neu iá a je ed eba dplni defma ní pdmínku Tu sesavíme elemenu p ed a p defmaci: u d du d d a u d d Nní va sejn jak u nádb dsadíme d ší ené Hkva ákna, abcm vjád ili e né nap í a adiální nap í pmcí jediné nenámé psunuí u: u u u Pkud nní v ešíme u vnici, musí mí mgenní ešení sejné, jak m l silns nné nádb a paikulání ešení, keé dadneme pdle pavé san ve vau u P nsanu u íme dsaením dadnué paikulání ešení d p vdní vnice: 6 8 u H a 8 u P 8 u Výsledné va p nap í pak budu: 8 a 8 Jejic p b se p ibližují k asmpám, keými jsu paabl a a a : 8 a a 8 a 8 a 8 ω b ed a a a a

46 P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ ZVLÁŠTNÍ PŘÍPDY TNÉHO ROTUJÍÍHO OTOUČ: kuč be vu kuč s velmi malým vem Vjád íme si pmcí c dn knsan a užívané v vnicíc nap í T dn dsadíme d ákladníc va a ískáme výsledné p b nap í: 8 8 a a P b bu nap í jsu ed sdné s p b asmp a a a a su ace pínají v dn Pnámka: I de musí vcáe knsana nulvá i maemaick, pže jinak b len / v vnicíc p b e né a adiální nap í vedl v se nádb p na maemaick nep ípusný výa / Vjád íme si ákladní va a ískáme p výsledné p b nap í: 8 8 Duý len v c vnicíc musíme psudi pledu veliksi su adnice : p: je 8 p: > je dkud ískáme výsledné p b bu nap í v ávislsi na su adnici : : : a > : : a > P b nap í ve v šin ující ku e s malým vem dpvídají p b m nap í v ujícímu ku i be vu a jsu ed pakick vné asmpám Pue v malé blasi blíké vu se p b výan dlišují Veliks adiální nap í klesá k nule a e né nap í dsauje dvjnásbku knsan ω ed ω ed

47 PŘÍLD VOLNÝ TNÝ ROTUJÍÍ OTOUČ: 45 Dán: Uvažujme běžné D neb DVD vbené plkabnáu Základní paame disku jsu: d 5 mm, D mm,, mm, maeiál ρ 9 kgm -,,, 85 Nmm -, 6 Nmm -, P 7 Nmm - Uči: aimální namáání vnikající při áčkác n min - Řešení: Va p e né a adiální nap í vnikající v enkém ujícím ku i becn jsu: 8 a 8, Veliks knsan ávisí pue na maeiálu ku e a je á kác úlvé clsi: π π ω n 47, s a ρ ω 9 47,,5 kg m s nsan a u íme kajvýc pdmínek D disk m žeme pvažva vledem ke p sbu unášení jak vlný ku, p keý musí plai: aimální e né nap í vniká na vni ním plm u disku a je veliks ve dána vaem: 8 [ ] P 9, [,75,,6, ],9 Nm,9 Nmm Pže pdle p edpkladu enké ku e je a pdle kajvé pdmínk je bude: ed,9 Nmm - << 6 Nmm - Nní ješ u íme e né nap í na vn jším plm u, pže adiální nap í náme p vlný kaj ku e musí plai : 8,9 Nmm -,97 Nmm - 9,5 [ ] [,75,,6, ] 4 6,9 Nm - 8,9 Nmm a a,9 Nmm - Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

48 46 TNÉ RUHOVÉ DSY PŘDPOLDY ŘŠNÍ RUHOVÝH DS: Všecn defmace jsu malé a vše je lineání plaí Hk v ákn Tlušťka desk je ak malá, že není eba uvažva vnik svýc nap í ani vnik smkvýc nap í Vledem k malé lušťce desk plaí Benulli eie lineání lžení bvýc nap í ZÁLDNÍ ROZDĚLNÍ pdle p sbu, jak je deska ulžená nepdep ená vlná deska pdep ená vlná deska veknuá deska aížení jen mmen aížení ímkli aížení ímkli O ODVOZNÍ ZÁLDNÍ DIRNIÁLNÍ ROVNI ŘŠNÍ NPJTOSTI TNÉ RUHOVÉ DSY d T T dt q d d dα d P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ d V desce vnikají dvje bvá nap í ve sm u e ném a ve sm u adiálním vvlána bvými mmen a Pže plaí Benulli lineání eie lžení nap í, jsu nap í s mmen váána p es p evé mdul v bu T p elemen budu: W d dα 6 W esp d, 6 W * d d dα 6

49 Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik Nní vjád íme jednlivé mmen ak, abcm mli sesavi mmenvu vnici vnvá ešené elemen: dα v men vjád íme pmcí e né nap í a p evé mdulu W : d W 6 men vjád íme pmcí adiální nap í a p evé mdulu W : α d W 6 men d vjád íme pmcí adiální nap í d a p evé mdulu W * : [ ] [ ] ϕ d d d W d d 6 * P i anedbání veli in dué ádu d d dsáváme: [ ] α d d d d d Sílu T esp T dt vjád íme pmcí spjié aížení q esp výsledné síl Q, keá p sbí d s edu desk neb d vni ní kaje desk až d ešené mísa ppsané su adnicí : dα Q T π a α d d d dq Q dt T π Nní p i anedbání veli in dué ádu dqd vjád íme pmcí síl T mmen d: dα d Q d T d π Výsledný mmen v ed bude: [ ] d d v [ ] α α α α d d Q d d d d Q d d v π 6 π 6 P dsaení všec c výsledk d vnice vnvá dsáváme: α α α d d d d Q d d 6 π 6 Výsledná difeenciální vnice p dα bude mí va: d Q d d π 6 v dα

50 P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ Jedná se difeenciální vnici ale se dv ma nenámými veli inami úla je saick neu iá a je ed eba dplni defma ní pdmínku Tu sesavíme enká sesavíme p elemen p ed a p bu a psunuí u vjád íme pmcí m n vclvé úlu ϕ, keý p edpkládáme malý, a ak psunuí desk u na daném plm u bude: u ϕ Radiální a e nu defmaci ak m žeme vjád i jak: d d d d d du ϕ ϕ ϕ a u ϕ ϕ Nní va sejn jak u nádb a u ku dsadíme d ší ené Hkva ákna, abcm vjád ili e né nap í a adiální nap í pmcí jediné nenámé úlu ϕ: [ ] ϕ ϕ ϕ ϕ, [ ] ϕ ϕ ϕ ϕ Pmcí c va vjád íme len levé san p vdní vnice d d : [ ] d d d d d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, d d ϕ ϕ P dsaení d p vdní difeenciální vnice v nap íc dsáváme: d d d d d d d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Difeenciál délk d je sice nekne n malý avšak nenulvý d, a ak musí plai: π 6 Q ϕ ϕ ϕ N ke í au i apisují u difeenciální vnici v upaveném vau: D ϕ ϕ ϕ, kde: je aížení d p áku desk až d mísa važené na jednku délk: Q π, D je deskvá us jednkvé délk: " " " " J D ϕ ϕ u ϕ / /

51 49 ešení difeenciální vnice se bude p skláda mgenní ási, keá bude sdná s nádbami a ku i a paikulání ešení, keé bude áleže na pavé san ešené vnice a m že ak nabýva nýc va pdle p sbu aížení ešené desk: ϕ ϕ H ϕ P ϕ P Tu difeenciální vnici le apsa aké v v saženém vau: 6Q π ϕ neb s vužiím aížení na jednku délk a deskvé usi D: ϕ D Sažený va je velice výdný lediska ešení difeenciální vnice psupnu inegací pkud nedkážeme p ím dadnu paikulání ešení Pnámka: Va p nap í esp naménk v nic je sanven pdle namáání SPODNÍHO pvcu ešené desk: Je-li spdní pvc naaván, je naménk a je-li spdní pvc sla ván, je naménk DOR PRŮHYB TNÉ RUHOVÉ DSY Z báku p bu desk pdep ené na kaji je pané, že plaí: ϕ dϕ dw ϕ d Odkud vjád íme p b desk w inegací levé a pavé san a p idáním inega ní knsan : w ϕ d ϕ d dw Inega ní knsanu u ujeme kajvé pdmínk p ulžení desk: pdep ená esp veknuá deska na plm u : w, I II spjení dvu desek I a II na plm u : w w Pnámk: Pdmínk p p b nepužíveje v žádném p ípad p i u vání inega níc knsan a, pže ím d úl vnášíe jen další knsan Obecn le íci, že p b m žeme eši až ed, máme-li kmplen d ešen na ení enké desk ϕ, a v en knsan a Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

52 5 ORJOVÉ PODÍNY POUŽÍVNÉ PŘI ŘŠNÍ RUHOVÝH DS Pdmínk na kaji desk: Pkud se jedná desku be vu ups ed, je jedním kaj páv sa desk, kde e smeie desk vžd plaí: ϕ V ešení USÍ vžd vpadnu len /, pže b jinak nasal maemaick nep ípusný sav d lení N ke í au i uvád jí pdmínku ve vau:, pže ups ed desk nele dnu, keý sm je e ný a keý adiální, esp pkud vpadl len / a paikulání inegál bude v nule aké nulvý, bude ve s edu desk pue knsana, a ak b nap í USÍ vcáe sejn Pkud má deska ve svém s edu v je en a áek desk jedním kajem a duým kajem je knec celé desk Na c kajíc mu nasa celkem i mžnsi: Vlný kaj desk na plm u m že bý nap i pdep ený, ale nesmí bý aížen mmenem:? Zaížený kaj desk na plm u mmenem ± esp ±m m že bý i pdep ený: ± W ± π 6 m w m "" 6 6 ± π esp ± ± ± Veknuý kaj desk na plm u : ϕ 6 m m m Pdmínk ve spjení dvu plí desk: Ve spjení dvu plí a enké kuvé a n smeické desk na becném plm u je eba sesavi dv kajvé pdmínk Pvní pdmínka vžd au uje ladks p bvé plc ve spjení na plm u : P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ ϕ ϕ

53 Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik Duá pdmínka Duá pdmínka Duá pdmínka Duá pdmínka ávisí na individuálním usp ádáním každé úl desk a p sbu spjení plí a desk na plm u isují celkem i mžnsi spjení dvu plí desk: Spjení desek sejné lušťk be aížení vn jším mmenem π 6 W W W W W Spjení desek dílnýc luš k a be aížení vn jším mmenem: π 6 W a π 6 W W W W W Spjení desek sejné lušťk se aížení vn jším mmenem ±: π 6 W W W ± W W W ± π 6 ± 4 Spjení desek dílnýc luš k a se aížení vn jším mmenem ±: π 6 W, π 6 W P L ± W W W W W W ± Odkud vcáí: π 6 π π 6 π 6 ± π 6 ±

54 5 Pnámk: Pslední vaiana p edsavuje univesální pdmínku p spjení dvu plí enké kuvé desk, pže spjuje všecn i p edcí, a p i adání mmenu neb luš k V p ípad, že namís mmenu [Nm] je adán mmen na jednku délk bvdu m [Nm/m], sávají p edcí úva v plansi a je eba jen W - p evý mdul v bu bvdu na plm u naadi w - p evým mdulem v bu jednkvé délk bvdu m π ± ± 6 a w W π 6 "" π m 6 m ± ± ± W π W w π P Jednucé příklad enkýc kuvýc ačně smeickýc desek: PŘÍLD JDNODUHÁ DS: Dán: Tenká kuvá ačně smeická plná deska vnějším plměu je na m vnějším kaji veknuá d absluně ué ákladu a p celé své plše je aížena knsanním spjiým aížením lakem q Deska má lušťku << a je vbena maeiálu mdulu pužnsi v au a Pissnvě čísle Uči: Difeenciální vnici ppisující cvání adané desk, va p napěí a učee aké maimální půb é desk Řešení: Ta deska je be vu a aížená knsanním spjiým lakem q Zaížení Q, keé dsadíme d pavé san bude: Q q π ešíme ed difeenciální vnici: ϕ 6 q π ϕ ϕ P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ π Paikulání inegál dadneme ve vau: a je deivace budu: ϕ P ϕ P a P ϕ 6 Nenámu knsanu ískáme dsaením paikulání ešení ϕ P a je deivací d p vdní difeenciální vnice, pže i ešení jí musí vvva: 6q π 6 π q kns 8 w ma ma 6 q π q π 4

55 Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik ešení é difeenciální vnice m žeme napsa jak: 4 q ϕ nsan a u íme kajvýc pdmínek p ulžení esp usp ádání desk: OP: ϕ neapme e na pavidl, že nulu se nesmí d li, ϕ 4 q 4 q Úplné ešení difeenciální vnice p úel na ení adané enké kuvé desk pak je: 4 q ϕ P výp e defmací a následn nap í musíme sanvi: 4 q ϕ a 4 q ϕ a dn dsadi d va p adiální a e nu defmaci enké kuvé desk: 8 8 q q ϕ ϕ a následn d ší ené Hkva ákna: [ ] [ ] [ ] [ ] 8 8 q q Pnámk: Z p b je pané, že adiální nap í klesá sm ji než e né, pže > Dále je p b pané, že vvují pdmínce ve s edu a maimálnímu nap í na plm u : 8 q a ma 4 4 q q Výp e defmace desk je pak již jen jednducu inegací funkce ϕ: q d q w Inega ní knsanu u íme pdmínk p ulžení desk na plm u : w q q ed q w a ma q w w

56 54 P PŘÍLD JDNODUHÁ DS: Dán: Tenká kuvá ačně smeická plná deska vnějším plměu je na m vnějším kaji aížena mmenem m, keý je spjiě lžen p celém bvdě desk Deska má lušťku << a je vbena maeiálu mdulu pužnsi v au a Pissnvě čísle Uči: Difeenciální vnici ppisující cvání adané desk a va p napěí Řešení: Jedná se desku be vu aíženu jen mmenem m, na keu ed nep sbí žádné p í né aížení Q, a p bude pavá sana difeenciální vnice vna : ϕ ϕ ϕ, cž dpvídá ákladní vnici silns nnýc nádb a ešení ed sanvíme sejn jak u nádb, ed be paikulání ási ve vau: ϕ Sejn jak u nádb be vu bude muse bý, pže p b výa / nem l smsl P b funkce ϕ ed bude jen lineání funkcí su adnice Tím se jednduší va p nap í vjád ené pmcí becnýc va p defmace a ší ené Hkva ákna: ϕ ϕ [ ] [ ] Znamená ed, že ba p b budu žné a jejic veliks u íme kajvé pdmínk: Na vn jším kaji musí bý adiální nap í vvlané pue bvým mmenem m Pže mmen p sbuje naavání spdní vlákna, budeme adiální nap í uvažva kladné: m m 6 m w "" 6 Hledané p b nap í v é enké kuvé desce jsu: 6m a 6 m 6m/ m Pnámk: Pkud bcm dál c li eši funkci ϕ, museli bcm sanvi knsanu : 6m P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ m Dále si pvšimn e, že p b nap í dpvídají nádb be vu ídeli a jejic veliks je dána veliksí mmenu m, keý p sbí na kaji desk

57 Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik PŘÍLD JDNODUHÁ DS: Dán: Tenká kuvá ačně smeická deska upsřed s vem plměu a vnějším plměu je na svém vnějším kaji aížena mmenem, keý je spjiě lžen p celém bvdě desk Deska má lušťku <<, a je vbena maeiálu mdulu pužnsi v au a Pissnvě čísle Uči: Va p napěí vnikající v é desce Řešení: Deska s vem ups ed je aížená jen mmenem a nep sbí na ní žádné p í né aížení Q P bude pavá sana difeenciální vnice vna, cž p dpvídá ákladní vnici silns nnýc nádb, a p k ešení pužijeme a upavíme námé va: a Znamená ed, že ba p b budu sejn jak u nádb plp, keé budu mí su v dn knsan P výp e knsan a vužijeme va plané p silns nné nádb pue s ím, že kajvé pdmínk není eba p ep íáva lak, ale budu p ím: π 6 W a π π 6 W P p výp e knsan a v m p ípad plaí: π, [ ] π Zbývající kajvé dn e nýc nap í a ed budu: π π π, π π π Nejnamáan jším mísem é desk bude, sejn jak mu bl u silns nné nádb, spdní sana vni ní vu ups ed desk, kde bude edukvané nap í pdle eie X : ed π 6 π X Pnámka: aimální edukvané nap í je jak u nádb s p vn páv dvjnásbku knsan P

58 P 56 Slžiější příklad enkýc kuvýc ačně smeickýc desek: PŘÍLD SLOŽITĚJŠÍ DS POL: Dán: Tenká kuvá ačně smeická plná deska je na plměu aížena silu lženu p kužnici a na vnějším plměu je klubvě pdepřena p celém svém bvdu Deska má pě lušťku <<, a je maeiál má a Uči: Difeenciální vnice jednlivýc plí, na keé je řeba desku děli a přebné kajvé pdmínk Řešení: Tu desku USÍ d li na dv ple, pže na plm u se m ní aížení Ple I: ; : Q I, Difeenciální vnice bude: ϕi ϕ I ϕ I Ple II: ; : Q II Difeenciální vnice bude: ϕi 6 ϕ II ϕ II π ešení c dvu vnic budu mí va: P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ ϕ I a ϕ II ϕii P Paikulání ešení dué vnice bcm u ili psupnu inegací sažené vau: 6 II 6 ϕ ϕ IIP ln π π 4 nsan,, a u íme kajvýc pdmínek c kaj desk, jedna pdmínka: OP: : ϕ I - neapme e p na pavidl, že nulu se nesmí d li, : ϕ I ϕ II - p bvá plca ve spjení plí musí bý ladká : I-II II-I I II - ve spjení není žádný vn jší mmen 4 : II - vlný neaížený kaj desk Pkud bcm en ssém d ešili, ískali bcm následující p b nap í: II-I I I I I ln, π II ln, π I-II II ln π R II II I II

59 PŘÍLD SLOŽITĚJŠÍ DS 4 POL: Dán: Tenká kuvá ačně smeická deska s vem upsřed plměu je na meikuží mei plmě a aížena spjiým aížením lakem q, na plměu 4 je p celém bvdu pdepřena a na plměu 5 má deska vlný neaížený kaj Deska má lušťku <<,,,4,5 a její maeiál má mdulu pužnsi a Pissnv čísl 57 P Uči: Difeenciální vnice jednlivýc plí, na keé je řeba desku děli a přebné kajvé pdmínk Řešení: Nejpve musíme e saické pdmínk vnvá d svislé sm u u i veliks eakce R v pdep ení na plm u 4 : R q π Nní celu desku d líme na i ple: d d se nem že jedna ple desk, pže am nic není Ple I: ; Q I, Ple II: ; Q II q π, Ple III: ; 4 Q III q π, Ple IV: 4 ; 5 : Q IV q π R Difeenciální vnice m žeme apsa p všecn i desk ve vau: ϕi 6 Qi ϕ i ϕ i p i I, II, III a IV π III-IV ešení difeenciálníc vnic dué ádu namená eisenci smi inega níc knsan P jejic sanvení musíme sesavi pdle usp ádání ešené desk sm kajvýc pdmínek p neapme e ne pavidl c kaj desk jedna pdmínka, cž namená, že ve všec spjeníc dvu plí se sekávají dva kaje a musí am bý dv kajvé pdmínk OP: : I - vlný neaížený kaj desk, : ϕ I ϕ II - p bvá plca ve spjení plí musí bý ladká, : I-II II-I I II - ve spjení není žádný vn jší mmen, 4 : ϕ II ϕ III - p bvá plca ve spjení plí musí bý ladká, 5 : II-III III-II II III - ve spjení není žádný vn jší mmen, 6 4 : ϕ III 4 ϕ IV 4 - p bvá plca ve spjení plí musí bý ladká, 7 4 : III-IV IV-III III 4 IV 4 - ve spjení není žádný vn jší mmen, 8 5 : IV 5 - vlný neaížený kaj desk II-I q I-II R II-III R III-II III-II 4 q 5 II-III R II-III R III-IV IV-III R Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik I II III IV

60 Σ 58 Tabulka snuí ešení a sple nýc neb pdbnýc vlasnsí všec í a n smeickýc úl: válcvé nádb ující ku e kuvé desk úla vlasns vnváa elemenu levá sana dife vnice pavá sana becné ešení kajvé pdmínk p b nap í knsan Nádb d ležié silvá v dϕ silvá u e infmaivn v dϕ Desk d ležié mmenvá v dα u u ϕ u u u u ϕ ϕ ρω 6 Q π vžd nulvá - na elemen nep sbí další ú ink u kaj nádb p,, p dϕ v p p p u vžd kvadaická funkce d ds edivé síl do 8 kaj ku e ±,, a a 8 a 8 a dϕ v 8 8 dα v pakick libvlná - pdle aížení Q ϕ ϕ pa ϕ pa né pdle Q kaj desk, ± W s ed neb veknuí desk ϕ neb ϕ a mu bý pakick libvlné - pdle vau p í né aížení Q esp q a mu bý pakick libvlné - pdle vau p í né aížení Q esp q, Pnámka: Z abulk je pané, že nejslži jší je ešení enkýc kuvýc a n smeickýc desek, kd eisuje vledem k vaiabili mžné p í né aížení Q na ná vaiabilia mžnýc ešení P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

61 VZPĚR 59 STBILIT P ÍYH PRUT V PP I bl ešen i ákladní p ípad á sabili p ímýc pu vb ením ve sm u minimální své kvadaické mmenu p eu puu Jednlivé p ípad se d sebe liší pue p sbem ulžení knc vp ešení všec p ípad pvedl v elasické blasi p i plansi Hkva ákna Lenad ule iicku sílu le p všecn i p ípad vjád i pmcí jediné vce s paameem n, keý se m ní pdle p ípadu vp u: I I k II k I IV k π n J l min III k IV k l n ¼ n n n 4 Pkud b kiické nap í v puu m l p ek i me úm nsi maeiálu u dna nap í, d keé je ávisls v avém diagamu lineání, nele pvés výp e pmcí uleva vce V c p ípadec v nepužné vp u eisuje ada p sb a nejjedndušší je ešení pdle Temajea, keý ávisls mei kiickým nap ím a šílsí puu nad meí úm nsi naadil p ímku: u k T λ λ ení šíls λ me je u ena uleva vau, jak pslední bd pužné vp u: λ me me π n Šíls ešené puu λ ávisí pue na je m ec be ledu na p sb ulžení: l l λ l imin J J min min Pže však všecn výp p edpkládají ideální pu, ideální ulžení, ideální maeiál a ideální aížení, je skue ns as velice dlišná, a p se p i u vání dvlené aížení pužívá všší bepe ns a více V ad p ípad jsu však dclk d ideální vp u ak velké, že již nele puží analické ešení, ale je eba u i kiické aížení pdle n keé p ibližnýc med, keé budu scpn p ibližn ppsa skue nu vp u a její eálné aížení Napak n kd se k své síle p idá p í né aížení p sbující p ídavný b a pak je eba úlu eši jak kmbinaci vp b u Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

62 O 6 PŘIBLIŽNÉ ŘŠNÍ VZPĚRU a NRGTIÁ TOD p vdní au Raleg dává ní dad neb v p ípad vdné návu le íska i p esné ešení: k eneg k Ta meda vcáí becné pincipu acvání enegie esp beávé p em n penciální enegie vn jší síl na vni ní defma ní enegii: W P U Vni ní defma ní enegie U se u í snadn jak defma ní enegie d bu a p edpkladu plansi Benulli difeenciální vnice p bvé á: v J U U d v J d J P výp e páce vn jší síl musíme nejpve vjád i dáu, p keé bude síla kna páci: l l dv d dv [ ] ds P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ ds d dv d d v d v d Zkácení elemenu vjád íme jak díl p vdní a nvé délk a n pak celkvu dáu: d ds d v d d v d elkvý psuv kncvé bdu puu ed bude: l l d v d l elkvá penciální enegie vn jší síl p dáe l ed bude: W P l v d l Dsaením d p vdní vnice vnsi penciální W P a defma ní U enegie dsaneme: v d l l v J d v J d I IV eneg l k v d Ten va je cela univesální a plaí p všecn i p ípad vp u Pkud bcm uvažvali pue II p ípad vp u pu je na bu kncíc klubv ulžen, ak se nám výsledný va ješ výan jednduší sníží se supe deivací funkce v jak v iaeli ak ve jmenvaeli Obvý mmen je ve II p ípad vp u dán jak psý su in své síl a p bu: v v U U d d J J Na páci vn jší síl se v m p ípad nic nem ní, a ak výsledná vnice bude mí va: v d l l v J d l ds dv l l v d II eneg l k v d J l d v k d l l

63 6 PŘÍLD NRGTIÁ TOD: Dán: Pu délk l je vben če sálé půřeu kvadaickém mmenu půřeu J min a je na jednm knci veknuý a na duém vlném je aížen samělu silu, b je na kncíc klubvě ulžen a aížen samělu silu Uči: V případec a a b kiické síl k sanvené pmcí enegeické med Řešení: V bu p ípadec pužijeme nejjedndušší mžnu k ivku dué ádu: V p ípad a se jedná pvní p ípad vp u dle ulea a vlená k ivka musí vv gemeickým pdmínkám: v a v I k Tu funkcí je paabla ve vau: v a Její deivace a jejic dué mcnin p dsaení d ákladní vau jsu: v a v 4a, v a v 4a P dsaení dsáváme výslednu kiicku sílu u enu enegeicku medu: eneg k J min l l 4 a 4 a d d π,4 J l min I k,5 min π J l díl cca % l P V p ípad b se jedná duý p ípad vp u dle ulea a vlená k ivka musí vv gemeickým pdmínkám: v a v l II k Tu funkcí je paabla ve vau: v a l Její deivace a jejic dué mcnin p dsaení d ákladní vau jsu: v a l v a l 4 l 4, v a v 4a P dsaení dsáváme výslednu kiicku sílu u enu enegeicku medu: eneg k J min l a l l 4a d 4l 4 d π,6 J l min II k min Pkud bcm pužili upavený vec planý jen p II p ípad vp u, ak dsáváme: π J l díl cca,6% l eneg k J min l l a l 4l 4 d 4 a l l d π, J l min díl jen cca,% Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

64 O 6 b TOD POSTUPNÝH PROXIÍ p vdní au Vianell umž uje íska pm n p esný výsledek i p i pm n nep esném pvním návu p bvé á Benulli difeenciální vnice: v J menvá vnice vnvá: v Další psup: Zvlíme dadneme mžný p b v na pavé san a jemu dpvídající sílu a dvjí inegací ískáme dpvídající funkci na levé san v : v v v v J J nsan a u ím kajvýc pdmínek, keé budu dpvída ulžení vp Pm jisíme va mei p vdním navženým p bem v a nv ískaným p bem v a dále p edpkládáme, že plaí vns pací v v : v v kns kns v v k P Zvlíme ed a mžný p b v na pavé san a jemu dpvídající sílu a dvjí inegací ískáme dpvídající funkci na levé san v : v v v v J J nsan a u ím kajvýc pdmínek, keé budu dpvída ulžení vp Pm jisíme va mei vleným p bem v a nv ískaným p bem v a dále p edpkládáme, že plaí vns pací v v : kns kns v v k P v v Ten psup pakujeme n-ká, až bude p edcí p b ku následujícímu p ibližn knsanní a a p edpkladu, že plaí vns pací n- v n- n v n : vn vn kns k P n n v v n v v J pka vání dalším kkem další psupnu apimací pka vání dalším kkem další psupnu apimací n Pnámka: Pže v každém kku,,, máme mžns vli p íslušnu sílu,,,, je vdné vli n "", a pak bude výsledný vec ješ jedndušší: P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ k P vn n "" v n k P vn v n

65 PŘÍLD TOD POSTUPNÝH PROXIÍ: Dán: Pu délk l je vben če sálé půřeu kvadaickém mmenu půřeu J min a je na kncíc klubvě ulžen a aížen samělu silu Uči: Veliks kiické síl k sanvené pmcí med psupnýc apimací Řešení: Jak p áe ní dad pužijeme a funkci v navneme ve cela nesmslném vau knsanní funkce p celé délce puu: v a T dn nní dsadíme d ákladní vnice, keu psupn inegujeme: min 6 a a a v v v J J J min Inega ní knsan a u íme kajvýc pdmínek p ulžení ešené vp : OP: v a v l J min l Nní vjád íme pm funkcí v a v a budeme se abýva je ávislsí na su adnici : v v a J min a l l l J min J l min min ξ Ten pdíl m žeme ppsa p celu délku vp, ale sa í jen nap v p i diskéníc bdec: k a v J J min kns v a kns min l l k P,l, l, l,4 l,5 l cba ξ,,5 9,5 8, 8,,,6% eficien ξ ppisující pdíl funkcí v a v dn není knsanní, p m ná dna ale p edsavuje p pvedení pvní psupné apimace cbu jen,6% Z výsledk je pané, že pvedení jedné psupné apimace k u ení p esn jší dn k nesa í a je eba celý psup pakva P pakvání celé psupu ješ, až d vjád ení pm u funkcí v a v ískáme jejic pm v ávislsi na ve vau: v J v l min 4 l l 5 5 l 5l l 6 J l Ten pdíl m žeme p ppsa p celu délku vp neb vba jen p diskéníc bd : min,l, l, l,4 l,5 l cba ξ 9,975 9,97 9,88 9,848 9,86 9,89,7% eficien ξ se pdle abulk již blíží knsan a p m ná dna ξ p eí psupné apimace vkauje cbu jen,7%, cž je dna dsae n p esná, a ak další psupné apimace již není eba pvád a dsaženu dnu le pvažva a kne ný výsledek P ec kcíc dánliv nesmslný pvní dad p bvé á se dapimval p ibližn d spávné výsledku ξ Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

66 64 OBIN VZPĚRU S OHYB Základní mmenvá vnice je vřena dvěma člen: - mmenem d p í né aížení: - mmenem d aížení svu silu: Nv P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ N v len na levé a pavé san vnice jsu však na sb ávislé Pže se jedná b, musí su asn aké plai Benulli difeenciální vnice p bvé á: v Spjením mmenvé vnice a Benulli vnice vnikne difeenciální vnice dué ádu T spjení je mžné pvés dv ma p sb a ískáme ak dva mžné p sb ešení pblému ZPŮSOB ŘŠNÍ ZÁLDNÍ DIRNIÁLNÍ ROVNI ešení v mmenec Nejpve dvaká deivujeme mmenvu vnici a pak d ní dsadíme p ím Benulli vnici: N J nsanní len na pavé san na íme jak: N J α a dsaneme výslednu difeenciální vnici: α Její ešení se skládá ešení mgenní ási a paikulání ešení: cs α Bsin α P Paikulání ešení p dadneme pdle vau pavé san difeenciální vnice a knsan a B u íme e dvu kajvýc pdmínek p bvý mmen nej as ji vžíváme vlasnsi klubvýc pdp, kde je mmen nulvý neb ven sam lému mmenu, keý je p ipjen Dále musí plai Scwedleva v a: q, a ed pavá sana difeenciální vnice bude vna spjiému aížení q J ešení v p bec Nejpve vjád íme mmen Benulli vnice a en pak dsadíme d mmenvé vnice: v J N v Op na íme pdíl knsan jak: N J α a dsaneme výslednu difeenciální vnici: v α v Její ešení se skládá ešení mgenní ási a paikulání ešení: v cs α B sin α v Paikulání ešení v p dadneme pdle vau pavé san difeenciální vnice a knsan a B u íme e dvu kajvýc pdmínek p p b nej as ji vužíváme vlasnsí pdp, keé nsníku aba ují v p bu neb vnsi p b ve spjení dvu plí Z vau pavé san difeenciální vnice je pané, že nik nebude nulvá, pže pak b se nejednal kmbinaci vp u s bem, ale jen psý vp, keý již bl cela v ešen v PP I J P

67 PŘÍLD OBIN VZPĚRU S OHYB: 65 Dán: Přímý pu délk l je aížen svými silami N a p celé délce knsanním spjiým aížením q Pu je vben maeiálu mdulu pužnsi a příčný půře je knsanní p celé délce puu a má svý kvadaický mmen k se bu J Uči: aimální mmen ma vnikající v m puu při kmbinaci vpěu s bem Řešení: ešení pvedeme v mmenec: α P b u íme pdle PP I jak: a p bude: q l, q ešíme ed difeenciální vnici dué ádu s knsanní pavu sanu Hmgenní ešení é vnice bude: H cs α sin α N Paikulání ešení dadneme jak knsanu H, keu u íme dsaením d p vdní vnice: Nv l v q v Nv N ma P P H P α H q H α elé ešení ed bude mí va: q cs α sin α α nsan a u íme kajvýc pdmínek, pže nsník je na bu kajíc klubv ulžen, a ak pdp nep enášejí žádný mmen: OP: : cs sin α q, α q q l: l cs α sin α l α α Výsledný p b mmenu p celé délce puu bude ppsán vaem: l q cs α l cs α sin α α sin α l q q q cs α l α sin α l P i pužií maemaickýc va p plvi ní úl bcm dsali jedndušený va: α l q α l α l cs α an sin α α Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

68 66 ís maimální mmenu ma bcm becn u vali pmcí pvní deivace pdle su adnice: d d Z é pdmínk ískáme dnu e - mís eému funkce a u dnu dsadíme d p vdní vnice vjad ující p b mmenu p celé délce puu: ma e V našem p ípad ale vužijeme smeie úl a maimální mmen ma bude páv ups ed: l q α l α l α l ma cs an sin α Ten výa m žeme p ješ jednduši vužiím va p plvi ní úl: α l cs q ma α α l cs Pkud ješ v m vau avedeme nvu pm nnu u: α l u l α 4u m žeme pmcí c va vjád i maimální mmen ma jak: ma q l csu q l csu ma 4u csu 8 u csu, ψ aimální mmen d p í né aížení ma je ed násben keficienem ψ, keý je funkcí pm nné u esp su inu αl a le dkáa, že ψαl > a ed ma > ma Pnámka: Známe-li p b mmenu m žeme vnici ppisující p b puu v namáané kmbinací vp u a bu u i Benulli difeenciální vnice p bvé á vi PP I: q v α l v J cs α an sin α J α Psupnu inegací dsaneme ešení se dv ma inega ními knsanami a T p u íme kajvýc pdmínek na bu pdep enýc kncíc, kde je nsník klubv ulžen a nem že se ed v c bdec pnu: OP: : v a l: vl Výsledný va v ppisující p b puu p i adané kmbinaci vp u s bem b vcáel vledem k p edcím výsledk m pm n slžiý P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

69 67 PŘÍLD OBIN VZPĚRU S OHYB: Dán: Přímý pu délk l dělen na dvě čási délkác a a b je aížen svými silami N a příčnu silu, keá půsbí mim sřed Pu má p celé délce knsanní sučin J Uči: aimální mmen ma vnikající v m puu při kmbinaci vpěu s bem N N Řešení: ešení pvedeme p v mmenec: Nsník si enká vledem k p í nému aížení sam lu silu musíme d li na dv ple: I ; a a II ; b Také mmenvé vnice vjád íme p b ple Pže na nsník p sbí jen sam lá p í ná síla víme, že: q a q Rvnice ed budu: α a α a jejic ešení apíšeme ve vau: cs α sin α, cs α sin α P u ení knsan,, a musíme sesavi celkem i kajvé pdmínk: OP: : - a pdmínka au uje nulvý mmen v levé pdp e, : - a pdmínka au uje nulvý mmen v pavé pdp e, a a b: a b - a pdmínka au uje spjis mmenu ve spjení, 4 a a b: a b - a pdmínka au uje, že v mís spjení, kde p sbí sam lá síla, je v p b u psuvající síl páv skk veliksi P i sesavení é pdmínk jsme vužili Scwedlevu v u p psup leva i pava: T esp T P dsaení becnýc ešení d c pdmínek ískáme jednlivé knsan:,, sin α b a α sin α l sin α a α sin α l a m žeme ed již vjád i va p p b bu plí, keé budu pm n jednducé: sin α b sin α α sin α l sin α a a sin α α sin α l aimální mmen vniká lgick ve spjení bu plí a m žeme vjád i jak: sin α a sin α b ma a b α sin α l v Nv a l v b Nv a b P Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

70 68 P PŘÍLD OBIN VZPĚRU S OHYB: Dán: Přímý pu délk l je aížen svými silami N a samělým mmenem v levé pdpěře Pu má p celé délce knsanní sučin J Uči: Plu e a veliks maimální mmenu ma vnikající v m puu při kmbinaci vpěu s bem N B N l Řešení: V m p ípad bude p pavá sana difeenciální vnice v mmenec vná nule, a ak ešení nebude bsava paikulání ás ale jen mgenní ás: cs α sin α Inega ní knsan a u íme kajvýc pdmínek: OP: : a pdmínka ppisuje levu pdp u s sam lým mmenem, : l a pdmínka au uje nulvý mmen v pavé pdp e, keá není aížená P dsaení ak dsáváme: cs sin, cs α l sin α l Výsledný p b mmenu ed bude: e cs α l sin α l ma cs α l cs α sin α sin α l aimum u íme pmcí deivace výsledné funkce pdle su adnice : d! d cs α l cs α sin α d d sin, α l dkud a p edpkladu, že α dsáváme vnici: sin α cs α e e e keé již vjád íme ledanu vdálens e : cs α l sin α l e acg[ - cg α l ] α Nní mu nasa i mžnsi: e < funkce má eém mim pu ma funkce má pue supimum, e funkce má eém páv v levé pdp e ma, e > funkce má eém v becném mís puu ma e, P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

71 PŘIBLIŽNÉ ŘŠNÍ OBIN VZPĚRU S OHYB: P p edb žný náv puu p i kmbinaci vp u s bem musíme puží n keu p ibližnýc N med, pže len α ávisí na kvadaickém mmenu p eu ed na je gemeii J Základem všec p ísup je vlba p bvé á, keu pu asi aujme p defmaci Zvlíme-li p pu aížený knsanním spjiým aížením a svu silu p bvu áu ve vau: Bude její duá deivace: π v a sin, l π v l π π a sin l l v a vše m žeme dsadi d difeenciální vnice p bvé á p kmbinaci vp u s bem: Získáme ak vnici ve vau: π J l v [ N v ] J v N v π J v N v l Pže pvní ás levé san p edsavuje veliks kiické síl dué p ípadu vp u dle ulea: II k π m žeme é vnice vjád i p b v ve vau: v II k J l N P dsaení é funkce d mmenvé vnice Nv dsáváme: N II II N N k k II k k k N q 69 N de: k II k N p edsavuje bepe ns své N síl vledem ke kiické ulev síle k!!! Ten psup dává pm n dbé výsledk už d bepe nsi k,5!!! Pnámk: V našem p ípad b ed bl: ma q l 8 k k Op se ukauje, jak je d ležié si pamava va a psup PP I, pže sanvení a p ípadn ma jen d p í né aížení bl náplní velké ási výkladu v PP I Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

72 P 7 PŘIBLIŽNÉ ŘŠNÍ OHYBU S PŘÍDVNOU OSOVOU SILOU: Jedná se p ípad, kd je dminanní namáání d p í né aížení a svá síla pue esiluje je ú inek Obecn je le spíše na i a OHYB S P ÍDVNOU TLOVOU SILOU T psup aplikujeme v p ípad malé své síl N k 4 Výp e v c p ípadec le velice jednduši:, N v am a v př a budeme dsava p b a mmen pue d p í né aížení vi PP I PŘÍLD PŘILIŽNÝ VÝPOČT OBIN VZPĚRU S OHYB: Dán: Přímý pu délk l má p celé délce J kns, je aížen svými silami N a: a knsanním spjiým aížením q p celé své délce b samělu silu upsřed délk nsníku c samělými mmen v bu pdpěác Uči: Veliks maimální mmenu ma pmcí přibližné řešení bu s přídavnu svu silu Řešení: Pvedeme psupn p jednlivé p ípad p b v přma - vi PPI a V p ípad nsníku aížené knsanním spjiým aížením q bude: ma q l 8 a v přma 4 l 5 q l v 84 J aimální mmen p i kmbinaci bu a laku bude: ma q l 8 5 N l 48 J př N q N ma b V p ípad nsníku aížené ups ed své délk sam lu silu bude: ma l 4 a v př ma l l v N 48 J aimální mmen p i kmbinaci bu a laku bude: ma l N l 4 J N ma c V p ípad nsníku aížené v bu pdp ác sam lými mmen bude: a ma v př ma l l v 8 J N aimální mmen p i kmbinaci bu a laku bude: ma N l 8 J N ma P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

73 4 TTIÁ TORI PRUŽNOSTI 7 P i ešení becné úl pužnsi a pevnsi m žeme každému bdu lesa eeick p i adi celkem 5 paame Jsu : nmálvá nap í,, a e ná nap í,,, nmálvé defmace,, a ks γ, γ, γ, celkvá psunuí u, v, w bcm bli scpni c 5 nenámýc u i, musíme sesavi 5 neávislýc vnic 4 ROZŠÍŘNÝ HOOŮV ZÁON I P i u ení ávislsi mei nmálvými defmacemi a nmálvými nap ími musí plai Pissn v va na defmaci v jednm sm u se pdílí napjas ve všec ec sm ec Zbývající dv defmace ískáme cklicku ám nu inde : [ ] [ ] a [ ] aicv le ší ený Hk v ákn apsa jak: [ ; ; ] Duu ás ší ené Hkva ákna v í va mei ks a smkvými nap ími Zde není žádný va mei jednlivými defmacemi a saními slžkami nap í, jak mu bl v p ípad nmálvýc nap í a defmací, a ak výsledné va jsu pm n jednducé γ G γ γ G γ [ ; ; ] G γ γ G Pkud avedeme pm nu m nu bjemu Θ [] a su asn p edpkládáme va mei mdulem pužnsi v au a mdulem pužnsi ve smku G ve vau G dsáváme ší ený Hk v ákn p sanvení nmálvýc nap í pmcí nmálvýc defmací ve vau: G Θ, G Θ a G Θ Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

74 O 7 4 ROVNI PŘTVOŘNÍ Předpklad: u u; ; v v; ; w w; ; úlu ešíme v vin -, eí sa je klmá k é vin, p vdní úelník NOP se m ní na N O P a všecn uvažvané defmace jsu malé u u d v v d P P P γ P O O d v γ N N N N v v d u d u u d Nmálvá defmace sanvená d sm u ed bude: u d u d u d d N N u d N d Nmálvá defmace sanvená d sm u ed bude: v d v d v d d P P v d P d a bdbn bcm v ešili i bývající eí sm : d w L d Tím jsme ískali pvní i paciální difeenciální vnice, keé mei sebu vážu nmálvé defmace a celkvá psunuí becné bdu elemenu lesa P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

75 Zks vjád íme jak m n pavýc úl v anlu p defmaci su em dvu slžek γ γ γ : v v d v N N & g v d γ γ N u u d u d u d 44 len ve jmenvaeli je p p ibližn ven, pže jsme již d íve dvdili, že u/ a aké p, že plaí ákladní p edpklad pužnsi a pevnsi malé defmace a musí ed bý << u u d u P P & g u d γ γ P v v d v d v d 44 len ve jmenvaeli je p p ibližn ven, pže jsme již d íve dvdili, že v/ a aké p, že plaí ákladní p edpklad pužnsi a pevnsi malé defmace a musí ed bý << elkvý ks k se je dán su em bu slžek: u v γ γ γ Sejn bcm mli dvdi i bývající ks k sám a : v w γ γ γ a w u γ γ γ elkem je ed vnic p ev ení 6 jak bl vnic ší ené Hkva ákna: u v a v w γ w u γ 7 w u v γ Znamená ed, že již máme vnic nic 6 algebaickýc a šes difeenciálníc P dpln ní celé ssému 5 5 nám ed bývají ješ vnice Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

76 O 74 4 ROVNI ROVNOVÁHY v pavúlýc suřadnicíc T vnice musí au i silvu vnvá každé bdu elemenu lesa N kd se aké naývají STTIÉ PODÍNY výmink ROVNOVÁHY, pže je sanvíme jak jednducé silvé vnice * Na každý bd elemen lesa p sbí celkem šes slžek * nap í, keá p edpkládáme p délce pm nná a * Y d su asn p sbí na elemen vni ní bjemvé síl * * X elý elemen musí bý však pdle ákladní * Z p edpkladu pužnsi a pevnsi ve savu saické d d vnvá Vužijeme ed í vlenýc sm a sesavíme silvé vnice vnvá d c í sm P i sesavvání vnice d sm u baíme jen ú ink p sbící na elemen, keé mají sm s : d d d d X d d d d d P i sesavvání vnic vužijeme následující va vplývající gemeie elemenu: Σ : P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ d dd, d dd, d dd a dv ddd d d d d d d d d d d X d d d Odkud p úpav vcáí výsledná vnice vnvá d sm u s : X Obdbn bcm sesavili vnice vnvá d bývajícíc dvu sm a : Y d d d d d a Z ak jsme sesavili bývající i paciální difeenciální vnice, keé vjad ují saicku vnváu bdu elemenu ešené lesa

77 44 SPOJNÍ VŠH ROVNI TTIÉ TORI PRUŽNOSTI: 75 Σ Za p edpkladu plansi vau p výp e pm né m n bjemu a plansi vau mei mdulem pužnsi v au a mdulem pužnsi ve smku: Θ a G ískáme dsaením vnic ší ené Hkva ákna a vnic p ev ení d vnic vnvá p i pužií Laplaceva difeenciální peáu: susavu í lineáníc paciálníc difeenciálníc vnic dué ádu: Θ u X G Θ Y, v G T jsu ZÁLDNÍ ROVNI TORI PRUŽNOSTI Θ Z a G Ssém má nekne n mn ešení a každé knkéní ešení dpvídající u ié úle je, keé vvuje kajvým pdmínkám ešené úl Ze ssému difeenciálníc vnic le velice jednduše dkáa jednna ns ešení dpvídající knkéním kajvým pdmínkám, ale je samné ešení je velice kmplikvané! nac 96 icael Tune 995 wwwmspclleccm Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

78 I PROSTOROVÁ NPJTOST TNZOR NPĚTÍ: OHROVY RUŽNI Již v PP I jsme se abývali pblemaiku psvé napjasi, ale výp e pbíal vžd jen v vin pmcí výc va a psvá napjas se dpl vala eí lavní nap í, keé bl p ím adán eši jsme ed bli ím p sbem scpni pue napjas s jedním sduženým smkvým nap ím, a buď v vin - neb - neb -: vina -: ; ; a : vina -: ; ; a :, ± a,, ± a, vina -: ; ; a :, ± a P ešení v vin - jsme dvdili kmplení va, keé v su adnicvém ssému - p edsavval kužnici vu caakeiující napjas v jakékliv vin ešené napjasi csα sinα ρ a ρ sinα csα ρ α T ρ S ρ P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

79 Ta ás p ím nepa í d maemaické eie pužnsi, ale suvisí s p edcími va, pže v nic se jednal vžd úplnu psvu napjas a úplné psvé p ev ení P je eba v eši úplnu psvu napjas lediska lavníc nap í a následn úplné psvé p ev ení lediska lavníc defmací OBNÁ NPJTOST HLVNÍ NPĚTÍ Obecná napjas je dána emi nmálvými nap ími ; a a emi sduženými smkvými nap ími ; a, keá m žeme apsa ve fm enu nap í: 77 O T Pnámka: Ten va je dbé si apamava, pže n bude vcáe ada dalšíc va je pm cka bla: Na lavní diagnále jsu nmálvá nap í v p adí pdle abeced -- a všude jinde jsu smkvá nap í a v žádném ádku ani slupci se NSÍ pakva sejný inde Nní dvdíme va p výp e lavníc nap í i p u becnu psvu napjas P vdní elemen ddd pneme vinu ρ, jejíž nmála d n je dána sm vými ksin cs α, cs β a cs γ Plcu vin ρ na íme d a plc s n ešené lesa jsu: d dcsα, d dcsβ a d dcsγ ν n d ρ d d V ešené vin ρ vniká becné nap í ν, keé m žeme lži d í slžek ν, ν, a ν, p keé sesavíme vnice vnvá: Osa : ν d d d d ν d dcsα dcsβ dcsγ Pže d je elemen plc nekne n malý avšak nenulvý, m žeme jej ve všec lenec kái: ν csα csβ csγ Osa : ν d d d d ν d dcsβ dcsγ dcsα Pže d je elemen plc nekne n malý avšak nenulvý, m žeme jej ve všec lenec kái: ν csα csβ csγ Osa : ν d d d d ν d dcsγ dcsα dcsβ Pže d je elemen plc nekne n malý avšak nenulvý, m žeme jej ve všec lenec kái: ν csα csβ csγ β γ α n ν ν ν ν Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

80 78 Nní m žeme va apsa maicv : P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ ν ν ν csα csβ csγ Obecné nap í ν v ešené vin ρ m žeme vjád i pmcí jednlivýc slžek jak: ν ν ν ν Nmálvé nap í v ešené vin ρ m žeme vjád i jak p ep e slžek d sm u nmál: ν csα ν csβ ν csγ Smkvé nap í v ešené vin ρ m žeme vjád i pmcí Pagv v jak: ν Pkud ledáme lavní nap í, musí leže v lavní vin, kde nep sbí žádné smkvé nap í P musí plai: ν ν, ν a ν Pže nmála n ešené vin má sm vé ksin cs α, cs β a cs γ, musí aké plai: csα, csβ a csγ T va dsadíme d maicvé ápisu vnic vnvá a ν, ν a ν : csα csβ csγ csα csβ csγ a p p evedení na jednu sanu dsáváme mgenní susavu: csα cs β csγ ešení é susav m že bý iviální cs α csβ csγ, keé je však maemaick nep ípusné, pže analické gemeie víme, že musí plai: cs α cs β cs γ Jediné mžné ešení ak namená, že ešená susava je LINÁRN ZÁVISLÁ a musí ed plai: de Pkud nní en deeminan v íslíme, dsáváme kubicku vnici vledem k nenámému lavnímu nap í a je bvklé ji psá ve vau: I I I

81 eficien I, I a I v é vnici se naývají INVRINTY enu nap í a le je vp ía jak: I I I 79 su e len nmálvýc nap í na lavní diagnále, su e všec subdeeminan p vdní maice, celkvý deeminan sesavený p vdní maice ešením é kubické vnice jsu i k en, keé dpvídají lavním nap í adané napjasi: Pnámk: Tak sesavená kubická vnice má vžd i RÁLNÉ k en dpvídající lavním nap ím - n keé mu bý sdné dvjnásbný neb jnásbný k en neb n keé mu bý nulvé Invaian neb invaiana pavidla eské pavpisu p ipuší mužský i ženský d namená invaianní nebli nem nnu dnu, a p veliksi jednlivýc invaian sávají nem nné p jakukliv ansfmaci adané napjasi usí ed aké plai: I, I, I Výp e lavníc nap í není nic jiné než ansfmace enu nap í, keu si le p edsavi jak aci p vdní elemenu klem všec í s -- až dsáneme pl --, kd budu všecna smkvá nap í nulvá ansfmace ešenu kubicku vnici si m žeme p edsavi aké jak kubicku funkci s k en, a ve vau: f, keá m že mí nap íklad gaf se emi nými k en a neb gaf s jedním b ejným a jedním dvjnásbným k enem b a neb s jedním jnásbným k enem c f c b a Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

82 8 Ppsání pl lavníc vin HR,, psvé napjasi Pl lavníc vin HR esp HR esp HR vjád íme pmcí sm výc ksin úl α, β a γ esp α, β a γ esp α, β a γ jejic nmál n esp n esp n, a p vdní susav vnic p i dsaení a becné nap í dn esp esp P výp e HR dsadíme a veliks a budeme psá: csα cs β csγ Ta susava musí ale bý LINÁRN ZÁVISLÁ bl p vdní p edpklad, e keé jsme u ili, a nní dsaujeme p Ze í vnic ak m žeme puží jen dv keé budu, áleží na knkéníc dnác Z lediska výp u je výdné vba dv nejjedndušší, kde je paná neávisls na pvní pled T dv vnice dplníme eí vnicí, pže sm vé ksin musí spl va pdmínku analické gemeie: Získáme ed susavu í vnic p i nenámé: P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ cs α cs β cs γ csα, cs β a csγ, esp α, β a γ P výp e HR dsadíme a veliks a budeme psá: csα cs β csγ Ta susava musí ale bý p lineán ávislá a e í vnic ak m žeme p puží jen dv, keé dplníme pdmínku analické gemeie: α cs β cs γ a ešením ískáme: cs csα, csβ a csγ, esp α, β a γ P výp e HR dsadíme a veliks a budeme psá: csα cs β csγ Ta susava musí ale bý p lineán ávislá a e í vnic ak m žeme p puží jen dv, keé dplníme pdmínku analické gemeie: α cs β cs γ a ešením ískáme: cs csα, csβ a csγ, esp α, β a γ Pnámka: P i výp u pl lavníc vin HR, le aké s výdu vuží vlasnsi, že HR je klmá k HR a HR je klmá k b ma p edcím HR i HR její pla je ak jednna n dána

83 Va mei lavními napěími a lavními defmacemi 8 Pže i v p ípad psvé napjasi musí su asn plai Hk v ákn, musí bdbné va jak p nap í plai i p defmace pdlužení/kácení a ks γ isuje ed aké en defmací T, keý má va: γ γ T γ γ γ γ P ápis m žeme aké puží jednindevu smbliku, kde, a pže: γ γ γ a su asn γ γ, bude γ γ γ, γ γ γ a su asn γ γ, bude γ γ γ, γ γ γ a su asn γ γ, bude γ γ γ Ten defmací T m žeme napsa pmcí smblik, keá dpvídá ápisu enu nap í T : I en en bude mí své invaian: I, I γ γ γ T γ γ γ γ γ, γ γ I γ γ γ γ γ γ γ γ Pmcí c invaian le dvdi va p výp e lavníc defmací a lavníc vin I I I Hlavní vin bcm dsali dsaením vp ené k enu d p vdní vnice: P výp e HR dsadíme k en a dsaneme lineán ávislu susavu, e keé jednu vnici vpusíme a naadíme ji vnicí analické gemeie: cs α cs β cs γ P výp e HR a HR pakujeme sejný psup, ale m žeme vuží i vlasnsi, že lavní vin USÍ bý navájem klmé Pnámka: Neapme e, že již v PP I jsme si d a vali, že v každém mís aížené su ási eisují pue i lavní vin esp i lavní sm, keé jsu žné jak p defmace ak i p nap í Hk v ákn jsu pue lineání algebaické vnice, keé p evád jí nap í na defmace esp napak, ale p vdní sm lavníc nap í nijak nevlivní Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

84 P 8 PŘÍLD PROSTOROVÁ NPJTOST: Dán: V bdě sučási bla sanvena napjas ppsaná enem napjasi T, keý je dán: 5 Nmm, Nmm, 8 Nmm, 4 Nmm, Nmm a Nmm Uči: Veliksi lavníc napěí > > a lavní vinu HR dpvídající maimálnímu lavnímu napěí Řešení: V m p ípad bude mí en nap í va: 5 4 T 4 8 Nejpve vp íáme jednlivé invaian enu nap í: 5 8 N, I mm I I N mm 8 [ ] 9 N mm 8 5 T dn dsadíme d ákladní kubické vnice I I I a ískáme její i eálné k en, keé jsu lavními nap ími, a adané napjasi: 9,5 Nmm -, 5,95 Nmm - a 4, Nmm -, Pnámka: Spávns výp u v íme výp em invaian I, I a I vp enýc lavníc nap í, a : - - I N,,6 N mm P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ - I a N mm I mm Plu pvní lavní vin HR vjád íme pmcí sm výc ksin úl α, β a γ její nmál n p vdní susav vnic p i dsaení : 5,46 4 4,46 8,46 csα cs β cs γ Ta susava je lineán ávislá dsadili jsme d ní její p vdní ešení Pužijeme jen dv vnice nap a, keé dplníme vnicí analické gemeie: α cs β cs γ 5, csα csα cs β 8, csγ cs α 4 cs β cs β csγ cs γ cs α 8,5 β 88, γ 8,6

85 5 THNIÁ PLSTIIT 8 Úvd: B em celé PP I i dsavadní ási PP II jsme p edpkládali lineání cvání maeiálu - ed, ab všecn pbíající d je bl vané p ukn ení p sbení silvýc ú ink se celá susava váí d p vdní savu V p ípad au/laku esp bu musela bý spln na pdmínka: esp ma V p ípad kuu musela bý spln na pdmínka: ma, kde /α α neb V p ípad á sabili pdle ulea bla pdmínka ješ p ísn jší: ki u me úm nsi au uje ideální lineání ávisls mei nap ím a defmací ppsanu Hkvým áknem Tavý diagam běžné knsukční celi budeme n dále vcáe: ideální p ímka P elá PP I a dsavadní PP II a/lak, b a ku, nádb, ku e a desk ule v vp u u Dsavadní PP be plasici Rší ení PP s plasiciu Základní předpklad úl v ecnické plasiciě: Z sává v plansi p edpklad malýc defmací ssém je i v plasici sále gemeick lineání, aeiál v plasici sává sále ideální ipní be vni níc impefekcí,, Tavý diagam apimujeme ideáln elasick-plasickým mdelem u mdelu neuvažujeme p dsažení mee kluu pevn ní Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

86 84 Nelineání cvání maeiálu vnik valýc defmací při jednsé napjasi: el elasické cvání pl el P p ek ení mee kluu u maeiál be výané mee kluu p p ek ení smluvní mee kluu se p dle ení již susava neváí d p vdní pl Odle ení pbíá p p ímce, keá je vnb žná s p ímku elasické cvání maeiálu Dsažená defmace se ak p dle ení neaí celá, ale pue její elasická vaná ás Zbývající ás defmace je již valá a p edsavuje plasicku nevanu ás defmace: P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ el pl lasická slžka defmace dpvídá defmaci, keá b v susav nasala, pkud b se a be meení cvala elasick vi baení el v ní ási p edcí báku Nás bude s ledem na další výp spíše ajíma plasická slžka defmace, keu u íme jak: pl el Ten va pak le becni i na nap í a defmace p i vícesé napjasi Věa bkvýc napěíc defmacíc: Zbkvá nap í defmace v su ási vniklá p dle ení le vp ía jak díl výslednýc nap í defmací a dn nap í defmací sanvenýc p ideální elasické les v celém sau a žvání Tu v u m žeme nap p nap í apsa fmáln ve vau: b sku Pnámk: P edcí v a funguje i v elasické blasi, kde bude skue ná a fikivní elasická dna nap í sejná, a ak bkvá nap í de nebudu vnika dpvídá skue nsi Zde je vdné p ipmenu díl mei ecnikem a eknmem: Tecnik vžd uvažuje skue ný sav a d n de íá fikivní sav, keý nem že eáln nasa, aímc eknm p íá s fikivními pen i, e keýc se snaží financva naps eálné v ci fik el

87 del skuečné maeiálu: 85 Pže ávisls mei nap ím a defmací ískáváme avýc kušek epeimenáln, je snaa u ávisls ppsa maemaick Nej as ji se pužívá paablická náada: m nsan a m se sanví na áklad epeimen Náada skuečné pacvní diagamu: V ecnické pai se velice as spkjíme s náadu pacvní diagamu lmenu au Pže p edpkládáme acvání pdmínk malýc defmací, není eba ppisva celý avý diagam Lmená náada ak ppisuje jen je pvní ás, keá nás ale nejvíce ajímá aeiál s lineáním pevněním elasick-plasický mdel se pevn ním aeiál be pevnění ideální elasick-plasický mdel Pkud je elasické cvání plaí u bu mdel p sanvení mdulu pužnsi va: esp dul pevn ní dué ási náadní Ten diagam nep edpkládá pevn ní diagamu m žeme u i e vau: dále budeme uvažva en diagam ení sav plasici: ení sav plasici nasane ed, djde-li v d sledku aížení ke kvaliaivní m n v cvání su ási vnikne plasický mecanimus Pnámka: Pvšimn e si, že na díl d definice p edcíc meníc sav pužnsi, pevnsi, není en mení sav váán p ím na nap í, ale na u iý p m n v cvání su ási Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

88 86 Pužií ideálně elasick-plasické náadní maeiálvé mdelu: lasická blas malá Plasická blas mnnásbn v ší lasická blas malá Plasická blas mnnásbn v ší Oblas velkýc defmací, keé již nedpvídají ákladnímu p edpkladu Teeick se ideální elasick-plasický mdel m že nekne n defmva, ale nekne n musí sa v blasi malýc defmací, cž je ákladní p edpklad celé pužnsi a pevnsi 5 TH TL V PLSTIITĚ Ten nejjedndušší p namáání se i nejjedndušeji eší v plasici Nap í v celém p eu je iž knsanní a je dán jednducým vaem v elasici i v plasici : N, kde N je svá síla avá ven plc neb lakvá d plc, je plca p í né p eu klm k se puu a aížení Dsáne-li ed nap í v u iém p eu mee kluu, m že se d kamžiku en p e libvln nekne n defmva a áleží na bývajícíc ásec knsukce, d jaké mí mu v m dkážu abáni a p eví na sebe ás sucí aížení, keé již plasivaný p e není scpen p enés Pak mu nasa dva sav: Pkud bývající ási knsukce jsu scpn nekne né defmaci abáni, dcáí k p ed lení namáání v knsukci a a žvání m že pka va knsukce se dsala d elasick-plasické savu, kd jsu n keé ási již na mei kluu, ale bývající se ješ cvají elasick Pkud bývající ási knsukce nejsu scpn nekne né defmaci abáni, dcáí ke vniku mecanimu a daný sav je pvažván a mení sav plasici a aížení, keé vvlal a mení aížení P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

89 PŘÍLD TH/TL V PLSTIITĚ: Dán: Slupek plše půřeu a délk l je na vlném knci aížen samělu silu vlasní íu slupku anedbáme Uči: ení sílu me, keá půsbí vnik mení savu plasici dané slupku l 87 P Řešení: Pdle Sain-Vénanv eie p edpkládáme, že p celé délce p sbí knsanní síla, keá se vnm n lží d celé p eu V celém slupku ak vniká knsanní nap í: Pkud plaí: <, je celá su ás v elasickém savu a veškeé defmace jsu malé a vané a p dle ení cela vmií Pkud dsáne:, je celá su ás v plasickém savu, a pže nic nebání jejímu nekne nému pdlužení, vnikl ak mecanimus plasický, keý již není scpen p enés dále sucí sílu Dšl ed ke kvaliaivní m n v cvání su ási nasal mení sav plasici a síla, keá en sav p sbila je mení silu: me me me PŘÍLD STTIY NURČITÝ TH/TL V PLSTIITĚ: Dán: Slupek plše půřeu a délk l je veknuý na bu kncíc bd B a a ve dvu řeinác své délk d spdní veknuí bd D je aížen samělu silu vlasní íu slupku anedbáme D l/ P Uči: ení sílu me, keá půsbí vnik mení savu plasici dané slupku Řešení: Pdle PP I vnikají ve veknuíc dv eakce, ale m jsme B scpni sesavi pue jedinu vnici vnvá d svislé sm u Znamená ed, že a úla je jednu saick neu iá a jak akvu ji musíme nejpve v eši uvlníme jedn veknuí naadíme debané veknuí saick neu iým ú inkem eak ní silu dplníme defma ní pdmínku, keá abání vlnému psuvu uvln né bdu l/ Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

90 88 Tak ískáme saick neu iu eakci a duu eakci již dp íáme e saické vnice: R B P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ a R P výp e nap í musíme su ás d li na dv ple a : a Ob a nap í vneseme v diagamu -/ Z n je pané, že nap í se abslun cleji než nap í P nap í dsáne mee kluu jak pvní a celá ás ak dsáne plasické savu Ten bd je psledním bdem elasické cvání celé su ási, a ak sílu, keá en sav p sbuje na íme jak sílu elasicku: el P i dalším všvání síl > el již ás výšení nebude scpná p enés, pže je celá v plasickém savu je scpná se nekne n pdlužva Vledem k mu, že však ás ješ sává v elasickém savu, bude é nekne né defmaci báni a p enese ná s síl i nad dnu Susava se v é blasi bude nacáe v elasick-plasickém savu Zaímc ás se sále cvá elasick, ak ás je již pln plasivaná Pže ás nem že p enés již v ší sílu než N sane se e bku susav ás saick u iá úla a ás jak kdb již neeisvala : Nap í v ási bude nem nné: Nap í v ási bude nní: Ta nap í p baíme v diagamu -/ Z n je pané, že nap í se klesá nní cleji než v elasické blasi a pm n cle dsáne mee ápné kluu V m kamžiku se dsane d plasické savu i ás a není ed scpna p enés další ná s síl Síla, keá en sav p sbí je: Pže ale v su ási již neeisuje žádná její ás, keá b bánila vlné defmaci a p evala na sající sílu, djde páv v m kamžiku ke kvaliaivní m n v cvání susav vniká plasický mecanimus a síla, keá en sav p sbila, je ed ledanu mení silu me me / /

91 89 Hledaná mení síla ed bude: me Diagam ávislsi napěí na aěžující síle esp pměu /: fik el sku b b b ZNÍ STV PLSTIITY / / Oblas plasické mecanimu / fik el sku b lasická blas lasick-plasická blas Je pané, že plaí: ; susava se cvá elasick všecn defmace jsu vané a p dle ení nevniknu v su ási žádná bkvá nap í el ; susava se cvá elasick-plasick p dle ení vžd vniknu bkvá nap í esp defmace d je již nejsu vané susava se cvá jak mecanimus nasal ZNÍ STV PLSTIITY me Zbkvá napěí defmace p dlečení mení savu plasici P výp e bkvýc nap í esp defmací pužijeme d íve avedenu v u: P nap í v ási plaí: sku fik el me b esp sku fik el 4 u b u u sku fik el 4 b fik Pvšimn e si, že el >, cž je pavdu pue fikivní mžns, pže pdle eie ideáln elasick-plasické maeiálu be pevn ní nap í všší než me kluu nejsu mžná Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

92 P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ P nap í v ási plaí: sku b me fik el Pnámka: Zbkvá nap í v bu ásec USL vjí sejná, pže se jedná jednu su ás p dle ení již be jakékliv vn jší aížení P defmaci ási plaí: l l l u u me sku, l l l u me fik el 9 Zbkvá defmace p sbiš síl bd D p dle ení mení síl me ed bude: l l l u b Pnámka: Znaménk ve výsledku na í, že se jedná pdlužení ási - ed psunuí bdu D dl P defmaci ási plaí: l l l u me sku, l l l u me fik el 9 Zbkvá defmace p sbiš síl bd D p dle ení mení síl me ed bude: l l l u b Pnámka: Znaménk ve výsledku na í, že se jedná kácení ási - ed psunuí bdu D dl, cž je ve sd s výsledkem ási, pže i p dle ení musí bý acvána spjis su ási

93 9 PŘÍLD STTIY NURČITÝ TH/TL V PLSTIITĚ: Dán: Smeicku susavu délk l vří ři pu sdné plše půřeu ba šikmé svíají se svislým puem úel α Ve splečném bdě B je susava aížena samělu svislu silu vlasní íu slupku anedbáme Uči: ení sílu me, keá půsbí vnik mení savu plasici dané puvé susav Řešení: Pkud nás ajímá pue mení síla dsažení mení savu plasici a nikliv cesa, keu se susava d savu dsane p es elasický a elasick-plasický sav a neajímají nás ani bkvá nap í p dle ení, sa í sesavi gemeick p ípusný mecanimus a p n j sesavi saicku vnici vnvá ešená susava je saick neu iá: Budu-li mí všecn pu sejný p e a budu-li vben e sejné maeiálu, bude pu nejužší má nejmenší délku a síla, keá v n m vnikne v elasickém savu bude nejvšší, a ak i nap í v m puu dsáne mee kluu jak pvní Následn je eba, ab mee kluu dsál i další pu, ale vledem k smeii celé úl bude α α dsažen mee kluu v bu puec su asn V m kamžiku nebude nic báni nekne nému psuvu bdu B a vnikne ak plasický me mecanimus Silvá vnváa d svislé sm u je pdle báku dána vnicí: B me csα csα me me α B α l P Pnámka: Pkud bcm c li p b a žvání v elasickém savu, museli bcm se nejpve vái d PP I a v eši saick neu iu úlu: N Saická vnice je: N N csα, defma ní pdmínka je: a fikální vnice jsu: csα N l a N N l csα α α N α α B lasické síl v puec ed jsu: N a cs α cs α N cs α Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

94 9 5 RUT V PLSTIITĚ Ten duý nejjedndušší p namáání se i v plasici eší pm n jednduše, a ejména p kuvý neb meikuvý pfil Smkvé nap í v celém p eu le iž ppsa v elasickém savu jedinu vnicí: ρ ρ esp J kde: je kuicí mmen p sbící v daném mís, J P je plání kvadaický mmen p eu, ρ je vdálens mísa p eu d pólu p eu, W je p evý mdul v kuu P ma, W Rlžení smkvýc nap í pdle vau náme PP I el el-pl pl ma elasický knec elasické elasick-plasický plasický sav sav sav sav Pkud nap í v kajním vlákn dsáne mee kluu ve smku ma kn í elasický sav p eu a kuicí mmen, keý en sav vvlá na íme: el : el π D W el 6 P i dalším su aížení > el již další ná s nap í není pdle p edpkladu mžný, a ak vn jší vlákna p eu jsu namáána pue nap ím a psupn plasiují P e se dsává d elasick-plasické savu má pužné jád p m u d a plasický bal na meikuží d D aemaick m žeme en sav ppsa vaem: W, el pl O lasick-plasický mdul v kuu kuvé půřeu: el pl el jáda pl balu, el jáda π d W el jáda 6 P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

95 pl balu D d D D ρ π ρ 44 π ρ dρ π d d d dt Se ením bu ásí dsáváme ledaný elasick-plasický mmen: d π D d D d π π 6 48 el pl d 4 dud již dsáváme ledaný mdul p eu v kuu v en je diskuse: W pl elasický sav el π el pl 4 D d 48 d D W d W π 6 D π D plasický sav Ten výa le ed pvažva a univeální, pže s je pmcí jsme scpni ppsa jak elasický sav, ak aké elasick-plasický sav a i sav pln plasický vnik v plasické spjk Plans vau i p plasický sav si m žeme v i jednducým výp em mmenu : 9 pl D D ρ π 44 π ρ dρ π D d ρ dt d W pl π D nac 979 icael Tune 995 wwwmspclleccm Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

96 94 Zbkvá napěí při kuu: Sanvení bkvýc nap í p i dle ení puu kuvé p eu D elasick-plasické savu p i aížení mmenem el-pl namená nejpve ppsa skue ná nap í v elasick-plasickém savu sku a následn nap í fikivní fik, keá b v p eu vnikla p i elasickém cvání maeiálu p celu dbu a žvání el-pl plasbal sku fik b neb b D elas jád d P edpkládejme nap plasivání páv plvin p m u kuvé p eu d ½D Nejpve ed vp eme veliks elasick-plasické mmenu el-pl, keý en sav p sbuje, jak: el pl π π D πd 4D d 4D Ten mmen vvlá skue ný p b nap í sku dpvídající elasick-plasickému lžení kuvá ás p eu d s až d vdálensi D/4 je ješ v elasickém savu elasické jád a lžení se ídí Sain-Vénanvu eií Zbývající meikuvá ás p eu d D/4 d D/ je již pln plasivaná a smkvé nap í je v nic knsanní vnající se mei kluu plasický bal fik émní dnu fikivní nap í e na vn jším kaji ídele vp eme pmcí elasické p evé mdulu v kucení W el, jak b se maeiál cval elasick b em celé a žvání: πd 84 fik el pl e W el πd 4 6 Pnámka: fik Pvšimn e si, že maimální fikivní nap í e vcáí všší než me kluu, cž je pavdu pue fikivní sav, pže ákladní p edpklad ecnické plasici je ideální elasick-plasický mdel, keý p i dsažení mee kluu p edpkládá nekne né ks a me kluu již dále nep eka uje fik Zbkvé nap í b vp eme jak díl skue né nap í sku a fikivní nap í P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

97 Zbkvé nap í vnikající v kajníc vláknec p eu je: fik b kaj sku e 95 Další lkální eém vniká na an elasické jáda, kde je skue né nap í sále vn mei fik kluu sku, ale fikivní nap í je eba dp ía pdle Sain-Vénanv eie a pužií kvadaické mmenu p eu jak: Výsledné bkvé nap í v m mís bude: D π D 84 fik el pl el jáda 4 J p el 4 πd D 7 48 fik b el jáda sku el jáda ís, kde budu bkvá nap í nulvá b, km s edu pfilu a keé ppíšeme su adnicí, u íme jednducé pdmínk: Odkud dsáváme: Za p edpkladu musí plai: fik sku el pl J D p el D D Pkud bcm pvád li dle ení pln plasivané savu p eu sav dpvídající eisenci plasické spjk, budu bkvá nap í na kaji a ve s edu p eu: π D fik pl b kaj sku ma, W el π D 6 fik b sř sku sa 4 pl sku fik b neb b 4 plas spjka 8 D Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

98 96 5 OHYB V PLSTIITĚ Ten p namáání se i v plasici eší pm n jednduše Obvé nap í v celém p eu le iž ppsa v elasickém savu jedinu vnicí: η η esp J ma, W kde je bvý mmen p sbící v daném mís, J je svý kvadaický mmen p eu k se, η je vdálens mísa p eu d neuální s p eu p edpkládáme vinný n, W je p evý mdul v bu k se Rlžení bvýc nap í pdle vau dvdil Benulli a náme PP I a nap p bdélník b bude pdle pvní báku Další psup plasiace je paný dalšíc bák : el el-pl pl ma elasický knec elasické elasick-plasický plasický sav sav sav sav Pkud nap í v kajním vlákn dsáne mee kluu ma kn í elasický sav p eu a bvý mmen, keý en sav vvlá na íme: el el b W el 6 P i dalším su aížení > el již další ná s nap í není pdle p edpkladu mžný, a ak vn jší vlákna p eu jsu namáána pue nap ím a psupn plasiují P e se dsává d elasick-plasické savu - má pužné jád výšce a a plasický bal na v blasi d a/ / v ní i dlní ási p eu aemaick m žeme en sav ppsa vaem: W, el pl O lasick-plasický mdul půřeu v bu bdélníkvé půřeu: elkvý elasick-plasický mmen je su em mmenu, keý p enáší elasické jád a mmenu, keý p enáší plasický bal ešené bdélníkvé p eu: el pl el jáda pl balu, P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

99 men p enášený elasickým jádem eljáda u íme jednduše pmcí va námýc PP I: 97 eljáda b a W eljáda 6 men p enášený plasickým balem plbalu u íme inegací p es celu plasivanu blas, kde se již nem ní nap í : pl balu b b { d b a a a 4 d 44 dn 44 4 d Se ením bu ásí dsáváme ledaný celkvý elasick-plasický mmen p enášený p eem: b a a b a b 6 4 el pl dud již dsáváme ledaný mdul p eu v kuu v en je diskuse: W b a W el b 6 a b a W pl 4 elasický sav el pl plasický sav Ten výa le ed pvažva a univeální, pže s je pmcí jsme scpni ppsa jak elasický sav, ak aké elasick-plasický sav a i sav pln plasický Plans vau i p plasický sav si m žeme v i jednducým výp em mmenu : b pl b ρ b 44 4 d 44 4 dn d W pl b 4 Výp p jiné p e bcm pvád li bdbn Obecn plaí, že plasický p evý mdul v bu W pl sanvíme jak dvjnásbek saické mmenu plvin ešené p eu k neuální se v plasici n pl Pže musí plai silvá vnváa d s puu i v plasickém savu dn, nemusí nun a sa pcáe žiš m pfilu T Rdující p její plu je skue ns, že neuální sa v plasici n pl d lí p e na dv sejné ási H D, ab výsledná síla p sbící nad neuální su v plasici bla sejn velká jak výsledná síla p sbící pd neuální su v plasici : H H D D Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

100 P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ Plasický půřevý mdul v bu W pl P eled plasickýc p evýc mdul v bu W pl a nic plnucí veliksi plasickýc mmen pl, keé p sbí vnik plasické klubu je p vbané pfil v následující abulce: 4 4 b b W pl 4 b pl 4 4 a a a a W pl 4 a pl 6 a a a W pl 6 a pl 6 π 4 8 π D D D W pl 6 D pl a a a a a W pl a a pl b b b W pl pl 4 4 b b W pl 4 b pl Všecn p edcí výp vužívají fak, že plasický p evý mdul v bu W pl je dvjnásbným saickým mmenem plvin plc p eu S n k neuální se v bu v plasici n pl, keá nemusí pcáe žiš m ale musí d li pfil na dv sdné plc: H D H D n pl b je výška celé pfilu je výška celé pfilu lušťka <<, b n pl b n pl a a n pl a a n pl D n pl a a n pl b

101 Zbkvá napěí při bu: 99 Sanvení bkvýc nap í p i dle ení puu bdélníkvé p eu b elasick-plasické savu p i aížení mmenem el-pl namená nejpve ppsa skue ná nap í v elasick-plasickém savu sku a následn nap í fikivní fik, keá b v p eu vnikla p i elasickém cvání maeiálu p celu dbu a žvání sku fik b neb b plasbal a elasjád plasbal 8 b P edpkládejme nap plasivání páv plvin bdélníkvé p eu a ½ Nejpve ed vp eme veliks elasick-plasické mmenu el-pl, keý en sav p sbuje, jak: el pl b 5b 4 Ten mmen vvlá skue ný p b nap í sku dpvídající elasick-plasickému lžení d s až d vdálensi ±/4 je p e ješ v elasickém savu elasické jád a lžení se ídí Benulli eií Zbývající ási p eu d ±/4 d ±/ jsu již pln plasiván a bvé nap í je v nic knsanní vnající se mei kluu plasický bal Další výp všec nap í pvedeme p spdní ed avu plvinu ešené p eu fik aimální fikivní nap í ma vp eme pmcí elasické p evé mdulu v bu W el, jak b se maeiál cval elasick b em celé a žvání: Pnámka: 5b 4 fik el pl ma W el b 4 fik Pvšimn e si, že maimální fikivní nap í ma vcáí všší než me kluu, cž je pavdu pue fikivní sav, pže ákladní p edpklad ecnické plasici je ideální elasick-plasický mdel, keý p i dsažení mee kluu p edpkládá nekne né defmace a me kluu již dále nep eka uje 6 5 Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

102 fik Zbkvé nap í b vp eme jak díl skue né nap í sku a fikivní nap í Zbkvé nap í vnikající v kajníc vláknec p eu je: fik b kaj sku ma Další lkální eém vniká na an elasické jáda, kde je skue né nap í sále vn mei fik kluu sku, ale fikivní nap í je eba dp ía pdle Benulli eie a pužií kvadaické mmenu p eu jak: Výsledné bkvé nap í v m mís bude: a fik el pl el jáda J el b b 4 fik b el jáda sku el jáda ís, kde budu bkvá nap í nulvá b, km neuální s pcáející žiš m p eu, u íme jednducé pdmínk: Odkud dsáváme: 5 8 fik sku 5 el pl 5 J el Pkud bcm pvád li dle ení pln plasivané savu p eu sav dpvídající eisenci plasické klubu, budu bkvá nap í na kaji a ve s edu p eu: b fik pl b kaj sku 4 ma, W el b fik b sř sku sř 6 sku fik b neb b plasklub / P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

103 PŘÍLD STTIY URČITÝ OHYB V PLSTIITĚ: Dán: Nsník délk l 6 mm je vben celvé če čvecvé půřeu saně a 4 mm a mei kluu Nmm - Uči: Veliks mení síl me a předpkladu ideální elasick-plasické cvání pužié maeiálu l a a R e ma l P Řešení: Pže se jedná saick u iý nsník, sa í, ab vniknul pue jeden plasický klub a nasane plasický mecanimus Ten klub vnikne ve veknuí, pže de nasane: ma pl men p sbující vnik plasické klubu pl je dán vaem: a 4 pl W pl N mm 4 4 Hledaná mení síla bude: pl me l pl me N l 6 me plasický mecanimus PŘÍLD STTIY NURČITÝ OHYB V PLSTIITĚ: Dán: Nsník je ulžen na pdpěác, a a ve sředu ple je aížen samělu silu Nsník má bdélníkvý pfil b a je vben maeiálu mei kluu l/ l/ l b P Uči: Veliks mení síl me, keá půsbí vnik plasické mecanimu a předpkladu ideální elasick-plasické cvání pužié maeiálu Řešení: Tu úlu le eši jednak uvln ním a jednak medu viuálníc pací eda uvlnění: Z PP víme, že v c p ípadec nasává eém bvé mmenu jednak pd silu a jednak v mís s ední pdp V c mísec aké musí vniknu dva plasické klub, keé nsníku vv í plasický mecanimus dpvídající menímu savu plasici: Odsaníme nap pdp u a p ipjíme eakci R : R l R l/ l/ pl pl l l/ mís : mís : pl R l l pl R pl l me 6 Obdbn le dsani pdp u esp a p ipji eakci R esp R a íska sejný výsledek l Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

104 eda viuálníc pací: P i pužií é med vužíváme následující skue nsi: a Plasické klub, keé vv í plasický mecanimus, vnikají jen v mísec eém mmen b Su e viuálníc pací δw e všec vn jšíc ú ink v našem p ípad pue síla me se musí vna su u viuálníc pací δw in všec vni níc ú ink v našem p ípad mmen pl c lasické psuv jsu vledem k plasickým ak malé, že je m žeme p i výp u anedba d Plasický klub p sbí pi své defmaci pvým mmenem pl Pže elasické bu víme, že eém nasane jednak pd silu a jednak v mís umísíme d c mís plasické klub a sesjíme plasický mecanimus: Zde bl klub, a ed neklade žádný dp Zde vnikl jeden plasický klub, keý se plasick defmuje leva i pava Zde vnikl duý plasický klub, keý se ale plasick defmuje pue leva δu me pl δα l/ l/ l δα pl pl δα P ak navžený mecanimus vjád íme vn jší a vni ní viuální páce: δw e me δu a δw in pl δα dkud vplývá: me δu pl δα Nní sesavíme va mei viuálními defmacemi δα a δu: l/ δα δu δu gδα l δu l δα Pže ale δα je malý úel plaí gδα δα a ed dsáváme: δα esp δ u l Dsadíme-li en va d vnice viálníc pací dsáváme: me δu l δα δu pl esp me pl δα l V bu p ípadec nní vužijeme skue ns, že δu esp δα jsu viuální defmace nekne n malé avšak nenulvé, a ak je m žeme na bu sanác vnice kái a dsaneme již silvu vnici: pl l me 6 P i pužií keékliv p edcíc med musíme ješ ešení dplni vjád ení pl pmcí adané gemeie p eu a mee kluu R e : b W pl W pl pl 4 b me b 4 6 l b l P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

105 54 PLSTIIT PŘI VÍOSÉ NPJTOSTI Všecn p edcí úva se ýkal jednsé napjasi p i námé mei kluu v au/laku esp napjasi isé smku p i vlném kuu a námé mei kluu ve smku Za p áek plasiace bl pvažván sav, kd jednsá napjas esp napjas isé smku dsáne mee kluu v au/laku R e esp mee kluu ve smku V p ípad vícesé napjasi je eba uvažva ineakci jednlivýc slžek a jejic pdíl na celkvém savu napjasi ešené mísa V c p ípadec je eba p áek plasické savu u i pmcí PODÍNY PLSTIITY bdba eie/pé pužnsi Sejn jak v elasickém savu eisuje i v plasici celá ada eií, ale nejjedndušší a nejpužívan jší jsu dnes dv lavní Pdmínk plasici: Sain-Vénanva pdmínka Ta pdmínka dpvídá námé Tescv pée esp pée X P áek plasické savu nasává ed, je-li p m nejv ší v kužnice ven mei kluu: ma min Pkud náme p adí veliksí lavníc nap í > >, m žeme Sain-Vénanvu pdmínku psá: Op si pvšimn e faku, že p áku plasiace dují jen dv e í lavníc nap í nejv ší a nejmenší Ps ední nap í ve vaíc v bec nevsupuje Výdu é pdmínk je její jednducs, keá nekmplikuje výp negeická pdmínka Ta pdmínka je aké naývána pdle svýc au Hube-ieses-Henck a dpvídá námé enegeické pée esp pée HH P áek plasické savu nasává ed, je-li inenia nap í i vna mei kluu: i Ten výa m žeme apsa pdle námýc va PP I ve vau: 6 Známe-li veliksí lavníc nap í,, na p adí neáleží, m žeme enegeicku pdmínku psá: V m p ípad p áku plasiace dují všecna i lavní nap í, a Ovšem vledem ke kmplikvanému vau se s u pdmínku bížn ji p íá Rdíl mei b ma eiemi je bdbn jak v elasickém savu cca 5% S-Vénan je knevaivn jší Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

106 4 Pže však v plasické blasi neplaí Hk v ákn, je eba p i výp ec naadi n ím jiným TORIÍ PLSTIITY Nej as ji se pužívá Henck-Nádava eie plasici Henck-Nádava eie plasici Ta eie mei sebu váže lavní nap í,, a lavní p ev ení,, bdbn jak Hk v ákn: i i i i i i Obdba s ší eným Hkvým áknem je paná dul pužnsi je naaen pdílem i / i a Pissnv ísl je naaen knsanu ½ ideální dna su iniele p í né knakce p i plansi ákna acvání bjemu, keý ideální plasicia p edpkládá Inenia nap í je: Inenia defmací je: i i O URČNÍ PRŮBĚHŮ NPĚTÍ ZNÍHO TLOVÉHO SPÁDU SILNOSTĚNNÉ VÁLOVÉ NÁDOBY TRUBY Silns nná válcvá nádba plm ec a je namáána vni ním p elakem p > p elá nádba je vbena maeiálu mei kluu p P i dvení va ppisující e né nap í a adiální nap í plasickém savu silns nné nádb vjdeme e ákladní difeenciální vnice, keu jsme ppsali vnvá elemenu vjmué e s n ve vdálensi d s nádb: d d[ ] d d Předpklad řešení: Z eie silns nnýc nádb vplývá, že vžd plaí: > Tubka je dsae n dluá a svu defmaci anedbáváme p Va p svu defmaci m žeme pmcí Henck-Nádav eie plasici apsa jak: i i P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

107 Odkud vplývá p nenulvý pdíl ineni defmace a nap í i / i va: 5 Znamená ed, že své nap í bude i v plasickém savu leže ups ed mei nap ím e ným a nap ím adiálním Te né nap í bude nejv ší ma a adiální nap í bude nejmenší min Nní p u napjas sesavíme b pdmínk plasici: Sain-Vénanva pdmínka plasici: negeická pdmínka plasici: Ineniu nap í nejpve vjád íme pmcí všec í nap í: i Odkud ed vcáí enegeická pdmínka plasici ve vau: Univesální pdmínka plasici u silnsěnné válcvé nádb ubk: Ob pdmínk p silns nnu nádbu ed m žeme napsa v jednm univesálním vau: α, kde: α pdle Sain-Vénanv pdmínk plasici, α,55 pdle enegeické pdmínk plasici Univesální va pdmínk plasici nní dsadíme d p vdní difeenciální vnice silns nnýc nádb a dsaneme difeenciální vnici pvní ádu, kde pvedeme sepaaci pm nnýc a pak ešíme inegací levé a pavé san a p ipjíme inega ní knsanu : d α d α d α ln d Veliks inega ní knsan u íme kajvé pdmínk na vni ním plm u: OP : p p α ln p α ln Hledaný p b adiální nap í bude ppsán funkcí: ln ln p α α α ln p Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

108 6 P b e né nap í dp íáme pdmínk plasici: α α ln p Duu kajvu pdmínku pužijeme ke sanvení mení lakvé spádu p p me : OP : p p α ln p p p me α ln P b e né nap í a adiální nap í v pln plasickém savu silns nné válcvé nádb ubk p i aížení lak p a p na plm ec a jsu lgaimické navájem psunué k ivk ekvidisan Vdálens mei b ma k ivkami je p celé lušťce s n vna páv mei kluu - nádba je celá plasivaná, není scpná p enés jakékliv výšení lakvé spádu p es p p me a m že se nekne n defmva v šva své plm p p p p Silnsěnná nádba v pužně-plasickém savu dle Sain-Vénana a X : Jedná se silns nnu nádbu ubku, keá je mei plm a již plasivaná ed, aímc ás mei plm a je ješ v elasickém savu ed < Výp e elasick-plasické savu je v mném pdbný výp u dvu nalisvanýc nádb jen s ím dílem, že de se každá ásí p íá pdle jiné eie Výaný díl nasává ve spjení bu ásí, pže se ve skue nsi jedná jedn les a d lení je jen pmslné Ve spjení plasické ásí s ásí elasicku ak nesmí v p b u adiální nap í ale ani e né nap í nasa skk Výpče jednlivýc čásí nádb: P plasicku ás ak pdle Sain-Vénanv pdmínk plasici plaí: p p pl ln P elasicku ás bdbn pdle pé X plaí: el pl p pl p el p p p p el el pl p p el P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

109 7 Pže sejn jak u nalisvané nádb musí lak p p sbi na plm u jak na vni ní plasicku ás, ak i na vn jší elasicku ás nádb, ískáme se ením bu va výsledný lakvý spád p p el-pl, keý p sbuje elasick-plasický sav nádb/ubk d až d je plasická ás ubk a d až d elasická ás ubk p p p p pl el ln el p p ln pl PŘÍLD VÍOSÁ NPJTOST V PLSTIITĚ: Dán: Pu kuvé půřeu je na svém knci aížen kuicím mmenem 6 Nmm a svu silu Pu má půmě d 6 mm a je vben maeiálu mei kluu Nmm - Uči: Veliks síl, keá půsbí pdle Sain-Vénanv eie pčáek plasické savu řešené puu Řešení: Pdle PP I vniká maimální smkvé nap í na vn jším pvcu puu: d P ma 7,7 N mm W π d π d π 6 mu smkvému nap í ma se supepnuje avé nap í d své síl, keé je p celém p eu knsanní a je veliks u íme pdle vau: 4 4,54 π d π 6 V puu ed vniká vinná napjas, keá má lavní nap í: ma ; ; ma Z výsledk je jasné, že: > > Pužijeme b pdmínk plasici p i vícesé napjasi: Pdle Tescv pdmínka plasici musí bý:, ma ma ma P dsaení ískáváme vnici: 4,54 4 ma 5 ma 4, N ,7,5,5 Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

110 8 Zbkvá napěí ve sěně silnsěnné nádb p dlečení mení savu: P PŘÍLD SILNOSTĚNNÁ NÁDOB ZBYTOVÁ NPĚTÍ: Dán: Oevřená silnsěnná válcvá nádba má mě mm, 5 mm, aížena je vniřním přelakem p p a je vbena maeiálu mei kluu Nmm - Uči: ení elasický lak p el dpvídající knci elasické savu, mení plasický lak p pl p me dpvídající plasivání celé sěn silnsěnné nádb a půbě bkvýc napěí p dlečení mení savu plasici Řešení: Nejpve u íme ledané lak dpvídající jednak knci elasické savu p el a jednak menímu savu plasici p pl p me : p 55,6 Pa el 5 a 5 p me ln ln 8, Pa, Zbkvá nap í becn u íme jak díl skue né napjasi sku, keá je dpavd ve s n silns nné nádb, minus fikivní napjas fik, keá b vnikla ve s n silns nné nádb, pkud b a bla v elasickém savu p celu dbu a žvání m že ed nasa fik > :, b sku, fik, Skuečný mení sav silnsěnné válcvé nádb ubk pdle eie Sain-Vénanv: P nana ení výp u bkvýc nap í ve s n silns nné ubk pužijeme jedndušší pdmínku plasici pdle Sain-Vénana ve vau:, Pdle é pdmínk jsu p b adiální esp e né nap í ppsán funkcemi: ln p esp ln p ikivní elasický sav silnsěnné válcvé nádb ubk: Pže p me > p el, bude napjas p i m laku pue fikivní ve skue nsi nemžná Všecn va elasické ešení pužijeme a jen d nic dsadíme sav, keý nem že nasa: fik p fik a pi me, i me fik fik fik fik fik fik a fik fik fik Z c výa dsáváme va mei nap ími ve vau, dkud bude: fik fik fik fik p me a p me esp a fik fik P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

111 9 Nní baíme p b nap í a p ba uvažvané sav nuné p výp e bkvýc nap í skue ný mení sav a fikivní elasický sav skuečný sav mení sav sku fikivní sav elasický sav fik p me p me fik sku sku fik fik sku sku fik fik p me Nní dp íáme íseln všecn p ebné dn a ba sav akeslíme d jedn v šené báku Pm pvedeme gafický su e díl: 8, fik fik 64,9 N mm a 8, N Jednlivá nap í na kajíc nádb budu: sku sku 8,N mm a ln 8, 8,9 Nmm, fik fik 8,N mm a 64,9 8,9,7 Nmm, b 8, 8, Nmm a b 8,9,7 9,8 N mm sku 5 a ln 8, N mm, fik fik a 64,9 9,8 Nmm, N mm b a b 9,8 7, N mm Výsledné p b bkvýc nap í b a b ed budu mí va: 8, 64,9 9,8 7, sku fik sku b fik b 8, 8,9,7 9,8 5 Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

112 6 XPRINTÁLNÍ PRUŽNOST PVNOST T je kapila, keá dpl uje ákladní nalsi pužnsi a pevnsi ás epeimenální, pže ne všecn le sp ía Zde se budeme v nvána ejména dpvé enmeii a pickým medám sanvení nap í esp defmací lesa ás v nvaná dpvé enmeii je p eledem nejd leži jší, c je eba é blasi v d Pdbn se enmeii v nuje p edm peimenální analýa nap í, keý je su ásí výuk bu plikvaná mecanika ás v nvanu pickým medám epá e sašíc skip Pužns a pevns Labaní cvi ení a je dpln na mdení pnak nýc dj a pacvišť abývajícíc se pickými medami 6 ODPOROVÁ TNZOTRI Hisie enmeie: áme-li v i dpvé enmeii, je eba vái se dn d minulsi usíme si p i é p íležisi p ipmenu jednlivá výnamná daa, d ležiá i p adu jinýc v dníc b než jen pužns a pevns Su asné end jsu am en ejména na p es vání m ení a následn na blas vdncvací T však nenamená, že b bla dpvá enmeie uav enu epeimenální medu, spíše napak Sále se bjevují nvá ešení ejména v blasi pacvání m ené signálu a enmeická m ení se sala b žnými na ad pacvišť jak vlasně všecn ačal? Rk XV až XVII sl 66 a 87 P u Obáek Ná d Lenada da Vinci Tavý diagam knsuk ní celi Událs Jedním pvníc u enc, ke í se abývali ákami pevnsi, bl ialský enesan ní um lec, msliel a vnálece Lenad da VINI 45-59, keý adu svýc náv dpl val jednducými pevnsními knlami Opavdvý a áek pužnsi a pevnsi jak v dní disciplín je však spjen až se jménem ialské v dce Galile GLILI , keý p sbil v Padv jak pfes maemaik a bl pvním, kd se abýval áku pevnsi nsník a pvedl i celu adu pakickýc epeimen a žvání veknuýc nsník až d jejic pušení Další v dci již nedsavali v lasu c dvu Biský p ídv dec a fik Rbe HOO 65 7 jak pvní bjevil ávisls mei nap ím a defmací 66, keu ku 87 ppsal Tmas YOUNG a je náma jak Hk v ákn a je nejnám jší va je p jednsu napjas:, kde na í mdul pužnsi neb Yung v mdul pužnsi P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

113 jak šl dál? Rk Následné bdbí 84 a až Obáek Huggenbege v enme ~ Scéma Weasneva m sku m ící vinuí lepené na papí e canná kcí láka ilá s vvedenými vdi i 4 pmcná výua dsaní se Ruge enme mm Dákvý enme ikecna mm ólivý enme HB LY 6/ 4 Událs Va defmace - nap í je vužíván p vdncvání dn nam enýc mecanickými "enme" T pacují na pincipu pákvýc p evd v šujícíc defmace d sledvaelné veliksi Základní nevýd c sníma jsu: vledem k veliksi ákladn nele m i lkální dn, m ený bjek musí bý vledem k pvaeli v klidu, vledem ke p sbu de u le m i jen saické d je, k m enému pvcu musí bý elaivn dbý a vlný p ísup, není mžná aumaivaná egisace m enýc dn a jejic následné pacvání V plvin XIX sleí je bjevena elekická enegie a její vlasnsi Okamži dcáí ke snaám vuží vlasnsi k m ení nýc veli in, a ed i defmací P další vývj m l výnam ejména dva bjev, keé se p mna leec uplanil v enmeii Bi ales WHSTON ppsal pincip m skvé apjení dp a je aplikaci ve fice, Bi William THOSON 84 95, námý spíše jak Ld elvin, ppsal Tmsn v jev vedení pudu vdi em V US pacují dva v dci abývající se pblemaiku m ení mecanickýc veli in pmcí elekické pudu, ke í pakick ve sejné db dcáejí k pincipu funk ní dpvé enmeu: dwad SIONS v alifnii nalepil enký dá na pvc vále ku a sledval elekicku devu na aížení vále ku, u RUG v assacuses jak pvní pužil skue né dpvé enme, keé lepil na dna nádží elý vývj dvedl až d fáe pakické aplikace, a i na dnamické pblém V vp pbíal pkus na bái Tmsnva efeku ejména v N mecku lekecnická sple ns G de pvád la pkus s m ením pmcí ulíkvýc pásk, ale a meda se nesv d ila Lee í knsuké i velice b a ali vužíva dpvé enme p i kuškác nvýc knsukcí, a ak a íná séivá výba enme V ce 94 je b em dvu m síc v US vbena séie 5 kus enme v pdb, keá p ežila adu následujícíc le s minimem úpav až d su asnsi U nás d íve dákvé enme váb l pdnik ikecna Paa N mecký inžený Paul ISLR ppvé p edvedl ecnlgii iš nýc spj Ta ecnlgie se kamži uplanila i v dpvé enmeii, kd již nebl eba na nsné médium lepi meand vv ený dáku, ale bl mžn p ím na nsné médium nej as ji fólie plasu nanés "vinuí" pžadvané vau pdle p eb u ení enmeu Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

114 jak je v sučasnsi? Rk 954 Následné bdbí bí až XXI sleí Obáek, mm 6 mm Plvdi vý enme VZLÚ SP-7-6- mm, mm Sníma vý enme HB Y 6/ Událs mei an S SITH ppsal pieelekický efek plvdi Ten efek bl následn vuži k m ení malýc defmací Nejpve bl enké pásk gemania a pd ji k emíku T enme jsu pužíván ddnes a jejic p ednsí je velká cilivs a ed pužielns p i m ení velmi malýc defmací Nevýdu je všší cena a kvaliaivn všší nák na m ící apaauu, ejména na její p esns Sále nvé ecnlgie nacáejí uplan ní v m ícíc medác Sem pa í nap ecnlgie napa vání, kd je m ící vsva p ím nanesena na m ený pvc su ási Jedná se však spíše jedin le pužívaný p sb m ení ima HB ase uvedla na v devadesáýc leec enme íd, keé jsu u en p výbu p esnýc m ícíc pvk Dnes již eisuje celá pvá ada enme é íd Psup insalace c enme je sdný s b žným fólivým enmeem Další vývj se am uje ejména na p esn ní m ící apaau a na následné pacvání da Pincip dpvé enmeu: Slv enme sice vcáí lainské slva ensó, cž v p ekladu namená nap í, ale jak á jisíe nap í de ve skue nsi nep jde N keá cija ná vjád ení éž a íení jsu pdsan šťasn jší a výsižn jší, ale n keá jsu sejn avád jící jak v ešin : d? P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/ Jak? ngli an Sain gauge sníma defmace c dslva namená? N mec de Denungmeßseif DS pásek m ící pdlužení Slvák enmee m i nap í ancu le ensimèe m i nap í Rus тензометер [jenmé ] m i nap í Základní pincip enmeu je psaven na nalsec p ák pužnsi a pevnsi a na nalsec p ák klasické elekecnik Simen Denis POISSON žil v leec 78 až 84 u m skvé apjení ales WHSTON žil v leec a Ld LVIN, keý ppsal Tmsn v jev, žil v leec Nicmén ke vájemnému ppjení c pnak dšl až mn le pd ji mei ané dwad SIONS v alifnii a u RUG v assacuses v leec 9 a 99 neávisle na sb vužili m n dpu vdi e v d sledku je defmace k pakickým m ením až epve v ce 94 bla ppvé aájena velkséivá výba a bek je vlasn už su asns a becn le ed pincip dpvé enmeu dvdi na áklad maemaik, elekecnik a pužnsi

115 jak funguje? lekecnika ecnika Odp vdi e: l R ρ, kde: ρ je m ný dp [Ωm] l je délka vdi e [m] je plca p eu [m ] Také ale plaí: ρ ρt, kde T je epla Pak ed: ρ T aemaika Pissn v ákn: Pužns a pevns př, pd kde: pd je pdélná defmace [], př je p í ná defmace [], je Pissnv ísl [] Pak ed: l l a a a b pd př př a a a esp b b pd pd Djde-li k aížení vdi e v pdélném sm u, djde v m sm u k je pdlužení a v p í ném sm u k je kácení Tím se sam ejm m ní je výsledný dp Tu m nu m žeme apsa ve vau: l l l l dl l d dr d ρ dρ ρ d dρ ρ P edpkládáme-li neávisls ρ na aížení a nedjde-li b em uvažvané d je ke m n epl T, budeme ed mci uvažva dρ a pak ed: dr dl l d l l ρ ρ esp v difeencíc R P ab plaí ab a b a b a p i anedbání difeencí vššíc ád dsáváme: ab a b Pužns a pevns elekecnika maemaika Zm na p eu bude p i vužií Pissnva ákna ed vna: a b a b pd pd pd Nní vše dsadíme d vnice p m nu dpu: pd l l pd l R ρ ρ Zavedeme-li nní pm nu m nu dpu jak pm m n dpu R ku p vdní dn R dsáváme: l ρ pd R pd R l ρ pd Odpvá enmeie R k pd R Veli ina k se naývá k-fak enmeu Za p edpkladu plasické cvání maeiálu, e keé je vben vinuí enmeu, le p edpkláda dnu Pissnva ísle,5 Pak ale P esnu veliks k-faku udává každý výbce individuáln nej as ji p jednlivé balení Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

116 4 Insalace enmeu: V pvní ad je eba uvés na pavu míu fmulaci nalepení enmeu Lepí se námk na dpis, ale enme si insalují, cž je šiší pjem a lepení je jen jednu je ásí Tenme je eba ppji s apaauu a náleži abepe i pi všem mžným násaám ps edí Insalace ed namená sled u iýc d j, keé b m l bý pvád n v daném p adí a s nejvšší mžnu pe livsí Již d pvníc kk insalace se iž duje p esnsi následující m ení Není p vdné u fái usp ca na úk pe livsi, nebť asvý isk v m kamžiku je jen dánlivý a mnnásbn se nám vmsí p i vlasním m ení a následném pacvání nam enýc dn jak ed na enme? P Í P R V I kce P ípava m ené bjeku Pvní m ení su ási Hubá p ípava pvcu Obáek Ppis V é fái se snažíme p ibližné m ené mís bavi nejšíc ne is, keými m že bý v p ípad m ení v eénu nap i lína Je p eba s mslem umísi m ený bjek ak, ab b bl mžný dbý p ísup ke všem plánvaným m eným mís m usíme aké vés v pansi, da nebude eba bjek p ed vlasním m ením vái d p vdní pl neb dknce anspva na jiné mís, kde pb ne vlasní m ení Je-li m ený bjek nebný, je eba si v klí m enýc mís vv i dsae ný ps p snadný p ísup k m mís m nap dsan ním ilace, dpjení p ípjnýc a íení pkud siuace dvluje, Pé pvedeme pvní m ení, kd si na íme mísa, kam cceme insalva enme Také musíme knlva, jesli a mísa neklidují s jinými pvk nap pškení pvcu v d sledku manipulace, Zejména p i m ení v pvníc pdmínkác m že bý pvc výan kdvaný neb nap pa en silnu vsvu canné ná u V akvýc p ípadec musíme nejpve naub dsani e neb bavu Pužíváme k mu u ní busk s ku i né ubsi, celvé kaá e a ná puš dla neb edidla I p bušení busku pvc isíme se eme acenem neb jiným edidlem P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

117 P Í P R V I I kce P ípava p ebné vbavení O iš ní p ebné ná adí Jemná p ípava pvcu Oýsvání m enýc mís Obáek Ppis 5 Nejpve si p ipavíme všecn p ebné pm ck d blíksi m ené mísa, abcm již nemuseli be n p eušva insalaci ed budeme p ebva: jemný smikvý papí, dmašťvací k, ampn, enmeické lepidl, enme, fólii k akí enmeu p i vvvání n žk, pineu, ýsvací jelu, ilepu, m ík neb pavík Od kamžiku je eba b em celé insalace dbá na isu, keá výan vliv uje kvaliu p ipavvané m ení Je vdné jednak p ed vlasní insalací a v p ípad dluvající insalace i v jejím p b u isi veškeé násje, keé pužíváme Sejn ak bcm m li isi i mís, kam budeme násje pkláda D ležiá je i isa uku, a p je vdné i je isi p ed a ákem insalace a neb i následn b em ní V é fái je eba vladi naub iš ný pvc, bavi všec sýc an a blýc mecanickýc a kníc ne is mu ú elu je vdné puží jemný smikvý papí p ípadn jemné busné ku k Snažíme se p i m busi pue iš nu blas, abcm si klní ne iš né pvcu nenanesli p ne is Je vdné i p i jemném bušení isi bušený pvc mei jednlivými bušeními pmcí dmašťvací ku Je-li eba ýsva v iš ný ps, je eba pvád ýsvací jelu, ale jen ak, abcm na bušeném pvcu nevv ili nvé sé an T ýsvání b již m l dpvída p esn plánvaným mís m p insalaci enme, pže pdle c na ek budeme ienva vlasní enme p i jejic lepení d vlenýc mís Rm ak ýsvané pvcu bcm si m li apsa d dkumenace, esp d pklu m ení Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

118 6 P Í P R V I I L P N Í I kce ne né dmaš ní a iš ní pvcu P ens a kne ná lkaliace enmeu Nanesení enké vsv lepidla Vlasní lepení Obáek Ppis Zde již pužíváme isicí k, keé dpu uje výbce enme N keé fim ddávají univeální isicí k, jiné kmbinují nap dva k Pvc isíme ampón vžd jen v jednm sm u a p nvé nanesení ku pužijeme vžd nvý ampón Pužií va neb bdbnýc ps edk není vdné, nebť anecávají na pvcu dbné clupk neb ási vláken, keé p sbí špané p ilepení enmeu P i é peaci se snažíme usavi enme d spávné mísa a fiva je ienaci p následné lepení a p i m minimaliva mžns je pškení neb knaku s uku Pužíváme k mu ilepu, na keu p ilžíme enme ním pvcem a manipulujeme pue s u ilepu P fiaci vlené pl ilepu na jedné san pevn p iiskneme a duu necáme vlnu p manipulaci p i nanášení lepidla a p i vlasním lepení Vlný knec ilep nadvedneme ak, ab bl p ísup ke spdní san enmeu a lavn k m enému pvcu Na pvc pak naneseme malé mnžsví lepidla, keé áneme d enké vsv pd celým enmeem Je eba, ab vsva bla c mžná nejen í, ale áve v celé plše P ípadná vlná mísa iž vplní vducvé bublin, keé nedncují nalepení ale i celé m ení alé mnžsví lepidla, keé ve e mim kaj enmeu, není na ávadu Plnule p iklápíme enme pmcí nalepené ilep k pvc a p i m psem nejlépe palcem p ila ujeme p es kcí fólii enme k m enému pvcu a áve vma káváme p ebe né lepidl Tlak psu vvujeme pkud mžn klm k p-vcu, abcm nep sbili b ní psuv enmeu p edem vlené mísa Tlak pvádíme nejlépe p es slabu plasvu fólii d íve se užíval enký cigaevý papí, abcm se sami "nep ilepili" P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

119 L P N Í I I D O O N O V Á N Í I kce Vvení lepidla Odsan ní ilep P ipjení vdi nla enmeu Obáek Ppis 7 aždé lepidl vžaduje u iu dbu ke svému vvení, keu udává výbce v návdu Ta dba je ávislá na duu pužié lepidla a ejména na epl Lepidla p b žné ú el se vvují p i b žnýc eplác p dbu uba minu P i nižšíc eplác pak dba vvvání se Lepidla p speciální ú el vžadují delší dbu vvvání p i vššíc eplác Zde pak pužíváme né pm ck k fiaci p celu dbu vvvání Nní b m l bý enme již pevn fiván k m enému pvcu a pmcná ilepa již není eba U enme be vývd b bánila p ísupu ke svkvnicím a u všec enme kmplikuje jejic akí lak a kcími ps edk Odsa ujeme ji álým pmalým pbem, abcm ím nepškdili enme, ejména pkud má již p ívdní dák Je pvní es kvali nalepení, pže sane-li enme na ilep, bl nalepen špan! U enme be p ívdníc vdi se kabel leují p ím na svkvnice, keé jsu su ásí enmeu T vdi e je pak vdné v blíksi enmeu fiva k pvcu su ási, ab je nebl mžn snadn dnu e svkvnice U enme s vývd je vdné nalepi d blíksi enmeu pmcnu svkvnici, k níž dsánu vývd, a epve k ní p ipji p ívdní vdi e k apaau e Vývd enmeu ke svkvnicí je vdné dilva P i manipulaci s enmeem m že djí v p b u insalace k pušení vinuí neb ke vniku sudené spje p i levání P je vdné enme i je p ívdní vdi e p eknlva mmeem Výbcem je udáván nminální dp enmeu neb 5Ω, keý nesmí insalace výan vlivni T není knla spávné insalace enmeu, ale jen knla elekické funk nsi nalepené enmeu Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

120 8 D O O N O V Á N Í I I kce P ipjení enmeu k apaau e Zakí enmeu Obáek Ppis Nní již m žeme nalepený a dkušený funk ní enme p ipji k enmeické apaau e P spávný p sb p ipjení je eba ná pkn výbce ddávané k pužié apaau e V dnešní db je b žné vícedávé p ipjení každé m icí mísa Dík é ecnlgii si m icí apaaua sama sepauje dp p ívdníc vdi, keé mu ak bý dn dlué, d dpu vlasní enmeu a ím výan p esní m ení Ta peace má n klik d vd : cání enme pi mecan pškení, cání p ed vlivem vdušné vlksi, p sbí jak áse ná epelná cana akí se pužívají né vsk a mel neb clescnucí pužné lak a neb p ípavk na bái siliknvé gum Tak cán ný enme je mžn ješ dále aký p lepší eplní a mecanicku canu plasvu neb kvvu fólií, keu ddávají ní výbci Pnámk: V p ípad jakékliv pcbnsi kvali nainsalvané enmeu je vdné ined v é fái enme dsani a na je mís nainsalva nvý enme Ten psup vžaduje sice další páci s insalací, ale a vnalžená páce se ba váí p i pacvávání "splelivýc" výsledk ískanýc kvalin nainsalvanýc enme P i dsa vání a einsalaci enmeu je eba dbá výšené pnsi, abcm nepškdili klní enme, ale napak pvc m ené su ási je eba p ipavi sejn pe liv neb ješ pe liv ji než p i pvní insalaci a je eba vvava se cb, keé nednili pvní insalaci Visa -XX-75UW- HB -XY4-6/ HB -LY-6/ vše v šen cca 5 P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

121 Zpacvání naměřenýc dn: 9 Jesliže se nám pda il enmeick nam i pžadvaná daa, nasává áka, c s nimi dál isují sam ejm p ípad, kd p ím nam ené defmace jsu výsledkem a pak již není eba je dál pacváva, ale sa í je jen vdn peenva, cž bude ppsán v následujícíc kapilác as jší jsu však p ípad, kd enmeick nam ené defmace jsu pue ps edkem k ískání dalšíc infmací cvání su ási Nej as jším p ípadem je ppis ple napjasi v m enýc mísec V c p ípadec musíme jisi, da vše vaný sav bude ješ v elasické - lineání blasi neb již bude v plasické - nelineání blasi V pvním p ípad eisuje pm n jednducý násj p evdu nam enýc defmací na nap í - Hk v ákn, a ať v jednducé pdb vdné p jednsu napjas ak v ší eném vau vdném p vícesu napjas Ve duém p ípad již ak jednna ný psup neeisuje a p vdncení nam enýc defmací v plasické blasi je eba p ijmu n keu becn jšíc eií, keé jsu však na n slžié a v ámci c skip se jim nebudeme v nva jak vdni signál? Napjas Jednsá náme sm Dvjsá námé sm íž - 9 Obáek Pnámka: Pkud bcm nenali sm nap í, museli bcm psupva jak p i becné dvjsé napjasi Výp vé va Hk v ákn: nam ená defmace mdul pužnsi v au Pnámka: Budu-li nam ené defmace v [i] je výdné mdul pužnsi p evés na epnenciální va s epnenem 6 Ve výp u se ak mcnin káí a en bude nap p cel: [Pa], [i] Rší ený Hk v ákn nam def ve sm u nam def ve sm u mdul pužnsi v au Pissnv ísl Pnámka: Plaí éž c v p ípad jednsé napjasi, pže [] výp e m v nijak nevlivní Ppis Nejjedndušší p ípad napjasi, keý vniká nap p i isém au neb laku neb p i bu a p i jejic vdné kmbinaci V c p ípadec vsa íme s insalací jednducýc enme Výsledný signál je p ím pužielný p další pacvání a výp nap í Napjas, keá vniká nap ve s n enks nnýc ale i silns nnýc nádb v dsae né vdálensi d den a del V c p ípadec je eba insalva dva enme neb enmeický k íž se dv ma klmými vinuími Výsledné signál dsaujeme p ím d ší ené Hkva ákna Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

122 Napjas Dvjsá nenámé sm R žice R žice -6-9 Obáek 45 Výp vé va Výp e lavníc defmací s 9 9 γ 45 9 γ s a s nam def ve sm u 45 nam def ve sm u 45 9 nam def ve sm u 9 s s ed v kužnice plm v kužnice T žice nejsu ak b žné jak p edcí, a p uvedeme jen ákladní va:, s ±, kde 6 6, 6 a jsu nam ené pm né defmace ve sm ec, 6 a Ppis Obecný p ípad napjasi, keá vniká ve slži jšíc knsukcíc V c p ípadec je eba insalva i samsané enme neb enmeicku žici se emi vinuími p 45 neb p 6 Výsledné signál dsaujeme nejpve d ansfma níc va a epve pé vp ené lavní defmace d ší ené Hkva ákna s a 6 Gafick le výp lavníc defmací a enmeické žice 45 9 vjád i pmcí v kužnice v su adnicíc -γ/: γ/ S P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

123 Nní, kdž náme veliksi lavníc defmací, je eba ješ sanvi jejic ienaci pdle vau: gϕ 45 9, keý sanví veliks úlu mei p vdními sm esp 9 a sm lavní defmace Oienace úlu ϕ je dána veliksmi vsupníc dn defmací, 9 a 45 Oienace úlu ϕ se u uje v ávislsi na veliksi iaele a jmenvaele ákladní vau: jak se áčí lavní vina? g ϕ < 9 I T T L > J N O V T L 9 > 9 9 < ϕ 45 ϕ 45 ϕ Všecn nam ené defmace, 45 a 9 jsu sejné, a ed keýkliv sm je lavní Úel ϕ ak m že nabýva jakékliv dn ϕ 9 45 ϕ ϕ V p ípad vdncení becné vinné napjasi vžd musíme puží ší ený Hk v ákn a p edpklad, že sm lavníc defmací a sm lavníc nap í jsu žné vi PP I: vp ená pvní lavní defmace sm, vp ená duá lavní defmace sm, a mdul pužnsi v au a Pissnv ísl a Pnámka: Plaí éž c v p ípad jednsé napjasi, pže [] výp e m v nijak nevlivní Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

124 Rmě enmeu a přesns měření Nevýdu p i m ení je eálný m vinuí enmeu, keé ím pádem m í inegální dnu defmace p celé své délce T m že vlivni ejména m ení, kde vnikají velké gadien nap í esp defmací v m eném lese ak, jak je nana en p enme se ákladnu a 6 mm [] cba R díl výsledků [] měř cba měř 6 l [mm] l [mm] mm 6 mm P PŘÍLD ODPOROVÁ TNZOTRI VYHODNONÍ NĚŘNÝH DT: Dán: Při měření enmeicku ůžicí RY 45 9 bl v daném mísě kumané sučási naměřen defmace: 694 i, 45 8 i a 9 5 i Ta sučás je vbena celi, 5 Nmm,, a 4 Nmm 45 Uči: Napjas napěí, a ed, keá v daném mísě půsbí včeně směů a celkvu bepečns k vůči mei kluu pdle eie maimální smkvé napěí X Řešení: Nam ené defmace je vkem m i v mikjednkác i m/m 6 a d va p výp e nap í musíme ale dsava skue né dn p p ep u: , ± 8 6 ϕ an ϕ,988 ϕ iael > jmenvael > 9 44,,,,, 5 [ 866, 44 ],, 5 6 7,5 N mm 6 [ 44, 866] 7,9 N mm 4 k 8,4 X ed ma min 7,5 7,9 8,4 N mm X, 5 P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

125 6 OPTIÉ TODY OTOLSTIITRI Opický efek, na keém je a meda alžena, je nám již d p áku XIX sleí P i pkusec s plaivaným sv lem se jisil, že p i p cdu sv la sklem, keé bl aížen - udíž d n bla vnesena mecanická nap í - vnikl nbaevné bace V dci nejpve vužívali en efek ke sanvení ani níc nap í vinnýc mdel, ale následn vnikla medika vše vání napjasi vinné a psupem asu i psvé úl P i felasicimeii m žeme i psým kem pm n eeln pva d je, ke keým dcáí ve kumaném bjeku sa í k mu jednducý pický fil a m žeme se pdíva, c bl ve šklním júelníku jak d sledek je výb Pincip felasicimeie: Pincipem felasicimeie je v d asný dvjlm, ke keému dcáí u pick anipníc maeiál v d sledku napjasi P i dvjlmu se každý sv elný papsek lží na dva, keé se liší clsí i ienací Ta ienace dpvídá ienaci lavníc sm ešené napjasi Pže p edpkládáme ejména vinné mdel a ed vinnu napjas, jedná se dva navájem klmé sm vledem k pické se m ení Rlišujeme dva du felasicimeie: P ímá veškeé su ási m icí e ce leží v jedné p ímé pické se 4 5 dj sv la, plaiá, mdel v a žvacím ámu, 4 deplaiá analá, 5 sníma pvael Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

126 4 Reflení vužívá se dau papsku d m ené pvcu a su ási e ce neleží v p ímce 9 m ená su ás, 8 eflení vsva sa í leš ný pvc neb nás ik, vsva felasick cilivé maeiálu, 7 4 dpadající plaivaný papsek, 6 5 plaiá, 5 6 dj sv la, 4 7 dažený papsek již p dvjlmu v pické vsv, 8 - deplaiá analá, 9 sníma pvael P ísj, keým se pvádí felasicimeické m ení, se naývá POLRISOP Plaiskp p přímu felasicimeii Hlavní ási jsu: a Zdj sv la m že bý dj mncmaické sv la neb b ejné bílé sv la djem mncmaické jednfekven ní sv la m že bý nap sdíkvá lampa b Plaiá pický fil, keý usm ní sv elné papsk Pkud usm uje papsk pue d jedné vin naývá se a plaiace p ímkvá Pkud slžíme dv klmé p ímkv plaivané vln se sejnu fekvencí i ampliudu, keé se liší pue fávým psuvem π/, pak v íme kuvé plaiaci c del a a žvací ám samný kušební mdel je vben e speciální p ledné felasicimeické maeiálu a a žvací ám má a úkl vv i na mdelu pžadvané aížení a dsánu v mdelu pžadvané napjasi d Deplaiá analá duý pický fil, keý p usm ní sv elné papsk Je vlasnsi jsu sdné s vlasnsmi plaiáu e Sníma nejjedndušším sníma em bl v minulsi ejména lidské k, pd ji naadil bjekiv fapaáu a dnes m že bý jakýkliv digiální sníma bau, keý ajisí je ulžení a snadný p ens k dalšímu pacvání Plaiskp p eflení felasicimeii Hlavní ási jsu: a Zdj sv la sdný s p ímým plaiskpem b Plaiá sdný s p ímým plaiskpem c Skue ná su ás, keá má upavený pvc ak, ab c nejlépe dážel sv elné papsk leš ní, nás ik, Na ak upavený pvc je nalepena vavaná vsva pick cilivé maeiálu, keý se defmuje splu s pvcem skue né su ási v d sledku její aížení Vlasní papsek ak pcáí picku vsvu dvaká: p i dpadu i p i dau d Deplaiá analá sdný s p ímým plaiskpem e Sníma sdný s p ímým plaiskpem P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

127 Přípava měření: 5 Nejd leži jším kkem p ípav m ení je výba vdné mdelu, keý je ven e speciální p ledné dsae n pick cilivé maeiálu Ten maeiál musí mí vdné mecanické vlasnsi, keé jsu úm né je pickým vlasnsem P i výb mdelu pacvání, ýbání, nesmíme d mdelu vnés vni ní nap í, keá b celé m ení keslila P i eflení felasicimeii musíme vbi plák pick cilivé maeiálu, keé v n kpíují pvc m ené su ási, a pak je spleliv p ilepi na p edem p ipavený daivý pvc Vlasní měření: Vbený mdel umísíme d pacvní psu mei plaiá a deplaiá d a žvací ámu Nejpve knlujeme sav be aížení, nejsu-li d mdelu vnesena bkvá nap í v d sledku výb Pé pmcí a žvací ámu ajisíme aížení mdelu dpvídající pžadvaným pdmínkám Na sníma i pak anamenáváme sav sv elnýc papsk p p cdu celu picku su: dj sv la plaiá aížený mdel deplaiá analá Zpacvání naměřenýc da: Vlivem aížení vniká v mdelu napjas, keá p sbí defmaci jednlivýc ásí suku maeiálu mdelu V jejic d sledku dcáí v mdelu k dvjlmu, kd se papsek lží d dvu klmýc sm dpvídajícím lavním nap ím a su asn nasane mei nimi fávý psun v d sledku clejší ší ení jedn papsk mdelem Veliks fávé psuvu je úm ná dílu lavníc nap í v ešeném mís Na ánamec m ení m žeme sesji dva du a: Iklín: T jsu k ivk spjující bd se sejným sklnem lavníc nap í Icm: T jsu k ivk spjující bd se sejným dílem lavníc nap í Nejjedndušeji le výsledk vjád i va: I I sin α sin π n, n c, kde: I je inenia sv la vcáející e dje, I je inenia sv la p icáející na sníma, α je úel mei lavním nap ím a sami plaiáu a deplaiáu, n je ád icmaické á,,,, c je pická cilivs maeiálu mdelu, je lušťka mdelu ve sm u pické s Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

128 6 Pnámka: Sále nesmíme apmína, že ba p sb m ení ppisují vinnu napjas, kde Pkud bude ma > a min <, dpvídá vp ený díl p ím eii X Pblémem m ení nasává ed, budu-li b nap í kladná > >, pže lediska pevnsi pdle eie X je dující díl neb budu-li b nap í ápná < <, kd je lediska pevnsi pdle eie X je dující díl X Příklad měření pmcí felasicimeie: elasicimeie m že bý pjaa i jak jisý du um ní f HGB llesma a Jan Paák Výsledk m ení kncenace v klí kuvé vu, plaiskp a p íklad mdelu ka áv su P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

129 eda maženýc defmací: 7 Pužívané pick cilivé maeiál na bái ganickýc plasickýc m mají lediska pužií ješ jednu ajímavu vlasns Tu je pm n velký díl mei dlní a ní p ecdvu eplu T namená, že p i maení vku v n m sanu ucván veškeé defmace a k jejic p nému uvln ní b dšl až p i dsažení elaivn všší epl Pincip med: Vbíme pick anipní cilivé maeiálu liím, pacváním, lepením, psvý mdel, keý dpvídá skue né su ási Vlasní mdel m že bý kmbinací maeiál, kdž felasicimeické maeiálu vbíme jen ási, keé jsu p epeimen d ležié V m p ípad je eba ale ajisi spávné usp ádání celé mdelu vledem k mžným dílným su iniel m eplní ažnsi maeiál jednlivýc ásí Ten mdel aížíme ak, ab dpvídal aížení skue né su ási a umísíme d maicí a íení P dsae ném pmnuí celé mdelu m žeme již vnda, dle i a dál ucváva jen p i pkjvé epl, pže eisující defmace jsu v mdelu již afiván Pé m žeme celý mdel neb je ási eba neb ea na enké plák, keé le vlži d plaiskpu a psvíi sv lem a anamena ple defmací Jen je eba p i eání dbá výšené pansi, ab nedšl k nadm nému áí ené plc a ím k dsažení ní p ecdvé epl, cž b m l a následek uvln ní maenýc defmací a nedncení celé epeimenu nac 998 icael Tune 998 wwwmspclleccm Jan ení ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik

130 8 TOD OIRÉ Ta meda je alžená mié efeku, keý pa í mei ákladní pické efek pcáející sv la V ad lidskýc innsí má en efek negaivní vliv na výsledné snažení Jedná se ejména blasi, kde se pacuje s asvým pacváním bau jak je digiální fgafie, eleviní vsílání a vide, P mni, ale aké iskán neb scanne Pakick namená, že pliik v TV sudiu v jemn kskvaném saku vvá í na sb i p i sebemenším pbu né psdivné bace, pže pincip snímání bau je p ádcíc buď 576 neb 7 neb dknce 8 Pnámka: Tu medu náe pakick všicni, i kdž se nedíváe na pliik v TV neb se neabýváe digiální fgafií Sa í, pkud máe dma ácln vbené enkýc vláken P i jejic p ekývání vnikají pbem né fuuisické bace, keé ješ umc uje p ím dpadající slune ní sv l Pincip med mié: eda mié p edsavuje jakési pické esílení m ené defmace Pincipem med je eisence dvu m ížek pevné pvací a pblivé spjené s m eným bjekem P i p cdu sv la splu dv m ížk inefeují a i nepaný pb jedné m ížek p edsavuje výnamné kem ps enuelné m n ve sv elnýc pm ec na pvací m ížce p áe ní sav psun, mm psun, mm psun, mm p áe ní sav p ení p ení p ení Pnámka: ié efek se pjeví i p i baení a ejména isku é sánk, pže m ížk inefeují s asem mniu esp s asem pužié iskán P es v ím, že výsledek efeku je alesp cu paný P ednášk Pužnsi a pevnsi II ZS akademické ku 9/

131 9 Velice -as se k vb' m ížk na kušebním 'lese vužívá pmínuí pevné m ížk na pvc kušené 'lesa neb i pmínuí dvu navájem psunuýc neb p-enýc m ížek, keé pak v nýc výškác D bjeku splu n' inefeují Příklad měření baení pmcí med mié: eda mié aplikvaná na D bjek Pagas iseles cimédes Jan ení-ek db pužnsi a pevnsi Úsav mecanik, bimecanik a mecanik