Řešení testu 2b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY ledna 2016

Transkript

1 Řešení testu b Fika I (Mecanika a molekulová fika NOFY. ledna 6 Příklad Zadání: Po kouli o poloměu se be pokluovaní valí malá koule o poloměu. Jaká bude úlová clost otáčení malé koule v okamžiku kd se odtne od velké koule? V jaké loubce (měřeno od polo vnačené přeušovanou čaou to nastane? Moment setvačnosti omogenní koule o motnosti m a poloměu je 5 m. α a n α g a t Řešení: Vjděme e ákona acování enegie: E = mv + Iω + mg = mg( + v = g( +, 7 kde jsme vužili nalosti momentu setvačnosti omogenní koule a vtau mei velikostí closti v motnéo středu a úlové closti ω při čistém valení (v = ω. Nomálové clení motnéo středu je ovno nomálové složce tíovéo clení: a n = g cos α = g +. K odtžení malé koule od velké dojde kdž se nomálvé clení a n bude ovnat dostředivému clení odpovídajícímu pobu po kužnici o poloměu + a n = v +.

2 Kdž spojíme obě ovnice po a n dostaneme, že k odtžení malé koule dojde po Nní dosadíme vjádření closti v a této ovnice vpočítáme Výška, v kteé se malá koule odtne, je = = v g. g( + 7 g = ( +. 7 = = 7 ( +. 7 Dosadíme pět do vjádření closti a po úlovou clost v momentě odtžení dostaneme: Příklad v = ω = 7 g ( + g ω =. 7 Zadání: Vpočítejte polou motnéo středu omogennío otačnío kužele o poloměu podstav a výšce. (a (b x Řešení: Po souřadnice motnéo středu tělesa platí vta: x T,i = M ϱ x i dv V x T,i = 3 π ϱ x i dv, V

3 kde ustotu ϱ jsme vjádřili jako podíl motnosti kuželu a jeo objemu. Z otační smetie kuželu plne, že motný střed musí ležet na jeo ose, neboli: x T = T =, bývá ted vpočítat -ovou souřadnici motnéo středu T. Zaveďme si souřadnicové os podle obáku (počátek ve vcolu kužele a po další výpočet použijme válcovýc souřadnic, φ,. Element objemu dv ve válcovýc souřadnicíc má následující tva: dv = dxdd = ddφd. Nní je ještě potřeba učit mee integování. Upooněme, že jednoducá volba meí (,, (, a φ (, π b nevedla k integaci přes objem kuželu, nýbž přes objem válce! Platí totiž, že oní me integování po ávisí na souřadnici a naopak dolní me po ávisí na souřadnici, jak je ostatně nanačeno na obáku jako vaiant (a a (b. Mee po a jsou sváán vtaem: =. Po souřadnici φ nadále platí φ (, π. Ve vaiantě (a integujeme nejpve přes souřadnici a poté přes souřadnici (vodoovné ře. Ted (, a (,. 3 π π 3 π π 3 3 d 3 3 [ ] dddφ Ve vaiantě (b integujeme nejpve přes souřadnici a poté přes souřadnici (svislé ře. Ted (, a (,. 3 3 π 3 π [ 3 π π ( 3 ] d d dddφ d Výsledná poloa motnéo středu T je ovna jeo vdálenosti od vcolu kuželu. Z-ová souřadnice motnéo středu T vjádřená v souladu se adáním jako jeo vdálenost od podstav kuželu je:. 3

4 Příklad 3 Zadání: Kvád o původníc oměec a, b, c defomujeme jednoosým taovým napětím σ podle obáku. Jaká musí být odnota Poissonov konstant ab měna ustot kvádu bla nulová? σ xx c a b σ xx x Řešení: Hookův ákon po iotopní mateiál má tva: ε ij = E [( + νσ ij ν(σ +σ +σ 33 δ ij ], kde smbol δ ij se naývá Koneckeovo delta a epeentuje pvk jednotkové matice. Jedinou nenulovou složku tenou napětí σ onačme jako σ. Teno defomace má 3 nenulové složk ε, ε a ε 33 : ε = σ E ε = νσ E = νε ε 33 = νσ E = νε. Diagonální složk tenou defomace vjadřují elativní podloužení v x-ovém esp. -ovém esp. -ovém směu: ε = a a a ε = b b b ε 33 = c c c, kde a, b, c jsou původní omě kvádu, atímco a, b c jsou omě kvádu po defomaci. Spojením ovnic výše dostáváme po nové omě kvádu: a = ( + ε a b = ( νε b c = ( νε c. Změnu objemu kvádu V vjádříme jako odíl novéo objemu V = abc a objemu původnío

5 V = a b c. Po nulovou měnu objemu dostáváme podmínku: = V = V V = abc a b c = a b c [ ( + ε ( νε ] = ε ( ν + ε (ν ν + ν ε 3 ε ( ν = ν ν =. Ve třetím koku jsme vužili nalosti, že Hookův ákon platí poue po malé defomace. Poto platí ε << a kvadatické a všší člen v poměnné ε můžeme ted anedbat. Příklad Zadání: Tlak nascenýc vodníc pa při pokojové teplotě je. kpa. Jaká musí být clost poudění vod v v potubí ab se v úženém místě A voda vařila? Polomě potubí v úženém místě je = / a na obou okajíc je atmosféický tlak.3 kpa. p a p p a v v Řešení: Poudění ideální tekutin je popsáno ovnicí kontinuit a Benoullio ovnicí: S v = S v ϱv + p a = ϱv + p, kde p a je atmosféický tlak. Z pvní ovnice si vjádříme clost v pomocí closti v : v = v S S = v a dosadíme do Benoullio ovnice: ( ϱv = p a p v = ( (p a p ϱ. Voda se ačne vařit kdž tlak p v úženém místě poklesne na odnotu tlaku nascenýc pa, tj. p =. kpa. Po dosaení dostáváme, že clost v musí být ovna 3.6 m s. 5