Kvantitativn ı ˇr ızen ı rizik

Transkript

1 Kvantitativní řízení rizik

2 Core syllabus for actuarial training in Europe - požadavky na vzdělání plných členů asociací sdružených v Actuarial Association of Europe (dříve GC) 12. Quantitative Risk Management and Solvency Aim: To provide a grounding in the quantitative aspects of risk management (a) Risk classification (b) Measuring risk (c) Diversification (d) Dynamic financial analysis and internal models (e) Capital requirements

3 Core syllabus for actuarial training in Europe 13. Actuarial Enterprise Risk Management Aim: To provide the technical skills to apply the principles and methodologies studied under actuarial technical subjects for the identification, quantification and management of risks. výuka ve spolupráci s Českou společností aktuárů

4 Core syllabus for actuarial training in Europe Topics: The general operating environment of the enterprise Assessment of risks; risk types and risk measures Design and pricing of products and/or services Determination of assumptions and scenario setting Reserving and valuation of liabilities Risk mitigation Asset Liability Management Monitoring the experience and exposure to risk Solvency and profitability of the enterprise and the management of capital

5 Kvantitativní řízení rizik - matematické (zejména pravděpodobnostní a statistické) nástroje pro měření (kvantifikaci) rizik a jejich užití v řízení rizik (zajištění solventnosti, profitability) - zahrnuje techniky z různých discipĺın (finanční matematika, ekonometrie, statistika, teorie rizika, pojistná matematika...) A.J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Technics and Tools, 2005

6 Kvantitativní řízení rizik - míry rizika, agregace rizik, alokace kapitálu - teorie extrémů (modelování neočekávaných, abnormálních jevů, rozdělení s těžkými chvosty) - mnohorozměrné modely (celkové riziko závisí na vektorech rizikových faktorů) - modelování závislostí (kopuly, koncová závislost - závislost mezi extrémními hodnotami)

7 Klasifikace rizik Hlavní typy rizik ve finančních institucích: - tržní riziko (akciové, úrokové, měnové, komoditní): riziko změny tržních cen a jejího dopadu na zisk (resp. vlastní kapitál) - kreditní riziko (riziko selhání protistrany): riziko vyplývající z neschopnosti nebo neochoty protistrany splatit své závazky - operační riziko: riziko ztráty v důsledku nedostatečnosti nebo selhání vnitřních procesů, osob, systémů, externích událostí

8 Klasifikace rizik - pojistně-technické riziko (riziko rezerv, riziko pojistného) - riziko likvidity: riziko nedostatku možností prodat nebo koupit investici dostatečně rychle za účelem minimalizace ztráty - modelové riziko: riziko spojené s užíváním nevhodného modelu pro měření rizik

9 Regulatorní požadavky Basel II - dokument Basilejského výboru pro bankovní dohled - doporučení implementovaná do legislativy jednotlivých zemí Solventnost 2 - direktiva EU upravující dohled nad solventností pojišt oven (má platit od roku 2016) - sjednocuje postupy s projektem Basel II pro banky

10 Basel II 1. piĺıř: výpočet minimálních kapitálových požadavků (regulatorní kapitál) pro tržní, kreditní a operační riziko - umožňuje použít standardizované postupy nebo pokročilejší modely vyvinuté bankou (např. IRB(internal-ratings-based) přístup v kreditním riziku, AMA (advanced measurement approach) v operačním riziku) 2. piĺıř: dohled nad kapitálovou přiměřeností, interní systémy řízení rizik 3. piĺıř: tržní disciplina - zveřejňování informací důležitých pro účastníky trhu

11 Solventnost 2 1. piĺıř: kvantitativní požadavky na pojišt ovnu. Základem je adekvátní zobrazení expozice různým typům rizika. 2 stupně kapitálového požadavku: Solvenční kapitálový požadavek (SCR) - může být stanoven pomocí standardního nebo interního modelu. Jeho nesplnění vyvolá podle závažnosti opatření dohledového orgánu. Minimální kapitálový požadavek (MCR). Pokud vlastní prostředky nedosahují výše MCR, je ohroženo další fungování pojišt ovny, dojde k odnětí povolení k pojišt ovací činnosti.

12 Solventnost 2 2. piĺıř: kvalitativní požadavky na vlastní systém řízení rizik, pravidla pro činnost dohledu při kontrole plnění kvantitativních i kvalitativních požadavků. 3. piĺıř: tržní disciplina - otevřenost vůči dozoru i veřejnosti, zveřejňování informací důležitých pro účastníky trhu (včetně solventnostní pozice i kvality systému řízení rizik).

13 Ekonomický kapitál ekonomický kapitál - kapitál potřebný k zajištění schopnosti splnit v daném časovém horizontu převzaté závazky s danou pravděpodobností L - riziko, tj. náhodná veličina představující ztrátu v uvažovaném období ρ(l) - míra rizika (nezáporné číslo, závisí na rozdělení n.v. L) ekonomický kapitál: EC(L) = ρ(l) E L

14 Hodnota v riziku F L (l) - d.f. rozdělení ztráty za období pevně zvolené délky hodnota v riziku na hladině α (0, 1): VaR α = inf{l R : P(L > l) 1 α} = inf{l R : F L (l) α} Poslední výraz na pravé straně odpovídá definici kvantilové funkce příslušné d.f. F L, lze tedy říci, že hodnota v riziku je α-kvantil rozdělení ztráty L, tj. VaR α = q α (F L ). V praxi se nejčastěji voĺı α = 0, 95, α = 0, 99 nebo α = 0, 995.

15 Zbytková hodnota v riziku F L (l) - d.f. rozdělení ztráty za období pevně zvolené délky, E( L ) < zbytková hodnota v riziku (expected shortfall, tail value at risk) na hladině spolehlivosti α (0, 1): ES α = 1 1 α 1 α q u (F L )du, kde q u (F L ) je kvantilová funkce příslušná d.f. F L

16 Zbytková hodnota v riziku ES α = 1 1 α 1 α VaR u (L)du ES α VaR α Pokud uvažujeme rozdělení ztráty L se spojitou d.f. F L, můžeme psát ES α = E[L; L q α(f L )] 1 α kde E[X ; A] = E(X I A ). = E (L L VaR α ),

17 Koherentní míry rizika 1) translační invariance: Pro l R platí ρ(l + l) = ρ(l) + l Přičtení nebo odečtení deterministické hodnoty vede ke změně požadovaného kapitálu o stejnou částku. 2) subaditivita: ρ(l 1 + L 2 ) ρ(l 1 ) + ρ(l 2 ). Subaditivita vyjadřuje představu, že riziko může být redukováno diverzifikací.

18 Koherentní míry rizika 3) pozitivní homogenita: Pro λ > 0 platí ρ(λ L) = λ ρ(l). 4) monotonie: Pro L 1, L 2 takové, že L 1 L 2 s.j., platí ρ(l 1 ) ρ(l 2 ). Hodnota v riziku (VaR) je translačně invariantní, pozitivně homogenní a monotonní, obecně není subaditivní. Zbytková hodnota v riziku (ES) je koherentní míra rizika.

19 Kapitálový požadavek Uvažujme instituci, která je vystavena různým rizikům, představovaným nezápornými náhodnými veličinami L 1,..., L n (např. ztráty podle typů rizik, podle odvětví). Cílem je stanovit ekonomický kapitál k celkovému riziku. bottom-up princip: požadavky pro jednotlivá rizika (třídy rizik) celkový kapitálový požadavek - nutno zvolit způsob agregace, který odpovídá závislostní struktuře dílčích rizik

20 Solventnost 2 - standardní formule SCR = Corr i,j SCR i SCR j i,j SCR i - požadavky stanovené pro rizikové moduly (neživotní pojistné riziko, životní pojistné riziko, zdravotní pojistné riziko, tržní riziko, riziko selhání protistrany) Corr i,j - koeficienty vyjadřující korelaci mezi jednotlivými rizikovými moduly, předepsány direktivou SCR pro jednotlivé moduly stanoveny na obdobném principu na základě submodulů K základnímu SCR se přičítá požadavek stanovený pro krytí operačního rizika.

21 Kapitálový požadavek top-down princip: modeluje se celkové riziko, k němu se pomocí zvolené míry rizika stanoví ekonomický kapitál - výsledný kapitálový požadavek pak bývá rozdělen mezi dílčí rizika, k tomu je třeba technika alokace kapitálu Příklad: interní model podle S2 Deterministická bilance v čase t = 0 slouží jako výchozí báze pro další modelování. Pomocí stochastického modelu zisků a ztrát se projektují hodnoty aktiv a pasiv v čase t = 1. Simulace vycházejí z předpokladů o novém obchodu i stávajícím kmeni. Výsledky simulací se použijí k analýze rozdělení vlastního kapitálu v čase t = 1.

22 Agregace rizik Dále budeme uvažovat ekonomický kapitál stanovený užitím hodnoty v riziku VaR α. Necht pro celkové riziko L platí L = n L i. i=1 Hledáme odhad VaR α (L), resp. EC(L) na základě těchto hodnot stanovených pro dílčí rizika L i a dalších předpokladů o sdruženém rozdělení veličin (L 1,..., L n ).

23 Agregace součtem VaR α (L) = ES α (L) = ÊC(L) = Kdy jsou tyto formule korektní? n VaR α (L i ) i=1 n ES α (L i ) i=1 n EC(L i ) i=1 Odpověd : Pokud jsou veličiny L 1,..., L n komonotonní. Náhodné veličiny L 1,..., L n jsou komonotonní, pokud existuje n.v. Z a neklesající funkce t 1,..., t n takové, že (L 1,..., L n ) = d (t 1 (Z),..., t n (Z)).

24 Diverzifikační efekty Komonotonie představuje nejsilnější možnou pozitivní závislostní strukturu mezi náhodnými veličinami. Při použití agregace součtem aproximujeme sdružené rozdělení dílčích ztrát rozdělením se stejnými marginálními distribucemi a komonotonními složkami. Diverzifikační efekty můžeme měřit rozdílem VaR α (L) VaR α (L) nebo ES α (L) ES α (L) Pozn. VaR není subaditivní, nemusí tedy nabývat maximální hodnotu pro součet komonotonních rizik.

25 Agregace pomocí korelační matice Necht r ij značí koeficient lineární korelace mezi riziky L i a L j : r ij = Cov(L i, L j ), i, j = 1,..., n σ 2 (L 1 )σ 2 (L 2 ) Odhad ekonomického kapitálu pro celkové riziko: n ÊC(L) = r ij EC(L i ) EC(L j ) Kdy je tato formule korektní? i,j=1

26 Agregace pomocí korelační matice Odpověd : Pokud veličiny L 1,..., L n mají vícerozměrné normální rozdělení. Pokud má riziko L i rozdělení N ( E L i, σ(l i ) 2), platí VaR α = E L i + σ(l i ) z α, EC(L i ) = z α σ(l i ), kde z α je příslušný kvantil rozdělení N(0, 1).

27 Agregace pomocí korelační matice Přitom L = n i=1 L i má normální rozdělení se střední hodnotou n i=1 E L i a rozptylem σ 2 (L) = n i=1 σ 2 (L i ) + i j r ij σ(l i ) σ(l j ). Vynásobením obou stran této rovnosti z 2 α dostaneme vyjádření pro ekonomický kapitál celkového součtu L stanovený na základě hodnoty v riziku.

28 Eliptická rozdělení Výše uvedená argumentace je v platnosti pro obecnější třídu tzv. eliptických rozdělení. Náhodný vektor L = (L 1,..., L n ) má eliptické rozdělení E n (µ, Σ, φ) - s parametry µ, Σ a charakteristickým generátorem φ, pokud pro jeho charakteristickou funkci platí E exp(i t L) = exp(i t µ) φ ( t Σ t ), t R n. Pozn. Reprezentaci E n (µ, Σ, φ) lze volit tak, že Σ je kovarianční matice vektoru L. Speciálně: N n (µ, Σ) = E n (µ, Σ, φ), kde φ(t) = e t 2.

29 Solventnost 2 - standardní formule SCR = Corr i,j SCR i SCR j i,j Prostřednictvím koeficientů Corr i,j < 1 jsou do výpočtu kapitálového požadavku zahrnuty diverzifikační efekty. Tyto korelační koeficienty nelze považovat za koeficienty lineární korelace: Corr i,j r i,j Při známém rozdělení dílčích rizik a známém rozdělení jejich součtu by se koeficienty Corr i,j volily tak, aby výsledný kapitálový požadavek odpovídal ekonomickému kapitálu stanovenému pro součet dílčích rizik. V praxi jsou tyto hodnoty založeny na expertním odhadu.

30 Agregace pomocí kopul Simulace vektorů z rozdělení se sdruženou dist. funkcí F (l 1,..., l n ) = C(F 1 (l 1 ),..., F n (l n )) kde C je kopula vyjadřující modelovanou závislostní strukturu veličin L 1,..., L n. Míra rizika se odhaduje ze součtů takto simulovaných hodnot.

31 Alokace kapitálu alokace kapitálu - rozdělení celkového kapitálu drženého firmou mezi její komponenty (např. odvětví podnikání, typy rizik, území, produkty v portfoliu) důvody pro dělení kapitálu mezi odvětví (lines of business): - redistribuce nákladů spojených s držením kapitálu (promítnou se do poplatků účtovaných klientům) - alokace nákladů pro účely finančních výkazů - hodnocení výkonnosti pomocí výnosu z alokovaného kapitálu - podpora rozhodování o případné expanzi nebo redukci odvětví

32 Alokace kapitálu Necht pro celkové riziko L společnosti platí L = n L i, i=1 kde L 1,..., L n jsou náhodné veličiny představující ztráty z jednotlivých odvětví podnikání. Je dán celkový rizikový kapitál K, cílem je stanovit nezáporné hodnoty K 1,..., K n (alokace jednotlivým odvětvím) tak, aby K = n K i. i=1

33 Haircut princip Kapitál pro odvětví i se stanoví jako K i = γ F 1 L i (p), kde F 1 L (p) = inf{x R F L(x) p}, p [0, 1], je kvantilová funkce příslušná distribuční funkci F L. γ se stanoví tak, aby součet alokovaných kapitálů byl roven K, tj. K i = K n j=1 F 1 L j (p) F 1 L i (p), i = 1,..., n.

34 Haircut princip Při daném celkovém kapitálu K vede k alokaci, která nezávisí na závislostní struktuře mezi ztrátami jednotlivých odvětví. Při použití VaR jako míry rizika může být K i > F 1 L i (p) (VaR není subaditivní). Na všechny hodnoty F 1 L i (p) se uplatňuje stejná proporcionální redukce (resp. zvýšení) dané koeficientem γ.

35 Inverze distribuční funkce α-smíšená inverzní distribuční funkce: F 1(α) X (p) = α F 1 1+ X (p) + (1 α) FX (p), p (0, 1), α [0, 1], kde F 1+ X (p) = sup{x R F X (x) p}, p [0, 1]. Pro každé x takové, že 0 < F X (x) < 1, existuje α x [0, 1] takové, že F 1(αx ) X (F X (x)) = x.

36 Kvantilový princip Kapitál pro odvětví i se stanoví jako K i = F 1(α) L i (βp), kde α a β se voĺı tak, aby K = n i=1 K i. Nezohledňuje závislosti mezi odvětvími. Používá stejné kvantily pro všechna rizika (efekt diverzifikace se projeví v použití kvantilu na hladině β p místo p).

37 Pomocné výsledky Tvrzení. Pro zleva spojitou neklesající funkci g platí F 1 g(x ) (p) = g ( F 1 X (p)). Důkaz. Z definice kvantilové funkce plyne F 1 g(x ) (p) x p F g(x )(x). Ze spojitosti zleva funkce g máme pro všechna x a z g(z) x z sup{y g(y) x}. Odtud p F g(x ) (x) p F X [sup{y g(y) x}].

38 Pomocné výsledky Pokud je sup{y g(y) x} ±, platí p F X [sup{y g(y) x}] F 1 (p) sup{y g(y) x}. (Platí i v případě sup{y g(y) x} = ±.) Celkem X F 1 X (p) sup{y g(y) x} g ( F 1 X (p)) x. F 1 g(x ) (p) x g ( F 1 X (p)) x platí pro všechna x, odtud plyne tvrzení.

39 Pomocné výsledky Podobně se dokáže, že pro neklesající zprava spojitou funkci g platí F 1+ g(x ) (p) = g ( F 1+ X (p) ). Mějme náhodný vektor L = (L 1,..., L n ). Potom náhodný vektor ( ) (U),..., F 1 (U), kde U je n. v. s rovnoměrným rozdělením F 1 L 1 L n na (0, 1), je vektor komonotonních veličin se stejnými marginálními d.f. Označme S C = n i=1 F 1 L i (U).

40 Pomocné výsledky Tvrzení. F 1(α) S C (p) = n i=1 Důkaz vychází z toho, že F 1(α) L i (p), p (0, 1), α [0, 1]. g(u) = n i=1 F 1 L i (u) je zleva spojitá neklesající funkce.

41 Pomocné výsledky Tj. dle předchozího pro p (0, 1) F 1 S C (p) = F 1 g(u) (p) = g ( F 1 U (p)) = g(p) = Podobně se dokáže užitím toho, že F 1+ S C (p) = n i=1 g(u) = n i=1 F 1+ L i (p), p (0, 1) n i=1 je zprava spojitá neklesající funkce. F 1+ L i (u) F 1 L i (p).

42 Kvantilový princip Hodnoty α a β se stanoví ze vztahu K = n i=1 F 1(α) L i (βp). Zavedeme opět sumu komonotonních veličin S C = n i=1 F 1 L i (U), kde U má rovnoměrné rozdělení na (0, 1). Z výše uvedených pomocných výsledků vyplývá K = F 1(α) S C (β p).

43 Kvantilový princip Odtud plyne a také β p = F SC (K) K = F 1(α) S C (F SC (K)). Z posledního vztahu určíme parametr α, alokace podle kvantilového principu je pak popsána vztahem K i = F 1(α) L i (F SC (K)), i = 1,..., n.

44 Kvantilový princip Uvažujme speciální případ, kdy všechny distribuční funkce F Li spojité a rostoucí. Potom se alokace podle kvantilového principu redukuje na jsou K i = F 1 L i (F SC (K)), i = 1,..., n. Kvantilový princip lze v tomto případě chápat jako speciální případ haircut principu s volbou p = F SC (K).

45 Kovarianční princip Kapitál pro odvětví i se stanoví jako K i = K σ 2 (L) Cov(L i, L), i = 1,..., n, kde σ 2 (L) je rozptyl celkového rizika. Bere v úvahu závislostní strukturu: odvětvím, jejichž riziko je více korelováno s celkovým rizikem, je alokováno více kapitálu.

46 Princip zbytkové hodnoty v riziku Uvažujme rizika se spojitými distribučními funkcemi. Potom má zbytková hodnota v riziku na hladině p pro celkové riziko vyjádření ES p (L) = E [ L L > F 1 L (p)]. Princip alokace kapitálu založený na zbytkové hodnotě v riziku popisuje formule K i = K ES p (L) E [ L i L > F 1 L (p)], i = 1,..., n. Bere v úvahu závislostní strukturu: odvětví s větší podmíněnou střední hodnotou při vysoké celkové ztrátě mají alokován větší kapitál.

47 Proporcionální alokace Výše uvedené principy alokace kapitálu lze chápat jako speciální případy principu proporcionální alokace. Při něm voĺıme míru rizika ρ a alokujeme kapitál α se voĺı tak, aby K = K i, tj. K i = K i = α ρ(l i ), i = 1,..., n. K n j=1 ρ(l j) ρ(l i), i = 1,..., n.

48 Proporcionální alokace haircut princip: ρ(l i ) = F 1 L i (p) kvantilový princip: ρ(l i ) = F 1 L i (F SC (K)) kovarianční princip: ρ(l i ) = Cov(L i, L) princip zbytkové hodnoty v riziku: ρ(l i ) = E [ L i L > F 1 L (p)] Poslední dvě míry rizika nezávisí jen na rozdělení L i (vliv závislostní struktury).

49 Proporcionální alokace Předpokládejme, že K = ρ(l). Potom diverzifikační efekt vyjádřený nerovností K i ρ(l i ), i = 1,..., n, je dosažen právě když K = ρ(l) n ρ(l j ). j=1 Tato podmínka je splněna, pokud míra rizika ρ je subaditivní.

50 Literatura I. Justová: Agregace rizik. (V: Matematika a řízení rizik 2009/10, Matfyzpress Praha 2010) A.J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Technics and Tools, Princeton University Press J. Dhaene, A. Tsanakas, E.A.Valdez, S. Vanduffel: Optimal Capital Allocation Principles. The Journal of Risk and Insurance, 2012, Vol.79, No1, J. Dhaene, M. Denuit, M.J.Goovaerts, R.Kaas, D.Vyncke: The Concept of Comonotonocity in Actuarial Science and Finance: Theory. Insurance: Mathematics and Economics, 2002, 31, 3-33.