NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "NMAI059 Pravděpodobnost a statistika"

Transkript

1 NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky zapsal Pavel Obdržálek 205/20 poslední změna: 4. prosince 205

2 . přednáška ) Co je to pravděpodobnost? Pravděpodobnost je něco mezi 0 a. 2) Pravděpodobnostní prostor Mějme d-stěnnou kostku, na které můžeme dostat výsledky,..., d, potom Ω je množina elementárních jevů neprázdná {, 2,..., d} a každý prvek teto množiny je elementárním jevem F je systém podmnožin Ω, ten splňuje:. Ω F (prvky F jsou podmnožinou Ω) 2. A F Ω\A F (s každým jevem je v F i doplňkový jev) 3. Pro libovolné A, A 2, F je A i F (spočetné či konečné) F nazveme σ-algebrou na Ω prvky F jsou náhodné jevy P množinová funkce na F se nazývá pravděpodobnost (pravděpodobnostní míra) pokud:. F F, 0 P (F ) (P vezme množinu F a přiřadí jí číslo mezi 0 a ) 2. Pro F, F 2,... po dvou disjunktní, platí P ( i= F i) = Σ i= P (F i) 3. P (Ω) = Definice. Trojice (Ω, F, P) se nazývá pravděpodobnostní prostor. 3) Vlastnosti a počítání pravděpodobnosti Z axiomu P plyne P (A) = P (A c ) (věta o doplňkové pravděpodobnosti). Věta 2. P (E E 2 ) = P (E ) + P (E 2 ) P (E E 2 ) Důkaz. Pro B A platí, že P (A\B) = P (A) P (B). E E 2 = E E 2 \E (disjunktní). P (E E 2 ) = P (E (E 2 \E )) = P (E )+P (E 2 \(E E 2 )) = P (E )+P (E 2 ) P (E E 2 ) Věta 3 (Princip inkluze a exkluze). Buďte E,..., E n náhodné jevy, pak pravděpodobnost sjednocení P ( n i= E i) = Σ n i= P (E i) ΣΣ i<j n P (E i E j ) + + ( ) n P ( n i= E i) Důkaz. Pomocí matematické indukce.

3 Definice 4 (Nezávislé jevy). Náhodné jevy E, E 2 jsou nezávislé, pokud P (E E 2 ) = P (E )P (E 2 ). Náhodné jevy E α, kde α A jsou navzájem nezávislé, pokud pro každou I A platí P ( i I E i ) = Σ i I P (E i ). Definice 5 (Podmíněná pravděpodobnost). Buďte E a F náhodné jevy, P (F ) > 0. Podmíněná pravděpodobnost jevu E za podmínky F je dána P (E F ) = P (E F ). P (F ) Poznámka. Platí, že P (F F ) =. Věta 7. Jsou-li E a F nezávislé jevy a P (F ) > 0, pak P (E F ) = P (E). Důkaz. P (E F ) = P (E F ) P (F ) = P (E)P (F ) P (F ) = P (E) Poznámka 8. Každý jev s pravděpodobností 0 nebo je nezávislý s libovolným jevem. 2. přednáška ) Věty užitečné pro výpočet pravděpodobnosti Věta 9 (O násobení pravděpodobností). Buďte E, E 2,..., E n náhodné jevy takové, že P (E E 2 E n ) > 0. Potom: P (E E 2 E n ) = P (E n E E 2 E n ) P (E n E E 2 E n 2 ) P (E 2 E ) P (E ) Důkaz. Z definice: P (E n (E E n )) = P (E n E E n P (E E n ) Věta 0 (O úplné pravděpodobnosti). Buďte E, E 2,..., E n náhodné jevy takové, že. E i E j 0 i j 2. P (E i ) > 0 i 3. n i= E i = Ω a B náhodný jev. Potom: P (B) = Σ n i= P (B E i) P (E i ) Důkaz. P (B) = P (B Ω) = P (B ( n i= E i)) = P ( n i= (B E i)) = Σ n i= P (B E i) = Σ n i= P (B E i) P (E i ) Poznámka. Věta platí i pro spočetný disjunktní rozklad. Věta 2 (Bayesova). Za podmínek. E i E j 0 i j 2. P (E i ) > 0 i 3. n i= E i = Ω 4. P (B) > 0 2

4 platí, P (E i B) = P (B E i) P (E i ) Σ n j= P (B E j) P (E j ), kde P (E i) je apriorní rozdělení, B je informace a P (E i B) je aposteriorní pravděpodobnost. Důkaz. P (E i B) = P (E i B), v čitateli P (E i B) = P (B E i ) P (E i ), ve jmenovateli věta o P (B) úplné pravděpodobnosti. Mějme 2 polynomy R(x) = (x a )(x a 2 ) (x a n ) a Q(x) = x n + (má celočíselné kořeny). Odhalit: Q R. Dosadíme-li číslo do R(x) Q(x), pak, jsou-li R a Q různá, jen s malou pravděpodobností dostaneme 0. R Q má nejvýše n různých kořenů. Vezměme 00n různých celých čísel a z nich náhodně vybereme. Pravděpodobnost toho, že vybrané číslo je kořenem R Q (jsou-li n R Q, je nejvýše 00n = 00. Vybereme-li náhodně opakovaně k čísel z oněch 00n čísel, pak jsou-li R Q, pak ( ) k P (R(x i )) = Q(x i ) i =... k 00 2) Náhodná veličina Hod dvěma kostkami: Ω = {, 2, 3, 4, 5, } 2 ω = (i, j), i {, 2, 3, 4, 5, }, j {, 2, 3, 4, 5, } součet hodů na kostkách: ω + ω 2 X : Ω R, zde X(ω) = ω + ω 2, kde X je náhodná veličina řešíme problém P (X = x) =? Definice 3 (Náhodná veličina a náhodný jev). Zobrazení X : Ω R takové, že a R platí, že X ( inf, a] = {ω; X/ω) a} F nazveme náhodná veličina (tj. {ω; X/ω) a} je náhodný jev). Poznámka 4. Pokud je diskrétní, bude nabývat nejvýše spočetně mnoho hodnot. Definice 5 (Rozdělení náhodné veličiny). Buď X : ω R náhodná veličina (Ω, F, P ) pravděpodobnostní prostor. Rozdělením náhodné veličiny X se rozumí pravděpodobnostní míra P X na R takovou, že P X ([a, b]) = P ({ω, V (u) (a, b] = P ({, X(ω) b}ω, (ω) b} P a < b Poznámka. Takto zavedená pravděpodobnost P X může být rozšířena na libovolnou σ algebru obsahující všechny otevřené podmnožiny R, speciálně všechny intervaly. Tvrzení 7. Pro diskrétní náhodnou veličinu X je rozdělení jednoznačně dáno hodnotami {p s ; s S}p s = P (x = s) = P ({ω : x/ω) = s}) P X ((a, b]) = Σ s S (a,b] p s splňuje všechny oblasti pravděpodobnosti. Hodnoty {p s, s S} jsou hodnotou rozdělení X vůči čítací míře na S. Musí platit p s = 0 s, Σ s S p s =. α(a) = A počet bodů A vhodný pro konečné či spočetné množiny. 3

5 3) Klasická pravděpodobnost P (A) = A, kde Ω <. Pro Ω = musí být Ω spočetná. Ω Definice 8 (Distribuční funkce). F : R [0, ] je definovaná jako F (x) = P (X x), což pro diskrétní náhodnou veličinu je F (x) = Σ s x p s. Jinými slovy F X (a) = P [X a] = P X (, a], F X : R [0, ] Jak distribuční funkce F, tak i hodnota {p s, s S} plně charakterizují rozdělení v X, tedy pravděpodobnost P X. P X je jednoznačně dána F. Poznámka 9. Různé náhodné veličiny mohou mít stejné rozdělení. 3. přednáška ) Míra Míra je množinová funkce, která vezme množinu a dá ji nějakou hodnotu. Míra je vždy nezáporná. 2) Příklady míry Definice 20 (Lebesgenova míra). λ na R, λ(a, b) = b a pro b > a, λ a, b = b a pro b a. Dává délku intervalu. Definice 2 (Čítací (aritmetická) míra). α(a) = A. Udává počet prvků, které jsou Tvrzení 22 (Vlastnosti distribuční funkce). Mějme (Ω, F, P) pravděpodobnostní prostor a náhodnou veličinu X a její distribuční funkci F X. Pak F X je neklesající a zprava spojitá lim a F X (a) = 0, lim a F X (a) = Věta 23. Buď F funkce, která splňuje všechny body předchozího tvrzení. Pak existuje (Ω, F, P) pravděpodobnostní prostor a náhodná veličina X tak, že F je distribuční funkce. Definice 24. Náhodné veličiny X a Y jsou nezávíslé, pokud n, k Z platí: P [X = n, Y = k] = P [X = n]p [Y = k]. Celočíselné náhodné veličiny X, X 2,..., X n jsou vzájemně nezávislé, pokud I {,..., N} a n i Z, i I platí P [ i I [X i = n i ]] = Π i I P [X i = n i ] 3) Charakteristiky náhodné veličiny Definice 25 (Střední hodnota CNV). CNV X má konečnou střední hodnotu EX, pokud Σ n Z n P [X = n] = Σ n Z n P n <. V tom případě EX = Σ n Z n P n Věta 2 (Aditivita střední hodnoty). Pro CNV X a Y s konečnou EX a EY platí, že E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Věta 27 (Násobení střední hodnoty konstantou). Buď X CNV a c R, EX <. Potom E(cX) = c EX. 4

6 4. přednáška ) Další charakteristiky náhodné veličiny Definice 28 (Moment náhodné veličiny). Momentem náhodné veličiny rozumíme hodnotu EX p = Σ i Z i p P [X = i] Definice 29 (Centrální moment náhodné veličiny). Centrálním momentem náhodné veličiny rozumíme hodnotu E(X EX) p = Σ i Z (i EX) p P [X = i] Definice 30 (Rozptyl náhodné veličiny). Pokud EX 2 <, pak var(x) = E(X EX) 2 nazveme rozptylem náhodné veličiny X. Rozptyl charakterizuje variabilitu náhodné veličiny okolo její střední hodnoty. Věta 3 (Jensenova nerovnost). Buď X náhodná veličina a f konvexní funkce takové, že E X < a E f(x) <. Pak Ef(X) f(ex). Důkaz. Důkaz pomocí Taylorova rozvoje f kolem EX. ). Základní vlastnosti rozptylu var(x + a) = E(X + a E(X + a)) 2 = E(X + a E(X + a)) 2 = E(X + a EX + a) 2 = E(X EX) 2 = var(x) var(c) = E(c Ec) 2 = 0 var(cx) = E(cX EcX) 2 = Ec 2 (X EX) 2 = c 2 var(x) var(x +Y ) = E(X +Y E(X +Y ) 2 = = var(x)+var(y )+2E(X EX)(Y EY ) Definice 32 (k-rozměrný náhodný vektor). Buď (Ω, F, P) pravděpodobnostní prostor, pak zobrazení X : Ω R k, kde k 2 splňující {ω : {ω : X i (ω) a; } i =... k} F (a,..., a k ) R k nazveme k-rozměrný náhodný vektor. Definice 33 (Soustředné rozdělení náhodného vektoru). Pravděpodobnost P X definovaná na R k [ předpisem P X X k i= (, a i ] ] = P [ k i= (X i a i ) ] = P { ω : k i= {ω : X i a i } } se nazývá soustředné rozdělení náhodného vektoru X. Definice 34 (Marginální rozdělení náhodného vektoru). Pro podvektor Y = (X i,..., X id, kde d < k náhodného vektoru X definujeme marginální rozdělení X jako P Y (Xj= d (, a i j ]) = { } P ω : k j= {ω : X i j a ij } = P { ω : k i= {ω : X } i a i }, kde a i = pro i i... i d 5. přednáška ) Náhodný vektor X = (X,..., X k ) : Ω R k P (X a,..., X k a k ) = P { k i= (X i(u) a)} P X (X k i= (, a i]) 5

7 2) Marginální rozdělení Marginální rozdělení je rozdělení podvektoru náhodného vektoru X, např. rozdělení (X,..., X k ) a to dostaneme z rozdělení X volbou a k =. Nejdůležitější jsou rozdělení jednotlivých složek X, X 2,..., X k. Příklad: (X,Y) házím dvěma kostkami, X je výsledek na první kostce, Y je součet na obou kostkách Definice 35 (Nezávislost celočíselných náhodných veličin). Celočíselné náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, pokud m, n Z platí P (X = m, Y = n) = P (X = m)p (Y = n). Toto lze zobecnit. Definice 3 (Podmíněné rozdělení). Buď (X,Y) CNV. Rozdělení P [X = k Y = l] = P [X = k, Y = l] ; P [Y = l] > 0, k Z P [Y = l] nazveme podmíněné rozdělení X za podmínky Y = l.. přednáška ) Kovariace a korelace Buď (X, Y ) náhpodný vektor takový, že má konečné druhé momenty složek (tj. EX 2 <, EY 2 < ) Definice 37 (Kovariace). cov(x, Y ) = E[(X EX)(Y EY )] = E(XY ) EX EY cov(x, Y ) Definice 38 (Korelace). ρ X,Y = var(x)var(y ) ). Základní vlastnosti kovariace a korelace Věta 39. Buď (X, Y ) náhodný vektor, pak:. Jsou-li X a Y nezávislé, pak cov(x, Y ) = 0 X a Y jsou nekorelované. Z toho ale neplyne nezávislost X a Y. 2. cov(ax + b, Y ) = a cov(x, Y ) 3. cov(x + Y, Z) = cov(x, Z) + cov(y, Z) Pozorování:

8 cov(x, X) = var(x) var(x + X) = var(x) + var(x) + 2cov(X, X) = 4var(X) je-li cov(x, Y ) 0, pak var(x + Y ) var(x) + var(y ) var(x Y ) = E(X Y E(X Y )) 2 = var(x) 2cov(X, Y ) + vary jsou-li X a Y nekorelované, pak var(x + Y ) = var(x) + var(y ) cov(x, Y ) = cov(y, X) 7. přednáška ) Podmíněná střední hodnota Střední hodnota EX = Σ k P [X = k] Podmíněná střední hodnota E[X Y = y] = Σ k P [X = k Y = y] Pokud jsou X a Y nezávislé, pak zřejmě E[X Y = y] = EX P [X = x Y = y] = P [X = x], x, y X a Y jsou nezávislé Vidíme, že E[X Y = y] = EX je funkcí y Definice 40. E[X Y ] je náhodná veličina, která na množině {ω : Y (ω) = y} nabývá hodnoty E[X Y = y] Tedy: E[X Y ] : Ω R náhodná veličina E[X Y ](ω) = E[X Y = y] pokud Y (ω) = y E[X Y ] = f(y ) pro nějakou f : R R Věta 4. Platí E[E[X Y ]] = EX mají-li obě strany smysl. Důkaz. E[E[X Y ]] = E(f(X)) = Σ k f(k)p [Y = k] = Σ k E[X Y = k]p [Y = k] = EX 2) Modely rozdělení diskrétních náhodných veličin Alternativní rozdělení (Bernoulliho pokus) (Alt(p)) Náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot (x {0, }. Parametr p je potom definován jako p = P [x = ] = P [x = 0]. Odtud potom EX = p, EX 2 = p var x = p p 2 = p( p) Binomické rozdělení (Bi(n, p)) Začneme oponovat (nezávisle) bernoulliovské pokusy (se stejným p). Dostaneme posloupnost 0 a. Jaké rozdělení má počet úspěchů v n pokusech? Y = Σ n i= X i =počet úspěchů P [y = k] = ( ) n k p k ( p) n k EY = np, var Y = np( p) 7

9 Geometrické rozdělení (Geom(p)) zjišťuje délku čekání na úspěch. Y = min {i : X i = } P [y = k] = p( p) k EY = p p Negativní binomické rozdělení (N B(k, p)) nám přináší počet neúspěchů před prvním úspěchem Y = Σ k i= Y i, kde Y i jsou nezávislé náhodné vektory geometrického rozdělení P [Y = j] = ( ) j+k j ( p) j p k, kde j je počet neúspěchů a k počet úspěchů, tedy j + k je počet pokusů Poissonovo rozdělení (P o(λ)) P [X n = k] = ( ) n k p k n ( p n ) n k = e EY = λ vary = λ λ λk k!, tedy P [Y = k] = e λ λk k! Hypergeometrické rozdělení je v podstatě binomické s racionálním p P [X = k] = ( ) n k p k ( p) n k EX = n M N, kde N je počet všech jevů, M je počet příznivých a n je počet provedení Multinomické rozdělení je obecné rozdělení s více možnými výsledky, k je počet výsledků {a..., a k } P (X i = a j ) = p j, kde p j > 0 a zároveň Σ k j= p j = Zaveďme Z i = (Z i,..., Z ik ), kde Z ij = X i = a j, jinak Z ij = 0 Y = Σ n i= Z i n! P [Y = (n,... n k )] = n! n k! pn pn 2 2 pn k k pro (n,..., n k ) takové, že n > 0 a zároveň Σ k i= n i = n 8. přednáška přednáška přednáška přednáška přednáška přednáška

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

1 Pravděpodobnostní prostor

1 Pravděpodobnostní prostor PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme

Více

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Design Experimentu a Statistika - AGA46E

Design Experimentu a Statistika - AGA46E Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak (@ A 211) Office Hours: M 14:00 15:30 W 15:30 17:00

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Teorie pravěpodobnosti 1

Teorie pravěpodobnosti 1 Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

Matematická statistika

Matematická statistika Matematická statistika Tomáš Hobza 2. února 2011 Obsah Literatura 3 1 Úvod 4 1.1 Klasická definice pravděpodobnosti..................... 4 1.1.1 Základní kombinatorické vzorce................... 5 1.2

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Evgeny Kalenkovich. z Teorie pravděpodobnosti I

Evgeny Kalenkovich. z Teorie pravděpodobnosti I Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Evgeny Kalenkovich Metodická sbírka příkladů z Teorie pravděpodobnosti I Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013 Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika. 13. listopadu 2017

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika. 13. listopadu 2017 NMAI059 Pravděpodobnost a statistika Příručka k přednášce. 3. listopadu 207 Jak používat tuto příručku. Jde o postupně vznikající text, který má obsahovat všechny definice a věty z přednášky. Až na výjimky

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Náhodné vektory Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 8 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 8) Náhodné vektory Pravděpodobnost a statistika

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

Apriorní rozdělení. Jan Kracík.

Apriorní rozdělení. Jan Kracík. Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Úvod do teorie her

Úvod do teorie her Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu

Více

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat 1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Axiomy teorie pravděpodobnosti V roce 933 zavedl Andrej N. Kolmogorov. Definice (Pravděpodobnostní prostor). Mějme neprázdnou množinu Ω a na ní σ-algebru F. Na F uvažujme pravděpodobnostní

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMIKU. Kateřina STAŇKOVÁ HELISOVÁ

MATEMATIKA PRO EKONOMIKU. Kateřina STAŇKOVÁ HELISOVÁ MATEMATIKA PRO EKONOMIKU Kateřina STAŇKOVÁ HELISOVÁ Obsah 1 Základy pravděpodobnosti 5 1.1 Základní pojmy................................ 5 1.1.1 Speciální typy pravděpodobnostních prostorů...........

Více