NMAI059 Pravděpodobnost a statistika
|
|
- Monika Jandová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205
2 . přednáška ) Co je to pravděpodobnost? Pravděpodobnost je něco mezi 0 a. 2) Pravděpodobnostní prostor Mějme d-stěnnou kostku, na které můžeme dostat výsledky,..., d, potom Ω je množina elementárních jevů neprázdná {, 2,..., d} a každý prvek teto množiny je elementárním jevem F je systém podmnožin Ω, ten splňuje:. Ω F (prvky F jsou podmnožinou Ω) 2. A F Ω\A F (s každým jevem je v F i doplňkový jev) 3. Pro libovolné A, A 2, F je A i F (spočetné či konečné) F nazveme σ-algebrou na Ω prvky F jsou náhodné jevy P množinová funkce na F se nazývá pravděpodobnost (pravděpodobnostní míra) pokud:. F F, 0 P (F ) (P vezme množinu F a přiřadí jí číslo mezi 0 a ) 2. Pro F, F 2,... po dvou disjunktní, platí P ( i= F i) = Σ i= P (F i) 3. P (Ω) = Definice. Trojice (Ω, F, P) se nazývá pravděpodobnostní prostor. 3) Vlastnosti a počítání pravděpodobnosti Z axiomu P plyne P (A) = P (A c ) (věta o doplňkové pravděpodobnosti). Věta 2. P (E E 2 ) = P (E ) + P (E 2 ) P (E E 2 ) Důkaz. Pro B A platí, že P (A\B) = P (A) P (B). E E 2 = E E 2 \E (disjunktní). P (E E 2 ) = P (E (E 2 \E )) = P (E )+P (E 2 \(E E 2 )) = P (E )+P (E 2 ) P (E E 2 ) Věta 3 (Princip inkluze a exkluze). Buďte E,..., E n náhodné jevy, pak pravděpodobnost sjednocení P ( n i= E i) = Σ n i= P (E i) ΣΣ i<j n P (E i E j ) + + ( ) n P ( n i= E i) Důkaz. Pomocí matematické indukce.
3 Definice 4 (Nezávislé jevy). Náhodné jevy E, E 2 jsou nezávislé, pokud P (E E 2 ) = P (E )P (E 2 ). Náhodné jevy E α, kde α A jsou navzájem nezávislé, pokud pro každou I A platí P ( i I E i ) = Σ i I P (E i ). Definice 5 (Podmíněná pravděpodobnost). Buďte E a F náhodné jevy, P (F ) > 0. Podmíněná pravděpodobnost jevu E za podmínky F je dána P (E F ) = P (E F ). P (F ) Poznámka. Platí, že P (F F ) =. Věta 7. Jsou-li E a F nezávislé jevy a P (F ) > 0, pak P (E F ) = P (E). Důkaz. P (E F ) = P (E F ) P (F ) = P (E)P (F ) P (F ) = P (E) Poznámka 8. Každý jev s pravděpodobností 0 nebo je nezávislý s libovolným jevem. 2. přednáška ) Věty užitečné pro výpočet pravděpodobnosti Věta 9 (O násobení pravděpodobností). Buďte E, E 2,..., E n náhodné jevy takové, že P (E E 2 E n ) > 0. Potom: P (E E 2 E n ) = P (E n E E 2 E n ) P (E n E E 2 E n 2 ) P (E 2 E ) P (E ) Důkaz. Z definice: P (E n (E E n )) = P (E n E E n P (E E n ) Věta 0 (O úplné pravděpodobnosti). Buďte E, E 2,..., E n náhodné jevy takové, že. E i E j 0 i j 2. P (E i ) > 0 i 3. n i= E i = Ω a B náhodný jev. Potom: P (B) = Σ n i= P (B E i) P (E i ) Důkaz. P (B) = P (B Ω) = P (B ( n i= E i)) = P ( n i= (B E i)) = Σ n i= P (B E i) = Σ n i= P (B E i) P (E i ) Poznámka. Věta platí i pro spočetný disjunktní rozklad. Věta 2 (Bayesova). Za podmínek. E i E j 0 i j 2. P (E i ) > 0 i 3. n i= E i = Ω 4. P (B) > 0 2
4 platí, P (E i B) = P (B E i) P (E i ) Σ n j= P (B E j) P (E j ), kde P (E i) je apriorní rozdělení, B je informace a P (E i B) je aposteriorní pravděpodobnost. Důkaz. P (E i B) = P (E i B), v čitateli P (E i B) = P (B E i ) P (E i ), ve jmenovateli věta o P (B) úplné pravděpodobnosti. Mějme 2 polynomy R(x) = (x a )(x a 2 ) (x a n ) a Q(x) = x n + (má celočíselné kořeny). Odhalit: Q R. Dosadíme-li číslo do R(x) Q(x), pak, jsou-li R a Q různá, jen s malou pravděpodobností dostaneme 0. R Q má nejvýše n různých kořenů. Vezměme 00n různých celých čísel a z nich náhodně vybereme. Pravděpodobnost toho, že vybrané číslo je kořenem R Q (jsou-li n R Q, je nejvýše 00n = 00. Vybereme-li náhodně opakovaně k čísel z oněch 00n čísel, pak jsou-li R Q, pak ( ) k P (R(x i )) = Q(x i ) i =... k 00 2) Náhodná veličina Hod dvěma kostkami: Ω = {, 2, 3, 4, 5, } 2 ω = (i, j), i {, 2, 3, 4, 5, }, j {, 2, 3, 4, 5, } součet hodů na kostkách: ω + ω 2 X : Ω R, zde X(ω) = ω + ω 2, kde X je náhodná veličina řešíme problém P (X = x) =? Definice 3 (Náhodná veličina a náhodný jev). Zobrazení X : Ω R takové, že a R platí, že X ( inf, a] = {ω; X/ω) a} F nazveme náhodná veličina (tj. {ω; X/ω) a} je náhodný jev). Poznámka 4. Pokud je diskrétní, bude nabývat nejvýše spočetně mnoho hodnot. Definice 5 (Rozdělení náhodné veličiny). Buď X : ω R náhodná veličina (Ω, F, P ) pravděpodobnostní prostor. Rozdělením náhodné veličiny X se rozumí pravděpodobnostní míra P X na R takovou, že P X ([a, b]) = P ({ω, V (u) (a, b] = P ({, X(ω) b}ω, (ω) b} P a < b Poznámka. Takto zavedená pravděpodobnost P X může být rozšířena na libovolnou σ algebru obsahující všechny otevřené podmnožiny R, speciálně všechny intervaly. Tvrzení 7. Pro diskrétní náhodnou veličinu X je rozdělení jednoznačně dáno hodnotami {p s ; s S}p s = P (x = s) = P ({ω : x/ω) = s}) P X ((a, b]) = Σ s S (a,b] p s splňuje všechny oblasti pravděpodobnosti. Hodnoty {p s, s S} jsou hodnotou rozdělení X vůči čítací míře na S. Musí platit p s = 0 s, Σ s S p s =. α(a) = A počet bodů A vhodný pro konečné či spočetné množiny. 3
5 3) Klasická pravděpodobnost P (A) = A, kde Ω <. Pro Ω = musí být Ω spočetná. Ω Definice 8 (Distribuční funkce). F : R [0, ] je definovaná jako F (x) = P (X x), což pro diskrétní náhodnou veličinu je F (x) = Σ s x p s. Jinými slovy F X (a) = P [X a] = P X (, a], F X : R [0, ] Jak distribuční funkce F, tak i hodnota {p s, s S} plně charakterizují rozdělení v X, tedy pravděpodobnost P X. P X je jednoznačně dána F. Poznámka 9. Různé náhodné veličiny mohou mít stejné rozdělení. 3. přednáška ) Míra Míra je množinová funkce, která vezme množinu a dá ji nějakou hodnotu. Míra je vždy nezáporná. 2) Příklady míry Definice 20 (Lebesgenova míra). λ na R, λ(a, b) = b a pro b > a, λ a, b = b a pro b a. Dává délku intervalu. Definice 2 (Čítací (aritmetická) míra). α(a) = A. Udává počet prvků, které jsou Tvrzení 22 (Vlastnosti distribuční funkce). Mějme (Ω, F, P) pravděpodobnostní prostor a náhodnou veličinu X a její distribuční funkci F X. Pak F X je neklesající a zprava spojitá lim a F X (a) = 0, lim a F X (a) = Věta 23. Buď F funkce, která splňuje všechny body předchozího tvrzení. Pak existuje (Ω, F, P) pravděpodobnostní prostor a náhodná veličina X tak, že F je distribuční funkce. Definice 24. Náhodné veličiny X a Y jsou nezávíslé, pokud n, k Z platí: P [X = n, Y = k] = P [X = n]p [Y = k]. Celočíselné náhodné veličiny X, X 2,..., X n jsou vzájemně nezávislé, pokud I {,..., N} a n i Z, i I platí P [ i I [X i = n i ]] = Π i I P [X i = n i ] 3) Charakteristiky náhodné veličiny Definice 25 (Střední hodnota CNV). CNV X má konečnou střední hodnotu EX, pokud Σ n Z n P [X = n] = Σ n Z n P n <. V tom případě EX = Σ n Z n P n Věta 2 (Aditivita střední hodnoty). Pro CNV X a Y s konečnou EX a EY platí, že E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Věta 27 (Násobení střední hodnoty konstantou). Buď X CNV a c R, EX <. Potom E(cX) = c EX. 4
6 4. přednáška ) Další charakteristiky náhodné veličiny Definice 28 (Moment náhodné veličiny). Momentem náhodné veličiny rozumíme hodnotu EX p = Σ i Z i p P [X = i] Definice 29 (Centrální moment náhodné veličiny). Centrálním momentem náhodné veličiny rozumíme hodnotu E(X EX) p = Σ i Z (i EX) p P [X = i] Definice 30 (Rozptyl náhodné veličiny). Pokud EX 2 <, pak var(x) = E(X EX) 2 nazveme rozptylem náhodné veličiny X. Rozptyl charakterizuje variabilitu náhodné veličiny okolo její střední hodnoty. Věta 3 (Jensenova nerovnost). Buď X náhodná veličina a f konvexní funkce takové, že E X < a E f(x) <. Pak Ef(X) f(ex). Důkaz. Důkaz pomocí Taylorova rozvoje f kolem EX. ). Základní vlastnosti rozptylu var(x + a) = E(X + a E(X + a)) 2 = E(X + a E(X + a)) 2 = E(X + a EX + a) 2 = E(X EX) 2 = var(x) var(c) = E(c Ec) 2 = 0 var(cx) = E(cX EcX) 2 = Ec 2 (X EX) 2 = c 2 var(x) var(x +Y ) = E(X +Y E(X +Y ) 2 = = var(x)+var(y )+2E(X EX)(Y EY ) Definice 32 (k-rozměrný náhodný vektor). Buď (Ω, F, P) pravděpodobnostní prostor, pak zobrazení X : Ω R k, kde k 2 splňující {ω : {ω : X i (ω) a; } i =... k} F (a,..., a k ) R k nazveme k-rozměrný náhodný vektor. Definice 33 (Soustředné rozdělení náhodného vektoru). Pravděpodobnost P X definovaná na R k [ předpisem P X X k i= (, a i ] ] = P [ k i= (X i a i ) ] = P { ω : k i= {ω : X i a i } } se nazývá soustředné rozdělení náhodného vektoru X. Definice 34 (Marginální rozdělení náhodného vektoru). Pro podvektor Y = (X i,..., X id, kde d < k náhodného vektoru X definujeme marginální rozdělení X jako P Y (Xj= d (, a i j ]) = { } P ω : k j= {ω : X i j a ij } = P { ω : k i= {ω : X } i a i }, kde a i = pro i i... i d 5. přednáška ) Náhodný vektor X = (X,..., X k ) : Ω R k P (X a,..., X k a k ) = P { k i= (X i(u) a)} P X (X k i= (, a i]) 5
7 2) Marginální rozdělení Marginální rozdělení je rozdělení podvektoru náhodného vektoru X, např. rozdělení (X,..., X k ) a to dostaneme z rozdělení X volbou a k =. Nejdůležitější jsou rozdělení jednotlivých složek X, X 2,..., X k. Příklad: (X,Y) házím dvěma kostkami, X je výsledek na první kostce, Y je součet na obou kostkách Definice 35 (Nezávislost celočíselných náhodných veličin). Celočíselné náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, pokud m, n Z platí P (X = m, Y = n) = P (X = m)p (Y = n). Toto lze zobecnit. Definice 3 (Podmíněné rozdělení). Buď (X,Y) CNV. Rozdělení P [X = k Y = l] = P [X = k, Y = l] ; P [Y = l] > 0, k Z P [Y = l] nazveme podmíněné rozdělení X za podmínky Y = l.. přednáška ) Kovariace a korelace Buď (X, Y ) náhpodný vektor takový, že má konečné druhé momenty složek (tj. EX 2 <, EY 2 < ) Definice 37 (Kovariace). cov(x, Y ) = E[(X EX)(Y EY )] = E(XY ) EX EY cov(x, Y ) Definice 38 (Korelace). ρ X,Y = var(x)var(y ) ). Základní vlastnosti kovariace a korelace Věta 39. Buď (X, Y ) náhodný vektor, pak:. Jsou-li X a Y nezávislé, pak cov(x, Y ) = 0 X a Y jsou nekorelované. Z toho ale neplyne nezávislost X a Y. 2. cov(ax + b, Y ) = a cov(x, Y ) 3. cov(x + Y, Z) = cov(x, Z) + cov(y, Z) Pozorování:
8 cov(x, X) = var(x) var(x + X) = var(x) + var(x) + 2cov(X, X) = 4var(X) je-li cov(x, Y ) 0, pak var(x + Y ) var(x) + var(y ) var(x Y ) = E(X Y E(X Y )) 2 = var(x) 2cov(X, Y ) + vary jsou-li X a Y nekorelované, pak var(x + Y ) = var(x) + var(y ) cov(x, Y ) = cov(y, X) 7. přednáška ) Podmíněná střední hodnota Střední hodnota EX = Σ k P [X = k] Podmíněná střední hodnota E[X Y = y] = Σ k P [X = k Y = y] Pokud jsou X a Y nezávislé, pak zřejmě E[X Y = y] = EX P [X = x Y = y] = P [X = x], x, y X a Y jsou nezávislé Vidíme, že E[X Y = y] = EX je funkcí y Definice 40. E[X Y ] je náhodná veličina, která na množině {ω : Y (ω) = y} nabývá hodnoty E[X Y = y] Tedy: E[X Y ] : Ω R náhodná veličina E[X Y ](ω) = E[X Y = y] pokud Y (ω) = y E[X Y ] = f(y ) pro nějakou f : R R Věta 4. Platí E[E[X Y ]] = EX mají-li obě strany smysl. Důkaz. E[E[X Y ]] = E(f(X)) = Σ k f(k)p [Y = k] = Σ k E[X Y = k]p [Y = k] = EX 2) Modely rozdělení diskrétních náhodných veličin Alternativní rozdělení (Bernoulliho pokus) (Alt(p)) Náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot (x {0, }. Parametr p je potom definován jako p = P [x = ] = P [x = 0]. Odtud potom EX = p, EX 2 = p var x = p p 2 = p( p) Binomické rozdělení (Bi(n, p)) Začneme oponovat (nezávisle) bernoulliovské pokusy (se stejným p). Dostaneme posloupnost 0 a. Jaké rozdělení má počet úspěchů v n pokusech? Y = Σ n i= X i =počet úspěchů P [y = k] = ( ) n k p k ( p) n k EY = np, var Y = np( p) 7
9 Geometrické rozdělení (Geom(p)) zjišťuje délku čekání na úspěch. Y = min {i : X i = } P [y = k] = p( p) k EY = p p Negativní binomické rozdělení (N B(k, p)) nám přináší počet neúspěchů před prvním úspěchem Y = Σ k i= Y i, kde Y i jsou nezávislé náhodné vektory geometrického rozdělení P [Y = j] = ( ) j+k j ( p) j p k, kde j je počet neúspěchů a k počet úspěchů, tedy j + k je počet pokusů Poissonovo rozdělení (P o(λ)) P [X n = k] = ( ) n k p k n ( p n ) n k = e EY = λ vary = λ λ λk k!, tedy P [Y = k] = e λ λk k! Hypergeometrické rozdělení je v podstatě binomické s racionálním p P [X = k] = ( ) n k p k ( p) n k EX = n M N, kde N je počet všech jevů, M je počet příznivých a n je počet provedení Multinomické rozdělení je obecné rozdělení s více možnými výsledky, k je počet výsledků {a..., a k } P (X i = a j ) = p j, kde p j > 0 a zároveň Σ k j= p j = Zaveďme Z i = (Z i,..., Z ik ), kde Z ij = X i = a j, jinak Z ij = 0 Y = Σ n i= Z i n! P [Y = (n,... n k )] = n! n k! pn pn 2 2 pn k k pro (n,..., n k ) takové, že n > 0 a zároveň Σ k i= n i = n 8. přednáška přednáška přednáška přednáška přednáška přednáška
Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
VícePřednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP
IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
Víceprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
Více1 Pravděpodobnostní prostor
PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme
VíceTEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceDesign Experimentu a Statistika - AGA46E
Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak (@ A 211) Office Hours: M 14:00 15:30 W 15:30 17:00
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické
VíceNáhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
Více1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!
Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k
VíceMatematická statistika
Matematická statistika Tomáš Hobza 2. února 2011 Obsah Literatura 3 1 Úvod 4 1.1 Klasická definice pravděpodobnosti..................... 4 1.1.1 Základní kombinatorické vzorce................... 5 1.2
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceEvgeny Kalenkovich. z Teorie pravděpodobnosti I
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Evgeny Kalenkovich Metodická sbírka příkladů z Teorie pravděpodobnosti I Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceBakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013
Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika. 13. listopadu 2017
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika Příručka k přednášce. 3. listopadu 207 Jak používat tuto příručku. Jde o postupně vznikající text, který má obsahovat všechny definice a věty z přednášky. Až na výjimky
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Náhodné vektory Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 8 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 8) Náhodné vektory Pravděpodobnost a statistika
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceApriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
VícePodmíněná pravděpodobnost
odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceÚvod do teorie her
Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Axiomy teorie pravděpodobnosti V roce 933 zavedl Andrej N. Kolmogorov. Definice (Pravděpodobnostní prostor). Mějme neprázdnou množinu Ω a na ní σ-algebru F. Na F uvažujme pravděpodobnostní
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceMATEMATIKA PRO EKONOMIKU. Kateřina STAŇKOVÁ HELISOVÁ
MATEMATIKA PRO EKONOMIKU Kateřina STAŇKOVÁ HELISOVÁ Obsah 1 Základy pravděpodobnosti 5 1.1 Základní pojmy................................ 5 1.1.1 Speciální typy pravděpodobnostních prostorů...........
Více