Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Transkript

1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1

2 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev. logistická, Poissonova) analýza časových řady (krom regrese) Bayesovské metody Minikurz aplikované statistiky p.2

3 Dnes to, co již vlastně víte co to je náhodná veličina nezávislost, střední hodnota, rozptyl příklady rozdělení maximálně věrohodné odhady, testování hypotéz Minikurz aplikované statistiky p.3

4 Pravděpodobnostní prostor, náhodná veličina Pravděpodobnostní prostor je trojice (Ω, A, P), kde Ω je nějaká množina, A je prostor jevů (sigma algebra nad Ω) a P je pravděpodobnostní míra. Náhodná veličina je "měřitelné" zobrazení z Ω do R n. Pozn.: Pro dnešek n = 1. Minikurz aplikované statistiky p.4

5 Diskrétní a spojité n.v., jejich hustota a střední hodnota Diskrétní náhodná veličina nabývá jen konečně (ev. spočetně) mnoha hodnot. P(X = x) = p x P(X A) = x A P(X = x) = x A p x EX = x p x Spojitá n.v. n.v. je taková, že x f(x)dx = 1 P(X A) = x A f(x)dx EX = x f(x)dx Minikurz aplikované statistiky p.5

6 Hustota trasformované náhodné veličiny Necht f je hustota spojité n.v. X a g je hustota Y = t(x). Potom g(y) = f(t 1 (y)) t (t 1 (y)). Pozn. Pro vícerozměrné místo derivace Jakobián. Minikurz aplikované statistiky p.6

7 Nezávislost jevů, náhodných veličin Jevy A,B A jsou nezávislé, pokud P(A B) = P(A) P(B). Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, pokud pro libovolně zvolené A, B P(X A,Y B) = P(X A) P(Y B). Minikurz aplikované statistiky p.7

8 Vlastnosti střední hodnosty Pro X, Y n.v., a,b R: E(X + Y ) = EX + EY E(aX + b) = (a EX) + b Pro X, Y nez.: E(XY ) = (EX)(EY ) Minikurz aplikované statistiky p.8

9 Rozptyl Definice: Vlastnosti: VarX = E (X (EX)) 2 = E(X 2 ) (EX) 2 Var(aX + b) = (a 2 VarX) Pro X, Y nez.: Var(X + Y ) = (VarX) + (VarY ) Minikurz aplikované statistiky p.9

10 Alternativní rozdělení Alt(p) Hod mincí, kdy jednička (panna) padne s pravděpodobností p: p 1 = p, p 0 = 1 p EX = p VarX = p(1 p) Minikurz aplikované statistiky p.10

11 Binomické rozdělení Bin(n, p) Součet n alternativních rozdělení: p x = ( n) x p x (1 p) n x EX = np VarX = np(1 p) Minikurz aplikované statistiky p.11

12 Geometrické rozdělení Geom(p) Pravděpodobnost x neúspěchů před prvním úspěchem: p x = (1 p) x p EX = 1 p p VarX = 1 p p 2 Minikurz aplikované statistiky p.12

13 Poissonovo rozdělení P oiss(λ) Používá se pro modelování počtů p x = exp( λ) λx x! EX = λ VarX = λ Minikurz aplikované statistiky p.13

14 Rovnoměrné na intervalu [a, b]: R(a, b) f(x) = 1 b a EX = a+b 2 VarX = (b a)2 12 Minikurz aplikované statistiky p.14

15 Exponenciální Exp(λ) Rozdělení bez paměti: f(x) = λ 1 exp( x λ ) EX = λ VarX = λ 2 Minikurz aplikované statistiky p.15

16 Normální rozdělení N(µ,σ 2 ) f(x) = 1 2πσ 2 exp( (x µ)2 2σ 2 ) EX = µ VarX = σ 2 Minikurz aplikované statistiky p.16

17 Zákon velkých čísel, centrální limitní věta Necht X 1,X 2,... jsou stejně rozdělené, navzájem nezávislé náhodné veličiny s konečným rozptylem. Pro n dostatečně vysoké jistým způsobem platí: n (1 n 1 n n X i EX, i=1 ) n X i EX i=1 N(0, VarX). Minikurz aplikované statistiky p.17

18 Vlastnosti normálního rozdělení Pro X, Y nezávislé normálně rozdělené n.v., a,b R platí X + Y ax + b jsou opět normálně rozdělené a parametry snadno dopočtu podle rozptylu a střední hodnoty. Minikurz aplikované statistiky p.18

19 Typické úlohy statistiky Odhad (odhadni p v binomickém rozdělení) Test hypotézy (testuj, že p = 1 2 ) Minikurz aplikované statistiky p.19

20 Maximálně věrohodný odhad - MVO X 1,...,X n nezávislé, stejně rozděleně náhodné veličiny s hustotou f(x;θ) Věrohodnostní funkce L(x 1,...,x n ;θ) = n i=1 f(x i ;θ) MV odhad ˆθ = arg max θ L(θ) (Hledáme hodnotu parametru, pro kterou nejpravděpodobněji můžou nastat pozorované hodnoty) Minikurz aplikované statistiky p.20

21 MVO - Příklad X 1,...,X n f(x;θ) f(x;θ) = 2x ( x 2) θ exp θ = 0 pro x 0 pro x > 0 Věrohodnostní funkce L(θ) = 2n θ n ( i x i ) exp ( 1 θ i x 2 i ) Minikurz aplikované statistiky p.21

22 MVO - Příklad (pokračování) místo L(θ) můžeme maximalizovat l(θ) = log L(θ): l(θ) = n log 2 n log θ + i x i 1/θ i x 2 i maximum je řešením věrohodnostní rovnice l(θ) θ = n θ + 1 θ 2 i x 2 i = 0 vyřešením dostaneme odhad ˆθ = 1 n x 2 i Minikurz aplikované statistiky p.22

23 Software R (prostředí pro stat. výpočty) OpenBUGS (Bayesovská analýza) Tyto slidy je možno stáhnout z Minikurz aplikované statistiky p.23