Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Transkript

1 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ; < x < 2, < y <, y < (x 2) 2 }. Příklad 2 (25 bodů) Zjistěte, zda funkce nabývá na množině f(x, y) = (x + 3y) 2 M = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 9, y, y x} maxima a minima a případně určete jejich velikosti. Příklad 3 (25 bodů) Uvažujte náhodný výběr X,..., X n z rozdělení s distribuční funkcí pro x (, ), F (x; θ) = jinak. F (x; θ) = e θx ( + θx), θ >, (i) Spočítejte maximálně věrohodný odhad θ n parametru θ. (ii) Určete asymptotické rozdělení odhadu θ n. (iii) Sestavte testovou statistiku Raova skórového testu hypotézy H : θ = 2 proti alternativě H : θ 2 a určete kritický obor tohoto testu. (iv) Sestavte testovou statistiku pro test poměrem věrohodností hypotézy H : θ = 2 proti alternativě H : θ 2 a určete kritický obor tohoto testu. Příklad 4 (25 bodů) Nechť náhodná veličina L reprezentující ztrátu má dvojitě exponenciální (Laplaceovo) rozdělení s hustotou x µ f(x; µ, β) = e β 2β, x R a µ R, β > jsou parametry.. Uveďte obecnou definici hodnoty v riziku (VaR) na úrovni α pro libovolné rozdělení. 2. Vyjádřete obecně VaR na úrovni α pro výše uvedené rozdělení. 3. Spočtěte VaR na úrovni 2e pro µ =.7 a β =.4.

2 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Studijní program: Matematika Studijní obor: Finanční a pojistná matematika Varianta A řešení Příklad (25 bodů) Použijeme Fubiniho větu. Proto je pro nás výhodné psát M = M M 2 = { < x, < y < } { < x < 2, < y < (x 2) 2 }. Nyní a Tedy M 2 x 2 dxdy = M M x 2 dxdy = = 2 2 = ( (x 2) 2 ( ) x 2 dy dx = [ x x 2 3 dx = 3 ) x 2 dy dx = x 2 (x 2) 2 dx = [ x 5 = 5 x4 + 4x3 3 ] 2 2 = 32 5 ] 2 = 3 x 2[ ] y dx x 2[ ] (x 2) 2 y dx x 4 4x 3 + 4x 2 dx = 8 5. x 2 dxdy = x 2 dxdy + x 2 dxdy = M M = 3 5.

3 Příklad 2 (25 bodů). řešení: Množina M je zřejmě uzavřená a omezená a funkce f spojitá, a tedy někde minima a maxima nabývá. Vyšetříme lokální extrémy uvnitř M a poté extrémy na hranici M. Nutná podmínka pro existenci lokálního extrému uvnitř M je (vzhledem k diferencovatelnosti f) = f x = 2(x + 3y) = f y = 2 3(x + 3y) Toto je splněno, právě když x + 3y =. V bodech (x, y) splňující tuto rovnost máme f(x, y) = (ve skutečnosti žádný z nich neleží uvnitř M). Hranice M sestává ze 3 částí. Každou z nich zvlášť parametrizujeme a budeme tak vyšetřovat funkci jen proměnné.. x = t, y =, t [, 3]. Dosazením do f(x, y) dostaneme funkci f (t) = t 2, jejíž extrémy jsou zřejmé. Leží v bodech (, ) s f(, ) = a (3, ) s f(3, ) = x = t, y = t, t [, 3/ 2] (horní mez pro t určíme z Pythagorovy věty). Dosazením do f(x, y) dostaneme funkci f 2 (t) = ( + 3) 2 t 2, jejíž extrémy jsou také zřejmé. Leží v bodech (, ) s f(, ) = a ( 3/ 2, 3/ 2) s f( 3/ 2, 3/ 2) = ( + 3) x = 3 cos t, y = 3 sin t, t [, 3π/4). Dosazením do f(x, y) dostaneme funkci f 3 (t) = 9(cos t + 3 sin t) 2. Nutná podmínka lokálního extrému je = (d/dt)f 3 = 8(cos t + 3 sin t)( sin t + 3 cos t). Toto nastává pro t [, 3π/4) splňující = cos t + 3 sin t nebo = sin t + 3 cos t. Pomocí funkce tangens zjistíme, že první podmínka na vyšetřovaném intervalu být splněna nemůže, druhá je splněna pro t = π/3. Tomu odpovídá bod (3/2, 3 3/2) s hodnotou f(3/2, 3 3/2) = 36. Do vyšetřování bychom ještě měli zahrnout krajní body (3, ) a ( 3/ 2, 3/ 2), ty už jsme však vyšetřili výše. Zbývá porovnat hodnoty ve výše nalezených bodech splňujících nutné podmínky extrému. Protože ( + 3) < 36, vidíme, že minimem je hodnota a maximem hodnota řešení: f nabývá konstantních hodnot na přímkách s rovnicemi x + 3y = w, w R. Všechny tyto přímky jsou navzájem rovnoběžné se směrovým vektorem (, / 3). Hodnota w pro danou přímku je x- ová souřadnice jejího průsečíku s osou x. Na takové přímce pak f nabývá hodnoty w 2. K nalezení maxima tedy musíme najít přímku p se směrovým vektorem (, / 3), která protína množinu M a která protíná osu x co nejdále od počátku. Takovou přímkou p je zřejmě tečna k oblouku kružnice, který je částí hranice M. Bod dotyku najdeme jako průsečík p a kolmice k p procházející středem kružnice (což je počátek). Kolmice k p má směrový vektor (/ 3, ). Příslušný bod na kružnici získáme přenormováním: 3 (/ 3,) (/ 3,) = (3/2, 3 3/2). Hodnota maxima tedy je f(3/2, 3 3/2) = 36. Podobně k nalezení minima musíme najít přímku p se směrovým vektorem (, / 3), která protína množinu M a která protína osu x co nejblíže počátku. Takovou přímkou je sama přímka procházející počátkem, čili hodnota minima je f(, ) =.

4 Příklad 3 (25 bodů) (i) Hustota: Věrohodnostní funkce: f(x; θ) = θ 2 xe θx pro x (, ), f(x; θ) = jinak ( n ( ) L(θ) = θ 2n )exp θ i= Logaritmická věrohodnost: l(θ) = 2n log θ + Skórová statistika: Skórová funkce: Fisherova informace: U(θ) = l(θ) θ U i (θ) = 2 θ I(θ) = E U i(θ) θ i= log θ i= = 2n θ = 2 θ 2 Věrohodnostní rovnice: U( θ n ) = a odtud ihned θ n = 2/X n Jediným řešením věrohodnostní rovnice je θ n = 2/X n. Je to maximálně věrohodný odhad, neboť jak lze snadno ověřit, l(θ) je konkávní. (ii) Jelikož θ n je maximálně věrohodný odhad a jsou splněny podmínky regularity, jeho asymptotické rozdělení je n( θ n θ) D N(, /I(θ)). Takže (iii) n( θn θ) D N(, θ 2 /2). Je-li θ skutečný parametr, pak n /2 D U(θ) N(, I(θ)). Tudíž Raova testová statistika R n = [ni(θ )] U 2 (θ ) za platnosti H : θ = θ konverguje v distribuci k rozdělení χ 2. Pro θ = 2 tedy dostáváme R n = 4 2n ( 2n 2 i= ) 2 2 ( = n n i= ) 2. Hypotézu zamítneme na asymptotické hladině α, pokud R n χ 2 ( α), kde χ2 ( α) je ( α)- kvantil rozdělení χ 2. (iv) D Je-li θ skutečný parametr, pro věrohodnostní poměr L( θ n )/L(θ) platí 2 log[l( θ n )/L(θ)] χ 2. Tudíž testová statistika pro test poměrem věrohodností λ n = 2[l( θ n ) l(θ )] za platnosti H : θ = θ konverguje v distribuci k rozdělení χ 2. Pro θ = 2 tedy dostáváme [ λ n = 2 2n log θ n + log θ n i= = 4n [log θ n θn ], i= 2n log 2 i= i= log + 2 i= ] i=

5 neboť θ n n i= = 2n. Hypotézu zamítneme na asymptotické hladině α, pokud λ n χ 2 ( α), kde χ2 ( α) je ( α)- kvantil rozdělení χ 2.

6 Příklad 4 (25 bodů). Nechť náhodná veličina L má rozdělení s distribuční funkcí F. Potom hodnota v riziku na úrovni α je definována jako α-kvantil rozdělení L: 2. Nejprve vyjádříme distribuční funkci F VaR α (L) = u L (α) = inf{x : F (x) α}. F (x; µ, β) = x e t µ β 2β dt, z čehož F (x; µ, β) = { 2 e x µ β x < µ 2 e µ x β x µ. Distribuční funkce je spojitá rostoucí, kvantilová funkce je tedy funkcí k ní inverzní: { µ + β ln(2α) < α VaR α (L) = u L (α) = 2 µ β ln(2( α)) 2 < α <. 3. Dané úrovni /2e odpovídá α = /2e > 2. Z předchozího vzorce postupně dostaneme VaR /2e (L) = µ β ln(2 Po dosazení dostaneme =.33. 2e ) = µ β ln(e ) = µ + β.