Iracionálne rovnice = 14 = ±

Transkript

1 Iracionálne rovnice D. Rovnica je iracionálna, ak obsahuje neznámu pod odmocninou. P. Ak ide o odmocninu s párnym odmocniteľom, potom musíme stanoviť definičný obor pod odmocninou nesmie byť záporná hodnota (výraz) podmienku (podmienky) podčiarkneme raz 2x = x 2x /-8 2x -8 /:2 x -4 po podmienkach môžeme začať s úpravami Musíme odstrániť odmocninu umocnením rovnice. Lenže umocnenie nie je ekvivalentnou úpravou rovnice. pr. x+2 = x 10 po dosadení x = 7 Ľ: 7+2 = 9 = 3 P: 7 10 = -3 Ľ P ale ak umocníme x + 2 = x 2 20x a znovu dosadíme x = 7 Ľ: = 9 P: = = 9 Ľ = P P. Umocnením rovnice môže pribudnúť riešenie, ktoré ale nie je riešením pôvodnej rovnice. Preto vždy musíme urobiť skúšku správnosti. Ak rovnica obsahuje iba jednu odmocninu, potom upravme ju tak, aby odmocnina stála samostatne na jednej strane rovnice. 2x = x /-8 2x+8 = x 8 /() 2 2x + 8 = x 2 16x + 64 /-2x 8 anulujeme kvadratickú rovnicu 0 = x 2 18x + 56 x1,2 = ± = ( )±( )... = ± = ± = 14 4 obidve výsledky vyhovujú podmienkam teoreticky by mohli byť riešením, ale treba urobiť skúšku Ľ: = = = 14 P: 14 Ľ = P x = 14 je riešením Ľ: = = = 12 P: 14 Ľ P x = 4 nie je riešením Ak rovnica obsahuje viac odmocnín, po prvom umocnení nezmiznú všetky odmocniny umocnením dvojčlena v prostrednom člene ostáva odmocnina: "a+výraz( = a 2 + 2a.výraz + výraz Ak ostal iba jeden člen s odmocninou, tak osamostatníme na jednej strane, a znovu umocníme rovnicu. príklad: 5x x+20 + x+8 = 2

2 Riešte rovnice: Riešte rovnice: 5x -20 x -4 x x -8 5x+20 + x+8 = 2 /() 2 5x x+20. x+8 + x + 8 = 4 6x (5x+20)(x+8) = 4 /-6x 28 2.(5x+20)(x+8) = -6x 24 /:2 (5x+20)(x+8) = -3x 12 /() 2 (5x + 20)(x + 8) = 9x x x x + 20x = 9x x x x = 9x x /-5x 2 60x = 4x x 16 /:4 0 = x 2 + 3x 4 0 = (x + 4)(x 1) x1 = -4 x2 = 1 Ľ: 5.( 4) = = = 2 P: 2 Ľ = P x = -4 je riešením Ľ: = = = 8 P: 2 Ľ P x = 1 nie je riešením a, x 7 = 3 b, x + 1 = 2x c, x + 6 = x d, x = x e, x 12 = x f, x+2 = 8 x a, x +9 = 2x 3 b, x 9 = 3x 11 c, 2x 11 x 1 = 1 d, 2x 1 + x 1 = 5 e, 5x+20 + x+8 = 2 f, 1 x + 1+x = 1 Exponenciálne rovnice D. Rovnica je exponenciálna, ak neznámu obsahuje v mocniteli. Exponenciálne funkcie sú prosté každú funkčnú hodnotu (y-ovú) nadobudnú iba raz (buď je rastúca na celom definičnom obore, alebo je klesajúca). Práve toto využijeme pri riešení exponenciálnych rovníc. V. a x = a y x = y Ak dokážeme upraviť rovnicu tak, aby ostali na obidvoch stranách mocniny s rovnakým základom, potom môžeme písať rovnosť mocniteľov rovnica bude jednoduchšia, väčšinou už nie exponenciálna. P. Samozrejme k úplnému riešeniu aj tohto typu rovníc (ku každému typu) patrí aj skúška správnosti. Opakovanie V. (vety pre počítanie s mocninami 1. ročník) a, a n.a m = a n + m b, -. = an m c, (a.b) n = a n.b n d, / 01 = - - e, (a n ) m = a n.m

3 príklad: 2 5x 3 = 16. skúsime upraviť obidve strany na mocniny s rovnakým základom 2 5x 3 = 2 4 teraz už môžeme písať rovnosť mocniteľov 5x 3 = 4 /+3 5x = 7 /:5 x = 2 2 x x 3 = 8-5. všetky základy sú mocninami 2 2 x + 1.(2 ) 3 = (2 ) odstránime zátvorky a zlúčime na ľavej strane dve mocniny s rovnakým základom 2 x x 6 = x 5 = 2-15 máme rovnosť mocnín so spoločným základom stačí písať rovnosť mocniteľov 5x 5 = -15 /+5 5x = -10 /:5 x = x 1 = 19. číslo 19 sa nedá vyjadriť ako celú mocninu 14 v takomto prípade jedine zlogaritmovanie oboch strán rovnice môže pomôcť na kalkulačkách máme dekadický a prirodzený logaritmus (na niektorých novších typoch už si môžeme zvoliť aj základ logaritmu), tak použime jeden z tých dvoch log 14 x 1 = log 19 a teraz potrebujeme vety o logaritmoch pri úpravách (x 1).log 14 = log 19 /:log 14 x 1 = 4567 / x = a to už kalkulačkou počítame x = 2,115 7 logaritmické hodnoty zaokrúhlime na štyri desatinné miesta Riešte rovnicu v množine racionálnych čísel: a, 3 x = 27 b, 2 x = 8 c, 3 2x = 27 d, 2 3x = 8 e, 3 5x 3 = 81 f, 2 5x 3 = 16 g, 3 4x 5 = 729 h, 2 4x 5 = 64 Riešte rovnicu v množine celých čísel: a, 2 x 2 = 5 2 x b, 3 8 = c, 8 5 x = 7 x 5 d, 5 3 = 5 3 e, 3 x 4 = 2 x 4 f, / 03./ 7 03 = 2 Riešte rovnicu v množine reálnych čísel: g, 4 2x 3 = 7 x 1,5 h, 7 x 3 = 4 2x 6 a, 2 x x = 112 b, 10 x + 10 x 1 = 0,11 c, 2 x x 2 = 34 d, 2 x x x 3 = 896 a, x 1 = 8 575; b, 3 2x 1 = 2 1 2x.36; c, x = 16-3 ; d, 9 x 1.3 2x 1 = 27; e, 8 8 = 7 ; f, 2x = 3 x 1 ;

4 a, x x x = 0,1; b, 3 x.0,25 -x = 12 x ! a, 12 x = 5,423; b, 36,5 x = 259; c, 3 4x 1 = 5 3x + 5! Logaritmické rovnice D. Rovnica je logaritmická, ak neznámu obsahuje v argumente logaritmu. Logaritmické funkcie sú prosté každú funkčnú hodnotu (y-ovú) nadobudnú iba raz (buď je rastúca na celom definičnom obore, alebo je klesajúca). Práve toto využijeme pri riešení logaritmických rovníc. V. loga x = loga y x = y Ak dokážeme upraviť rovnicu tak, aby ostali na obidvoch stranách logaritmy s rovnakým základom, potom môžeme písať rovnosť argumentov rovnica bude jednoduchšia, väčšinou už nie logaritmická. Nakoľko logaritmické funkcie sú definované iba na množine kladných čísel, najprv musíme určiť podmienky, až potom môžeme začať upravovať rovnicu. P. Samozrejme k úplnému riešeniu aj tohto typu rovníc (ku každému typu) patrí aj skúška správnosti. príklad: log3 (x 12) = 2. začíname s podmienkou x 12 > 0 /+12 x > 12 na pravej strane číslo vyjadríme ako logaritmus so základom 3 argument dostaneme, ak základ logaritmu umocníme na číslo log3 (x 12) = log3 3 2 máme rovnosť logaritmov so spoločným základom stačí písať rovnosť argumentov x 12 = 9 /+12 x = 21 log (x 4) + log (x + 3) = log (5x + 4). začíname s podmienkami x 4 > 0 /+4 x > 4 x + 3 > 0 /-3 x > -3 5x + 4 > 0 /-4 5x > -4 /:5 x > najsilnejšia podmienka je x > 4: ak spĺňa tú, potom aj ostatné stačí porovnať výsledok s touto podmienkou log (x 4) + log (x + 3) = log (5x + 4) na ľavej strane zlúčime do jedného logaritmu log (x 4).(x + 3) = log (5x + 4) už stačí písať rovnosť argumentov (x 4).(x + 3) = 5x + 4 x 2 +3x 4x 12 = 5x + 4 x 2 x 12 = 5x + 4 /-5x 4 anulujeme kvadratickú rovnicu x 2 6x 16 = 0 rozložíme na súčin lineárnych činiteľov (x 8)(x + 2) = 0

5 x1 = 8 x2 = -2 druhý výsledok nevyhovuje podmienke x = ;4563 = 3. začíname s podmienkami x > log x 0 /-1 log x -1 log x log 10-1 x 0, ;4563 = 3 /.(1 + log x) odstránime zlomok 1 log x = 3.(1 + log x) 1 log x = log x /+log x 3 separujeme členy: na jednu stranu členy obsahujúce log x a na druhú bez 1 3 = 3.log x + log x /+log x 3 vyjmeme na pravej strane log x 1 3 = log x( 3 + 1) /:( 3 + 1) ; = log x vyhovuje podmienkam x = 0,539 6 log x = log10?@ A?@ A?B A x = 10?B A = 0,539 6 a, log x = log 2 + log 4 b, log x = -2.log 5 c, 2 log x = log 2 + log 4 + log 25 d, log 2 + log x = log (x + 3) e, 2.log x = log 16 + log 4 f, 2.log 5 + log x = 1 log 2 Riešte rovnicu a určte podmienky: 4563 ;4563 a, 2.log x = 3 log 5; b, = 1; c, = 5; 456(3 ) 4563 d, log2 (x 1) + log2 (1 + x) = 2.log2 (x 3) 2; e, log 3 A + log x = 3.log x + log (2x)!