CVIČENIE 1 : ZÁKLADNÉ VÝPOČTY PRAVDEPODOBNOSTI

Transkript

1 CVIČENIE : ZÁKLDNÉ VÝOČTY RVDEODOBNOSTI. KLSICKÁ DEFINÍCI RVDEODOBNOSTI ríklad : ká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne číslo resp. padne nepárne číslo? jav, kedy padne číslo B jav, že padne nepárne číslo m počet priaznivých elementárnych javov n celkový počet elementárnych javov m m p 0, 67 p B 0, n 6 n 6 ríklad : Súčasne hodíme dvoma hracími kockami. ká je pravdepodobnosť, že padne : a) na oboch hracích kockách číslo, b) súčet rovný 7, c) súčet menší ako 6. jav, že padne na oboch kockách číslo B jav, že padne súčet čísel na kockách rovný 7 C jav, že súčet oboch padnutých čísel bude menší ako 6. Na kocke je 6 rôznych čísel, z ktorých vytvárame dvojice (skupiny po dvoch prvkoch). retože sa môžu prvky v skupine opakovať, jedná sa o tzv. VRIÁCIE S OKO- VNÍM a platí : tzn. je možné získať 6 možných dvojíc, k V k n n V ktoré môžu pri pokuse nastať a sú rovnako pravdepodobné n = 6. Z týchto 6 dvojíc sú jednotlivým javom priaznivé : Jav (,) m = Jav B (,6), (,), (,), (,), (,), (6,) m B = 6 Jav C (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) m C = 0 otom hľadané pravdepodobnosti sú : m p 0, 08 n 6 m 6 p B 0, 67 n 6 m 0 p C 0, 78 n 6

2 ríklad : Zo sady kariet náhodne vytiahneme karty. ká je pravdepodobnosť, že to bude sedmička, kráľ a eso? jav, že vybrané karty budú sedmička, kráľ a eso. Úloha : postupne vytvárať trojice (skupiny po kartách), pričom na poradí nezáleží. Jedná sa o kombinácie pre n =. n! Ck n C 960 k 9!.!, tzn., že všetkých možností výsledkov pokusu je n = 960. V balíčku sú po sedmičky, králi a esá. Znamená to, že jednu sedmičku zo štyroch je možné vybrať štyrmi spôsobmi KOMBINÁCIE. C VRIÁCIE S OKOVNÍM využívame vtedy, ak vyberáme sedmičku, kráľa a eso. V K K n n V 6 Znamená to, že sedmičku, kráľa a eso je možné vybrať 6 spôsobmi. Javu je teda celkom priaznivých výsledkov m = 6. m 6 0,0, % n 960 ríklad : V osudí sú biele a čiernych guľôčok. Náhodne vyberieme guľôčky po sebe. ká je pravdepodobnosť, že obe po sebe vytiahnuté guľôčky budú čierne? jav, keď sú obe vytiahnuté guľôčky čierne Všetkých guľôčok n = 9, z ktorých vyberáme KOMBINÁCIE 9 C 9 6 tzn. že všetkých možných výsledkov pokusu je 6 n = 6. Dve čierne guličky je možné vybrať C 0 tzn. že dve čierne guličky možno z piatich vybrať 0 spôsobmi m = 0. Hľadaná pravdepodobnosť je : 0 6 m 0,78 7,8 % n

3 . ODMIENENÁ RVDEODOBNOSŤ V niektorých úlohách je potrebné nájsť pravdepodobnosť nastania javu za podmienky, že jav B už nastal. Takéto javy sú zrejme závislé, pretože pravdepodobnosť nastania javu závisí od toho, či jav B nastal alebo nie. latí : B p / B m B m B /, kde : pravdepodobnosť nastania javu za podmienky, že jav B už nastal m B počet priaznivých výsledkov pokusu pre jav počet priaznivých výsledkov pre jav B. mb B ríklad : Súčasne hodíme rovnakými hracími kockami. ká je pravdepodobnosť, že padne súčet čísel väčší ako, ak na prvej kocke padla? jav, že pri hode padne súčet väčší ako B jav, že padne na prvej kocke očet všetkých možností :,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6 6, 6, 6, 6,,6, 6,6 V n V n 6 re jav priaznivé odpovede : m 6, pre jav B priaznivé odpovede : m B 6 otom jednotlivé pravdepodobnosti týchto javov sú : K m 6 m B 6 0, 7, B 0,67 n 6 n 6 však v prípade, že jav B už nastal, mení sa tým aj pravdepodobnosť nastania javu. V takomto prípade sa jav B stáva istým, to znamená, že B a sa mení na tzv. ODMIENENÚ RVDEODOBNOSŤ, pre ktorú platí : m B m B / B, kde : m B počet priaznivých výsledkov pokusu pre jav B m B počet priaznivých výsledkov pokusu pre jav B. re jav B sú priaznivé celkom dvojice (,), (,), (,6) m B.

4 otom hľadaná pravdepodobnosť je m B m B 6 0, / B 0 % ríklad : Z úplnej sady kariet boli náhodne vytiahnuté karty. Určite pravdepodobnosť toho, že druhá karta je 7, ak vieme, že prvá karta bola tiež 7? jav, že prvá vytiahnutá karta je 7 B jav, že druhá vytiahnutá karta je tiež 7 k prvú vytiahnutú kartu : vrátime späť do hry, karty zamiešame a ťaháme druhú kartu potom, B nevrátime späť do hry, potom za predpokladu, že jav už nastal, v balíčku zostali už iba tri sedmičky a celkom iba kariet = m(b). Jav (B/) má teda všetkých možných výsledkov pokusu, z toho priaznivých pokusov m(b/) = m(b) =. otom platí : / 0,097 9,7 % B. ríklad : Slovo rokoko je zostavené z písmen napísaných na 6 lístkoch. Lístky vložíme do osudia, zamiešame a postupne náhodne vytiahneme z nich ká je pravdepodobnosť stavu, že z vytiahnutých lístkov bude možné zložiť slovo krok? - jav, že vytiahneme lístok s písmenom k B- jav, že vytiahneme lístok s písmenom r C- jav, že vytiahneme lístok s písmenom o D- jav, že vytiahneme lístok s písmenom k. Jav, na pravdepodobnosť ktorého sa pýtame je definovaný ako J B C D, kde javy,b,c,d sú navzájom závislé (vytiahnutý lístok sa späť do osudia nevracia). otom platí : B/ C / B 6 D / B C J... 0,07,7 %

5 ríklad : racovník obsluhuje stroje. ravdepodobnosť, že stroj nebude počas jednej hodiny prevádzky potrebovať jeho zásah je u S 0,9 a u S 0,8 a u S 0,8. ká je pravdepodobnosť, že počas jednej hodiny nebude potrebovať ani jeden stroj zásah? - jav, že počas hodiny nepotrebuje zásah stroj S B - jav, že počas hodiny nepotrebuje zásah stroj S C - jav, že počas hodiny nepotrebuje zásah stroj S otom jav B C znamená, že počas jednej hodiny nepotrebuje zásah ani jeden stroj. Znamená to, že 0,9, B 0,8, C 0, 8 za predpokladu, že stroje pracujú nezávisle na sebe, potom javy, B, C sú nezávislé a platí : BC. B. C 0,9.0,8.0,8 0, 6 ríklad : Zo sady kariet náhodne vyberieme kartu a uvažujeme o javoch : vybraná karta je 7, B - vybraná karta je guľa, C - vybraná karta je červená sedma, D - vybraná karta je kráľ. Zistite závislosť resp. nezávislosť dvojíc, B, C B, C B, D. ravdepodobnosti nastania jednotlivých javov sú : 8,,, B C D Jav Jav Jav Jav B znamená, že je vybraná guľová sedma C znamená, že je vybraná červená sedma B C znamená, že je to nemožný jav B D znamená, že je vybraný guľový kráľ ravdepodobnosti nastania jednotlivých javov sú : 8 B B C C 8 0 BC B C 8 B D B D Z uvedeného vyplýva, že dvojice B, C sú závislé. B, a B, D sú nezávislé. Naopak dvojice C, a

6 . ÚHRNNÁ RVDEODOBNOSŤ Zjednotením dvoch javov a B je úhrnný jav, ktorý nastane vtedy, ak nastane aspoň jeden z dvoch javov, B. re nájdenie jeho pravdepodobnosti je nutné rozlišovať prípady : B. a B sú nezlučiteľné, to znamená, že pri žiadnom pokuse nemôžu nastať súčasne. pre pravdepodobnosť úhrnného javu potom platí : resp. n B B k sú javy a B nezlučiteľné, potom B B je nemožný a. a B sú zlučiteľné, to znamená, že môžu nastať aj súčasne. pre pravdepodobnosť úhrnného javu v prípade, že a B sú zlučiteľné, to znamená B existuje a sú pri tom nezávislé platí : B B B pre pravdepodobnosť v prípade, že a B sú zlučiteľné a pritom závislé platí : pričom platí 0. resp. B B B / B B B B / B B B ríklad : ká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne buď číslo alebo číslo 6? jav, že padne číslo B jav, že padne číslo 6 otom zápis B znamená, že padne buď číslo alebo číslo 6. B 6 6 Nakoľko javy sú nezlučiteľné platí : B B 0, % 6 6 ríklad : Majme hracích kariet. Jednu farbu prehlásime za tzv. tromf. ká je pravdepodobnosť, že náhodne vytiahnutá karta je 0 alebo tromf? - jav, že vytiahnutá karta je 0 B - jav, že vytiahnutá karta je tromf. 6

7 Javy a B sú nezávislé, ale zlučiteľné, pretože môžu nastať aj súčasne. Jav vytiahnutá karta je tromfová 0 a jav vytiahnutá karta je tromf alebo 0. B re pravdepodobnosť nastania jednotlivých javov platí : 8 B B otom pre hľadanú pravdepodobnosť platí : B B B B B B 0, B ríklad : Traja strelci nezávisle na sebe jeden od druhého strieľajú na jeden a ten istý cieľ. ravdepodobnosť zásahu u strelca S = 0,8, S = 0,7 a S = 0,9. ká je pravdepodobnosť zničenia cieľa? - jav, že S zasiahol cieľ B - jav, že S zasiahol cieľ C - jav, že S zasiahol cieľ otom jav B C znamená, že cieľ zasiahol jeden strelec. Javy,B,C sú nezávislé, ale zlučiteľné, pretože môžu nastať aj súčasne. Hľadaná pravdepodobnosť je : BC B C B C BC BC resp. B C B C B C B C B C BC BC 0,8 0,7 0,9 0,80,7 0,80,9 0,7 0,9 0,8 0,7 0,9 0,9 9, % ríklad : V dvoch osudiach sú rovnako veľké guličky, pričom v prvom osudí je bielych, čiernych a 8 modrých. V druhom osudí je 0 bielych, 8 čiernych a 6 modrých guľôčok. Z oboch osudí vyberieme po jednej guľôčke. ká je pravdepodobnosť, že obe vytiahnuté guličky budú rovnakej farby? i - jav, že v prvom osudí bude vytiahnutá guľôčka i tej farby Bi - jav, že v druhom osudí bude vytiahnutá guľôčka i tej farby D - jav, že obe vytiahnuté guličky budú rovnakej farby Neznáma pravdepodobnosť je potom daná vzťahom : D B B B 7

8 retože javy i, Bi pre i =,, sú nezávislé, platí : D B B.osudie : = b + č + 8m 8 Výsledná pravdepodobnosť D B.osudie : = 0b + 8č + 6m B B B ,, % ríklad : Hodíme dvoma hracími mincami a uvažujeme o stavoch : padnú oba znaky, B padnú obe hlavy. Dokážte skutočnosť, či tvoria javy a B úplný systém javov? Javy a B netvoria úplný systém javov, avšak je potrebné to dokázať. Javy a B sú nezlučiteľné, ale netvoria všetky možné výsledky pokusu, pretože sú možné štyri dvojice (Z, Z), (Z, H), (H, Z), (H, H). B B Z uvedeného je zrejmé, že javy a B netvoria úplný systém javov. 8

9 . ÚLNÁ RVDEODOBNOSŤ redpokladajme, že je jav, ktorý nastane iba spolu s jedným zo stavov,,,...k. ko určiť pravdepodobnosť nastania javu? k / i. pričom platí k Hovoríme o tzv. úplnej pravdepodobnosti. i i ríklad : V troch vrecúškach sú biele a čierne guľôčky. V prvom sú biele a čierna, v druhom sú biele a čierna a v treťom sú biele a čierne. Náhodne zvolíme jedno vrecúško a vytiahneme z neho jednu guľôčku. ká je pravdepodobnosť, že vytiahnutá guľôčka je biela? - jav, že vytiahnutá guľôčka je biela i - jav, že zvolíme i te vrecúško Zvolenie vrecúška je rovnako pravdepodobné a preto platí : i prei,,. To znamená :,, otom platí :,, / / / Hľadaná pravdepodobnosť potom bude : / / / 0,69 6 6,9 % 9