3 Determinanty. 3.1 Determinaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc
|
|
- Vladislav Tobiška
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 3 eterminanty 3. eterminaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc Začneme úlohou, v ktorej je potrebné riešiť sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych. a x + a 2 x 2 = c a 22 a 2 x + a 22 x 2 = c 2 a 2 Ak prvú rovnicu vynásobíme číslom a 22, druhú číslom -a 2 a obe rovnice následne sčítame, dostaneme rovnicu o jednej neznámej x. (a a 22 a 2 a 2 )x = c a 22 c 2 a 2 Podobne môžeme pomocou vhodných násobkov (akých?) získať rovnicu o neznámej x 2. (a a 22 a 2 a 2 )x 2 = a c 2 a 2 c Riešenie sústavy potom má tvar ca ca, a c x = x2 = a c. aa22 a2a2 aa22 a2a2 Poznamenajme, že tento postup môžeme použiť iba v prípade, že výraz v menovateli je rôzny od nuly. Všimnime si teraz podobnosť vzorcov pre riešenie jednotlivých neznámych. Menovatele oboch vzorcov sú rovnaké a aj výrazy v čitateľoch sú dosť podobné. Takéto súčty súčinov budeme nazývať determinant matice druhého stupňa. a, a,2 Nech A = je matica nad množinou R. Potom výraz a a 22 a 2 a 2 nazývame a2, a2,2 determinantom (druhého stupňa) prislúchajúcim k matici A a označujeme ho a, a,2 a, a 2,2 a,2 a = 2, A a a =. 2, 2,2 Poznámka. Pre výpočet je dobré si zapamätať, že od súčinu prvkov na hlavnej diagonále (ktorá je vyznačená červenou farbou) odpočítame súčin prvkov na vedľajšej diagonále (ktorá je vyznačená modrou farbou). V zmysle tejto definície potom riešenie predchádzajúcej sústavy môžeme zapísať v tvare: c a2 a c c2 a22 a2 c2 x = x2 = a a2 a a2 a a a a Príklad 3.. Riešte sústavu rovníc použitím predchádzajúcich vzorcov. 2x 3y = x + 4y = 6 a a2 2 3 A = = = 24 ( 3) = a2 a22 4 c a x = = = 4 ( 3) 6= 22 x = x = = 2 c2 a A a c 2 = y 26 a c = 6 = = y y = = = A K = 2 2 {( 2;) } 45
2 3.2 eterminanty tretieho stupňa, Sarrusovo pravidlo Podobnú úvahu, ako sme urobili v prípade sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych, urobíme teraz aj v prípade troch rovníc o troch neznámych. a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = c a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 = c 2 a 3 x + a 32 x 2 + a 33 x 3 = c 3 Násobme prvú rovnicu číslom a 22 a 33 a 23 a 32, druhú rovnicu číslom a 3 a 32 a 2 a 33, tretiu číslom a 2 a 23 a 3 a 22, potom prvé dve pričítajme k tretej a dostaneme: (a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 )x = c a 22 a 33 c a 23 a 32 + c 2 a 3 a 32 c 2 a 2 a 33 + c 3 a 2 a 23 c 3 a 3 a 22 Podobne môžeme pomocou vhodných násobkov eliminovať ďalšie neznáme a dostaneme (čitateľovi doporučujeme, aby si premyslel výber týchto vhodných násobkov): (a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 )x 2 = a c 2 a 33 a a 23 c 3 + a 3 a 2 c 3 c a 2 a 33 + c a 23 a 3 a 3 c 2 a 3 (a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 )x 3 = a a 22 c 3 a c 2 a 32 + c a 2 a 32 a 2 a 2 c 3 + a 2 c 2 a 3 c a 22 a 3 Opäť si všimnime, že pri neznámych sme dostali rovnaké výrazy a naviac aj výrazy na pravých stranách sú podobné. Takéto súčty súčinov budeme nazývať determinanty tretieho stupňa Nech A je štvorcová matica tretieho stupňa s prvkami z množiny reálnych čísel. Potom determinantom (tretieho stupňa) prislúchajúcim k matici A nazývame výraz a a2 a3 aa22a33 + a3a2a32 + a2a23a3 aa23a32 a2a2a33 a3a22a3 = a2 a22 a23 = A. a3 a32 a33 c a2 a3 a c a3 a a2 c Ak označíme postupne A = c a a, A = a c a, A = a a c, potom c3 a32 a 33 a3 c3 a 33 a3 a32 c 3 v zmysle predchádzajúcej definície riešenie sústavy troch rovníc dostávame v tvare A A2 A3 x =, x2 =, x3 =. A A A Poznamenajme znova, že determinant matice sústavy musí byť rôzny od nuly. Výraz pre výpočet determinantu tretieho stupňa je komplikovanejší ako pri výpočte determinantu druhého stupňa. Teraz si uvedieme Sarrusovo pravidlo, ktoré nám umožní ľahšie zapamätanie vzorca pre výpočet determinantu tretieho stupňa. Pod determinant pripíšeme prvý a druhý riadok príslušnej matice. Pre takto zostrojenú schému urobíme súčet súčinov trojíc v smere hlavnej diagonály (vyznačené červenou farbou) a od týchto odčítame súčiny trojíc v smere vedľajšej diagonály (vyznačené modrou farbou). a a2 a3 a2 a22 a23 a3 a32 a33 = a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 a a2 a3 a a a
3 Príklad 3.2. Riešte sústavu rovníc použitím predchádzajúcich vzorcov. 2x 3y + 3z = x + 4y + z = 6 y 2z = a a2 a A = a2 a22 a23 = 4 = a3 a32 a ( 2) ( 3) ( 3) ( 2) = = 2 c a2 a3 3 3 = c2 a22 a23 = 6 4 = c3 a32 a ( 2) ( 3) 34 ( 3) 6 ( 2) = = 42 a c a = a2 c2 a23 = 6 = a3 c3 a ( 2) ( 2) = = 2 a a2 c 2 3 A = a2 a22 c2 = 4 6 = a3 a32 c = = 0 42 x = = = 2 A 2 K = {( 2;;0 )} 2 2 y = = = A z = = = 0 A eterminanty n-tého stupňa, ich výpočet Označenie: Nech A je štvorcová matica stupňa n>. Znakom A ij budeme označovať maticu, ktorá vznikne z matice A vynechaním i-tého riadku a j-tého stĺpca. Je to znova štvorcová matica stupňa n-. a a2 an a2 a22 a2n eterminantom štvorcovej matice A = stupňa n je číslo, označené an an2 ann A, ktoré sa rovná:. A =a, ak matica A je stupňa, t.j. A=(a ) 2. A =a A - a 2 A 2 + a 3 A (-) n+ a n A n, ak matica je stupňa n>. 47
4 Poznámka. Táto definícia sa nazýva rekurentná definícia. Pomocou tejto definície vypočítame determinant matice stupňa n pomocou determinantov matíc stupňa n-. Poznámka. Číslo ( ) i + = k A sa nazýva algebraický doplnok prvku a ik matice A. ik ik Príklad 3.3. Použitím predchádzajúcej definície vypočítajte determinant A = A = ( ) = ( 7) ( ) ( 27) ( 40) = = 54 Vlastnosti determinantov Príklad 3.4. Rozviňte determinant podľa prvkov prvého riadku a potom podľa prvkov druhého stĺpca: Všimnime si, že determinant tretieho stupňa (a nielen tretieho) má tú vlastnosť, že v každom súčinovom člene sa nachádza prvok z každého riadku aj z každého stĺpca. Môžeme teda z determinantu vyňať pred zátvorku prvky ľubovoľného riadku alebo ľubovoľného stĺpca. Tejto procedúre hovoríme rozvoj determinantu podľa prvkov príslušného riadku, resp. príslušného stĺpca. Ukážeme si teraz rozvoj determinantu podľa prvého riadku. Majme determinant a a2 a3 a2 a22 a23 = a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3. a a a Ak z jednotlivých súčinov vyberieme pred zátvorky prvky prvého riadku, dostaneme a (a 22 a 33 a 23 a 32 ) + a 2 (a 23 a 3 a 2 a 33 ) + a 3 (a 2 a 32 a 22 a 3 ). Ak teraz využijeme tú skutočnosť, že výrazy v zátvorkách sú vlastne isté determinanty druhého stupňa, možeme predchádzajúci výraz v súlade s dohovorom na začiatku podkapitoly zapísať v tvare a A - a 2 A 2 + a 3 A 3. Tento výraz sa nazýva rozvoj determinantu podľa prvkov prvého riadku. Podobne, ak z determinantu a a2 a3 a2 a22 a23 = a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 a3 a32 a33 vyberieme pred zátvorky prvky druhého stĺpca, dostaneme a 2 (a 23 a 3 a 2 a 33 )+a 22 (a a 33 a 3 a 3 )+a 32 (a 3 a 2 a a 23 ) = - a 2 A 2 + a 22 A 22 - a 32 A 32. Tento výraz sa nazýva rozvoj podľa prvkov druhého stĺpca. Upozorňujeme čitateľa na zmenu znamienok. Podrobnejšie sa určovaniu znamienok budeme venovať vo vete 3.3. Nasledujúce vety nám opisujú niektoré základné vlastnosti determinantov. Vybrali sme hlavne tie vlastnosti, ktoré sú potrebné pre výpočet determinantov. Poznamenajme, že pre 48
5 determinanty vyššieho stupňa ako 3 neexistuje pre výpočet pravidlo podobné Sarrusovmu pravidlu. Môžeme ich počítať iba postupným znižovaním rádu s použitím nasledujúcich viet. Veta 3.. Ak všetky prvky niektorého riadku (stĺpca) matice A sú rovné 0, tak A = 0. Veta 3.2. eterminant násobíme číslom tak, že ním násobíme niektorý riadok alebo stĺpec determinantu. Veta 3.3. Pre determinant matice A a pre ľubovoľné i, j {, 2,...,n} platí: A = ( ) i+ a i A i ( ) i+n a in A in, A = ( ) +j a j A j ( ) n+j a n j A nj. Veta 3.4. Nech matica B vznikne z A trasponovaním. Potom B = A. Veta 3.5. Ak v determinante sú dva riadky navzájom rovné, tak determinant sa rovná 0. (Platí aj pre stĺpce.) Veta 3.6. Hodnota determinantu matice A sa nezmení, keď k nejakému riadku pričítame násobok iného riadku. (Platí aj pre stĺpce.) Poznámka. Posledná veta je dôležitá najmä pre skutočnosť, že jej použitím vieme vyrábať v riadkoch, prípadne stĺpcoch, nuly bez toho, aby sa zmenila hodnota determinantu. Po vyrobení núl v niektorom riadku alebo stĺpci následne urobíme rozvoj determinantu pomocou tohto riadku, resp. stĺpca. Príklad 3.5. Ak v determinante pričítame 2-násobok 2. riadku k 3. riadku, dostaneme, pričom sa hodnota determinantu nezmení. ruhý zápis determinantu je však pre výpočet jednoduchší. Stačí urobiť rozvoj podľa tretieho riadku: = = = 63 =
6 3.4 Použitie determinantov Použitie determinantov pri riešení sústav rovníc Našou úlohou bude riešiť nasledujúcu sústavu rovníc použitím determinantov. V úvode tohto paragrafu sme úlohu vyriešili v prípade n=2, resp. n=3. Nasledujúca veta, ktorá sa nazýva Cramerovo pravidlo, je zovšeobecnením predchádzajúcich výsledkov pre ľubovoľné n. Veta 3.7. (Cramerovo pravidlo) Nech a x a n x n = c a 2 x a 2n x n = c 2... a n x a nn x n = c n je sústava n lineárnych rovníc o n neznámych. Nech determinant matice sústavy je A An rôzny od nuly. Potom sústava má jediné riešenie x =,, xn A = A, kde c a2 a3 a, n a n c2 a22 a23 a2, n a2n A =, A cn an2 an3 an, n a nn a a2 a3 a, n c a2 a22 a23 a2, n c2 A n =. an an2 an3 an, n c n 2 a c a3 a, n a n a2 c2 a23 a2, n a2n =, an cn an3 an, n a nn Príklad 3.6. Riešte sústavu rovníc: 2x 3y + 3z + 5t = -4 x + 4y + z - t = 7 y 2z +2t = - 3x - t = A = = A3 = = A 474 x = = = 2 A 237 {( 2;;0; ) } K = A A A2 237 y = = = A = = A = = A3 0 z = = = 0 A = = A4 237 t = = = A
7 Použitie determinantov na výpočet inverznej matice S výpočtom inverznej matice sme sa už stretli v kapitole 2. Tam sme inverznú maticu počítali pomocou ERO. Nasledujúca veta nám dáva návod, ako môžeme inverznú maticu vypočítať pomocou determinantov. 2 n A A A 2 22 n2 Veta 3.8. Nech A je regulárna matica. Potom A = A A A. n 2n nn A A A Príklad Nájdite inverznú maticu k matici A = Vypočítame jednotlivé determinanty: 2 A = 2 2 = = = = 0 + = 9 2 = = ( 0 + 3) = = = 2 6= 4 2 = = ( 0 ) = = = 5 3= = = 2 2= = = 2 4= Inverzná matica k matici A je A 2 23 = = ( 6) = = = ( 2) = = =
8 Príklad Nájdite inverznú maticu k matici A = Vypočítame jednotlivé determinanty: A = = = 0 = = 0 = 20 2 = 0 0 = = 0 0 = 7 4 = 0 = = 0 = 4 22 = 0 0 = = 0 0 = = 4 3 = = 4 3 = = 0 = = 3 = = 4 = = 4 3 = = 4 3 = = 3 = = 4 =
9 Inverzná matica k matici A je A = Z kapitoly o maticiach vieme, že inverzná matica existuje iba k regulárnej matici. V predchádzajúcej vete sú použité zlomky, v ktorých je menovateľom determinant matice A. Korektnosť vzorca pre regulárne matice zabezpečuje nasledujúca veta. Veta 3.9. Štvorcová matica je regulárna vtedy a len vtedy, keď jej determinant je rôzny od 0. Štvorcová matica je singulárna vtedy a len vtedy, keď sa jej determinant rovná 0. Príklad Zistite, či je matica A = 0 regulárna alebo singulárna. 0 0 Vypočítame determinant matice A. Ak bude tento determinant nulový, matica je singulárna, inak je regulárna. 4 A = 0 = = Pretože determinant je nenulový, matica je regulárna. Príklad Zistite, či je matica A = regulárna alebo singulárna Pretože determinant A = = 3 0 (pozri príklad 3.8.) matica je regulárna
10 Príklad Zistite, či je matica A = regulárna alebo singulárna A = = = Matica je singulárna. (Pri výpočte hodnoty determinantu sme najprv pričítali (-2)-násobok. riadku k 4. riadku a potom sme využili poznatok, že ak matica obsahuje nulový riadok, jej determinant je nulový.) 3.5 Úlohy Vypočítajte hodnoty determinantov nasledujúcich matíc, ak existujú.. ( 5 ) Riešenia:. 5 = ( ) 5 ( 2) = = + =
11 = = = = 2 ( 7) ( ) + 0 ( 3) ( 2) + ( ) ( 2) = = = 2 3 = ( ) ( 2) 2 ( 2) 4 3 ( ) 5 2 2= = = = 6 5 = 6 5 = ( 2) ( ) ( ) 5 6 ( 2) = = Matica nie je štvorcová, preto determinant neexistuje ,4 0,6 0, = = 5 = = , = 5 2 = 5 2 ( 3 4 ( 2) 0) = = , = = = 2 =
12 , = 2 4,5 9 = = , = = Pri výpočte sme najprv pričítali (-)-násobok. riadku k 2. riadku a potom sme využili skutočnosť, že determinant matice obsahujúcej nulový riadok je nula = = = Pri výpočte sme najprv pričítali (-)-násobok. riadku k 3. riadku, potom sme pričítali (-)-násobok 2. riadku k 3. riadku a napokon sme využili skutočnosť, že determinant matice obsahujúcej nulový riadok je nula. Použitím determinantov riešte sústavy rovníc. x+ 2y = x y = 0 x+ y+ z = x+ 2 y+ z = x+ 3z = y+ 3z = 3 2x+ 0 y+ z = 5 x+ 3 y = 2 a+ b+ c+ d = 2 2a+ 3 b+ d = 5 b+ 3 c+ d = a 5 b+ c+ 2d = A = = 6= 7 3 A x = = 7 0 = 7 Ay = = 0 2 = Ax 7 Ay 2 x= = = y = = = 3 K = ;3 A 7 A 7 {[ ]} 56
13 3. A = 2 2 = = 7 8= A = 2 = = = 3 x A = 2 = = 5 53 = 2 y A = 2 2 = = = z A x x = = = 3 A A y 2 x = = = 2 A A z z = = = A A = 2 0 = = 9 30 = A = 5 0 = = = 22 x A = 2 5 = = 5 5= 0 y A = = = = z 3 2 K = {[ 3;2; ]} A x 22 x = = = 2 A A y 0 x = = = 0 A A z z = = = A K = {[ 2;0;] } A = = = 3 = =
14 A a = = = = 5 = ( ) = A b = = = 3 = = A c A d = = = = = = = = 3 = = a= Aa Ab = = b= = = A A c= Ac 0 Ad 0 = = 0 d = = = 0 A A K = ;;0;0 {[ ]} Pomocou determinantov nájdite inverznú maticu k danej matici. Ak existuje, urobte aj skúšku správnosti Riešenia: 6. 2 A = = 4 3= 3 2 = 2 = 2 = 3 = 3 = = = 2 =
15 2 2 A = = Skúška správnosti: A A ( 3) 2 ( ) = = = ( 3) 3( ) A = 2 = = = = 2 2 = = 3 = = = = 2 22 = = 5 23 = = = = 4 32 = = 2 33 = = A = = Skúška správnosti: A A = 2 = A = 0 = = = = 2 = = 2 3 = = = = 2 22 = = 2 23 = = = = 32 = = 0 33 = =
16 A = = Skúška správnosti: A A = 0 0= A = = = Pretože determinant matice A je nulový, inverzná matica k matici A neexistuje A = = = 0 2 = 2 4= = 5 3 = = 5 3 = 9 4 = = = 5 3 = 6 22 = 5 5 = = 5 3 = 6 24 = = = 2 = 9 32 = 5 5 = = 2 =
17 = 2 = = 2 = 42 = = = 2 = 44 = 2 = = = A = = Skúška správnosti: A A = =
Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H.
FUNKCIA, DEFINIČNÝ OBOR, OBOR HODNÔT Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H. Množina D definičný obor Množina H obor hodnôt Funkciu môžeme
Více8. Relácia usporiadania
8. Relácia usporiadania V tejto časti sa budeme venovať ďalšiemu špeciálnemu typu binárnych relácií v množine M - reláciám Najskôr si uvedieme nasledujúce štyri definície. Relácia R definovaná v množine
VíceKvadratické funkcie, rovnice, 1
Kvadratické funkcie, rovnice, 1. ročník Kvadratická funkcia Kvadratickou funkciu sa nazýva každá funkcia na množine reálnych čísel R daná rovnicou y = ax + bx + c, kde a je reálne číslo rôzne od nuly,
VíceZvyškové triedy podľa modulu
Zvyškové triedy podľa modulu Tomáš Madaras 2011 Pre dané prirodzené číslo m 2 je relácia kongruencie podľa modulu m na množine Z reláciou ekvivalencie, teda jej prislúcha rozklad Z na systém navzájom disjunktných
VíceIracionálne rovnice = 14 = ±
Iracionálne rovnice D. Rovnica je iracionálna, ak obsahuje neznámu pod odmocninou. P. Ak ide o odmocninu s párnym odmocniteľom, potom musíme stanoviť definičný obor pod odmocninou nesmie byť záporná hodnota
VíceNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 4 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc Prednáška č. 4 OBSAH. Sústavy lineárnych rovníc 2. Priame metódy 3. Gaussova eliminačná metóda 4. Výber hlavného prvku 5.
VíceMatice. Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami amn. a ij. prvok matice, i j udáva pozíciu prvku
Matice Matice Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami a11 a12... a1 n a21 a22... a2n............ am1 am2... amn a ij prvok matice, i j udáva pozíciu prvku i- čísluje riadky J- čísluje stĺpce
VíceM úlohy (vyriešené) pre rok 2017
M úlohy (vyriešené) pre rok 2017 Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktorého ciferný súčet je 2017 Ak má byť prirodzené číslo s daným ciferným súčtom čo najmenšie, musí mať čo najviac číslic 9 Pretože
VíceRIEŠENIE NIEKTORÝCH ÚLOH LINEÁRNEJ ALGEBRY V PROSTREDÍ MS EXCEL. 1. Zadáme prvky matice A a B do buniek pracovného hárku zošita MS Excel
RIEŠENIE NIEKTORÝCH ÚLOH LINEÁRNEJ ALGEBRY V PROSTREDÍ I. VÝPOČET SÚČINU MATÍC Vypočítajme súčin matíc C = A B, ak existuje, pre dané matice A a B. 1. Zadáme prvky matice A a B do buniek pracovného hárku
VíceĎalší spôsob, akým je možné vygenerovať maticu je použitie zabudovaných funkcií na generovanie elementárnych matíc.
MATICE MATLAB poskytuje obrovskú podporu práce s maticami. Táto hodina sa bude zaoberať základmi práce s maticami. Cieľom prvej časti hodiny je objasnenie základných princípov tvorby matíc, ich editáciu
VíceMOCNINY A ODMOCNINY Eva Zummerová
MOCNINY A ODMOCNINY Eva Zummerová . Mocniny s prirodzeným exponentom Zápis a n (čítame a na n-tú ), kde a R, n N a platí : a n = a.a...a n činiteľov sa nazýva n-tá mocnina čísla a. Číslo a sa nazýva základ
Vícei j, existuje práve jeden algebraický polynóm n-tého stupˇna Priamym dosadením do (2) dostávame:
0 Interpolácia 0 Úvod Hlavnou myšlienkou interpolácie je nájs t funkciu polynóm) P n x) ktorá sa bude zhodova t s funkciou fx) v n rôznych uzlových bodoch x i tj P n x) = fx i ) = f i = y i i = 0 n Niekedy
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceČÍSELNÉ RADY. a n (1) n=1
ČÍSELNÉ RADY Budeme sa zaoberať výrazmi, ktoré obsahujú nekonečne veľa sčítancov. Takéto výrazy budeme nazývať nekonečné rady. V nasledujúcom príklade je ilustrované, ako môže takýto výraz vzniknúť. Príklad.
VíceMatematika Postupnosti
Matematika 1-06 Postupnosti Definícia: Nekonečnou postupnosťou reálnych čísel nazývame zobrazenie f: N R množiny prirodzených čísel N do množiny reálnych čísel R. Označenie: a n n=1 = a 1, a 2,, a n, Matematika
Více7. Relácia ekvivalencie a rozklad množiny
7 Relácia ekvivalencie a rozklad množiny V tejto časti sa budeme venovať špeciálnemu typu binárnych relácií na množine - reláciám ekvivalencie a ich súvisu s rozkladom množiny Relácia ekvivalencie na množine
VíceLineárne nerovnice, lineárna optimalizácia
Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia V tomto tete sa budeme zaoberat najskôr grafickým znázornením riešenia sústav
VíceTC Obsahový štandard - téma Výkonový štandard - výstup
Mocniny a odmocniny, zápis veľkých čísel Finančná matemati ka UČEBNÉ OSNOVY DEVIATY ROČNÍK TC Obsahový štandard - téma Výkonový štandard - výstup Vklad, úrok, úroková miera Dane zvládnuť základné pojmy
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VícePrevody z pointfree tvaru na pointwise tvar
Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar Tomáš Szaniszlo 2010-03-24 (v.2) 1 Príklad (.(,)). (.). (,) Prevedenie z pointfree do pointwise tvaru výrazu (.(,)). (.). (,). (.(,)). (.). (,) Teraz je funkcia
VíceKOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SÚČINU
KOMBINATORIKA MODERNÉ VZDELÁVANIE PRE VEDOMOSTNÚ SPOLOČNOSŤ/ PROJEKT JE SPOLUFINANCOVANÝ ZO ZDROJOV EÚ KÓD ITMS PROJEKTU: 26110130645 UČIŤ MODERNE, INOVATÍVNE, KREATÍVNE ZNAMENÁ OTVÁRAŤ BRÁNU DO SVETA
VíceAk stlačíme OK, prebehne výpočet a v bunke B1 je výsledok.
Hľadanie riešenia: ak poznáme očakávaný výsledok jednoduchého vzorca, ale vstupná hodnota, ktorú potrebujeme k určeniu výsledku je neznáma. Aplikácia Excel hľadá varianty hodnoty v určitej bunke, kým vzorec,
VíceZÁKLADY TEÓRIE GRAFOV
ZÁKLAY EÓRIE GRAFOV PRÍKLA : Minimálna kostra grafu v zadanom grafe určite minimálnu kostru grafu 9 Riešenie: Kostra grafu je taký podgraf, ktorý obsahuje všetky vrcholy pôvodného grafu a neobsahuje uzavretý
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceLimita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3
Limita funkcie y 2 2 1 1 2 1 y 2 2 1 lim 3 1 1 Čo rozumieme pod blížiť sa? Porovnanie funkcií y 2 2 1 1 y 2 1 2 2 1 lim 3 1 1 1-1+ Limita funkcie lim f b a Ak ku každému číslu, eistuje také okolie bodu
VíceNikdy nie je na škodu vedieť urobiť si najprv s mínuskami aspoň trochu poriadok. Ak viete vypočítať nasledujúce príklady, nebude to pre vás ťažké.
12. téma: Kalkulačka I. Troška teórie a troška príkladov Pravdepodobne už teraz máte pocit, že sa bez kalkulačky nezaobídete. Priznajte sa, ste si istý, že sa na ňu skutočne môžete spoľahnúť. Viete ju
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceRiešenie nelineárnych rovníc I
Riešenie nelineárnych rovníc I Ako je už zo samotného názvu hodiny parné budeme sa venovať spôsobom výpočtu nelineárnych rovníc. Prečo je riešenie takýchto rovníc nevyhnutné? Nielen v samotnom chemickom
VíceKontrola väzieb výkazu Súvaha a Výkaz ziskov a strát Príručka používateľa
Kontrola Príručka používateľa úroveň: Klient Štátnej pokladnice Verzia 1.0 Január 2013 Autor: Michal Pikus FocusPM Page 1 of 5 Obsah Obsah... 2 1. Úvod... 3 2. Logika porovnania... 3 3. Vykonanie kontroly...
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceTo bolo ľahké. Dokážete nakresliť kúsok od prvého stromčeka rovnaký? Asi áno, veď môžete použiť tie isté príkazy.
Opakuj a pomenuj Nakreslime si ovocný sad Príklad 1 Pomocou príkazového riadku skúste s korytnačkou nakresliť ovocný stromček. Vaša postupnosť príkazov sa možno podobá na nasledujúcu:? nechfp "hnedá? nechhp
VícePracovné prostredie MS EXCEL 2003.
Pracovné prostredie MS EXCEL 2003. Tabuľkové kalkulátory sú veľmi praktické aplikácie pre realizáciu výpočtov, grafických prezentácií údajov, ako aj pe prácu s rôznymi údajmi ako s bázou dát. Tieto programy
VíceČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
VíceCVIČENIE 1 : ZÁKLADNÉ VÝPOČTY PRAVDEPODOBNOSTI
CVIČENIE : ZÁKLDNÉ VÝOČTY RVDEODOBNOSTI. KLSICKÁ DEFINÍCI RVDEODOBNOSTI ríklad : ká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne číslo resp. padne nepárne číslo? jav, kedy padne číslo B jav, že padne nepárne
VíceKombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)
Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie) Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Beáta Stehlíková, FMFI UK Bratislava www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Príklad 1: Zhody kariet
VíceRozklad mnohočlenov na súčin
KrAv05-T List 1 Rozklad mnohočlenov na súčin RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Teraz si ukážeme, ako môžeme rozložiť mnohočlen na súčin mnohočlenov čo najnižšieho stupňa. Napr. 3x 3xy 3xx y), alebo 3x y )
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceMnožiny, relácie, zobrazenia
Množiny, relácie, zobrazenia Množiny "Množina je súhrn predmetov, vecí, dobre rozlíšiteľných našou mysľou alebo intuíciou" "Množina je súbor rôznych objektov, ktoré sú charakterizované spoločnými vlastnosťami,
VíceZáklady algoritmizácie a programovania
Základy algoritmizácie a programovania Pojem algoritmu Algoritmus základný elementárny pojem informatiky, je prepis, návod, realizáciou ktorého získame zo zadaných vstupných údajov požadované výsledky.
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceFinančné riaditeľstvo Slovenskej republiky
Finančné riaditeľstvo Slovenskej republiky Informácia k odpočtu daňovej straty v tabuľke D tlačiva daňového priznania k dani z príjmov právnickej osoby Daňovník - právnická osoba so zdaňovacím obdobím
VíceSOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat
Víceje zmena operácie ktorou z nelineárneho systému môže spraviť lineárny. Týmto krokom sme získali signál ktorý môžeme spracovať pomocou LDKI sústavy.
Homomorfné systémy Homomorfné systémy sú nelineárne systémy, preto pri nich neplatí princíp superpozície a proporcionality tak ako to je pri lineárnych systémoch. A vieme ich takto grafický znázorniť:
VíceImagine. Popis prostredia:
Priemerný človek si zapamätá približne: - 10 % z toho, čo číta, - 20 % z toho, čo počuje, - 30 % z toho, čo vidí v podobe obrazu, - 50 % z toho, čo vidí a súčasne počuje, - 70 % z toho čo súčasne vidí,
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceRiešené úlohy Testovania 9/ 2011
Riešené úlohy Testovania 9/ 2011 01. Nájdite číslo, ktoré po vydelení číslom 12 dáva podiel 57 a zvyšok 11. 57x12=684 684+11=695 Skúška: 695:12=57 95 11 01. 6 9 5 02. V sude je 1,5 hektolitra dažďovej
VíceAko započítať daňovú licenciu
Ako započítať daňovú licenciu 1. Zápočet daňovej licencie a jej evidencia... 1 2. Započítanie DL v plnej sume... 1 3. Nárok na čiastočný zápočet DL... 2 4. Bez nároku na zápočet, daň < DL... 3 5. Bez nároku
VíceDeterminant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
VíceNOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 9, 1.časť
Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 9, 1.časť Stupeň vzdelávania: ISCED 2 - nižšie sekundárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami
VíceObrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu. Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu
Cvičenie:.. Pre každú zo sietí uvedených dole určite minimálny celkový čas, ktorý zaberie dokončenie projektu, minimálne časové ohodnotenie E(v) u jednotlivých vrcholov a kritickú cestu. (a) Obrázok..
VíceMANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM
MANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM Cvičenia na úlohy s porozumením si vieme pre žiakov vytvoriť v programe, ktorý stiahneme zo stránky http://www.education.vic.gov.au/languagesonline/games/comprehension/index.htm.
VíceKombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)
Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie) Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Cvičenie 1 Beáta Stehlíková, FMFI UK Bratislava www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Príklad 1: Zhody
VíceNumerický výpočet integrálu
Numerický výpočet integrálu Na tejto hodine si ukážeme niekoľko základných spôsobov akými je možné vypočítať hodnotu určitého integrálu v MATLABe. V prvej časti si predstavíme dva najjednoduchšie spôsoby
VíceMatematika pre tretiakov. Ako reaguje séria učebných materiálov M. Belica a J. Striežovskej na zmeny v išvp
Matematika pre tretiakov Ako reaguje séria učebných materiálov M. Belica a J. Striežovskej na zmeny v išvp INFOSERVIS Prezentácia je dostupná na www.aitec.sk Otázky dávajte aj priebežne. Stíšte si, prosím,
VíceAR, MA a ARMA procesy
Beáta Stehlíková FMFI UK Bratislava Overovanie stacionarity a invertovateľnosti Opakovanie - stacionarita AR procesu Zistite, či je proces x t = 1.2x t 1 + 0.5x t 2 + 0.3x t 3 + u t stacionárny. Napíšte
VíceSúmernosti. Mgr. Zuzana Blašková, "Súmernosti" 7.ročník ZŠ. 7.ročník ZŠ. Zistili sme. Zistite, či je ľudská tvár súmerná
Mgr. Zuzana Blašková, "úmernosti" 7.ročník ZŠ 1 úmernosti 7.ročník ZŠ Mgr. Zuzana Blašková 2 ZŠ taničná 13, Košice Osová súmernosť určenie základné rysovanie vlastnosti úlohy s riešeniami osovo súmerné
Více7.1 Návrhové zobrazenie dotazu
7.1 Návrhové zobrazenie dotazu Ovládanie návrhového zobrazenia, ktoré je jedným z možností zobrazenia dotazu, je nevyhnutné pri tvorbe zložitejších dotazov, pretože v ňom môžeme definovať akýkoľvek dotaz
VíceRiešenie cvičení z 3. kapitoly
Riešenie cvičení z 3. kapitoly Cvičenie 3.1. Prepíšte z prirodzeného jazyka do jazyka výrokovej logiky: (a) Jano pôjde na výlet a Fero pôjde na výlet; (1) vyjadrite túto vetu pomocou implikácie a negácie
VíceNávod na používanie súboru na vyhodnotenie testov všeobecnej pohybovej výkonnosti
Návod na používanie súboru na vyhodnotenie testov všeobecnej pohybovej výkonnosti Na overenie trénovanosti hráčov sa o.i. vykonávajú testy všeobecnej pohybovej výkonnosti. Z hľadiska vyhodnotenia je potrebné
VíceImport Excel Univerzál
Import Excel Univerzál PRÍKLAD Ako jednoducho postupova pri importe akéhoko vek súboru z MS Excel do programu CENKROS plus, ktorý má podobu rozpo tu (napr. rozpo et vytvorený v inom programe)? RIEŠENIE
VíceNEVLASTNÁ VODIVOSŤ POLOVODIČOVÉHO MATERIÁLU TYPU P
NEVLASTNÁ VODIVOSŤ POLOVODIČOVÉHO MATERIÁLU TYPU P 1. VLASTNÉ POLOVODIČE Vlastnými polovodičmi nazývame polovodiče chemicky čisté, bez prímesí iných prvkov. V súčasnosti je najpoužívanejším polovodičovým
VíceFunkcionální řady. January 13, 2016
Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine
VícePROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI. Anotácia predmetu
PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI Číslo predmetu : 2B001 Názov predmetu : Matematika I. Typ predmetu : Povinný Študijný odbor: Všetky odbory bakalárskeho štúdia SjF Zameranie: Ročník : 1. Semester : zimný Počet
VíceRovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky
Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice
VíceŘešení příkladů na procvičení pravděpodobnosti 1
Řešení příkladů na procvičení pravděpodobnosti 1 1. ŘEŠENÍ Škola: Š...Jakub úspešne dokončí školu Š 3... v komisii sú práve 3 zhovievaví profesori Š 4... v komisii sú práve 4 zhovievaví profesori Š 5...
VícePROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI. Anotácia predmetu
PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI Číslo predmetu : 2B001 Názov predmetu : Matematika I. Typ predmetu : Povinný Študijný odbor: Všetky odbory externého bakalárskeho štúdia Zameranie: Ročník : 1. Semester : zimný
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VícePoužitie grafického kalkulátora Casio ClassPad300 vo vyučovaní matematiky v tematickom celku POSTUPNOSTI
Použitie grafického kalkulátora Casio ClassPad300 vo vyučovaní matematiky v tematickom celku POSTUPNOSTI Martina Bestrová Abstrakt: Ako hovorí už samotný názov, článok sa zaoberá použitím grafického kalkulátora
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VícePozičné číselné sústavy. Dejiny. Číselná sústava je spôsob, akým sú zapisované čísla pomocou znakov (nazývaných cifry).
Duda, Džima, Mačák Pozičné číselné sústavy Číselná sústava je spôsob, akým sú zapisované čísla pomocou znakov (nazývaných cifry). Podľa spôsobu určenia hodnoty čísla z daného zápisu rozlišujeme dva hlavné
VícePODPROGRAMY. Vyčlenenie podprogramu a jeho pomenovanie robíme v deklarácii programu a aktiváciu vykonáme volaním podprogramu.
PODPROGRAMY Podprogram je relatívne samostatný čiastočný algoritmus (čiže časť programu, ktorý má vlastnosti malého programu a hlavný program ho môže volať) Spravidla ide o postup, ktorý bude v programe
VíceMetóda vetiev a hraníc (Branch and Bound Method)
Metóda vetiev a hraníc (Branch and Bound Method) na riešenie úloh celočíselného lineárneho programovania Úloha plánovania výroby s nedeliteľnosťami Podnikateľ vyrába a predáva zemiakové lupienky a hranolčeky
VíceMgr. Stanislav Fila, psychológ CPPPaP Banská Bystrica Centrum pedagogicko-psychologického poradenstva a prevencie (bývalá KPPP) Banská Bystrica
Návod 2. Prevod tlačeného textu na písané písmo fontu Abeceda.ttf. 24 9. 2016 Prevod textu s obrázkami. Príklad. Mgr. Stanislav Fila, psychológ CPPPaP Banská Bystrica Centrum pedagogicko-psychologického
VícePROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI. Anotácia predmetu
PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI Číslo predmetu : 3B0100 Názov predmetu : Matematika I. Typ predmetu : Povinný Študijný odbor: Všetky odbory bakalárskeho štúdia EF Zameranie: Ročník : 1. Semester : zimný Počet
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Více12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
VíceTabuľkový kalkulátor EXCEL Základné operácie v programe Excel
Tabuľkový kalkulátor EXCEL Základné operácie v programe Excel Základné matematické operácie (súčet, rozdiel, násobenie, podiel) Rady (kalendárne, aritmetické, rastové,...) Overovanie dát Zoznamy Matematické
VíceZáklady optických systémov
Základy optických systémov Norbert Tarjányi, Katedra fyziky, EF ŽU tarjanyi@fyzika.uniza.sk 1 Vlastnosti svetla - koherencia Koherencia časová, priestorová Časová koherencia: charakterizuje koreláciu optického
VíceSpracovanie informácií
2 Spracovanie informácií PC = stroj na spracovanie informácií (nielen výpočty) Spracovanie = Evidovanie (zaznamenávanie, uchovávanie) Selektovanie (výber vhodných údajov) Výstup údajov (napr. na tlačiareň)
VíceProgram "Inventúra program.xlsm"
1 / 14 Program "Inventúra program.xlsm" Program pracuje s reportami, ktoré majú ako zdroj dát tabuľku inventárnych dát. Program je uložený ako VBA projekt v Excel súbore "Inventúra Program.xlsm". Program
VíceObsah Úvod... 3 Zapnutie makra... 4 Vyplnenie formulára... 6 Naplnenie hlavnej knihy... 7 Naplnenie stavu zamestnancov... 7 Mapa modulov...
Š t a t i s t i c k év ý k a z y 2 0 1 6Š US R Ma n u á l Obsah Úvod... 3 Zapnutie makra... 4 Vyplnenie formulára... 6 Naplnenie hlavnej knihy... 7 Naplnenie stavu zamestnancov... 7 Mapa modulov... 8 Práca
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VícePorovnanie dizajnu časopisu
Univerzita sv. Cyrila a Metoda v Trnave Fakulta masmediálnej komunikácie Katedra umeleckej komunikácie Porovnanie dizajnu časopisu (semestrálna práca) Meno: Martin Valdner Vyučujúci: Mgr. Dušan Blahút
VícePRIEMYSELNÁ INFORMATIKA DISKRÉTNE LINEÁRNE RIADENIE
e(k 1) e(k) e(k) e(k 1) PRIEMYSELNÁ INFORMATIKA 5.5. Číslicové regulátory Od číslicového regulátora budeme očakávať rovnakú funkciu ako od spojitého regulátora a tou je vstupujúcu regulačnú odchýlku zosilňovať,
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceManuál na prácu s databázou zmlúv, faktúr a objednávok Mesta Martin.
Manuál na prácu s databázou zmlúv, faktúr a objednávok Mesta Martin. Cieľom databázy zmlúv, faktúr a objednávok Mesta Martin je zverejnenie uvedených záznamov v zmysle ustanovení zákona č. 211/2000 Z.z.
Více- rysovať rovnobežky, rôznobežky, kolmice; Uč.I.str.36/1; str.38/12; str.41/2 - rysovať obdĺžnik, štvorec a trojuholník. Uč.I.str.
Tézy z matematiky - 5. ročník I. Sčítanie a odčítanie prirodzených čísel - sčítať a odčítať prirodzené čísla; Uč.II.str. 42/2,3,4; str.48/4 - sčítať aj viacej sčítancov; Uč.II. str.44/7; str.51/3, - riešiť
VíceVECIT 2006 Tento materiál vznikol v rámci projektu, ktorý je spolufinancovaný Európskou úniou. 1/4
Príklad 1 Naučte korytnačku príkaz čelenka. Porozmýšľajte nad využitím príkazu plnytrojuhol60: viem plnytrojuhol60 opakuj 3 [do 60 vp 120 Riešenie: definujeme ďalšie príkazy na kreslenie trojuholníka líšiace
VíceVytvorenie používateľov a nastavenie prístupov
Vytvorenie používateľov a nastavenie prístupov 1. Vytvorenie používateľov Spustite modul Správa systému, prihláste sa ako používateľ sa, z ponuky vyberte Evidencie Používatelia - Zoznam. Pomocou tlačidla
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceSK skmo.sk. 65. ročník Matematickej olympiády 2015/2016 Riešenia úloh školského kola kategórie B
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 65. ročník Matematickej olympiády 015/016 Riešenia úloh školského kola kategórie B 1. Koľkými spôsobmi je možné vyplniť štvorcovú tabuľku 3 3 číslami,, 3, 3, 3, 4, 4, 4,
VíceNávrh postupu pre stanovenie počtu odborných zástupcov na prevádzkovanie verejných vodovodov a verejných kanalizácií v správe vodárenských spoločnosti
1 Návrh postupu pre stanovenie počtu odborných zástupcov na prevádzkovanie verejných vodovodov a verejných kanalizácií v správe vodárenských spoločnosti Oprávnenie prevádzkovať verejný vodovod alebo verejnú
VíceÚroveň strojového kódu procesor Intel Pentium. Adresovanie pamäte
Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium Pamäťový operand Adresovanie pamäte Priama nepriama a indexovaná adresa Práca s jednorozmerným poľom Praktické programovanie assemblerových funkcií Autor:
VíceČtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
VíceLegislatívne zmeny týkajúce sa cyklistov od 1. novembra 2011
Legislatívne zmeny týkajúce sa cyklistov od 1. novembra 2011 O 1. novembra vstúpili do platnosti novelizácie legislatívnych noriem 8/2009 a 9/2009 (Vyhláška Ministerstva vnútra Slovenskej republiky, ktorou
VícePopis kontrol vykonávaných pri OVEROVANÍ zúčtovacích dávok na Elektronickej pobočke
Popis kontrol vykonávaných pri OVEROVANÍ zúčtovacích dávok na Elektronickej pobočke Všeobecne, platí pre každú kontrolu: Ak nie je status po overení údajov dávky Bez chýb zobrazí sa k danej chybe príslušný
Více[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
VíceCENNÍK ELEKTRINY ČEZ SLOVENSKO, s. r. o.
Základné informácie Ceny za dodávku elektriny sú v súlade s Rozhodnutím Úradu pre reguláciu sieťových odvetví číslo 0034/2013/E zo dňa 26. 11. 2012. Podmienkou na pridelenie produktu je priradenie zodpovedajúcej
VíceSkupiny finančných nástrojov a produktov zodpovedajúce typu investora
Skupiny finančných nástrojov a produktov zodpovedajúce typu investora Obsah Úvod...3 Prehľad č. 1 k retailovému investičnému dotazníku...4 Prehľad č. 2 k investičnému dotazníku oddelenia Predaj...6 2 Úvod
Více