7. Relácia ekvivalencie a rozklad množiny

Transkript

1 7 Relácia ekvivalencie a rozklad množiny V tejto časti sa budeme venovať špeciálnemu typu binárnych relácií na množine - reláciám ekvivalencie a ich súvisu s rozkladom množiny Relácia ekvivalencie na množine Relácia R definovaná na množine sa nazýva reláciou ekvivalencie vtedy a len vtedy, ak R je reflexívna, symetrická a tranzitívna relácia Pripomeňme si, že reláciu R definovanú v množine nazývame: - reflexívnou, ak :[, ] x x x R, - symetrickou, ak, :[, ] [, ] x y x y R y x R, - tranzitívnou, ak,, :[, ] [, ] [, ] x yz xy R yz R xz R Ak máme rozhodnúť, či daná relácia R na množine je reláciou ekvivalencie, musíme najskôr zistiť, či je reflexívna, symetrická a tranzitívna Postup si vysvetlíme na príkladoch Nech množina {,,,4 {[, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,,4 ][, 4, ][, 4,4] a relácia R Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R obsahuje pri každom vrchole slučku, relácia R je reflexívna Pretože vrcholový graf relácie R neobsahuje jednosmerné šípky, relácia R je symetrická Pretože vo vrcholovom grafe relácie R nemá zmysel prestupovať, relácia R je tranzitívna Relácia R je reláciou ekvivalencie na množine, pretože je reflexívna, symetrická a tranzitívna 4 Nech množina {,,,4 R {[, ][,, ][,, ][,, ][,,4 ][, 4, ][, 4,4] a relácia Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R obsahuje jednosmernú šípku (z do ), relácia R nie je symetrická Relácia R nie je reláciou ekvivalencie na množine, pretože nie je symetrická 4 9

2 Nech množina {,,,4 R {[, ][,, ][,, ][,, ][,,4 ][, 4,] a relácia Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R neobsahuje pri každom vrchole slučku (napr pri vrchole ), relácia R nie je reflexívna Relácia R nie je reláciou ekvivalencie na množine, pretože nie je reflexívna 4 Nech množina {,,,4 R a relácia {[, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,,4 ], [ 4, ], [ 4,4] Vrcholový graf relácie R je na obrázku Vrcholový graf relácie R obsahuje šípku z do a aj šípku z do, ale neobsahuje šípku z do Vo vrcholovom grafe relácie R má zmysel prestupovať (napr keď cestujeme z do ), preto relácia R nie je tranzitívna Relácia R nie je reláciou ekvivalencie na množine, pretože nie je tranzitívna 4 Zhrňme si, čo platí pre vrcholový graf relácie ekvivalencie: Vrcholový graf relácie ekvivalencie obsahuje pri každom vrchole slučku Vrcholový graf relácie ekvivalencie neobsahuje jednosmerné šípky Vo vrcholovom grafe relácie ekvivalencie nemá zmysel prestupovať Z predchádzajúcej kapitoly vieme, že: Inverzná relácia k reflexívnej relácii je opäť reflexívna Inverzná relácia k symetrickej relácii je opäť symetrická Inverzná relácia k tranzitívnej relácii je opäť tranzitívna Z týchto troch poznatkov teda vyplýva nasledujúci záver: Inverzná relácia k relácii ekvivalencie na množine je opäť reláciou ekvivalencie na množine 0

3 Nech množina { Praha,Brno,Ostrava,Olomouc, Trnava, Nitra a relácia {[ x, y] : x a y sú v tom istom štáte R Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R obsahuje pri každom vrchole slučku, relácia R je reflexívna Pretože vrcholový graf relácie R neobsahuje jednosmerné šípky, relácia R je symetrická Pretože vo vrcholovom Praha Brno grafe relácie R nemá zmysel prestupovať, relácia R je tranzitívna Relácia R je Ostrava Olomouc reláciou ekvivalencie na množine, Trnava Nitra pretože je reflexívna, symetrická a tranzitívna Nech množina { Anna,arek, Janka, Eva,Peter,ilan {[ x, y] : x a y majú rovnaké pohlavie a relácia R Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R obsahuje pri každom vrchole slučku, relácia R je reflexívna Pretože vrcholový graf relácie R Anna Eva neobsahuje jednosmerné šípky, relácia R je arek symetrická Pretože vo vrcholovom grafe relácie R nemá zmysel prestupovať, relácia Janka R je tranzitívna Relácia R je reláciou Peter ilan ekvivalencie na množine, pretože je reflexívna, symetrická a tranzitívna Rozklad množiny Hovoríme, že systém podmnožín,,,, množiny vytvára rozklad, n množiny práve vtedy, ak má nasledujúce vlastnosti: i {,,,, n, : {,, n i j {,,,, n, : i j i { i, nožiny,,,, nazývame triedy rozkladu množiny, n j

4 Teraz si túto definíciu vysvetlíme podrobnejšie Predpokladajme, že je daná neprázdna množina Rozkladom množiny je teda systém konečného alebo nekonečného počtu podmnožín,,,, množiny, ktorý má tieto špeciálne vlastnosti:, n Vlastnosť znie: i {,,,, n, : { To znamená, že žiadna z množín,,,, nie je prázdna i, n Vlastnosť znie: n To znamená, že každý prvok množiny sa nachádza v niektorej z množín,,,, Inými slovami, zjednotením množín,,,, je množina, n Vlastnosť znie: i, j {,,,, n, : i j i { j, n To znamená, že žiadne dve rôzne množiny, nemajú spoločné prvky Inými slovami, i j žiaden prvok množiny sa nenachádza v dvoch rôznych množinách, i j Rozklad množiny má teda tieto vlastnosti: Rozklad množiny je množina, ktorej prvkami sú podmnožiny množiny Tieto podmnožiny nazývame triedy rozkladu Každý prvok množiny sa nachádza práve v jednej triede rozkladu Pojem rozkladu množiny si teraz vysvetlíme na príkladoch Nech množina {,,,4,5,6,7,8,9,0 a jej podmnožiny {,,,4, { 5,0 { 6,7,8,9 Zistíme, či systém {, {,,,4, { 5,0,{ 6,7,8,9,, je rozkladom množiny Vidíme, že ani jedna z množín,, nie je prázdna Prvá podmienka je teda splnená Zjednotením množín,, je množina {,,,4 { 5,0 { 6,7,8,9 {,,,4,5,6,7,8,9,0, teda množina Druhá podmienka je teda tiež splnená Žiadne dve z množín,, nemajú spoločný prvok Aj tretia podmienka je splnená Systém {, {,,,4, { 5,0,{ 6,7,8,9 {,,,4,5,6,7,8,9,0 je rozkladom množiny,

5 Nech množina {,,,4,5,6 a jej podmnožiny {,,4, { 4,5, {,6 Zistíme, či systém {, {,,4,{ 4,5,{,6, je rozkladom množiny Vidíme, že ani jedna z množín,, nie je prázdna Prvá podmienka je teda splnená Zjednotením množín,, je množina {,,4 { 4,5 {,6 {,,,4,5,6 podmienka je teda tiež splnená nožiny {,,4 a { 4,5, teda množina Druhá majú spoločný prvok, to znamená, že { 4 Tretia podmienka splnená nie je Systém {, {,,4{, 4,5{,,6 nie je rozkladom množiny {,,,4,5,6, nebola splnená tretia podmienka definície rozkladu množiny) (pretože Nech množina {,,,4,5,6,7 a jej podmnožiny {,, { 5, { 6 {,7 Zistíme, či systém {,, {,, { 5, { 6, {,7 4, 4, je rozkladom množiny Vidíme, že ani jedna z množín,,, 4 nie je prázdna Prvá podmienka je teda splnená Zjednotením množín,,, 4 je množina {, { 5 { 6 {,7 {,,,5,6,7 Toto zjednotenie neobsahuje prvok 4 Druhá podmienka preto nie je splnená Pretože nie je splnená druhá podmienka, platnosť tretej už ani netreba zisťovať Systém {,, {,,{ 5,{ 6,{,7 {,,,4,5,6,7 nie je rozkladom množiny, 4 (pretože nebola splnená druhá podmienka definície rozkladu množiny) Teraz sa budeme venovať rozkladom množín s malým počtom prvkov Nech množina {, Pretože množina má dva prvky, rozklad môže obsahovať buď jednu dvojprvkovú množinu, alebo dve jednoprvkové ožné rozklady teda sú: {, {{{, a Nech množina { a, b, c Pretože množina má tri prvky, rozklad môže obsahovať: - jednu trojprvkovú množinu, - jednu dvojprvkovú a jednu jednoprvkovú množinu, - tri jednoprvkové množiny ožné rozklady teda sú: { a, b, c, { a, b,{ c, { a, c,{ b, { b, c,{ a a {{{{ a b, c,

6 Nech množina {,,,4 - jednu štvorprvkovú množinu: {,,,4 Pretože množina má štyri prvky, rozklad môže obsahovať:, - jednu trojprvkovú a jednu jednoprvkovú množinu: {,,{, 4,{,,4{,,{,,4{,,{,,4, {, - dve dvojprvkové množiny: {,{,,4,{,, {,4,{,4, {,, - jednu dvojprvkovú a dve jednoprvkové množiny: {,, {,{ 4,{,{, {, 4 {,4{, {,,{,{{,, 4,{,4{,, {,{,4, {, { - štyri jednoprvkové množiny: {{{,,{,{ 4,, Relácia ekvivalencie a rozklad množiny Na predchádzajúcich stranách sme sa stretli s troma vrcholovými grafmi relácií ekvivalencie Vrcholový graf relácie R {[, ][,, ][,, ], [, ], [, ], [,4 ], [ 4, ], [ 4,4] v množine {,,,4 možno rozdeliť na dve časti (modrú a červenú) Pritom platí: Každý vrchol má práve jednu farbu Každé dva vrcholy s rovnakou farbou sú spojené obojsmernou šípkou Žiadne dva vrcholy s rôznymi farbami nie sú spojené šípkou 4 nožinu {,,,4 sme týmto spôsobom rozložili na dve podmnožiny {, a {,4 nasledujúci rozklad množiny : {,{,,4 Získali sme tak Aj vrcholový graf relácie {[ x, y] : x a y sú v tom istom štáte R v množine { Praha,Brno,Ostrava,Olomouc, Trnava, Nitra možno rozdeliť na dve časti (modrú a červenú) Praha Pritom opäť platí: Ostrava Každý vrchol má práve jednu farbu Trnava Každé dva vrcholy s rovnakou farbou sú spojené obojsmernou šípkou Žiadne dva vrcholy s rôznymi farbami nie sú spojené šípkou Brno Nitra Olomouc 4

7 nožinu sme týmto spôsobom rozložili na dve podmnožiny { Praha, Brno, Ostrava, Olomouc a { Trnava,Nitra rozklad množiny : { Brno,Ostrava, Olomouc,{ Trnava, Nitra Praha, Získali sme tak nasledujúci Podobne aj vrcholový graf relácie R {[ x, y] : x a y majú rovnaké pohlavie v množine { Anna,arek, Janka, Eva,Peter,ilan možno rozdeliť na dve časti (modrú a červenú) Pritom opäť platí: Každý vrchol má práve jednu farbu Každé dva vrcholy s rovnakou farbou sú spojené obojsmernou šípkou Žiadne dva vrcholy s rôznymi farbami Anna Eva arek nie sú spojené šípkou Janka nožinu sme týmto spôsobom rozložili Peter ilan na dve podmnožiny { arek, Peter, ilan a { Anna,Janka,Eva Získali sme tak nasledujúci rozklad množiny : { Peter,ilan{, Anna,Janka,Eva arek, Na predchádzajúcich troch príkladoch sme si mohli všimnúť jednu dôležitú vlastnosť vrcholového grafu relácie ekvivalencie, a to fakt, že ho možno zafarbiť tak, že platí: Každý vrchol má práve jednu farbu Každé dva vrcholy s rovnakou farbou sú spojené obojsmernou šípkou Žiadne dva vrcholy s rôznymi farbami nie sú spojené šípkou Ak potom vytvoríme množiny,,,, tak, že do každej z nich dáme vrcholy s, n tou istou farbou, získame rozklad množiny V nasledujúcich príkladoch využijeme tieto vlastnosti vrcholového grafu relácie ekvivalencie na určenie zodpovedajúceho rozkladu množiny 5

8 Nech množina {,,,4,5,6 R a relácia ekvivalencie {[, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,,6 ][, 4,4 ][, 5,5 ], [ 6, ], [ 6,6] na množine Vrcholový graf relácie R so zafarbenými vrcholmi vidíme na obrázku Rozklad množiny, ktorý je určený reláciou ekvivalencie R je {,{,,6{, 4{, Nech množina {,,,4,5,6,7 a relácia ekvivalencie [, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ], [, ][, 4,4 ][, 4,7 ][, 5,5 ][, 6,6 ][, 7,4 ][, 7,7] R 7 6 Vrcholový graf relácie R so zafarbenými vrcholmi vidíme na obrázku Rozklad množiny, ktorý je určený reláciou ekvivalencie R je {,,{, 4,7{, 6{, Teraz budeme postupovať opačne Predpokladajme, že je daná množina a triedy jej rozkladu,,,, Najskôr nakreslíme vrcholový graf tak, že všetky vrcholy tej, n istej triedy zafarbíme tou istou farbou Potom dokreslíme slučky a každé dva vrcholy s rovnakou farbou spojíme obojsmernou šípkou Vrcholy s rôznymi farbami nespojíme Dostaneme tak vrcholový graf nejakej relácie na množine Ako ukážeme na nasledujúcich príkladoch, takto určená relácia bude reláciou ekvivalencie na množine 6

9 Nech množina {,,,4,5,6 {,,{, 4,5,6 a jej rozklad Určíme zodpovedajúcu reláciu ekvivalencie R na množine Najskôr zafarbíme vrcholy tak, že vrcholy v tej istej množine budú mať tú istú farbu Potom dokreslíme slučky a vrcholy s rovnakou farbou pospájame obojsmernými šípkami Relácia ekvivalencie určená rozkladom {,,{, 4,5,6 je [, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ], [, ], [ 4,4 ][, 4,5 ][, 4,6 ][, 5,4 ][, 5,5 ][, 5,6 ][, 6,4 ][, 6,5 ][, 6,6] R Nech množina {,,,4,5,6,7 a jej rozklad {{{,,{, 4,5{, 6{, 7 Určíme zodpovedajúcu reláciu ekvivalencie R na množine Najskôr zafarbíme vrcholy tak, že vrcholy v tej istej množine budú mať tú istú farbu Potom dokreslíme slučky a vrcholy s rovnakou farbou pospájame obojsmernými šípkami Relácia ekvivalencie určená rozkladom {{{,,{, 4,5{, 6{, 7 je [, ][,, ][,, ][,, ][,, ], [ 4,4 ][, 4,5 ][, 5,4 ][, 5,5 ][, 6,6 ][, 7,7] R Na záver kapitoly si zhrnieme poznatky o vzťahu relácie ekvivalencie R na množine a rozkladu množiny Každá relácia ekvivalencie R definovaná na množine určuje rozklad množiny Nech R je relácia ekvivalencie na množine Pre každý prvok m utvorme množinu { n :[ m, n] R m Takto utvorené množiny potom určujú rozklad množiny 7

10 Každý rozklad množiny definuje na množine reláciu ekvivalencie Nech je daný rozklad,,,, množiny, n Definujme binárnu reláciu R na množine : {[ x, y] : m, n patria do tejistej triedy rozkladu R Potom R je relácia ekvivalencie na množine Test č 9 V nasledujúcom teste je 0 úloh z oblasti relácie ekvivalencie a rozkladu množiny Na nich si prakticky precvičíme: - určovanie, či daná relácia je reláciou ekvivalencie, - pojem rozkladu množiny, - vzťah medzi reláciou ekvivalencie a rozkladom množiny Test č 9 nájdeme aj v elektronickej verzii v súbore 9exe Nech R je binárna relácia v množine Označte vlastnosti, ktoré musí mať relácia R, aby bola reláciou ekvivalencie a) reflexívna b) antireflexívna c) symetrická d) antisymetrická e) tranzitívna f) súvislá Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna Daná je relácia R v množine, 8

11 {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 4 Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, 4 ],[ 4, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 5 Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 6 Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 9

12 7 Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 8 Vyberte tú reláciu v množine prirodzených čísel, ktorá je reláciou ekvivalencie a) rovnosť, teda {[ x, y] N N : x y b) deliteľnosť, teda {[ x, y] N N : x delí y c) ostrá nerovnosť, teda {[ x, y] N N : x< y d) neostrá nerovnosť, teda {[ x, y] N N : x y 9 Daná je relácia R v množine všetkých ľudí {[, ] : a majú rovnaké pohlavie R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie 0 Daná je relácia R v množine všetkých ľudí {[, ] : a sú manželia R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie Daná je relácia R v množine všetkých ľudí {[, ] : a sa narodili v tom istom roku R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie 40

13 b) R nie je reláciou ekvivalencie Daná je relácia R v množine všetkých riek {[, ] : a sa vlievajú do toho istého oceánu R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie Daná je relácia R v množine všetkých ľudí {[, ] : sa vlieva do R xy x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie 4 Daná je relácia R v množine všetkých áut {[, ] : a majú rovnakú značku R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie 5 Na obrázku je vrcholový graf relácie R v množine {,,, 4 Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 6 Na obrázku je vrcholový graf relácie R v množine {,,, 4 Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie 4

14 c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 7 Na obrázku je vrcholový graf relácie R v množine {,,, 4 Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 8 Na obrázku je vrcholový graf relácie R v množine {,,, 4 Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 9 Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny {,,, 4, 5, 6 a) {,,,{ 4,5,6 b) {,,, 4,{, 4,5,6 c) {,,{, 4,{ 5, 6 d) {,,, 4,5,6 0 Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny {,,, 4,5,6,7,8 a) {,,,{ 4,5,6,{ 7,8,9 b) {,,, 4,5,6,{ 7,8 c) {,,,4,5,6,7,8 { { { { d) {,,, 4,{, 4,5,6,{ 5,6,7,8 4

15 Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny {,,, 4,5,6,7,8,9 a) {,,,{ 4,5,6,{ 7,8,9 b) {, 4,7,{,5,8 c) {,,9,,4,5,6,7,8 { { { { d) {,, 4,{,5,6,{ 6,7,8,9 Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny prirodzených čísel a) množina čísel deliteľných tromi, množina čísel, ktoré po delení tromi dávajú zvyšok b) {, množina prvočísel, množina zložených čísel c) množina prvočísel, množina zložených čísel d) množina párnych čísel, množina nepárnych čísel Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny celých čísel a) množina čísel deliteľných tromi, množina čísel, ktoré po delení tromi dávajú zvyšok, množina čísel, ktoré po delení tromi dávajú zvyšok b) množina kladných čísel, množina záporných čísel c) množina druhých mocnín prirodzených čísel, množina tretích mocnín prirodzených čísel d) {0, množina kladných čísel, množina záporných čísel 4 Koľko rôznych rozkladov má množina {,,? 5 Priraďte k relácii ekvivalencie na množine {,, zodpovedajúci rozklad množiny a) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [, ],[, ],[, ],[,],,,,,,,,,, b) {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c) {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] d) {[ ] [ ] [ ] {{,,{,,,,,,,,, {{,, { {,,,,,,,,, {{,,,,,,, 4 {{,, { 4

16 6 Priraďte k relácii ekvivalencie na množine {,,, 4 zodpovedajúci rozklad množiny a) {[ ] [ ] [ ] [ ] b) {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c) d),,,,,, 4, 4 {{,,, 4,,,,,,,,,, 4, 4 {{,,{, 4 [, ],[, ],[, ],[, 4 ],[, ],[, ], [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 4, ],[ 4, ],[ 4, ],[ 4, 4],,,4,,,,,,,,4, [, ],[, ],[, ],[, ], [, ],[, 4 ],[ 4, ],[ 4, 4] {{,,,4 { { 4 {{,,,4 { { { 7 Priraďte k rozkladu množiny {,,, 4,5 počet usporiadaných dvojíc, ktoré obsahuje príslušná relácia ekvivalencie na množine a) {{,,,4,5 { { { { 9 b) {{,,,4,5 { { { 5 c) {{,,{, 4,{ 5 d) {{,,,{ 4, Daný je rozklad {{,,,{ 4,5,{ 6,7 množiny {,,, 4,5,6,7 Označte tie usporiadané dvojice, ktoré obsahuje príslušná relácia ekvivalencie určená týmto rozkladom a) [,] b) [,] c) [,5] d) [,7] 9 Daný je rozklad množiny prirodzených čísel na párne čísla a nepárne čísla Označte tie usporiadané dvojice, ktoré obsahuje príslušná relácia ekvivalencie určená týmto rozkladom a) [,] b) [,] c) [,] d) [,4] 44

17 0 Daný je rozklad množiny celých čísel na kladné čísla, záporné čísla a nulu Označte tie usporiadané dvojice, ktoré obsahuje príslušná relácia ekvivalencie určená týmto rozkladom a) [,] b) [,] c) [,0] d) [,-] Test č 9 správne riešenia ace 7 d b 9 acd 5 a,b,c4,d a 8 a 4 a 0 bc 6 a4,b,c,d a 9 a 5 d ac 7 a,b4,c,d 4 a 0 b 6 d bd 8 ab 5 c a 7 a ad 9 ac 6 b a 8 a ab 45