i j, existuje práve jeden algebraický polynóm n-tého stupˇna Priamym dosadením do (2) dostávame:

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "i j, existuje práve jeden algebraický polynóm n-tého stupˇna Priamym dosadením do (2) dostávame:"

Bohumil Konečný
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 0 Interpolácia 0 Úvod Hlavnou myšlienkou interpolácie je nájs t funkciu polynóm) P n x) ktorá sa bude zhodova t s funkciou fx) v n rôznych uzlových bodoch x i tj P n x) = fx i ) = f i = y i i = 0 n Niekedy sa naviac vyˇzaduje aj rovnos t derivácii do istého rádu napr pri tzv Hermitovej aproximácii sa vyˇzaduje zhoda prvých derivácii v uzlových bodoch Veta Pre kaˇzdú n + )-ticu funkˇcných hodnôt y 0 y y n a x i x j i j existuje práve jeden algebraický polynóm n-tého stupˇna pre P n x) = a 0 + a x + + a n x n ) taký ˇze preˇn platí P n x i ) = y i i = 0 n ) Dôkaz Priamym dosadením do ) dostávame: y 0 = P n x 0 ) = a 0 + a x a n x n 0 y = P n x ) = a 0 + a x + + a n x n y n = P n x n ) = a 0 + a x n + + a n x n n To je sústava n + ) rovníc o n + ) neznámych ktorej riešením sú koeficienty a 0 a a n polynómu ) Táto sústava má riešenie vˇzdy nako l ko determinent matice Vandermontova matica) x 0 x n 0 V = x x n x n x n n je vˇzdy nenulový Teraz uvedieme dve konštrukie tohto polynómu 0 Lagrangeova interpolácia Lagrangeov interpolaˇcný polynóm zostrojíme pomocou elementárnych Lagrangeových interpolaˇcných polynómov L n x) = n y i l ni x) i=0

2 kde elementárne Lagrangeové interpolaˇcné polynómy definujeme nasledovne l ni x) = x x 0) x x ) x x i ) x x i+ ) x x n ) x i x 0 ) x i x ) x i x i ) x i x i+ ) x i x n ) Elementárny intepolaˇcný polynóm je zrejme vo všetkých uzlových bodoch okrem i-tého rovný nule { 0 i j l ni x) = i = j Príklad Nájdite Lagrangeov interpolaˇcný polynóm pre uzlové body funkcie dané tabu lkou: x i : y i = fx i ) : 4 Riešenie: Elementárne Lagrangeove interpolaˇcné polynómy pre tieto hodnoty sú l 40 x) = = x x ) x 4) x 6) ) ) 4) 6) = x x ) x 4) x 6) = x4 3 x x x l 4 x) = x + ) x ) x 4) x 6) 0 + ) 0 ) 0 4) 0 6) = x ) x + ) x 4) x 6) = 96 = 5 4 x3 96 x4 5 4 x 5 x + l 4 x) = x + ) x x 4) x 6) + ) 4) 6) = x x + ) x 4) x 6) = 64 = 64 x4 x3 + 6 x x l 43 x) = x + ) x x ) x 6) 4 + ) 4 4 ) 4 6) = x x ) x + ) x 6) = 96 = 6 x3 96 x4 + 4 x 4 x l 44 x) = = x + ) x x ) x 4) 6 + ) 6 6 ) 6 4) = x x ) x + ) x 4) = x4 96 x3 96 x + 4 x Jednotlivé elementárne Lagrangeove interpolaˇcné polynómy môˇzeme vidie t na nasledujúcom obrázku

3 y x obr 3 A teda Lagrangeov interpolaˇcný polynóm je x x ) x 4) x 6) x + ) x ) x 4) x 6) L 4 x) = x + ) x x 4) x 6) x + ) x x ) x 6) + ) x + ) x x ) x 4) +4 = 34 = 34 x4 3 x x ) 5 x + 4 x3 96 x4 5 4 x 5 ) x x4 x3 + 6 x + 3 ) 4 x + 6 x3 96 x4 + 4 x ) 4 x x4 96 x3 96 x + ) 4 x jeho roznásobením a sˇcítaním dostaneme vz tah L 4 x) = 3 x4 + 4 x3 7 4 x + 3

4 y x obr :L 4 x) = 3 x4 + 4 x3 7 4 x + 03 Newtonova interpolácia Pomocou Newtonovej interpolácie vypoˇcítme opä t ten istý polynóm ako Lagrangeovou interpoláciou ˇco je zrejmé nako l ko ako hovorí veta ) tento polynóm je jediný Rozdielny je spôsob jeho odvodenia Newtonova metóda nevytvára celý polynóm naraz ale postupne zahŕˇna viac bodov do interpolácie a tak konštruuje polynómy vyššieho stupˇna Najskôr zavedieme pojem pomernej diferencie Pomerná diferencia prvého rádu je definovaná vz tahom f [x x 0 ] = fx ) fx 0 ) x x 0 Čo je akýsi odhad prvej derivácie pomocou jej funkˇcných hodnôt definujeme aj jej druhú pomernú diferenciu Obdobne f [x x x 0 ] = f [x x ] f [x x 0 ] x x 0 A všeobecne aj jej n-tú pomernú diferenciu f [x n x n x 0 ] = f [x n x n x ] f [x n x x 0 ] x n x 0 Newtonova metóda zaˇcína konštantnou interpoláciou jedným bodom N 0 x) = fx 0 ) 4

5 Pridaním d alšieho bodu dostávame lineárnu interpoláciu tj priamka prechádzajúca bodom N x) = fx 0 ) + x x 0 ) f [x x 0 ] Ak by sme pridali další bod dostávame kvadratickú interpoláciu a pre další bod obdobne etc aˇz po n-tú interpoláciu N x) = fx 0 ) + x x 0 ) f [x x 0 ] + x x 0 )x x ) f[x ; x ; x 0 ] N n x) = fx 0 ) + x x 0 ) f [x x 0 ] + x x 0 )x x ) f[x ; x ; x 0 ] x x 0 )x x ) x x n ) f [x n x n x 0 ] Výhodou Newtonovho interpolaˇcného polynómu je ˇze pridávaním da l ších ˇclenov môˇzeme zvyšova t presnos t interpolácie priˇcom body x i ani nemusia by t zoradené Príklad Nájdite Newtonov interpolaˇcný polynóm pre uzlové body funkcie dané tabu lkou: x i : y i = fx i ) : 4 Riešenie: Výsledky budeme zapisova t do nasledujúcej tabu lky i x i fx i ) f [x i+ x i ] f [x i+ x i+ x i ] f [x i+3 x i+ x i+ x i ] f [x i+4 x i ] 0 0 ) = ) ) = 5 ) 4 ) = 6 ) = = 3 ) ) 4 = = = = = Orámikované hodnoty pouˇzijeme pre interpolaˇcný vz tah N 4 x) = + x + ) ) + x + )x ) + +x + )xx ) + x + )xx )x 4) ) 3 = 3 x4 + 4 x3 7 4 x + Na nasledujúcom obrázku obr 3) môˇzeme vidie t Newtonove polynómy postupne pre jednotlivé uzlové body: x i : y i = fx i ) : 5

6 N 0 x) = zelený graf) x i : 0 y i = fx i ) : N x) = + x + ) ) fialový graf) x i : 0 y i = fx i ) : N x) = + x + ) ) + x + )x ) ruˇzový graf) x i : 0 4 y i = fx i ) : N 3 x) = +x+) ) +x+)x ) +x+)xx ) modrý graf) aˇz napokon samotný N 4 x) ˇcervený graf) y x obr 3: N 0 x) N x) N x) N 3 x) N 4 x) Je teda zrejmé ˇze Newtonov interpolaˇcný polynóm má oproti Lagrangeovmu výhodu v moˇznosti pridania dalšieho uzlového bodu s tým ˇze nie je nutné znovu prepoˇcítava t predošlé hodnoty Poznámka Predošlé príklady mali uzlové body rozmiestnené v rovnakých vzdialenostiach tzn ekvidištantne Nebolo to poˇziadavkou tj oba polynómy nevyˇzadujú aby boli uzlové body takto rozmiestnené Ak sú však uzlové body rozmiestnené ekvidištantne tj x i+ x i = h = konst môˇzeme Newtonov interpolaˇcný polynóm modifikova t a to nasledovne 6

7 Newtonov interpolaˇcný polynóm pre ekvidištantné uzly Namiesto pomernej diferencie budeme poˇzíva t jednoduchú diferenciu Diferencia prvého rádu bude a diferencia vyššieho rádu je fx) = fx + h) fx) k fx) = k fx + h) k fx) kde h = x i+ x i je zrejme "krok" tj vzdialenos t medzi jednotlivými uzlami Skrátene píšeme f i = fx i + h) fx i ) = fx i+ ) fx i ) = f i+ f i k f i = k+ f i+ k f i Diferencie môˇzeme teraz zrejme vyjadri t ako Diferencia druhého rádu je zrejme f [x i+ x i+ x i ] = f [x i+ x i ] = f i h f i+ h fi h h = f i h Matematickou indukciou dostávame vz tah pre diferenciu k-tého rádu f [x i+k x i ] = k f i k!h k Newtonov interpolaˇcný polynóm pre ekvidištantné uzly má teda tvar N n x) = f 0 +x x 0 ) f i h +x x 0)x x ) f i h + +x x 0)x x ) x x n ) k f i k!h k 7

Podobné dokumenty

Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H.

FUNKCIA, DEFINIČNÝ OBOR, OBOR HODNÔT Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H. Množina D definičný obor Množina H obor hodnôt Funkciu môžeme