Využití GIS a DPZ pro krajinné inženýrství přednáška č.6

2013, Brno Ing. Tomáš Mikita, Ph.D. Doc. Ing. Martin Klimánek, Ph.D. Využití GIS a DPZ pro krajinné inženýrství přednáška č.6 Prostorová interpolace dat,geostatistika, digitální modely terénu Prezentace vznikla za podpory projektu reg. č. CZ 1.07/2.2.00/15.0080

strana 2 Prostorová interpolace procedura odhadu neznámých hodnot ze známých hodnot v okolí interpolace extrapolace úkolem interpolace je určit vhodnou funkci y=f(x), která v daných (tzv. uzlových) bodech nabývá známých hodnot interpolační funkce f(x) - shoda s původními hodnotami v uzlových bodech aproximující funkce f(x) - nahrazuje původní funkci fo(x) s jistou přesností Dodržují se známé hodnoty? interpolační (exaktní) metody (deterministické) aproximující metody (stochastické)

strana 3 Formát a rozmístění zdrojových dat Rozmístění (prostorová lokalizace) vstupních dat je důležitým kritériem při volbě vhodné interpolační metody (některé interpolační metody při nevhodném rozmístění vstupních dat poskytují chybné výsledky nebo je nelze vůbec použít). Rozmístění vstupních dat, se kterými se uživatel v praxi nejčastěji setkává jsou na obrázku (viz dále). Jako vhodný kompromis mezi pravidelným a náhodným rozmístěním je možné použít stratifikované náhodné rozmístění, kdy je zajištěno pokrytí celé zájmové oblasti (rozdělené v pravidelném rastru). Shluky (skupiny) se nejčastěji využívají při analýze prostorové variability. Specifickými problémy se potom vyznačuje interpolace na profilech a izoliniích, zvláště pokud je vyžadována extrapolace nebo je množství dat nedostatečné.

strana 4 pravidelné rozmístění náhodné rozmístění transekty (profily) stratifikované náhodné shluky (skupiny) vrstevnice (izolinie) (Burrough and McDonnell 1998)

strana 5

Bilineární interpolace strana 6

strana 7 Vážený průměr D1 D2 w1 w2 X n (w D ) i i 1 n w i i 1 1 X i D3 w3 w4 D4

strana 8 Metoda inverzních vzdáleností (ID, IDW) princip Velikost příspěvku je přímo úměrná velikosti hodnoty a na druhé straně nepřímo úměrná vzdálenosti. n MX Mi i 1 r k n i 1 i 1 r k i D r C A dx 2 dy 2 lim M X M i li 0 X B Mi je známá hodnota v i-tém místě, ri vzdálenost i-tého místa od místa X a k je vhodná mocnina vzdálenosti (např. 1 nebo 2).

strana 9 Metoda inverzních vzdáleností (ID) varianty: s výběrem z kvadrantů nebo oktantů rozdělení prohledávané oblasti do 4 nebo 8 sektorů se směrovým vážením rozdělení prohledávané oblasti do nepravidelných sektorů. Vstupní parametry: úhlové rozpětí sektorů, váhy přiřazené jednotlivým sektorům = (zavádění anizotropie pole) z každého sektoru je vybrán 1 bod (nebo k bodů) a na tuto množinu vybraných bodů je aplikována metoda ID Shepardova metoda (SH) metoda inverzních vzdáleností + vyrovnání metodou nejmenších čtverců

strana 10 Metoda triangulace s lineární interpolací (TR) poskytuje odhad neznámé hodnoty pomocí lineární závislosti. Lineárním útvarem je tedy rovina. Rovnice roviny obsahuje tři koeficienty - to znamená, že pro její určení jsou zapotřebí tři známé body: P=[x1,y1,z1], Q=[x2,y2,z2], R=[x3,y3,z3]. R tři body P, Q a R jsou vybrány tak, aby bod X ležel uvnitř trojúhelníka získaného jako průmět trojúhelníka P PQR. Těmito body je určena rovina, Zx jejíž koeficienty lze získat řešením soustavy rovnic. Hledaný odhad Zx je dán vztahem: Q Z x ax0 by0 c X

strana 11 Metoda triangulace s lineární interpolací dodržuje naměřené hodnoty výhodná je pro modelování nespojitostí v poli (zlom, hrana) nevýhodná pro nespojitost vypočtených hodnot (kostrbatý průběh izolinií) různé stupně vyhlazení interpolace izolinií

strana 12 Metoda triangulace s lineární interpolací S Skrývá jistý prvek náhodnosti. Uvažujme následující data: P=[1,1,1], Q=[3,1,10], S=[3,1,10], R=[3,3,1]. Odhad pro X=[2,2,?]. U Náhodnost spočívá ve volbě trojúhelníka: Volbou PRS, je odhadem hodnota 1. Volbou QRS, je odhadem hodnota 10. Q R Z P X Problém je tedy ve velkém rozdílu dat mezi sousedními hodnotami. Bohužel právě takový charakter má mnoho geoprostorových dat, a proto zvláště na taková data není vhodné metodu aplikovat. S dobrými výsledky ji lze použít v případech, kdy hodnoty nemají příliš velký rozptyl.

strana 13 Thiessenovy (Dirichlet, Voronoi) polygony (TP) Představují přesnou metodu interpolace, která vychází z předpokladu, že neznámé hodnoty bodů odpovídají hodnotě nejbližších známých bodů. Zahrnuje šíření teritoria sdruženého s bodem, které pokračuje tak dlouho, až se narazí na obdobně zpracovávané teritorium sousedního bodu. Je-li rozmístění bodů nepravidelné, výsledkem bude mozaika polygonů.

strana 14 Metoda minimální křivosti (MC) spline-funkce vychází z interpolace pomocí (nejčastěji kubických) funkcí. Spojuje tedy dvojice daných bodů segmenty kubické křivky (ten je dán čtyřmi body). Z prvních čtyř bodů se spočte kubická křivka a první dva body se spojí jejím segmentem. Pak se z druhého až pátého bodu spočte kubická křivka a druhé dva body se spojí jejím segmentem, atd. polynomické funkce, na hranách spojité (spojitost interpolující funkce a stanoveného počtu jejich derivací) povrch je interpolován po částech hladké povrchy míra aproximace je dána stanovením tolerance a počtem iterací

strana 15 Metoda radiálních funkcí (RF) hladký povrch dodržuje naměřené hodnoty multikvadriková metoda Di ( x, y ) 2 d i ( x, y ) R 2 Di(x,y) je radiální funkce vzdálenosti di(x,y) di(x,y) je relativní, anizotropní vzdálenost mezi místem měření (xi,yi) a místem odhadu (x, y) R2 je vyhlazovací faktor V každém místě jsou stanoveny optimální váhy řešením soustavy lineárních rovnic.

strana 16 Fourierova analýza (FA) obecný interpolační postup, který se používá v geostatistických metodách pro odhad průběhu povrchu pomocí série funkcí sinus a kosinus nejvhodnější pro datové soubory, které vykazují periodicitu analýza signálů, modelování klimatických změn, pohyb (vln v oceánu, sněhových závějí, pískových dun apod.) a zpracování obrazu (odstranění šumu, korekce); redukce variability (kontrastů) v DMT pro snadnější identifikaci tvarů terénu (hřbety, údolí) f ( x ) a0 a k cos(k x ) bk sin( k x ) k 1 amplituda a 2 b2 fáze tan 1 (b / a ) frekvence( spektrum) ln(1 amplituda 2 ) = 2 /T k = koeficient harmonické funkce a, b = koeficienty Fourierovy transformace Nyquistova frekvence nejvyšší frekvence = nejkratší vlna = 2 pixel

strana 17 Geostatistické metody - krigování (KR) úvod teorie regionalizovaných proměnných, která byla vytvořena G. Matheronem a D. G. Krigem (metoda interpolace dat získávaných při vyhledávání a průzkumu ložisek nerostných surovin) vychází ze zjištění, že prostorová variabilita řady geoprostorových prvků je příliš nepravidelná než, aby mohla být modelována pomocí vyhlazovacích matematických funkcí optimalizovaná soustava vah v každém kroku s požadavkem minimálního rozptylu základ spočívá v nalezení průměrné hodnoty změn v závislosti na změně vzdálenosti mezi měřenými body vyhodnocování strukturálních funkcí optimalizuje prostorovou interpolaci tak, že rozděluje prostorovou variabilitu do tří komponent: deterministickou variabilitu (různé trendy) prostorově autokorelovanou variabilitu nekorelovaný šum charakter prostorově korelované variability lze znázornit jako semivariogram, který poskytuje informaci pro optimalizaci interpolačních vah a prohledávacích poloměrů

Krigování (KR) úvod Výchozí předpoklady pro strukturální analýzu a krigování: normální distribuce transformace nebo použití nelineárních technik průměrná hodnota konstantní trend, univerzální krigování prostorová autokorelace konstantní strana 18

strana 19 Krigování (KR) experimentální semivariogram Semivariogram je základní geostatistický nástroj pro vizualizaci, modelování a využití prostorové autokorelace regionalizované proměnné. Semivariance je míra variance. 1 2 (h) z ( x ) z ( x h ) i i 2n i kde (h) je semivariance proměnné z pro vzdálenost h Základní schéma výpočtu pro vzdálenost h sestává z následujících kroků: v úvahu se vezmou všechny takové páry zi a zj, jejichž vzdálenost padne do třídy pro h vypočtou se rozdíly hodnot těchto párů sečtou se kvadráty těchto rozdílů součet se vydělí dvojnásobkem počtu párů Tak se pro všechny hodnoty h získá řada hodnot nazývaných experimentální semivariance.

strana 20 Krigování (KR) teoretický semivariogram Funkční vztah, který pokud možno dobře sleduje (modeluje) experimentální semivariogram, se nazývá teoretický semivariogram Chování semivariogramu je možno (víceméně) intuitivně popsat takto: velmi blízká data mají velmi malou odchylku data ve větších vzdálenostech mají větší odchylky, avšak odchylky pro velmi vzdálená data a velmi velice vzdálená data se už příliš neliší od jisté vzdálenosti už vzájemné odchylky nerostou (např. také proto, že vzdálenost překračuje rozměry zkoumané plochy nebo tělesa) semivariance h vzdálenost

strana 21 Krigování (KR) strukturní analýza proces hledání teoretického semivariogramu pro daný experimentální semivariogram je nazýván strukturní analýzou. Model nalezený pro danou množinu dat závisí jak na experimentálních, tak teoretických předpokladech. Vlastnosti, které prakticky vedou k určení konkrétního teoretického modelu, jsou: přítomnost nebo absence ploché části semidosah (a) variogramu, to znamená, že (range) při zvětšující se vzdálenosti se hodnoty variance nemění - existuje tzv. práh (sill); je dán konstantou C model práh (C) semivariogramu (sill) vzdálenost, ve které semivariance dosáhne prahové hodnoty - tzv. dosah zbytkový rozptyl (range); je dán konstantou (nugget) a vzdálenost (h) chování v počátku (tj. semivariance mezi velmi blízkými body) semivariance ( )

strana 22 Krigování (KR) strukturní analýza dosah (range) je mírou korelace uvnitř množiny dat; dlouhý dosah indikuje vysokou korelaci, krátký korelaci nízkou hodnota prahu (sill) je rovna celkovému rozptylu velmi často nenabývají experimentální semivariogramy v počátku nulové hodnoty; protínají osu y v nenulové hodnotě, která je nazývána zbytkový rozptyl (nugget effect). To může ukazovat na rozptyl menší než je vzorkovací vzdálenost nebo na malou přesnost měření (např. jsou v datech obsaženy dva vzorky ze stejného místa, pokaždé s jinou hodnotou). dosah (a) (range) semivariance ( ) práh (C) (sill) model semivariogramu zbytkový rozptyl (nugget) vzdálenost (h)

strana 23 Krigování (KR) modely semivariogramů Sférický model Exponenciální model Gaussův model 3h h 3 ( h ) C 2a 2a 3 ( h ) C pro h a pro h a (h) C 1 e h.a (h) C 1 e h2 2 a Složené modely každý zdroj variability je popsán vlastní strukturní funkcí

strana 24 Krigování (KR) modely semivariogramů a) b) c) d) sférický exponenciální lineární gaussovský

strana 25 Krigování (KR) směrovost semivariancí mnohé fenomény nevykazují prostorovou isotropii rozptylu - naopak se chovají anisotropně rozsah influence je různý v různých směrech pro data, vykazující anisotropii, se využívá postupu spočívajícího v konstrukci dílčích semivariogramů pro stanovené směrové tolerance V nejjednodušším případě rozdělíme všesměrové pole rovnoměrně: například na směry sever 22.5o, jih 22.5o, východ 22.5o, západ 22.5o, severovýchod 22.5o, jihovýchod 22.5o, jihozápad 22.5o, severozápad 22.5o a zkonstruujeme osm dílčích směrových semivariogramů tak, že do každého z nich zahrneme pouze ty dvojice daných bodů, jejichž směrový vektor padne do intervalu směrů daného dílčího semivariogramu.

strana 26 Krigování (KR) směrovost semivariancí Při směrově symetrických datech stačí zkonstruovat pouze polovinu počtu semivariogramů. Po zjištění jejich dosahů se tyto dosahy zanesou do růžicového diagramu obsahujícího ty směry, pro něž byly dosah dílčí semivariogramy sestaveny. semivariogramu pro úhel Anizotropická množina dat je 180 ± 22,5 charakterizována směrem maximální variance a směrem minimální variance. Tyto směry jsou směry hlavní a vedlejší poloosy tzv. elipsy anizotropie. Elipsa anizotropie je pak zjistitelná jako elipsa, která aproximuje dosahy vynesené do shora zmíněného růžicového diagramu. 45 osy anizotropie 0 dosah semivariogramu pro úhel - 45 ± 22,5-45

strana 27 Krigování (KR) varianty simple kriging jednoduché krigování známá průměrná hodnota veličiny cokriging odhad proměnné na základě hodnot korelovaných veličin, vztahy popsané pomocí vzájemného semivariogramu lognormální krigování indikátorové krigování transformace kvantitativních údajů na kvalitativní (ano/ne) výsledkem lokálního odhadu je pravděpodobnost; (absolutní nebo relativní indikátory - problém konzistence) probability kriging kombinace indikátorů s původními údaji soft kriging kombinace hodnoty s dalšími údaji

strana 28 Podmíněná stochastická simulace (SS) 1. Vyberte náhodně dosud nezpracovaný bod (neznámé hodnoty) 2. Vypočítejte pro něj pomocí jednoduchého krigování odhad hodnoty a rozptyl odhadu s využitím známých (nebo již vypočítaných) hodnot. 3. Stanovte náhodnou hodnotu z distribuce pravděpodobnosti určené zjištěným průměrem (zjištěný odhad hodnoty) a rozptylem (zjištěný rozptyl odhadu). Výsledek představuje simulovanou hodnotu pro dané místo. Bod se stává místem se známou hodnotou a vstupuje do dalších výpočtů. 4. Opakujte první 3 kroky, až je pokryto celé území. 5. Opakujte první 4 kroky tolikrát, kolik simulací je potřebné provést pro dostatečně věrohodný odhad modelu (např. 100 krát). 6. Ze simulovaných hodnot vypočítejte průměrnou hodnotu a rozptyl (resp. směrodatnou odchylku) pro každé místo.

Volba metody Průzkumová analýza dat zkoumání distribuce hodnot, statistická (normalita, extrémní hodnoty), prostorová (existence trendu, anizotropie), uspořádání sítě měření. strana 29 a parametrů Transformace hodnot měření normální distribuce (případně použití nelineárních technik) Eliminace trendu, model trendu, výpočet reziduálních hodnot (zvlášť výpočet základní hodnoty z průběhu trendové funkce a interpolace odchylky) Návrh vhodných parametrů pro vyhledávání s ohledem na existující síť (u některých metod nutné pro získání korektního výsledku, jinde pro zrychlení výpočtu): volba sektorů počet bodů dosah hledání tvar prohledávané oblasti (kruh, elipsa)

Ověření výsledku interpolace (verifikace) hodnocení rozptylu, srovnání s jinými metodami, s původně naměřenými hodnotami: ručně provedená interpolace bumerangová metoda (cross validation) použití referenční funkce (známý vývoj v ploše) mapa chyb (střední chyba) změna průměrné hodnoty (rozptylu) velikost rozptylu u výsledku strana 30 porovnání s původně naměřenými hodnotami (požadavek exaktní interpolace) průběh pole

strana 31 Volba metody a parametrů Na čem tedy závisí výsledek? cíl interpolace (exaktní interpolace aproximace průběh pole) počet a rozmístění známých měření statistických charakteristikách zkoumaného souboru měření vazbě principu zvolené metody a vývoje sledovaného pole Nelze spoléhat na 1 metodu!

strana 32 ID RF KR SH MC TR

strana 33

Digitální modely terénu a prostorová interpolace Rastrový model strana 34

strana 35 Polyedrický model Elementárními ploškami polyedrického modelu jsou trojúhelníky, které k sobě přiléhají a tvoří tak mnohostěn, přimykající se k terénu. Vrcholy mnohostěnu jsou body na terénní ploše, interpolace plochy se obvykle provádí lineárně po trojúhelnících. Tento přístup, označovaný jako triangulace či nepravidelná trojúhelníková síť, v originále Triangulated Irregular Network (TIN)*, je v současné době u vektorově orientovaných GIS nejrozšířenější. * Počátky této metody se datují do 70. let 20. století, kdy prof. Thomas Poiker (Simon Fraser University) inicioval založení skupiny zabývající se touto problematikou. Původní název byl Independent Data of Irregularly Oriented Terrain (IDIOT), protože však někteří oslovení vědci měli výhrady k této zkratce, byla přejmenována na TIN. Zanedlouho potom Randolph Franklin publikoval počítačový algoritmus na vytváření povrchů za využití TIN struktury nazvaný TIN 73 (Thurston 2003).

strana 36 Terén je v tomto případě reprezentován trojúhelníky, čili sadou vrcholů (vertices, vertex), hran (edges) a plošek (faces). Vstupní zdrojová data jsou vyjádřena X, Y a Z souřadnicemi vrcholů, každá hrana tak spojuje 2 vrcholy a rozděluje 2 plošky, každá trojúhelníkovitá ploška je potom ohraničena 3 hranami a je považována za rovinný útvar (Kraus 2000). V některých případech však nejsou z hlediska přesnosti rovinné trojúhelníky dostačujícím řešením a jejich povrch může být modelován pomocí specifických algoritmů jako jsou například Bezierův plát (Pfeifer and Pottmann 1996) nebo Coonsova plocha. Geometrie vektorových modelů typu TIN

strana 37 Nejdůležitější fází pro tento model je samotný typ triangulace, která se týká pouze rovinných souřadnic vstupních bodů. Nejčastěji používaným kritériem je tzv. Delaunayho podmínka, tedy, že vnitřek kruhu opsaného libovolnému z trojúhelníků sítě neobsahuje žádný další (čtvrtý) bod sítě (Preparata and Shamos 1990). Toto kritérium je zároveň ekvivalentní pro maximalizaci velikostí všech úhlů v trojúhelníku (Heitzinger 1996). A B C D Postup triangulace Postup triangulace znázorňuje obrázek (Raper 1993). K danému bodu b najdeme nejbližšího souseda a, tzv. Thiessenovy sousedy (A). Rozšíříme hledací kružnici procházející přes tyto body tak, aby do ní padly další body (B). Vybereme z nich ten, u kterého úhel ke spojnici východiskových bodů ab je větší, tedy c (C). Pokračujeme v hledání do té doby, až v kružnici opět najdeme bod b (D).

strana 38

IN struktura v GIS Idrisi strana 39

strana 40 Srovnání datových reprezentací DMT Rastrové modely Triangulace Aproximace povrchu Velmi variabilní (závisí na typu zvoleného algoritmu prostorové interpolace dat). Obtížně modifikovatelná (vstupní data se stávají vrcholy trojúhelníků jejichž plochy jsou nejčastěji považovány za rovinné). Geomorfologie Nutné zavedení zlomových linií je relativně obtížné definováním oblastí bez aproximace povrchu nebo zavedením hybridního modelu. Nutné zavedení zlomových linií je relativně jednoduché definováním zlomových linií jako povinných hran trojúhelníkovité sítě. Vstupní data Omezení vyplývající z maticové struktury modelu, obvyklé dilema mezi velikostí gridu (pixelu) odrážející se ve velikosti dat a přesnosti. Ideální pro extrémní objemy pravidelně uspořádaných dat (laserové skenování). Relativně neomezené parametry, závislé pouze na kvalitě trojúhelníkovité sítě vzhledem k rozmístění (hustotě) vstupních dat. Použitelnost Omezení vyplývající z 2,5D reprezentace. Velké množství relativně jednoduchých algoritmů pro mnoho aplikací. Struktura modelu je svou podstatou jednodušší. Algoritmy pro aplikace jsou však složitější vzhledem k výpočtům v topologickém modelu.