P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

Transkript

1 P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

2 Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové zkoušky vykazují rozptyl v měřených veličinách (např. počet cyklů do poruchy při určité hodnotě napětí, mez únavy, aj.). Výsledky zkoušek je proto nutno statisticky zpracovat. Počet pravděpodobnosti a matematická statistika.

3 Základní pojmy Pokus Pokusem se rozumí uskutečnění vymezeného souboru podmínek, které vedou k nějakému výsledku. Náhodný pokus. Náhodná veličina taková veličina, která jako výsledek pokusu může nabýt nějakou (různou) hodnotu, jež se ale řídí určitými zákonitostmi. Distribuční funkce F(x) každému reálnému číslu x 0 přiřazuje pravděpodobnost P, že náhodná veličina X bude mít hodnotu menší či rovnu než toto reálné číslo x 0.

4 Základní pojmy Distribuční funkce: F x = P X < x Vlastnosti: hodnoty leží v intervalu 0 a 1: 0 F x 1, je funkcí neklesající: x 2 > x 1 ; F(x 2 ) F(x 1 ), spojití zleva: F x 0 = F x, dále platí: F = 0; F = 1. Pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty z intervalu x 1, x 2 ), je rovna rozdílu distribuční fce v bodě x 2 a v bodě x 1 : P x 1 X x 2 = F x 2 F(x 1 )

5 Základní pojmy Hustota pravděpodobnosti. Pro každou spojitou náhodnou veličinu existuje taková funkce f(x), že platí: Vlastnosti: je nezáporná, f x 0, x F x = f x dx splňuje vztah f x dx = 1, pravděpodobnost, že veličina X se bude vyskytovat v nějakém intervalu, je daná výrazem: x 2 P x 1 X x 2 = f x dx x 1

6 Základní pojmy Vztah mezi hustotou pravděpodobnosti a distribuční funkcí

7 Základní pojmy Každé rozdělení náhodné veličiny lze charakterizovat několika čísly tzv. charakteristikami. Nejužívanějšími charakteristikami jsou centrální momenty. Centrální momenty k-tého řádu: μ k X = μ k X = x k f x dx, k = 1 x μ(x) k f x dx, k > 1

8 Základní pojmy Střední hodnota (centrální moment prvního řádu) Rozptyl (centrální moment druhého řádu) Šikmost (centrální moment třetího řádu) Špičatost (centrální moment druhého řádu)

9 Normální rozdělení Jedno z nejdůležitějších rozdělení náhodné proměnné. Známe též pod názvem Gaussovo rozdělení. Používá se při určení meze únavy a jejího rozptylu. Poloha a tvar křivky hustoty pravděpodobnosti, která má zvonovitý tvar, jsou určeny dvěma parametry střední hodnotou (μ) a směrodatnou odchylkou (s).

10 Normální rozdělení f x = 1 (x μ) 2 s 2π e 2s 2 F x = 1 s 2π x e (x μ)2 2s 2 dx

11 Logaritmicko-normální rozdělení Snaha využít vlastnosti normálního rozdělení pro veličiny, které rozdělení normální nemají, ale vhodnou transformací je na normální lze převést. Často používáno v technické praxi. Rozdělení se používá při vyhodnocení výsledků únavových zkoušek v oblasti časované pevnosti.

12 Weibullovo rozdělení Vztah představuje zobecněni exponenciálního rozdělení. Weibullovo rozdělení je vhodným modelem pro popis pravděpodobnostního chování extrémních hodnot, mezi něž patří statická i únavová pevnost. V únavě materiálu slouží k vyjádření rozložení počtu kmitů do poruchy.

13 Weibullovo rozdělení f x = b a x c a b 1 e x c a b F x = 1 e x c a b

14 Další užívaná rozdělení Rozdělení chí-kvadrát Studentovo rozdělení Fisherovo Exponenciální atd.

15 Základní soubor, náhodný výběr Základní soubor množina hodnot náhodné veličiny s daným rozdělením. Základní soubor tvoří tedy všechny hodnoty, jejichž vlastnosti jsou charakterizovány distribuční funkcí F(x). Náhodný výběr skupina n hodnot ze základního souboru. Více možností výběru jiný náhodný výběr.

16 Statistický odhad Bodový odhad odhad charakteristiky rozdělení náhodné veličiny (neznámého čísla) výběrovou charakteristikou (známým vypočteným číslem). Intervalový odhad odhad charakteristiky rozdělení náhodné veličiny, při němž kromě čísla, kterým se charakteristika odhaduje, udává ještě přesnost a spolehlivost této přesnosti.

17 Aplikace statistických metod při únavových zkouškách Plánování únavových zkoušek Vhodné rozvržení mechanických zkoušek a jejich statistické zpracování je základním předpokladem racionálního posuzování vlastností materiálu. Konstruování únavových křivek Vyhodnocení meze únavy

18 Konstruování únavových křivek Pravděpodobnost přežití Pravděpodobnost porušení

19 Vyhodnocení meze únavy Na nízkých hladinách napětí blížících se mezi únavy materiálu se značně zvyšuje rozptyl počtu kmitů do poruchy. Ukázalo se, že aproximaci výsledků únavových zkoušek velmi dobře vyhovuje normální rozložení meze únavy. Vhodnost použití tohoto rozdělení k určení střední hodnoty a rozptylu meze únavy využívá metoda skupinová.

20 Vyhodnocení meze únavy Vyžaduje poměrně velký počet vzorků (n = 50 a více). Rozdělí se do několika skupin (m = 4 5), po ni vzorcích. Jednotlivé skupiny se zkouší až do porušení nebo do dané meze únavy Nc. Hladiny zatížení se musí vhodně zvolit tak, aby poměr porušených vzorků k neporušeným byl v dostatečně širokém rozmezí (např. 5, 20, 50, 80, 95 % na jednotlivých hladinách). Získáme statistické hodnoty slouží ke konstrukci úplného únavového diagramu v oblasti meze únavy. Další postupy.