52a53 Magnetické pole v okolí vodičů Ověření Biotova-Savartova zákona TEORIE Magnetické pole vzniká pouze tam, kde se pohybují elektrické náboje. Mohou to být např. elektrony ve vodiči nebo ionty v plynu. Dokonce i magnetické pole permanentních magnetů vzniká pohybem elektrických nábojů. Zde se jedná o elektrony pohybující se po kruhových trajektoriích kolem jádra atomu. Veličina, kterou se popisuje magnetické pole se označuje B a nazývá se indukce magnetického pole nebo také magnetická indukce. Je to vektorová fyzikální veličina, která vyjadřuje silové účinky magnetického pole na pohybující se částice s nábojem nebo magnetickým dipólovým momentem. Magnetické pole lze graficky znázornit magnetickými indukční čárami. Jsou to uzavřené neprotínající se orientované křivky, jejichž tečna v daném bodě má směr vektoru magnetické indukce B a jejichž hustota je úměrná velikosti vektoru magnetické indukce. Protéká-li proud přímým vodičem, tvoří magnetické indukční čáry soustředné kružnice, v jejichž ose vodič leží. Pokud je v nějaké oblasti magnetické pole homogenní jsou tam indukční čáry rovnoběžné a od sebe stejně vzdálené. Na částici nesoucí náboj q pohybující se v magnetickém poli rychlostí v působí magnetická síla F m = qv B. Pokud je současně přítomno také pole elektrické popsané intenzitou E je nutno připočítat i sílu elektrickou Fe = qe. Jejich součet F= qe ( + v B) (52.1) se nazývá Lorentzova síla 1. Síla, jež působí v magnetickém poli B na vodič, kterým teče proud I se vypočítá integrací z Ampérova zákona v diferenciálním tvaru df = I d B, (52.2) kde d je element sledovaného vodiče. Pro homogenní magnetické pole a přímkový vodič lze vztah zjednodušit na tvar pro celkovou sílu působící na vodič F = I B sinα, (52.3) kde je délka vodiče a α je úhel, který svírá směr vodiče se směrem vektoru magnetické indukce. Jak již bylo výše konstatováno, zdrojem magnetického pole jsou pohybující se elektrické náboje, tedy elektrický proud. V okolí vodiče, kterým protéká elektrický proud, můžeme proto očekávat existenci magnetického pole. Takto vzniklé magnetické pole je popsáno pomocí Biotova-Savartova zákona. Podle tohoto zákona je magnetická indukce db vytvořená proudovým elementem I d ve vzdálenosti r od tohoto elementu dána vztahem µ 0 I d r db =. (52.4) 3 4π r Zde r je vektor, který směřuje od elementu I d do bodu, v němž určujeme magnetickou indukci. 7 1 6 1 Veličina µ 0 je permeabilita vakua, µ 0 = 4π 10 TmA 1, 26 10 Hm. Hodnota µ pro vzduch je jen nepatrně vyšší než µ 0. Integrací (52.4) se získají vztahy pro konkrétní tvar uvažovaného vodiče. 1 Někdy je jako Lorentzova síla označován pouze příspěvek magnetické síly, tzn. F m. 52/1
PŘÍMÝ VODIČ Pro velikost magnetické indukce pole dlouhého přímého vodiče v kolmé vzdálenosti a od něj lze z Biotova-Savartova zákona odvodit μ 0 I B = (52.5) 2π a Pro určení směru indukce magnetického pole se používá pravidlo pravé ruky: Vodič uchopíme do dlaně pravé ruky tak, aby palec ukazoval směr proudu; zahnuté prsty ukazují směr magnetických indukčních čar. KRUHOVÁ SMYČKA Velikost magnetické indukce uprostřed kruhové smyčky (viz úloha 53) o poloměru R je μ 0 I B =. (52.6) 2R Magnetická indukce leží v ose smyčky. Její orientaci určíme opět pravidlem pravé ruky. VÁLCOVÁ CÍVKA (SOLENOID) Vztah (52.5) pro přímý vodič lze jednodušší cestou získat také z Ampérova zákona celkového proudu B. dl = µ 0Ic, (52.7) (c) kde Ic je celkový proud protékající vodičem, který je obepnutý uzavřenou křivkou c. Tento zákon také umožňuje určit velikost magnetické indukce uvnitř válcové cívky (solenoidu). Pro ideální solenoid (nekonečně dlouhý, hustě vinutý, uvnitř solenoidu B homogenní, vně potom B = 0) dostaneme B= μ0 In, kde n je počet závitů na jednotku délky solenoidu (lineární hustota závitů). Pro práci s reálnými cívkami, u nichž známe celkový počet závitů N a délku cívky L dosadíme za lineární hustotu závitů výraz n= N L. Potom vztah N B= μ 0 I. (52.8) L bude správně vyjadřovat velikost magnetické indukce pouze v místě uprostřed cívky, které je dostatečně daleko od jejich okrajů. Magnetické pole zde můžeme považovat za homogenní. Vektor B bude ležet v ose cívky a směřovat na stejnou stranu jako u všech kruhových smyček, které cívku vytváří. Experiment 52/2
ZÁKLADNÍ POUŽITÉ PŘÍSTROJE Měření velikosti elektromagnetické indukce je prováděno přístrojem, kterému se říká teslametr, obr. 52.1. Přístroj je založen na detekci magnetického pole Hallovou sondou. 1. 6-pólová kulatá zásuvka pro připojení Hallovy sondy 2. hrubé nastavení nuly 3. přepínač rozsahů 20mT, 200mT, 2T 4. přepínač měření stejnosměrného nebo střídavého pole 5. třímístný sedmisegmentový displej LED o výšce 20 mm 6. jemné nastavení nuly 7. výstup pro připojení zapisovače Obr. 52.1.: Digitální teslametr Elektrický proud, který protéká vodiči je zajišťován zdrojem (obr. 52.2.) a transformátorem. Transformátor se ke zdroji připojuje prostřednictvím svorek, které jsou označeny číslem 3. Obr. 52.2.: Nastavení napájecího zdroje 1. zelená luminiscenční dioda, signalizující zapnutí přístroje 2. plovoucí výstup usměrněného napětí 0 12 V ss / 5 A 3. plovoucí výstup střídavého napětí 0 15 V st / 5 A 4. nadproudový jistič 6 A výstupů 2, 3 s vratnou tepelnou pojistkou 5. plynulá regulace na výstupech 2, 3 6. zemnicí zdířka 7. výstup střídavého napětí 6 V st / 6 A 8. výstup střídavého napětí 12 V st / 6 A 9. nadproudový jistič 10 A výstupu 8 s vratnou tepelnou pojistkou, při současném odběru z výstupu 7 jistí součet proudů 10. nadproudový jistič 10 A výstupu 7 s vratnou tepelnou pojistkou, při současném odběru z výstupu 8 jistí součet proudů 52 MĚŘENÍ MAGNETICKÉHO POLE PŘÍMÝCH VODIČŮ ÚKOL 1. U přímého vodiče proměřte závislost velikosti elektromagnetické indukce na velikosti vodičem procházejícího elektrického proudu. 2. Při konstantní velikosti proudu procházejícího vodičem měřte změnu velikosti elektromagnetické indukce v závislosti na změně vzdálenosti od vodiče. 3. Měřte velikost magnetické indukce v okolí dvou paralelních vodičů, kterými protéká elektrický proud stejným směrem a kterými poté protéká elektrický proud směry navzájem opačnými. 52/3
POSTUP PŘI MĚŘENÍ, ZPRACOVÁNÍ A VYHODNOCENÍ Příprava pracoviště Obr. 52.3: Pracoviště pro měření velikosti magnetické indukce přímých vodičů. 1. Pracoviště zapojte podle obr. 52.3. Před připojením ke zdroji nechejte zkontrolovat zapojení vyučujícím. 2. Ampérmetr (proudové kleště) nastavte na rozsah 200A. Ujistěte se, že je na něm údaj OUTPUT: 1 mv/a. Znamená to, že ampérmetr převádí proud na napětí tak, že 1 A odpovídá 1 mv. Procházející proud tedy odečítejte na připojeném digitálním multimetru na rozsahu 200 mv. 3. Hallovu sondu připojte k číslicovému teslametru, nastavte typ měřeného pole (stejnosměrné, střídavé) a vhodný rozsah. 4. Ujistěte se, že primární vinutí transformátoru má 140 závitů a sekundární vinutí 6 závitů. Uvědomte si, jak velký bude elektrický proud procházející sekundárním vinutím transformátoru, pokud bude primárním vinutím procházet pouze 1 A. Měření studovaných závislostí 1. Obdélníková smyčka č. 1. Změřte závislost velikosti B indukce magnetického pole B na velikosti proudu tekoucího vodičem. Rozsah proudu volte od 10 A do 110 A s krokem 10 A. Během tohoto měření je sonda těsně u vodiče. 2. Obdélníková smyčka č. 1. V dalším měření sledujeme, jak velikost magnetického pole klesá se vzdáleností od vodiče, kterým protéká proud. Při konstantní hodnotě elektrického proudu (např. 80 A) pomalu posouvejte sondou na obě strany od vodiče a zapisujte změnu velikosti intenzity magnetického pole v závislosti na vzdálenosti sondy od vodiče. 52/4
3. Obdélníková smyčka č. 2. Proměřte závislost magnetického pole dvou paralelních vodičů na vzdálenosti od jednoho z těchto vodičů v případě, že proud těmito vodiči protéká ve vzájemně opačném směru. Měřte nejen mezi oběma vodiči, ale i v oblasti na jednu i druhou stranu od této dvojice. Velikost proudu volte z rozsahu 50 A až 100 A. Předem vhodně promyslete, jaký krok budete volit při nastavování vzdálenosti od vodiče (v blízkosti vodičů měřte např. 6 hodnot po jednom milimetru a dále už po pěti milimetrech). 4. Obdélníková smyčka č. 3. Stejný úkol jako v předcházejícím bodě, avšak s tím rozdílem, že proud ve vodičích protéká stejným směrem. 5. Naměřené hodnoty z bodů 1, 2, 3 a 4 zapište do tabulky a vyneste do grafů. 6. Na obrázcích 52.4 až 52.7 vidíte, k jakému tvaru by se měly závislosti, které naměříte, blížit. 7. V závěru protokolu uveďte 2 části: a. Věnujte se měřením, které jste prováděli v bodech 1 a 2 pracovního postupu. Uveďte teoretické vztahy pro závislosti, které jste zde studovali a zjistěte, zda naměřený průběh teoretickým vztahům odpovídá, či nikoliv. Své tvrzení zdůvodněte. Vytvořte tabulku, ve které porovnáte naměřené hodnoty s hodnotami vypočítanými z teoretických vztahů. Ze závislosti B = B(I) vyberte pro toto porovnání 4 různé body, ze závislosti B = B(a) pak 4 body z každé větve. Pro jeden bod z každé čtveřice uveďte jako příklad vašeho postupu teoretický vztah, dosazení, výpočet a výslednou hodnotu. Formulujte závěry plynoucí z porovnání. b. Najděte a zdůvodněte případné rozdíly mezi grafy závislostí měřenými v bodech 3 a 4 pracovního postupu. Svoji pozornost zaměřte na oblast mezi paralelními vodiči! OČEKÁVANÉ PRŮBĚHY MĚŘENÝCH ZÁVISLOSTÍ Následují čtyři obrázky s grafy očekávaných průběhů měřených závislostí. Dotazy na tyto průběhy jsou i mezi otázka mi vstupního testu. Obrázky ilustrují pouze cílový tvar grafů. Hodnoty, které naměříte, budou odlišné. Jeden vodič Obr. 52.4.: Závislost B na velikosti proudu I, který teče vodičem. Parametrem je konstantní vzdálenost a měřicí sondy od vodiče. Obr. 52.5.: Závislost B na vzdálenosti a měřicí sondy od vodiče 4,5 3,5 4,0 3,5 a = 5 mm 3,0 2,5 a < 0; I = 100A a > 0; I = 100A 3,0 B (mt) B (mt) 2,5 2,0 2,0 1,5 1,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 I (A) Obr. 52.4.: Závislost B na velikosti proudu I, který teče vodičem 0,0-100 -80-60 -40-20 0 20 40 60 80 100 a (mm) Obr. 52.5.: Závislost B na vzdálenosti a sondy od vodiče. 52/5
Dva paralelní vodiče Obr. 52.6.: Magnetické pole dvou paralelních vodičů jako funkce vzdálenosti sondy od jednoho z těchto vodičů v případě, že proud ve druhém vodiči protéká v opačném směru. Obr. 52.7.: Magnetické pole dvou paralelních vodičů jako funkce vzdálenosti sondy od jednoho z těchto vodičů v případě, že proud v obou vodičích protéká ve stejném směru. Podívejme se podrobněji na grafy na obr. 52.6 a 52.7, na nichž jsou vyneseny hodnoty velikosti magnetické indukce v oblasti mezi dvěma paralelními vodiči, kterými protéká proud. Kolem každého z vodičů vzniká magnetické pole. Vektory indukce těchto magnetických polí jsou v každém bodě v oblasti mezi vodiči v závislosti na směru proudu ve vodičích buď souhlasně nebo nesouhlasně rovnoběžné. Znamená to, že jejich velikosti se buď sčítají nebo odečítají. Na obr. 52.6. je magnetické pole dvou paralelních vodičů jako funkce vzdálenosti sledovaného bodu od jednoho z těchto vodičů v případě, že proud ve druhém vodiči protéká v opačném směru. Vektory magnetické indukce mají v bodech mezi vodiči stejný směr a jejich velikosti se sčítají. Velikost každého z těchto vektorů je však také závislá na vzdálenosti od vodiče, který je zdrojem popisovaného pole, rov. (52.5). Výsledkem je situace, že v některém z bodů mezi vodiči má velikost výsledné magnetické indukce minimum. Pokud jsou proudy v obou paralelních vodičích stejně velké je toto minimum uprostřed mezi oběma vodiči. Na obr. 52.7. je magnetické pole dvou paralelních vodičů jako funkce vzdálenosti sledovaného bodu od jednoho z těchto vodičů v případě, že proud v obou vodičích protéká ve stejném směru. Vektory magnetické indukce mají tentokrát v bodech mezi vodiči opačný směr a jejich velikosti se tedy odečítají. I zde je samozřejmě velikost každého z těchto vektorů je také závislá na vzdálenosti od vodiče, který je zdrojem popisovaného pole, rov. (52.5). Výsledkem je situace, že v některém z bodů mezi vodiči má velikost výsledné magnetické indukce nulovou hodnotu. Pokud jsou proudy v obou paralelních vodičích stejně velké je magnetické pole nulové uprostřed mezi oběma vodiči. I = 80 A 3,5 3 I = 100 A 2,5 2 2,5 1,5 2 B (mt) 1,5 B (mt) 1 1 0,5 0,5 0-60 -40-20 0 20 40 60 80 100 120 a (mm) Obr. 52.6.: Magnetické pole dvou paralelních vodičů jako funkce vzdálenosti sondy od jednoho z těchto vodičů v případě, že proud ve druhém vodiči protéká v opačném směru. 0-60 -40-20 0 20 40 60 80 100 120 a (mm) Obr. 52.7.: Magnetické pole dvou paralelních vodičů jako funkce vzdálenosti sondy od jednoho z těchto vodičů v případě, že proud v obou vodičích protéká ve stejném směru. Při tvorbě grafů k měření magnetického pole paralelních vodičů berte v úvahu, že průměr měřených vodičů je 4 milimetry a vzdálenost mezi středy obou vodičů je 60 milimetrů. Při správném měření by se vaše grafy měly podobat grafům z obrázků 52.6 a 52.7. 52/6
53 MĚŘENÍ MAGNETICKÉHO POLE CÍVEK ÚKOL Cívky 1. Proměřte nejdříve velikost B magnetické indukce B ve směru podélných os pro tři vybrané cívky. Kruhové smyčky Měřte pouze na pokyn učitele 2. Změřte velikost B indukce magnetického pole B ve středu tří různých smyček. Zjistěte její závislost na poloměru smyčky a na počtu závitů smyčky. 3. Pro vybraná měření vypočtěte permeabilitu (tzv. magnetickou konstantu) vakua μ0. Obr. 53.1.: Uspořádání pracoviště pro měření magnetického pole cívek a smyček POSTUP PŘI MĚŘENÍ, ZPRACOVÁNÍ A VYHODNOCENÍ Hallovou sondou teslametru měříme magnetické pole uprostřed smyček a podél osy cívek s různými rozměry a různým počtem závitů. Hledáme vztah mezi změřenou indukcí magnetického pole a rozměry smyčky nebo cívky. Naměřené hodnoty vyneseme do grafu a zjišťujeme, zda experimentální závislosti odpovídají teoretickým. 1. Sestavte pracoviště a zapojte přístroje podle obr.53.1. Napájecí zdroj použijte jako zdroj konstantního proudu. Napětí nastavte na 18V. Velikost proudu zvolte podle toho, zda budete měřit cívky nebo smyčky.! POZOR! Pro dlouhé cívky navinuté na plastové trubici použijeme proud o velikosti 1A a necháme jej protékat pouze po dobu nezbytně nutnou pro měření. Jinak se cívky zahřejí a teplem zničí. Smyčkami necháme protékat proud 5A!. 52/7
Měření s cívkami 2. Proměřte velikost magnetické indukce B postupně uvnitř tří stejně dlouhých cívek s různým počtem závitů. Pro měření si zvolte cívky o stejné délce a průměru, s počtem závitů N =75, 150 a 300. 3. Měření provádějte podél osy cívky postupným zasouváním a vysouváním Hallovy sondy ke středu a od středu cívky. Střed cívky určete výpočtem. Velikosti B zaznamenávejte z digitálního teslametru. 4. Naměřené závislosti vyneste do společného grafu, kde střed cívky bude v nulové poloze uprostřed osy z. Výsledný graf bude podobný grafu na obr.53.2. Podélná osa cívky je zde označena písmenem z. 5. Pokuste se o interpretaci naměřených závislostí. Jaký typ magnetického pole se v oblasti kolem středu cívek vytvoří? Je některá z měřených cívek je z tohoto hlediska nejvhodnější? 6. Uveďte teoretický vztah pro ideální solenoid, dosaďte do něj hodnoty z experimentu a výsledek porovnejte s hodnotami magnetické indukce uprostřed reálné cívky, tj. v bodě z = 0. 2,5 B/mT 2 1,5 1 0,5 0-12 -8 75 závitů -4 150 z. 0 300 z. 4 8 12 z/ cm Obr. 53.2.: Závislost velikosti magnetické indukce podél osy cívky. Cívky s konstantní délkou L a konstantním poloměrem R. Cívky s počtem závitů: N1 = 75 (-), N2 = 150 (-) a N3 = 300 (-) Měření s kruhovými smyčkami 52/8
Měření s kruhovými smyčkami 7. Pomocí Hallovy sondy teslametru měřte velikost B indukce magnetického pole B v ose a zároveň ve středu kruhové smyčky. Ověřte její závislosti na počtu závitů a na poloměru smyčky. 8. Pro měření vyberte a. tři smyčky takové, abyste mohli stanovit závislost měřené magnetické indukce na počtu N závitů smyčky. b. tři smyčky takové, abyste mohli stanovit závislost měřené magnetické indukce na poloměru R smyčky. 9. Pro odstranění rušení poli, která se vyskytují v okolí, měřte nejprve mimo smyčku a potom v jejím středu. Do úvahy berte relativní změny velikosti indukce magnetického pole, tj. rozdíly mezi hodnotou naměřenou uprostřed smyčky a hodnotou zjištěnou mimo smyčku. 10. K vyloučení vlivu asymetrie v měřící aparatuře otočte při měření ve smyčce směr proudu smyčkou (přepólujte smyčku) a měřte znovu. Výsledek získáte zprůměrováním naměřených hodnot. 11. Měření zaznamenávejte do vhodných tabulek. 12. Z naměřených hodnot vytvořte graf závislosti B = B(N). Závislost B = B(R) vyneste do grafu s logaritmickými osami (log log), aby se nepřímá úměra zobrazila jako klesající přímka. Měli byste získat grafy podobné těm na obr. 53.3. 13. Uveďte teoretický vztah pro indukci magnetického pole ve středu kruhové smyčky, vypočítané hodnoty zaneste do tabulky k hodnotám naměřeným. Hodnoty porovnejte. Posuďte, zda průběhy změřených závislostí odpovídají průběhu očekávanému podle teoretických vztahů. 14. Vyberte si z každé měřené závislosti jeden bod a z naměřených hodnot B, I a R spočítejte hodnotu permeability µ a porovnejte hodnotou µ 0. Obr. 53.3.: Graf velikosti magnetické indukce smyčky v závislosti a) na N počtu závitů smyčky, b) na R poloměru smyčky POSOUZENÍ PŘESNOSTI MĚŘENÍ Přesnost měření je dána přesností použitého teslametru, přesností nastavení a odečtu elektrického proudu procházejícího vodičem a přesností odečítání polohy Hallovy sondy v prostoru. 52/9
KONTROLNÍ OTÁZKY 1. Popište podstatu vzniku magnetického pole. Která fyzikální veličina toto pole popisuje? Jaká je její jednotka? 2. Vysvětlete pojem magnetické indukční čáry. Uveďte jejich základní vlastnosti. 3. Graficky znázorněte magnetické indukční čáry magnetického pole v okolí přímého vodiče, kterým protéká elektrický proud. Vyberte a vyznačte konkrétní směr proudu a tomu od povídající orientaci magnetických indukčních čar. 4. Graficky znázorněte magnetické indukční čáry magnetického pole v okolí kruhového závitu, kterým protéká elektrický proud. Vyberte a vyznačte konkrétní směr proudu a tomu od povídající orientaci magnetických indukčních čar. 5. Popište solenoid. Graficky znázorněte magnetické indukční čáry magnetického pole uvnitř a vně solenoidu, kterým protéká proud, jehož konkrétní směr zvolíte a do obrázku vyznačíte. 6 Co je to Lorentzova síla? Popište její složky. 52/10