Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk
Obsah 1 Úvod Pôžičky s povinným jednorazovým splatením
Úvod Pojem umorovania Definícia Umorovaním nazývame proces splácania úrokovej pôžičky, t.j. pôžičky, pri ktorej spláca dlžník veriteľovi okrem požičanej sumy aj úroky z tejto sumy.
Úvod Klasifikácia pôžičky podľa spôsobu umorovania 1 Pôžičky bez záväzného splácania tzv. úrokové dlžoby - dlžník spláca len dohodnuté úroky v určených termínoch a kedykoľvek môže pôžičku vykúpiť 2 Pôžičky s povinným jednorazovým splatením - dlžník pravidelne spláca úroky a pôžičku vráti naraz jednou splátkou v dohodnutom termíne 3 v niekoľkých termínoch - dlžník pravidelne spláca úroky z nesplateného základu pôžičky a časť dosiaľ nesplateného základu (úmor)
Pôžičky s povinným jednorazovým splatením Atribúty pôžičky s povinným jednorazovým splatením pravidelné splácanie úrokov splatenie dlhu v určenom termíne naraz jednou splátkou založenie zabezpečovacieho fondu pre nasporenie sumy vo výške dlhu k termínu splatenia
Pôžičky s povinným jednorazovým splatením Ilustrácia Príklad: Podnikateľ si zobral pôžičku na modernizáciu zariadenia dielne v hodnote 10 000 eur. Pôžička bola vydaná pri 5 % ročnej úrokovej miere a musí byť vrátená jednorazovo o 4 roky. Podnikateľ chce na tento účel vytvoriť v banke zabezpečovací fond, pričom banka poskytuje 6 % nominálnu úrokovú mieru. Predpokladajme, že fond sa bude realizovať na konci každého roka konštantnými splátkami. Zostavme umorovací plán.
Pôžičky s povinným jednorazovým splatením Terminológia a označenie Použité skratky: D veľkosť pôžičky n počet rokov splatnosti pôžičky g nominálna úroková sadzba pôžičky p počet splátok za rok m počet úrokových periód (konverzií) za rok i ročná úroková sadzba, ak m = 1 j ročná úroková sadzba, ak m > 1 u t úrok na konci t-tej periódy a splátka do fondu A t splátka (anuita) splatná na konci t-tej periódy A t = u t + a
Pôžičky s povinným jednorazovým splatením p = 1 - Príklad 1 Príklad: Podnikateľ si zobral pôžičku na modernizáciu zariadenia dielne v hodnote 10 000 eur. Pôžička bola vydaná pri 5 % ročnej úrokovej miere a musí byť vrátená jednorazovo o 4 roky. Podnikateľ chce na tento účel vytvoriť v banke zabezpečovací fond, pričom banka poskytuje 6 % nominálnu úrokovú mieru. Predpokladajme, že fond sa bude realizovať na konci každého roka konštantnými splátkami. Zostavme umorovací plán. Zápis: D = 10000 i = 0, 06 g = 0, 05 m = 1 n = 4 p = 1 a =?
Pôžičky s povinným jednorazovým splatením p = 1 - Splátky do zabezpečovacieho fondu Každá splátka narastie za príslušný počet periód o úroky na novú hodnotu. Súčet týchto nových hodnôt na konci doby splatnosti tvorí budúcu hodnotu polehotnej renty S n a je rovný výške pôžičky. S n =D a a a a 0 1 2 3 4 a(1+i) 0 a(1+i) 1 a(1+i) 2 a(1+i) 3 Obr.: Splátky do zabezpečovacieho fondu
Pôžičky s povinným jednorazovým splatením p = 1 - Umorovací plán pôžičky 1 p=m=1 D = a (1 + i)n 1 i = a = D i (1 + i) n 1 A t = u t + D u t = D g i (1 + i) n 1
Pôžičky s povinným jednorazovým splatením p = 1 - Umorovací plán pôžičky - Príklad 1 t u t a A t a(1 + i) n t 1 500 2285,91 2785,91 2722,555=a(1 + i) 3 2 500 2285,91 2785,91 2568,448=a(1 + i) 2 3 500 2285,91 2785,91 2423,065=a(1 + i) 1 4 500 2285,91 2785,91 2285,915=a 2000 9143,66 11143,66 9999,98346
Pôžičky s povinným jednorazovým splatením p ľubovoľné - Umorovací plán pôžičky 1 p, m ľubovoľné ( m n 1+ m) j 1 D = a ( ) 1+ j m p m 1 = a = D ( 1+ j m ) m p 1 ( m n 1+ m) j 1 A t = u t + D u t = D g ( ) m p 1+ j m 1 ( m n 1+ m) j 1
Pôžičky s povinným jednorazovým splatením p ľubovoľné - Príklad 2 Príklad: Podnikateľ si zobral pôžičku na modernizáciu zariadenia dielne v hodnote 10 000 eur. Pôžička bola vydaná pri 5 % ročnej úrokovej miere a musí byť vrátená jednorazovo o 4 roky. Podnikateľ chce na tento účel vytvoriť v banke zabezpečovací fond, pričom banka poskytuje 6 % nominálnu úrokovú mieru pri štvrťročnom úrokovaní. Predpokladajme, že fond sa bude realizovať polročnými splátkami. Zostavme umorovací plán. Zápis: D = 10000 j = 0, 06 g = 0, 05 m = 4 n = 4 p = 2 a =?
Pôžičky s povinným jednorazovým splatením p ľubovoľné - Umorovací plán pôžičky - Príklad 2 t u t a A t a(1 + j m )m(n t p ) 1 0 1123,666 1123,666 1384,082=a(1 + 0,06 4 )4(4 1 2 ) 2 500 1123,666 1623,666 1343,475=a(1 + 0,06 4 )4(4 2 2 ) 3 0 1123,666 1123,666 1304,060=a(1 + 0,06 4 )4(4 3 2 ) 4 500 1123,666 1623,666 1265,801=a(1 + 0,06 4 )4(4 4 2 ) 5 0 1123,666 1123,666 1228,665=a(1 + 0,06 4 )4(4 5 2 ) 6 500 1123,666 1623,666 1192,618=a(1 + 0,06 4 )4(4 6 2 ) 7 0 1123,666 1123,666 1157,629=a(1 + 0,06 4 )4(4 7 2 ) 8 500 1123,666 1623,666 1123,666=a(1 + 0,06 4 )4(4 8 2 ) 2000 8989,328 10989,328 9999,99717
Atribúty pôžičky s postupným splácaním pravidelné splácanie úrokov postupné splácanie dlhu v pravidelných splátkach splátka pozostáva z úmoru (časť dosiaľ nezaplateného dlhu) úroku z dosiaľ nezaplateného dlhu anuita = úmor + úrok
Pravidlá umorovania pôžičiek s postupným umorovaním I A n =D A 1 A 2 A n-1 A n Q 0 1 2... n-1 n A1 = ( 1 + g) 1 1 A Q = + g Q Q 2 2 2 ( 1 ) A = + n 1 n 1 n 1 n ( 1 g) A n = n ( 1 + g) t=0 Obr.: Výška dlhu
Pravidlá umorovania pôžičiek s postupným umorovaním I Veta Veľkosť dlhu pôžičky s postupným umorovaním je rovná súčtu súčasných hodnôt všetkých anuít. D = A 1 1 + g + A 2 (1 + g) 2 + + A p (1 + g) p + + A n (1 + g) n
Pravidlá umorovania pôžičiek s postupným umorovaním II D A 1 A 2 A p A n-1 A n D(1+g) n 0 1 2... p... n-1 n A n A ( g) 1 n 1 + Ap ( 1+ ) n p g t=n ( + ) 1 n 2 2 g A ( + ) 1 n 1 1 g A Obr.: Výška budúcej hodnoty dlhu
Pravidlá umorovania pôžičiek s postupným umorovaním II Veta Veľkosť budúcej hodnoty dlhu pôžičky s postupným umorovaním na konci n-tej periódy je rovná súčtu budúcich hodnôt všetkých anuít na konci n-tej periódy. D (1+g) n = A 1 (1+g) n 1 +A 2 (1+g) n 2 + +A p (1+g) n p + +A n
Pravidlá umorovania pôžičiek s postupným umorovaním III D D(1+g) p A 1 A 2 A p-1 A p A p+1 A n-1 A n 0 1 2... p-1 p p+1... n-1 n t=p Obr.: Výška hodnoty dlhu na konci p-tej periódy
Pravidlá umorovania pôžičiek s postupným umorovaním III D(1 + g) p = A 1 (1+g) p 1 + A 2 (1+g) p 2 + A p 1 (1+g) + A p + +A p+1 (1+g) 1 + A p+2 (1+g) 2 + + +A n 1 (1+g) p n+1 + A n (1+g) p n Veta Zostatok dlhu D p pôžičky s postupným umorovaním po zaplatení p-tej anuity sa rovná súčtu súčasných hodnôt zostávajúcich n p anuít A p+1, A p+2,..., A n k času t = p. D p = A p+1 (1 + g) 1 + A p+2 (1 + g) 2 + + A n (1 + g) p n
Pravidlá umorovania pôžičiek s postupným umorovaním III D(1 + g) p = A 1 (1+g) p 1 + A 2 (1+g) p 2 + A p 1 (1+g) + A p + +D p Veta Zostatok dlhu D p pôžičky s postupným umorovaním po zaplatení p-tej anuity sa rovná rozdielu medzi budúcou hodnotou dlhu na konci p-tej periódy a súčtom budúcich hodnôt prvých p anuít A 1, A 2,..., A p k času t = p. D p = D(1+g) p [ A 1 (1+g) p 1 + A 2 (1+g) p 2 + + A p 1 (1+g) + A p ]
Ilustrácia Príklad: Dlh v sume 100 000 eur je vydaný pri 10 % ročnej úrokovej miere a má byť splatený do 4 rokov. Zostavme umorovací plán za predpokladu ročných konštantných umorovacích splátok. Príklad: Podnikateľ si zobral pôžičku v hodnote 10 000 eur pri 5 % ročnej úrokovej miere. Dlh má byť splatený do 4 rokov. Zostavme umorovací plán za predpokladu ročných konštantných anuít.
Terminológia a označenie Použité skratky: n g p m D t Q t u t A t počet rokov splatnosti pôžičky nominálna úroková sadzba pôžičky počet splátok za rok počet úrokových periód (konverzií) za rok výška dlhu na konci t-tej periódy výška úmoru na konci t-tej periódy úrok na konci t-tej periódy splátka (anuita) splatná na konci t-tej periódy
Výška splátky na konci t-tej periódy výška splátky výška úroku výška úmoru A t = Q t + u t u t = D t 1 g, resp. u t = D t 1 g p Q t = D t 1 D t
Klasifikácia pôžičiek s postupným splácaním 1 pôžičky s rovnomerným splácaním 2 pôžičky s anuitným splácaním A t = Q + u t A = Q t + u t
Pôžičky s rovnomerným splácaním Definícia Pôžičkou s rovnomerným splácaním nazývame takú pôžičku s postupným splácaním, pri ktorej je výška úmoru konštantná, t.j. Q t = Q t = 1, 2,... n p Veta Pre výšku úmoru pri pôžičke s rovnomerným splácaním platí Q = D n p
p = 1 - Príklad 3 Príklad: Dlh v sume 100 000 eur je vydaný pri 10 % ročnej úrokovej miere a má byť splatený do 4 rokov. Zostavme umorovací plán za predpokladu ročných konštantných umorovacích splátok. Zápis: D = 100000 g = 0, 1 n = 4 Q =?
p = 1 - Pôžičky s rovnomerným splácaním - Algoritmus Algoritmus: 1 Q = D n 2 D 0 = D 3 u 1 = D 0 g 4 A 1 = Q + u 1 5 D 1 = D 0 Q 6 u 2 = D 1 g.
p = 1 - Umorovací plán pôžičky - Príklad 3 t D t 1 ( Q = D t ) u t = D t 1 g Q = D n A t (= Q + u t ) 1 100000 10000 25000 35000 2 75000 7500 25000 32500 3 50000 5000 25000 30000 4 25000 2500 25000 27500 25000 100000 125000
Pôžičky s rovnomerným splácaním - postupnosť zostatkov dlhu Veta (veta o postupnosti zostatkov dlhu) Zostatky dlhov D 0, D 1,..., D n 1 pri pôžičke s rovnomerným splácaním tvoria klesajúcu aritmetickú postupnosť. Dôkaz: D t = D t 1 Q D t D t 1 = Q D t D t 1 = D n (= d) Dôsledok Zostatok dlhu D t na konci t-tej periódy pri pôžičke s rovnomerným splácaním je D t = D 0 t D n
Pôžičky s rovnomerným splácaním - postupnosť úrokov Veta (veta o postupnosti úrokov) Splátky úrokov u 1, u 2,..., u n pri pôžičke s rovnomerným splácaním tvoria klesajúcu aritmetickú postupnosť. Dôkaz: u t = D t 1 g u t+1 = D t g u t+1 u t = (D t D t 1 ) g = D n g (= d) Dôsledok Splátka úroku u t na konci t-tej periódy pri pôžičke s rovnomerným splácaním je ( u t = u 1 + (t 1) D ) g n
Pôžičky s rovnomerným splácaním - postupnosť anuít Veta (veta o postupnosti anuít) Anuity A 1, A 2,..., A n pri pôžičke s rovnomerným splácaním tvoria klesajúcu aritmetickú postupnosť. Dôkaz: A t = u t + Q A t+1 = u t+1 + Q A t+1 A t = u t+1 u t = D n g (= d) Dôsledok Anuita A t na konci t-tej periódy pri pôžičke s rovnomerným splácaním je ( A t = A 1 + (t 1) D ) g n
p ľubovoľné - Príklad 4 Príklad: Dlh v sume 100 000 eur je vydaný pri 10 % ročnej úrokovej miere s polročný úrokovaním a má byť splatený do 4 rokov. Zostavme umorovací plán za predpokladu polročných konštantných umorovacích splátok. Zápis: D = 100000 g = 0, 1 n = 4 m = 2 p = 2 Q =?
p ľubovoľné - Umorovací plán pôžičky - Príklad 4 t D t 1 ( Q = D t ) u t = D t 1 g p Q = D n p A t (= Q + u t ) 1 100000 5000 12500 17000 2 87500 4375 12500 16875 3 75000 3750 12500 16250 4 62500 3125 12500 15625 5 50000 2500 12500 15000 6 37500 1875 12500 14375 7 45000 1250 12500 13750 8 12500 625 12500 13125 22500 100000 122500
Pôžičky s anuitným splácaním Definícia Pôžičkou s anuitným splácaním nazývame takú pôžičku s postupným splácaním, pri ktorej je výška splátky (anuity) konštantná, t.j. A t = A t = 1, 2,... n p
p = 1 - Príklad 5 Príklad: Podnikateľ si zobral pôžičku v hodnote 10 000 eur pri 5 % ročnej úrokovej miere. Dlh má byť splatený do 4 rokov. Zostavme umorovací plán za predpokladu ročných konštantných anuít. Zápis: D = 10000 g = 0, 05 n = 4 A =?
p = 1 - Výška anuity Súčet odúročených splátok tvorí súčasnú hodnotu polehotnej konštantnej renty A n a je rovný výške pôžičky. A n =D A A A A Q = A + g Q = A 1 + g Q = A 1 + g Q = A 1 + g ( 1 ) 1 1 ( ) 2 2 ( ) 3 3 ( ) 4 4 0 1 2 3 4 Obr.: Výška anuity
p = 1 - Umorovací plán pôžičky A n = R 1 (1 + i) n i D = A 1 (1 + g) n g = A = D g 1 (1 + g) n A = u t + Q t u t = D g
p = 1 - Pôžičky s anuitným splácaním - Algoritmus Algoritmus: 1 A = D 2 D 0 = D 3 u 1 = D 0 g 4 Q 1 = A u 1 5 D 1 = D 0 Q 1 6 u 2 = D 1 g. g 1 (1 + g) n
p = 1 - Umorovací plán pôžičky - Príklad 5 t D t 1 ( Q t = D t ) u t = D t 1 g Q t = A u t A(= Q t + u t ) 1 10000,00000 500,00000 2320,11833 2820,11833 2 7679,88167 383,99408 2436,12424 2820,11833 3 5243,75743 262,18787 2557,93045 2820,11833 4 2685,82698 134,29135 2685,82698 2820,11833 1280,47330 10000,00000 11280,47330
Pôžičky s anuitným splácaním - postupnosť umorovacích splátok Veta (veta o postupnosti úmorov) Umorovacie splátky Q 1, Q 2,..., Q n pri pôžičke s anuitným splácaním tvoria rastúcu geometrickú postupnosť. Dôkaz: A t = Q t + u t = Q t + D t 1 g A t+1 = A t Q t+1 + D t g = Q t + D t 1 g Q t+1 = Q t + (D t 1 D t ) g Q t+1 = Q t + Q t g Q t+1 = Q t (1 + g) Q t+1 Q t = 1 + g
Pôžičky s anuitným splácaním - prvá umorovacia splátka Dôsledok Výška prvej umorovacej splátky Q 1 pri pôžičke s anuitným splácaním spĺňa D = Q 1 (1 + g)n 1 g Dôkaz: D = Q 1 + Q 2 + Q n = = Q 1 + Q 1 (1 + g) + Q 1 (1 + g) 2 + + Q 1 (1 + g) n 1 D = Q 1 (1 + g)n 1 1 + g 1 D = Q 1 (1 + g)n 1 g
p ľubovoľné - Umorovací plán pôžičky A n = R 1 (1 + j m ) m n (1 + j m ) m p 1 D = A 1 (1 + g m ) m n g (1 + g m ) m p 1 = A = D (1 + m ) m p 1 1 (1 + g m ) m n A = u t + Q t u t = D g p
p ľubovoľné - Príklad 6 Príklad: Podnikateľ si zobral pôžičku v hodnote 10 000 eur pri 5 % ročnej nominálnej úrokovej miere a polročnom úrokovaní, ktorá má byť splatená do 4 rokov. Zostavme umorovací plán za predpokladu polročných konštantných anuít. Zápis: D = 10000 g = 0, 05 m = 2 p = 2 n = 4 A =?
p ľubovoľné - Umorovací plán pôžičky - Príklad 6 t D t 1 ( Q t = D t ) u t = D t 1 g p Q t = A u t A(= Q t + u t ) 1 10000,00000 250,00000 1144,67346 1394,67346 2 8855,32654 221,38316 1173,29030 1394,67346 3 7682,03624 192,05091 1202,62255 1394,67346 4 6479,41369 161,98534 1232,68812 1394,67346 5 5246,72557 131,16814 1263,50532 1394,67346 6 3983,22025 99,58051 1295,09295 1394,67346 7 2688,12730 67,20318 1327,47028 1394,67346 8 1360,65702 34,16426 1360,65704 1394,67346 1157,38766 10000,00000 11157,38768
Ďakujem za pozornosť.