Dokument č. SX014a-CZ-EU Strana 1 z 10 Eurokód Řešený příklad: Prostě uložená spřažená stropnice V příkladu je navržen rovnoměrně zatížený prostě uložený spřažený stropní nosník. Nosník je zatížen:. vlastní tíhou nosníku tíhou betonové desky nahodilým zatížením Válcovaný I nosník je ohýbán v rovině větší tuhosti. Tento příklad obsahuje: - klasifikaci průřezu, - výpočet učinné šířky betonové desky, - výpočet smykové únosnosti trnu, - výpočet stupně spřažení, - výpočet ohybové únosnosti, - výpočet smykové únosnosti, - výpočet smykové únosnosti desky, - výpočet průhybu v mezním stavu použitelnosti. Tento příklad nezahrnuje ověření smykového ochabnutí stěny. Dílčí součinitele γ G = 1,35 (stálé zatížení) γ Q = 1,50 (proměnné zatížení) γ M0 = 1,0 γ M1 = 1,0 γ V = 1,5 γ C = 1,5 EN 1990 6.1 (1) 6.6.3.1 EN 199-1-1
Dokument č. SX014a-CZ-EU Strana z 10 Eurokód Základní údaje Navrhněte spřažený stropní nosník vícepodlažní budovy podle údajů uvedených níže. Nosník je během montáže podepřen lešením. Trapézové plechy jsou uloženy kolmo k nosníkům. Rozpětí: 7,50 m Osová vzdálenost: 3,00 m Tloušťka desky: 1 cm Bednění : 0,75 kn/m Nahodilé zatížení :,50 kn/m Objemová hmotnost betonu : 5 kn/m 3 Značka oceli: S355 Průřez IPE 70 t f z Euronorm Výška h a = 70 mm 19-57 Šířka b = 135 mm t w Tloušťka stěny t w = 6,6 mm y y Tloušťka pásnice t f = 10, mm h a Zaoblení r = 15 mm Hmotnost 36,1 kg/m z b Průřezová plocha A a = 45,95 cm Moment setrvačnosti /yy I y = 5790 cm 4 Pružný průřezový modul /yy W el,y = 48,9 cm 3 Plastický průřezový modul /yy W pl.y = 484,0 cm 3 Modul pružnosti oceli E a = 10000 N/mm
Dokument č. SX014a-CZ-EU Strana 3 z 10 Eurokód Trapézový plech Tloušťka plechu Tloušťka desky Výška vlny trapézového plechu t = 0,75 mm h = 10 mm h p = 58 mm b 1 = 6 mm b = 101 mm e = 07 mm Prvy spřažení Průměr Délka d = 19 mm h sc = 100 mm Mez pevnosti f u = 450 N/mm Počet spřahovacích trnů n = 7500 / e = 36 Počet trnů v žebru n r = 1 h 0 e h sc h h p 0,5h p b 1 b Parametry betonu: C 5/30 Pevnost po 8 dnech f ck = 5 N/mm Modul pružnosti betonu E cm = 33 000 N/mm EN 199-1-1 3.1.3 Tab. 3.1 Zohledníme-li vlny trapézového plechu, lze brát tíhu betonové desky : 5 3,0 (0,1 5 0, 101+ 0, 06 0,058) = 7, kn/m Vlastní tíha nosníku : (36,1 9,81) 10-3 =0,354 kn/m
Dokument č. SX014a-CZ-EU Strana 4 z 10 Eurokód Stálé zatížení: G = 0,354 + 7, + 0,75 3,0 = 9,80 kn/m Proměnné zatížení (nahodilé zatížení): Q =,5 3,0 = 7,50 kn/m Kombinace pro mezní stav únosnosti: γ G G + γ Q Q = 1,35 9,80 + 1,50 7,50 = 4,48 kn/m EN 1990 6.4.3. Ohybový moment M 17,13 knm Maximální moment uprostřed rozpětí: M y,ed = 0,15 4,48 7,50 = 17,13 knm Posouvající síla 91,80 kn Maximální posouvající síla v podpoře: V z,ed = 0,5 4,48 7,50 = 91,80 kn V Mez kluzu Značka oceli S355 Největší tlouštka je 10, mm < 40 mm, tudíž: f y = 355 N/mm Pozn.: Národní příloha může stanovit buď hodnoty f y z tab.3.1 nebo hodnoty z výrobkové normy. Tab. 3.1
Dokument č. SX014a-CZ-EU Strana 5 z 10 Eurokód Klasifikace průřezu : 35 Parametr ε je odvozen z meze kluzu: ε = = 0,81 f [N/mm ] y Tab. 5. Pozn.: Klasifikace platí pro nespřažený nosník. Pro spřažený nosník je klasifikace příznivější. Přečnívající část pásnice: pásnice rovnoměrně tlačená c = (b t w r) / = (135 6,6 15)/ = 49, mm c/t f = 49, / 10, = 4,8 9 ε = 7,9 Třída 1 Vnitřní část stojiny: c = h t f r = 70 10, 15 = 19,6 mm c / t w = 19,6 / 6,6 = 33,3 < 7 ε = 58,3 Třída 1 Třída průřezu je nejvyšší třídou (tj. nejméně výhodnou) mezi pásnicí a stojinou, zde: třída 1 Takže ověření v mezním stavu únosnosti může být založeno na výpočtu plastické únosnosti průřezu, neboť třída je 1. Účinná šířka betonové desky Uprostřed rozpětí lze celkovou účinnou šířku určit podle: b eff,1 = b0 + bei b 0 je vzdálenost mezi sousedními spřahovacími prvky, zde b 0 = 0 ; b ei je hodnota účinné šířky betonové desky na každé straně stěny a bere se jako b ei = L e / 8, ne však větší než b i b eff,1 = 0 + 7,5 / 8 = 0,9375 m, takže b eff = 0,9375 = 1,875 m < 3,0 m Na koncích lze celkovou účinnou šířku určit podle : beff,0 = b0 + β ibei kde β i = (0,55 + 0,05 L e / b ei ) ale 1,0 = (0,55 + 0,05 7,5 / 0,9375) = 0,75 b eff,0 = 0 + 0,75 7,5 / 8 = 0,703 m, takže b eff = 0,703 = 1,406 m < 3,0 m (list ze 3) Tab. 5. (list 1 ze 3) Obr. 5.1 Obr. 5.1
Dokument č. SX014a-CZ-EU Strana 6 z 10 Eurokód Návrhová únosnost trnu ve třihu Únosnost ve střihu by měla být určena podle: P Rd = k t 0,8 fuπd Min γ V / 4 0,9αd ; γ h sc / d = 100 / 19 = 5,6 > 4, tudíž α = 1 V f ck E cm 6.6.3.1 Redukční součinitel (k t ) Pro trapézový plech s žebry kolmými k podporujícímu nosníku, se redukční součinitel počítá podle: 0,7 b 0 hsc k = 1 t ale k tmax n h r p hp 6.6.4. Tab. 6. Kde: n r = 1 h p = 58 mm b 0 = 8 mm h sc = 100 mm 0,7 8 100 Takže, kt = 1 = 0, 717 k tmax = 0,75 1 58 58 pro trapézový plech. P Rd 0,8 450 π 19 / 4 0,9 1 19 5 31000 = 0,717 Min ;.10 3 1,5 1,5 = 0,717 Min P Rd = 5,86 kn ( 81,66 kn ; 73,73 kn)
Dokument č. SX014a-CZ-EU Strana 7 z 10 Eurokód Stupeň smykového spojení Stupeň smykového spojení je určen podle: Kde: η = N N c c,f N c návrhová hodnota tlakové normálové síly v betonové desce N c,f je návrhová hodnoty tlakové normálové síly v betonové desce s úplným smykovým spojením 6..1.3 (3) Uprostřed rozpětí: Tlaková normálová síla v betonové desce představuje úplné spojení. A c je průřezová plocha betonu, takže uprostřed rozpětí A c = b eff h c kde h c = h - h p = 10 58 = 7 mm, A c = 1875 6 = 116300 mm fck 5 3 Takže, Nc, f = 0,85Ac fcd = 0,85Ac = 0,85 116300 10 = 1647 kn γ 1,5 Únosnost prvků spřažení omezuje normálovou sílu na: N c = 0,5 n P Rd = 0,5 36 5,86 = 95 kn Nc 95 Takže, η = = = 0, 578 N 1647 c,f Hodnota η je menší než 1,0 takže spojení je neúplné. c Ověření ohybové únosnosti Minimální stupeň spřažení Minimální stupeň spřažení pro ocelový průřez se stejnými pásnicemi je dán podle: 355 min 1- ( 0, 75-0, 03Le ) f η = kde L e 5 y 6.6.1.
Dokument č. SX014a-CZ-EU Strana 8 z 10 Eurokód L e je vzdálenost v metrech mezi nulovými body na čáře ohybového momentu, v našem případě : L e = 7,5 m Takže, η min = 1 (355 / 355) (0,75 0,03 7,50) = 0,475 Potom, η min = 0,475 < η = 0,578 vyhovuje Plastický moment únosnosti uprostřed rozpětí Návrhová hodnota normálové síly ocelového průřezu je dána: N pl,a = A a f y / γ M0 = 4595 355 10-3 / 1,0 = 1631 kn So, N pl,a > N c = η N c,f = 95 kn 6.6.1. a 6..1.3 U netuhých prvků spřažení a s průřezem ocelových nosníků třídy 1 se moment únosnosti kritického průřezu nosníku M Rd uprostřed rozpětí vypočte pomocí teorie plasticity až na to, že se místo síly N cf použije redukovaná hodnota tlakové síly v betonové desce N c V našem případě je rozdělení plastických napětí : - N c =η N c,f = 95 kn h p 339 kn M Rd + h n N a = 191 kn Poloha neutrální osy je: h n = 63 mm Návrhová ohybová únosnost spřaženého průřezu je : M Rd = 301,7 knm Takže, M y,ed / M Rd = 17, / 301,7 = 0,57 < 1 vyhovuje
Dokument č. SX014a-CZ-EU Strana 9 z 10 Eurokód Smyková únosnost Plastická smyková únosnost závisí na smykové ploše ocelového nosníku, která se stanoví podle: A v,z = A b t f + (t w + r) t f A v,z = 4595 135 10, + (6,6 + 15) 10, = 14 mm Plastická smyková únosnost V A ( f y / 3) 14 (355 / 3) -3 = 10 γ 1, 0 v,z pl, z,rd =, M0 V z,ed / V pl,z,rd = 91,80 / 453,8 = 0,0 < 1 OK Ověření boulení ve smyku se nevyžaduje, pakliže: h w / t w 7 ε / η η lze konzervativně brat jako 1,0 = 453 8 kn h w / t w = (70 10,) / 6,6 = 37,8 < 7 0,81 / 1,0 = 58,3 vyhovuje Podélná smyková únosnost desky Plastické podélné smykové napětí je dáno jako: ΔFd ved = h Δx Kde f Δx = 7,5 / = 3,75 m 6..6 (3) 6... 6..6 (6) EN 199-1-1 6..4 Obr. 6.7 Hodnota Δx je poloviční vzdálenost mezi řezem s nulovým momentum a řezem s maximálním momentum a my máme dvě oblasti pro smykovou únosnost. ΔF d = N c / = 951,56 / = 475,8 kn h f = h - h p = 10 58 = 6 mm v Ed = ΔFd h Δx f = 3 475,8 10 6 3750 =,05 N/mm Aby se zabránilo porušení betonové desky, měla by být splněna podmínka: v < νf sinθ cosθ kde ν =,6[ 1 f / 50] a θ f = 45 Ed cd f f 0 ck
Dokument č. SX014a-CZ-EU Strana 10 z 10 Eurokód 5 5 Ed 0,6 v < 1 0,5 = 4,5 50 N/mm 1,5 vyhovuje Pro příčné vyztužení by měla být splněna nerovnost: A sf f yd / s f v Ed h f / cot θ f kde f yd = 500 / 1,15 = 435 N/mm Uvažujme vzdálenost vložek s f = 50 mm a zanedbáme vliv ocelového trapézového plechu,05 6 50 A sf = 73,05 mm 435 1,0 Můžeme použít vložky o průměru 10 mm (78,5 mm ) v osové vzdálenosti 50 mm v účinné šířce betonové desky. Ověření mezního stavu použitelnosti Kombinace v mezním stavu použitelnosti G + Q = 9,80 + 7,50 = 17,30 kn/m Průhyb od G+Q : 5 ( G + Q ) L w = 384 E I y 4 EN 1990 6.5.3 Kde I y závisí na poměru modulů pružnosti (n) závislém na druhu zatížení. Pro zjednodušení můžeme vzít : n 0 = E a / E cm = 10 000 / 33 000 = 6,36 pro primární účinky (Q) Tak I y = 4 540 cm 4 uprostřed rozpětí A n = 3E a / E cm = 19,08 pro stale zatížení (G) Tak I y = 18 900 cm 4 w 4 = 8 8 5 7, 5 9, 80 384 10000 18900 10 7, 50 + 4540 10 = 16 mm Průhyb od (G+Q) je L/469 Pozn. 1: Mezní hodnotu průhybu by měl stanovit objednatel. Národní příloha může stanovit některé meze. v našem případě lze výsledek považovat za plně uspokojivý. Pozn. : Národní příloha může stanovit mezní hodnoty týkající se kmitání. V našem případě je celkový průhyb malý a podle zkušeností není zádný problem s kmitáním. 7.3.1 7.3.
SX014a-CZ-EU-EU Quality Record RESOURCE TITLE Example: Simply supported secondary composite beam Reference(s) ORIGINAL DOCUMENT Name Company Date Created by Arnaud LEMAIRE CTICM 14/6/05 Technical content checked by Alain BUREAU CTICM 14/6/05 Editorial content checked by D C Iles SCI 16/9/05 Technical content endorsed by the following STEEL Partners: 1. UK G W Owens SCI 16/9/05. France A Bureau CTICM 16/9/05 3. Germany A Olsson SBI 15/9/05 4. Sweden C Müller RWTH 14/9/05 5. Spain J Chica Labein 16/9/05 Resource approved by Technical Coordinator G W Owens SCI 10/7/06 TRANSLATED DOCUMENT This Translation made and checked by: T. Rotter CTU in Prague 31/7/07 Translated resource approved by: J. Macháček CTU in Prague 31/7/07 National technical contact: F. Wald CTU in Prague