Radiologická fyzika Zvuk a ultrazvuk 1.12.2014 Biofyzikální ústav LF MU
Časová střední hodnota Z různých důvodů není zajímavá a mnohdy ani dobře měřitelná okamžitá hodnota fyzikální veličiny F(t), ale její střední hodnota za dobu T, tj. F T = 1 T T F t dt 0 Tato doba bývá někdy velmi dlouhá (čekáme, až se nějaký jev ustálí a nezajímá nás přechodový jev). Pro veličinu s periodou ω=2πf je touto dobou přirozeně perioda T=1/f F t + 1 f 1/f = F t, F = f F t ft 0 Radiologická fyzika 2
Časová střední hodnota 1 1 sin2 f t f sin2 f t dt sinx d x 0 2 0 f 2 1 f 2 2 2 2 1 1 sin2 f t f sin2 f t dt sinx d x 2 2 0 0 0 Radiologická fyzika 3
Akustická energie Dochází k přelévání energie mezi kinetickou a potenciální složkou. Platí zákon zachování energie. Kinetická energie je: E k = 1 2 mv a 2 = 1 2 ρs x(ωu m) 2 v a = u t = ωu m cos(kx ωt) v am = ωu m Potenciální energie je rovna práci potřebné ke změně objemu elementu vzduchu: E p = ε ps xdε 0 ε = S x p 0 + p a dε 0 Vzhledem ke stavové rovnici p a = c 2 ρ a = ρ 0 c 2 ε dostáváme: E p = S x ε (p 0 ρ 0 c 2 ε)dε = S x p 0 ε + 1 0 2 ρ 0c 2 ε 2 Radiologická fyzika 4
Akustická energie Definujeme objemovou hustotu akustické energie: w a = E k + E p V = p 0p a Zc + 1 2 ρ 0 v 2 a + p 2 a Z 2 Protože pro postupnou vlnu platí p a = ±Zv a, dostáváme: w a = p 0p a Zc + ρ 0v a 2 První člen osciluje a má nulovou střední hodnotu p a = 0, proto je hodnota akustické energie rovna: w a = ρ 0 v a 2 Ohmův zákon akustiky Výkon vlny: ΔE k P = E t = 1 2 ρsc(ωu m) 2 Δx=cΔt ρc=z akustická impedance Radiologická fyzika 5
Akustická impedance Z = p v = ρc Jednotkou akustické impedance je rayleigh: 1 Rayl = 1 kg m 2 s 1. Tabulka uvádí hodnoty pro některá prostředí. Je rozhodující pro UZ zobrazování. Radiologická fyzika 6
Akustická intenzita Důležitější než energie je výkon a intenzita akustické vlny. Akustický výkon je definován jako množství akustické energie, která projde jednotkou plochy za jednotku času. Akustická intenzita vlny je potom definována jako výkon vlny vztažený na jednotkovou plochu kolmou na směr šíření vlny: I a = P S = P S cos θ = 1 2 ρc(ωu m) 2 Úhel θ je úhel mezi směrem šíření vlny a normálou plochy. Výkon vlny je součin tlakové síly a akustické rychlosti: P = psv a = p 0 + p a Sv a v a = u t Radiologická fyzika 7
Akustická intenzita Dostáváme: I a = P S = p 0v a + p a v a Protože pro postupnou vlnu platí p a = ±Zv a, dostáváme: I a = p 0 v a ± Zv a 2 = p 0 v a ± p a 2 Příspěvek prvního členu k průměrné intenzitě je prakticky nulový, protože akustická rychlost osciluje okolo nuly. Zůstává pouze druhý člen: I a = p a v a = ± Zv a 2 = ± p a 2 Z Z Radiologická fyzika 8
Akustická intenzita Speciálně pro harmonickou vlnu u = A cos(ωt kx) vychází: w a = 1 2 ρ 2 0v max I a = 1 2 Zv 2 max = p 2 max 2Z kde v max = ωa a p max = Zv max = ωaz. Pokud zavedeme efektivní veličiny p ef = p max 2 v ef = v max 2 Dostáváme p ef = Zv ef a tedy: w a 2 = ρ 0 v ef I a = p ef 2 Z Radiologická fyzika 9
Odraz a průchod zvuku rozhraním Vlna se na rozhraní dvou prostředí částečně odráží a částečně prochází do druhého prostředí. Musí platit zákon zachování energie: v 1 = v t x c 1 + v R t + x c 1 v 2 = v T t x c 2 K řešení je nutné splnit podmínky spojitosti na rozhraní. Na obou stranách rozhraní musí být stejná rychlost a stejný tlak: v 1 = v 2 a p 1 = p 2 (plyne z rovnice kontinuity a pohybové rovnice): v t + v R t Z 1 v t Z 1 v R t = v T t = Z 2 v T (t) p p R p T Radiologická fyzika 10
Odraz a průchod zvuku rozhraním Z předchozích rovnic snadno dostaneme: v R t = rv t v T t = tv(t) r = Z 1 Z 2 Z 1 + Z 2 t = 2Z 1 Z 1 + Z 2 Koeficienty odrazivosti a propustnosti. Platí: 1 r 1 a 0 t 2 Při odrazu zvuku na rozhraní látky s vyšší akustickou impedancí dochází ke změně polarity (fáze) vlny. Při odrazu na rozhraní látky s menší akustickou impedancí se fáze ani polarita odražené vlny nemění. Např. pro rozhraní vzduch/voda je r~-0,9995 a t~0,0005. Radiologická fyzika 11
Odraz a průchod zvuku rozhraním Znalost velikosti odrazu a průchodu je potom klíčová v ultrazvukovém zobrazování. Výsledný ultrazvukový obraz je totiž založen na detekci odražených vln. Při nulovém odrazu (maximálním průchodu) na rozhraní tedy není možné získat ultrazvukový obraz tohoto rozhraní. Při velkých odrazech (minimálních průchodech) na rozhraní zase není možné detekovat odrazy od rozhraní, která jsou uložena za prvním rozhraním. Radiologická fyzika 12
Odrazivost a propustnost Propustnost (platí v T = tv): Odrazivost (platí v R = rv): T = I T I = Z 2 2v T Z 1 v 2 = Z 2 t 2 = 4Z 1Z 2 Z 1 (Z 1 + Z 2 ) 2 R = I R I = Z 2 1v R Z 1 v 2 = r 2 = Z 1 Z 2 Z 1 + Z 2 2 Platí 0 R 1 a 0 T 1 a také zákon zachování energie: I R + I T = I R + T = 1 Jsou-li akustické impedance příliš odlišné, většina energie se odrazí. Jsou-li podobné, většina energie prochází. Radiologická fyzika 13
Odrazivost a propustnost Při šikmém dopadu na rozhraní platí zákony odrazu a lomu: α 1 = α 1 a sin α 1 c 1 = sin α 2 c 2 Podle těchto zákonů je možné zvuk fokusovat do jediného bodu podobně jako světlo. ysin 1 1 1 s1sin c1 c1 / / / / xcos1 ysin 1 1 s1sin t c1 c1 xcos xcos ysin 2 2 2 s2sin c2 c2 t t Radiologická fyzika 14
Vyzařování UZ zdrojů Nejjednodušším ultrazvukovým zdrojem je zdroj bodový. Za takový lze považovat jakýkoli zdroj vlnění tvaru koule o poloměru menším než je délka ultrazvukové vlny. Bodový zdroj vyzařuje ultrazvuk stejnoměrně všemi směry, čímž vzniká kulová vlna. Nejčastějšími ultrazvukovými zdroji však bývají kmitající destičky, u nichž všechny body povrchu kmitají se stejnou amplitudou i fází. Každý bod povrchu destičky si lze podle Huygensova principu představit jako kmitající bodový zdroj vlnění, který vyzařuje kulovou vlnu. Výsledkem je potom kmitání označované jako pístové. Radiologická fyzika 15
Vyzařování UZ zdrojů Blízké pole (Fresnelova oblast) Vzdálené pole (Fraunhoferova oblast) Radiologická fyzika 16
Vyzařování UZ zdrojů Blízké pole (Fresnelova oblast) Vzdálené pole (Fraunhoferova oblast) Radiologická fyzika 17
Intenzita a hlasitost zvuku Intenzita vlny je dána její amplitudou. Vztah mezi amplitudou akustického tlaku a amplitudou rychlosti vlny je dán Ohmovým zákonem. Pro efektivní hodnoty platí: p ef = Zv ef = ρcv ef Hustota akustické energie: w a = ρv 2 ef [ J/m 3 ] Akustická intenzita: I a = Zv ef 2 = p ef 2 Z = w ac [W/m 2 ] Pro běžné zvuky platí: I a 10 12 10 2 W/m 2 Prahová hodnota akustického tlaku: p a = ρci 0 2 10 5 Pa Radiologická fyzika 18
Intenzita a hlasitost zvuku Akustický výkon prošlý plochou S skloněnou o úhel θ vůči směru akustické vlny: P = I a S cos θ Celkový výkon je integrací přes plochu: P = I a ds Pro kulovou plochu okolo bodového zářiče platí: I a = P 4πr 2 Intenzita klesá se druhou mocninou vzdálenosti od zdroje. Radiologická fyzika 19
Hladina akustické intenzity Interval hodnot akustické intenzity je velmi široký, proto je pro její popis vhodné použít logaritmické měřítko. Lidské smysly reagují na podněty také logaritmicky. Tato zákonitost se označuje jako Weber-Fechnerův zákon. Psychofyziologickou mírou intenzity zvuku je hlasitost. Nejbližší veličinou k ní je hladina akustické intenzity: L a = 10 log I a I 0 I 0 je prahová intenzita slyšení lidského ucha při 1 khz. Rozsah slyšení je 10-12 až 10 2 W/m 2, tj. 0 až 140 db. Lidského ucho dokáže rozlišit rozdíl hladiny asi 1 db. V oblasti středních intenzit je uchu ještě citlivější. Celkově dokážeme rozpoznat až 325 stupňů intenzity zvuku. Radiologická fyzika 20
Hladina akustické intenzity Při současném působení zvuků je výsledná intenzita dána součtem intenzit I = I 1 + I 2, ale ne součtem hladin intenzit L L 1 + L 2. Jestliže jeden reproduktor dává hladinu intenzity 100 db a druhý rovněž 100 db, výsledná hladina bude 103 db a ne 200 db. I 1 = I 2 = 10 2 W/m 2 a I = I 1 + I 2 = 2 10 2 W/m 2 L = 10 log I I 0 = 10 log 2I 1 I 0 = L 1 + 10 log2 103 db Zatímco akustická intenzita je objektivní hodnota, hlasitost je hodnota subjektivní. Zavádíme hladinu hlasitosti zvuku při dané frekvenci. Jednotkou je fón Ph: L f = L a (f = 1 khz) Hladina intenzity a hlasitosti jsou stejné pro f=1 khz. Radiologická fyzika 21
Hladina akustické intenzity Křivky stejné hlasitosti (L=konst.) označujeme jako izofóny. Jednotka hlasitosti (N) son je definována jako hlasitost hladiny zvuku 40 Ph. Platí, že zvuk silnější o 10 Ph je 2x hlasitější: N = 2 (L 40)/10 Radiologická fyzika 22
Hladina akustické intenzity Zvukové vlny o frekvenci >10 13 Hz se již běžnými látkami nešíří, protože vlnová délka takové vlny je již menší než vzdálenost atomů. Ultrazvuk se šíří spíše jako světlo než zvuk. Platí zákony odrazu, lomu a možnost fokusace. Odlišné vlastnosti souvisí s krátkou vlnovou délkou. Ve vzduchu je ultrazvuk silně absorbován (pro 1 MHz se intenzita UZ zeslabí na polovinu průchodem 22 mm vrstvy vzduchu, ve vodě je to 10 m). Útlum UZ je dán koeficientem absorpce κ af 2, kde a je součinitel absorpce charakteristický pro danou látku. Důležitá je závislost útlumu na druhé mocnině frekvence. Radiologická fyzika 23
Citlivost lidského ucha Sluchové pole je rozsah intenzit zvuků při různých frekvencích, které vnímá sluchem daná osoba. Zdola je sluchové pole omezeno prahem slyšení a shora prahem bolesti. Radiologická fyzika 24
Ultrazvuk Ultrazvuk je zvukové vlnění s frekvencí vyšší jak 20 khz. Tato hranice je dána hranicí slyšitelnosti zvuku u průměrného lidského ucha. Pro ultrazvukovou diagnostiku v medicíně (velmi rozšířená je také ultrazvuková diagnostika v různých inženýrských aplikacích) se používají frekvence řádu jednotek až desítek MHz. Radiologická fyzika 25
Absorpce Zvukové vlnění je při šíření prostředím částečně absorbováno. Jako u jiných druhů vlnění, můžeme pro pokles intenzity psát exponenciální zákon pokles intenzity je úměrný dráze, kterou paprsek vlnění prochází di x = μdx I(x) = I 0 e μx Kde x je tloušťka prostředí a μ koeficient absorpce Koeficient absorpce je úměrný frekvenci vlnění: μ~f 2. Příčinou absorpce je přeměna energie akustické vlny v teplo. K útlumu vlnění dochází také odrazem (na homogenním prostředí) a rozptylem (na nehomogenitách prostředí). Radiologická fyzika 26
Absorpce U zvuku je obvyklé charakterizovat útlum nikoliv lineárním koeficientem útlumu s rozměrem [m 1 ], ale koeficientem s rozměrem [db.m 1 ]. Logaritmováním zákona absorpce dostáváme I x 10 10log10 10 xlog10 e x I 0 ln10 1 10 I x 10 1 dbm log10 m x m I 0 ln10 Radiologická fyzika 27
Absorpce Radiologická fyzika 28
relativní koeficient útlumu [db.cm 1 MHz 1 ] Absorpce plíce kosti svaly měkké tkáně játra ledviny hemoglobin voda frekvence [Hz] Radiologická fyzika 29
Dopplerův jev Pohybuje-li se zdroj nebo přijímač zvuku, dochází ke změně přijímačem vnímané výšky tónu (frekvence) oproti stavu, kdy byli zdroj i přijímač v klidu. Objeven Ch. Dopplerem v r. 1842. Platí pro všechny druhy vlnění (světlo, zvuk, rádiové vlny). Radiologická fyzika 30
Dopplerův jev Ve směru pohybu dochází ke zhušťování vlnoploch zkracuje se doba mezi jednotlivými vlnoplochami zvyšuje se frekvence Proti směru pohybu dochází ke zřeďování vlnoploch prodlužuje se doba mezi jednotlivými vlnoplochami snižuje se frekvence Radiologická fyzika 31
Dopplerův jev Do detektoru přicházejí vlny v časech t t 1 2 3 L v L 1, t c f c 2 f 2 L v f Frekvence je tedy c, 1 f 1 1 v t t t t / 2 1 3 2 f f f c f f f c v / c Radiologická fyzika 32
Dopplerův jev Do detektoru přicházejí vlny v časech t t 1 2 3 L v L 1, t c f c 2 f 2 L v f Frekvence je tedy c, 1 f 1 1 v t t t t / 2 1 3 2 f f f c f f f c v / c Radiologická fyzika 33
Dopplerův jev Za jednu periodu T urazí vlna vzdálenost vlnové délky λ. Mezitím se zdroj pohybující se rychlostí v Z posune o vzdálenost v Z T. Následující vlna vznikne již ve vzdálenosti λ = λ v Z T od vlny předchozí. Toto bude vzdálenost hřebenů vln a zároveň vlnová délka pro pozorovatele. Protože se rychlost postupu vln prostředím nemění (c=c ), bude: f = c λ = c λ v Z T = f c c v Z Podobně pro pohyb pozorovatele. Rychlost relativního pohybu vln vzhledem k pozorovateli, který se pohybuje rychlostí v P, se změní na c = c v P. Vlnová délka vlny se však nemění (λ=λ ). f = c λ = c v P λ = f c v P c Radiologická fyzika 34
Dopplerův jev Při pohybu zdroje i pozorovatele platí současně λ = λ v Z T a c = c v P : f = c λ = f c v P c v Z Při šikmém pohybu se započítává pouze složka rychlosti do směru šíření vlny: f P f Z = c v P cos α P c v Z cos α Z v Z α Z v P α P Z c P Radiologická fyzika 35
Dopplerův jev Vliv větru, který se šíří ustálenou rychlostí u. Vzhledem k větrem unášenému vzduchu se vlna šíří rychlostí c, ale vzhledem k zemi již rychlostí c+u: f P f Z = c + u cos β v P cos α P c + u cos β v Z cos α Z Pokud budou zdroj i pozorovatel v relativním klidu (v Z =v P ), platí f P =f Z a žádný Dopplerův jev nevzniká. Samotný pohyb prostředí Dopplerův jev nevytváří. u v Z α Z β v P α P Z c P Radiologická fyzika 36
Dopplerův jev Obecný zápis f = f v ± v D v v Z f frekvence vlnění vytvořeného zdrojem f detekovaná frekvence v rychlost šíření vlnění prostředím v D rychlost pohybu detektoru v Z rychlost pohybu zdroje Znaménka v rovnici se určují podle pravidla: Pohyb směrem k sobě = vyšší detekovaná frekvence Radiologická fyzika 37
Dopplerův jev Podcenění významu dopplerovského úhlu může vést ke značným chybám při měření rychlostí, které jsou kritické při úhlech vyšších než 60. Radiologická fyzika 38
Dopplerův jev Ovlivňuje Dopplerův jev pohyb hmotného prostředí (např. šíření zvuku ve větru)? Ne. Pokud jsou zdroj vlnění i pozorovatel v relativním klidu (v Z =v P ), pak rychlost pohybu prostředí nevytváří Dopplerův jev. Co je a jak vzniká rázová vlna? Diverguje-li c-v Z k nule, potom všechny vlnoplochy z pohybujícího se zdroje zvuku přijdou k pozorovateli současně. Přitom dochází k takovému zhuštění vln, že místo akustické vlny registruje pozorovatel rázovou vlnu se skokovou změnou tlaku. Rázová vlna vzniká jen u zdrojů pohybujících se rychleji než zvuk v Z >c. Let nadzvukového letadla neslyšíme, dokud k nám nedorazí rázová vlna, která se šíří rychlostí zvuku. Podobně není možno slyšet ani střelu z pušky, dokud nás nemine, případně nezasáhne. Rázová vlna má podobné fyzikální vlastnosti jako rázová vlna vznikající při explozi výbušniny. Radiologická fyzika 39
Otázky 1) Akustická energie. Výkon a intenzita vlnění. Akustická impedance prostředí. 2) Odraz a průchod akustické vlny rozhraním. Odrazivost a propustnost. 3) Hladina akustické intenzity. Citlivost ucha. 4) Ultrazvuk. Absorpce ultrazvuku. 5) Co je Dopplerův jev? Základní rovnice. Radiologická fyzika 40
Děkuji za pozornost! Radiologická fyzika 41