Řešení úloh 1. kola 47. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B

Transkript

1 Řešení úloh 1. kola 47. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autořiúloh:P.Šedivý(1,2,4,6,7)aM.Jarešová(3,5) 1. a) Má-li být vlákno stále napnuto, nesmí být amplituda kmitů větší než prodloužení vláknavrovnovážnépoloze.zdeplatí mg=k l, kde kjetuhostvlákna.je-li vlákno při kmitání koule stále napnuto, platí pro úhlovou frekvenci kmitů Ztoho ω 2 = k m = g l. A= l= g gt2 ω 2= 4p 2 =0,358m. 1bod b) Potenciální energii soustavy v rovnovážné poloze položme rovnou 0. Při dosažení okamžitévýhylky y = A= lpřestanenakoulipůsobitsílavláknaapohyb pokračujejakosvislývrhvzhůru.jehopočátečnírychlost v 0určímezezákona zachování energie: 1 2 kb2 = 1 2 ka mv2 0, v0= 2 k m (B2 A 2 )=ω 2 3A 2 =3 g2 ω 2, Koule vystoupí nad rovnovážnou polohu do výšky v g 0= 3. ω y max= A+ v2 0 3g = A+ 2g 2ω 2 = A+ 3 2 A=5 2 A=0,895m avnejvyššípolozebudepodbodemzávěsuvláknavhloubce l A=0,163m. c) Po uvolnění začne koule konat harmonický kmit popsaný rovnicí y= Bcos(ωt). Okamžitévýchylky y= A dosáhnevčase t 1.Platí A= 2Acos(ωt 1) cos(ωt 1)= 1 2, ωt 2p 1= T t1=2p 3, t1= T 3 =0,40s. Následující vrh trvá po dobu t 2= 2v0 g =2 3 ω = T 3 =0,662s p aponěmproběhnezbytekkmitu,vzhledemksymetriidějeopětzadobu t 1.Celá perioda kmitů je T =2t 1+ t 2= T ( ) p =1,462s. 1

2 d) y cm parabola ,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 t s -40 kosinusoida kosinusoida T T 2

3 2. V úloze počítáme s efektivními hodnotami napětí a proudů. Odpor ideálního ampérmetrujenulovýanapětínaněmjenulové.svorkovénapětízdrojejerovnonapětí na kondenzátoru: U= X CI 1= I1 ωc. a) Zapojíme-li do obvodu sériově cívku a kondenzátor, mají napětí na nich opačnou fázi. Platí U= U C U L = X C X L 2I 1= X CI = ωc ωl 1 ωc. Rovnicemádvěřešení L 1, L 2: 2 ωc 2ωL1= 1 L 1. ωc 1= 2ω 2 =0,5H, C 2ωL 2 2 ωc = 1 ωc L 2= 3 2ω 2 C b) Zmenší-li se po zapojení cívky proud na polovinu, platí. =1,5H. U= U C U L = X C X L 0,5I 1= X CI 1, 1 = ωc ωl 2 ωc. Úlozevyhovujevyhovujepouzekladnéřešení L 3: ωl 3 1 ωc = 2 L 3. ωc 3= ω 2 =3H. C 4body c) Připojíme-li cívku ke kondenzátoru paralelně, mají proudy v obou větvích opačnou fázi. Platí I= I L I C = U U = U = X L X C ωl UωC = UωC 1 ω 2 CL 1 = 1 I1 ω 2 CL 1. Proindukčnost L 1 dostaneme proud I = I 1(2 1) = I 1, proindukčnost L 2 2 dostanemeproud I = I I = 1 aproindukčnost L3 dostanemeproud 3 1 = I= I I

4 3. a) Platí zákon zachování hybnosti a zákon zachování energie: Mv 1= Mv 1+ mv 2 1, 2 Mv2 1= 1 2 Mv mv 2 2 (v 1, v 1a v 2jsousouřadnicerychlostí.)Řešenímtétosoustavyrovnicdostaneme v 1= M m M+ m v1. Pak E k1= 1 ( ) M m 2 2 M v1 M+ m 2. b) k= E k1 E k1 = ( ) M m 2 = M+ m 1 m M 1+ m M 2. c) Protože M >0am >0, platízřejmě 0 k <1. 1bod k=0,jestliže m M =1.Vtakovémpřípaděsepřisrážcekinetickáenergieúplně předá částici o hmotnosti m. Pokud m M,můžemezlomek m M zanedbatoproti1.pak k 1. Pokud m M,můžeme1zanedbatoprotizlomku m.pakopět k 1.Vobou M případech si částice o hmotnosti M při srážce ponechá téměř celou kinetickou energii. 2body d) Známe-li relativní atomové hmotnosti částic, můžeme poměr k vyjádřit ve tvaru ( ) Ar(C) A 2 k= r(n) =0,714. A r(n)+a r(c) 2body e) Musíplatit k n <0,1, pozlogaritmování n log k < 1. Protože log k <0,musíplatit n > 1 log k =6,8. Musí proběhnout nejméně 7 srážek. 2body 4

5 4. a) Při průchodu proudu o okamžité hodnotě i působí na tyčinku vodorovným směrem magnetickásílaovelikosti F= Bil.Zavelmikrátkoudobu tudělítyčinceimpuls ovelikosti p=f t=bli t=bl Q, kde Qjenáboj,kterýzadobu tprošeltyčinkou.celkovýnáboj,kterýběhem vybíjení kondenzátoru projde tyčinkou, je Q = CU. Celkový impuls, který magnetická síla udělí tyčince, je tedy p=mv= BlQ=BlCU. Tyčinkazískápočátečnírychlost v= p m = BlCU.Úhel α,okterýsevychýlí m závěsy z rovnovážné polohy, určíme užitím zákona zachování energie: 1 2 mv2 = mgl 1(1 cos α) 1 cos α=2sin 2 α 2 = v2 = B2 C 2 U 2 l 2 2gl 1 2gl 1m 2. Pak α=2arcsin BCUl 2m, gl 1 Prodanéhodnoty α=2arcsin0,1030=11,8. b) Výchylka závěsů závisí na velikosti náboje, který prošel tyčinkou, zařízení tedy může sloužit jako měřič náboje. Promalévýchylky,cožjeipřípadúlohya),můžemepsát arcsin BCUl 2m BCUl gl 1 2m. gl 1 Pak α BCUl m = Bl gl 1 m Q, Q= m gl 1 α=aα. gl 1 Bl Prošlý náboj je přímo úměrný výchylce závěsu. V našem případě má konstanta úměrnosti hodnotu A= m gl 1 =0,485C rad Bl 1. Při známé kapacitě C kondenzátoru může zařízení sloužit jako voltmetr pro měření napětí zdroje, ze kterého jsme nabili kondenzátor. Přitom můžeme použít srovnávacímetodu.prodvěrůznánapětíaodpovídajícívýchylkyplatí U 1: U 2= α 1: α 2. Známe-li naopak napětí zdroje U, můžeme z výchylek porovnat kapacity dvou různýchkondenzátorů: C 1: C 2= α 1: α 2. 4body 5

6 5.a) Vyjdemezobr. R1. Nacívkupůsobí tíhovásíla F G,sílavlákna F areakce podložky, která má normálovou složku F natečnousložku F t(smykovétření). ε Platí F n= F G. Řešenímsoustavypohybových rovnic r a F F t= ma=mrε, (1) R Fr+ F tr=j 0ε (2) F G dostaneme ε= F(R+r) F n J 0+ mr 2, (3) F t J0 mrr F t= F J 0+ mr 2. (4) Obr. R1 Třecísílamůžemaximálnědosáhnoutvelikosti F tmax= mgf. Pak F F max= F tmax J0+ mr2 J 0 mrr = mgf(j0+ mr2 ) =246N, J 0 mrr b) VyjdemezobrR2,úlohupakřešíme stejně jako a), pouze rovnice (2) se změní na F tr Fr=J 0ε. (2 ) Řešením upravené soustavy rovnic dostaneme F max= mgf(j0+ mr2 ) J 0+ mrr ε= ε= mgf(r+r) J 0 mrr =144rad s 2. =27N, mgf(r r) J 0+ mrr =7rad s 2. 5bodů R ε r a F G F n 5bodů F F t Obr. R2 6

7 6. Příklad zpracování praktické úlohy zachycují následující tabulky a grafy. Byly použity diody(výrobce Kingbright): 1. L-53SRC-F(červená, λ m=640nm), 2. L-53SYC-E*G(žlutá, λ m=590nm), 3. L-53SGC*G(zelená, λ m=567nm), 4. L-53MBCK(modrá, λ m=466nm). Hodnotyvlnovýchdélek λ mudávanévýrobcemsouhlasilyshodnotaminaměřenými pomocí optické mřížky v úkolu c). Hodnoty získané měřením v zapojení podle obr. 5 byly zpracovány programem EXCEL. Celkový vzhled voltampérových charakteristik jezřejmýzgrafůnaobr.r8.znichjezřejmé,žeprovoznínapětídiodsrostoucí vlnovoudélkou λ mklesá největšíjeudiodymodré,nejmenšíučervené. " #! Obr. R8 Ověření exponenciálního průběhu charakteristiky pro I < 1 ma a lineárního průběhu pro I > 5 ma provedeme regresní analýzou příslušných částí charakteristik. Z ní také získámehodnotyveličin A, Barprojednotlivédiody.Naobr.R9jetoprovedeno prodioduč.1. 7

8 Exponenciální průběh charakteristiky pro proudy do 1 ma můžeme ověřit vložením exponenciálního trendu podle obr. R9a. Z rovnice trendu přímo čteme hodnoty veličin AaB.Nebovyjdemezlinearizovanéhovztahuln I=ln A+BUapoužijemelineární regresi(obr.r9b). 1 Lineární průběh charakteristiky pro proudy nad 5 ma ověříme lineární regresí podle obr. R9c. V rovnici regresní přímky y = ax + b odpovídá proměnná y číselné hodnotě proudu a proměnná x číselné hodnotě napětí. Z toho plyne {r}= x y =1 a. Diferenciální odpor diody r odpovídá ohmickému odporu oblastí P a N v diodě. 0 # &' &' 3 # # &' Obr. R9 a b c Výsledky získané regresní analýzou charakteristik diod jsou v následující tabulce. Zde jsou také uvedeny hodnoty provozních napětí diod a energie fotonů světla o vlnové délce λ m E= hf m= hc λ m přepočítané na ev. U většiny diod jsou téměř stejné jako elektrická práce W = = U pe spojenásprůchodemelektronudiodoupřiprovoznímnapětí U p.umodré diodyjetatopráceasiopolovinuvětší. λ Barva m h c λ 1 m U p A B r nm ev V A V 1 Ω červená 640 1,94 1,80 3, ,4 7,3 žlutá 590 2,10 1,98 6, ,4 5,7 zelená 567 2,19 2,12 2, ,3 12,1 modrá 466 2,66 4,03 1, ,82 30,0 1 Veličina Audávánasycenýprouddiodouzapojenouvzávěrnémsměru.Proveličinu B plynezteoriepřechodupnvztah B= e,kde ejeelementárnínáboj, kjeboltzmannova mkt konstanta, T je teplota přechodu a m je rekombinační koeficient, který se většinou pohybuje mezi1a2,umodrédiodyjevětší. 8

9 7. Nejprve určíme hmotnost M vodní páry, která ze 1 sekundu vznikne shořením vodíku ve spalovací komoře. Hoření je popsáno rovnicí 2H 2+O 2=2H 2O. Ze dvou molekul vodíku a jedné molekuly kyslíku vzniknou dvě molekuly vodní páry. Proto M m = Mr(H2O) = 18,015 M r(h 2) 2,016 =8,94, M=8,94m =450kg.. 2body Přivýstupuztryskymávodnípáraohmotnosti Mobjem V,kterýurčímezestavové rovnice: pv T = M M m R V = MRT pm m = 8,94mRT pm m, kde M m=18, kg mol 1 jemolárníhmotnostvody.tentoobjemječíselně roven objemovému průtoku Q V = V τ = Sv, kde τ=1sjeuvažovanádobaavjerychlostvytékajícívodnípáry.ztoho v= V τs =8,94mRT =3900m s pτsm 1. m 4body Jestliževodnípářeohmotnosti Mudělímezadobu τrychlost v,vzniknereakčnísíla F r= Mv τ = 8,94mv τ Celková tahová síla motoru je rovna součtu reakční síly a statické tlakové síly: F= Mv τ + ps= 8,942 m 2 RT pτ 2 SM m + ps=1, N N=1, N.. 4body 9