Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

Transkript

1 Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností m. Bod klouže po kulové ploše bez tření. Určete polohu, danou úhlem ϕ (viz obrázek),.kde se bod od R φ kulové plochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na zmíněnou vodorovnou rovinu a místem, kde se rovina dotýká koule. d Příklad (5 bodů) Víte-li, že elektrická pevnost vzduchu je asi kv/mm, odhadněte minimální rozměry čtvercové antény radaru, která dokáže na frekvenci 1 GHz vysílat s pulsním výkonem P5MW. Permeabilita vakua je 7 8 µ 4 1 H/m, rychlost světla c 1 m/s. Příklad (5 bodů) Vypočtěte sin d Příklad 4 (5 bodů) Funkce f je dána předpisem cos f ( ) sin (i) Určete definiční obor funkce f (ii) Zkoumejte spojitost funkce f (iii) Vypočtěte limity funkce v krajních a nevlastních bodech definičního oboru funkce f. (iv) Zkoumejte monotonii této funkce. Zjistěte, zda funkce f má lokální etrémy pokud ano, vypočtěte je. Nabývá funkce na svém definičním oboru největší a nejmenší hodnoty? (v) Zkoumejte konveitu (konkávnost) funkce f (vi) Vypočtěte asymptoty. (vii) Na základě provedených výpočtů načrtněte graf funkce f.

2 Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností m. Bod klouže po kulové ploše bez tření. Určete polohu, danou úhlem ϕ (viz obrázek),.kde se bod od R φ kulové plochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na zmíněnou vodorovnou rovinu a místem, kde se rovina dotýká koule. Řešení 1 Ze zákona zachování mechanické energie plyne pro pohyb na kouli pro rychlost v v bodě popsaném úhlem ϕ vztah 1 (4 body) mgr( 1 cosϕ) mv (1) ( g je tíhové zrychlení). Odstředivá síla, rovná mv (4 body) F o mg( 1 cosϕ) () R tedy s rostoucím úhlem vzrůstá, naopak složka tíhové síly kolmá k povrchu koule F k mg cosϕ klesá, Proto v okamžiku, kdy se obě síly vyrovnají, ( body) F o F k () bod opustí povrch koule z podmínky () plyne pro úhel ϕ vztah ( body) a pro odpovídající rychlost cos ϕ (4) ( body) v gr (5) Svislá složka této rychlosti je 1 d gt + vsinϕ t odtržení dostáváme kvadratickou rovnici v sinϕ, takže ve svislém směru za čas t bod urazí dráhu. Při dopadu tato dráha bude rovna R ( 1+ cosϕ) 1 ( body) sin ( 1 cos ), takže k určení doby pádu t od gt + v ϕ t R + ϕ () Z obou řešení nás ovšem zajímá pouze kladný kořen 1 ( body) t ( ) 1 vsinϕ + v sin ϕ + gr 1 + cosϕ (7) g

3 Rychlost ve vodorovném směru při odtržení je v cosϕ, takže dráha uražená za čas t 1 ve vodorovném směru je t 1v cosϕ a výsledná vzdálenost d je ( body) d R sinϕ + t 1 v cosϕ (8) a po dosazení z (4),(5),(7) vychází ( body) d R (9) 7 (pro kontrolu uveďme mezivýsledek t R ) g

4 Příklad (5 bodů) Víte-li, že elektrická pevnost vzduchu je asi kv/mm, odhadněte minimální rozměry čtvercové antény radaru, která dokáže na frekvenci 1 GHz vysílat s pulsním výkonem P5MW. Permeabilita vakua je 7 8 µ 4 1 H/m, rychlost světla c 1 m/s. Řešení Pro účely našeho odhadu pokládejme rozložení elektromagnetického pole v okolí ústí antény za rovinnou vlnu. Amplituda intenzity elektrického pole musí zůstávat menší než 1 V/m, její efektivní hodnota bude proto (4 body) E ef < 1 V / m (1) Označíme-li µ (5 bodů) Z µ c 1 Ω () ε vlnovou impedanci vakua, bude pro efektivní hodnotu intenzity magnetického pole platit Eef (4 body) H ef < 1 A/ m () Z 1 Časová střední hodnota P UP složky Umovova-Poyntingova vektoru ve směru výstupu z antény je tedy ef E 1 (4 body) PUP Eef H ef < 1 W / m (4) Z 1 Při takto omezené hustotě přeneseného výkonu pak tedy pro přenos výkonu P5MW potřebujeme nejméně plochu P (4 body) S 1 1 m 1 m 9 1 m (5) P UP a strana čtvercové antény vychází na cca cm. (4 body)

5 Příklad (5 bodů) Vypočtěte Řešení Eistence integrálu sin d sin d je zřejmá, neboť integrand je spojitá funkce na R. Integrál zapíšeme pomocí vzorce sin (1- cos )/a spočteme nejprve příslušné primitivní funkce. d + c, cos d sin - sin d sin cos cos d sin + cos + sin + c V tomto výpočtu jsme užili dvakrát metodu integrace per partes. Je tedy sin d 1- cos odkud dostaneme dosazením mezí sin d 4 d sin + cos + sin + c. 4 8

6 Příklad 4 (5 bodů) Funkce f je dána předpisem cos f ( ) sin (i) Určete definiční obor funkce f (ii) Zkoumejte spojitost funkce f (iii) Vypočtěte limity funkce v krajních a nevlastních bodech definičního oboru funkce f. (iv) Zkoumejte monotonii této funkce. Zjistěte, zda funkce f má lokální etrémy pokud ano, vypočtěte je. Nabývá funkce na svém definičním oboru největší a nejmenší hodnoty? (v) Zkoumejte konveitu (konkávnost) funkce f (vi) Vypočtěte asymptoty. (vii) Na základě provedených výpočtů načrtněte graf funkce f. Řešení 4 Funkce f je dána předpisem cos f ( ) sin (i) Funkce je definována na celém R. Protože uvažovaná funkce je - periodická, stačí vyšetřit její chování na intervalu (, ) (ii) Z věty o spojitosti podílu dvou spojitých funkcí plyne spojitost funkce f v každém bodě definičního oboru R. (iii) Protože funkce f je periodická, limity lim f ( ) a f ( ) Máme však ( ) f ( ) (iv) Snadno vypočteme 1 f, f f, f ( ) f ( ) 1 sin ( sin ) lim neeistují. Derivace je na zkoumaném intervalu nulová právě když / a 5/. Z jejího znaménka zjistíme, že f je rostoucí na intervalu (, / ), klesající na ( /, 5 / ) a opět rostoucí na intervalu ( 5 /, ) Srovnáním funkčních hodnot v bodech, a v kritických bodech / a 5/ zjistíme, že na zkoumaném intervalu je f f ( / ), min f f ( 5 / ) ma (v) Vypočteme druhou derivaci 1

7 f ( ) cos 1+ sin ( sin ) Z věty o vztahu znaménka druhé derivace a konvenosti (konkávnosti) nyní snadno zjistíme, že konvení na (, /), konkávní na ( /, /) a konvení na (/, ). (vi) Funkci f jsme zkoumali na intervalu (, ). Na celém definičním oboru R dostaneme konečný výsledek -periodickým prodloužením. Je zřejmé, že výsledná funkce nemá asymptotu v žádném z bodů,. (vii) Náčrtek grafu funkce f na základě provedených výpočtů: f je