OPTIMALIZAČNÍ METODA PRO AUTOMATICKÝ NÁVRH VÝZTUŽE ŽELEZOBETONOVÝCH PRVKŮ OPTIMALIZING METHOD FOR AUTOMATIC GENERATION OF THE REINFORCEMENT LAYOUT OF STRUCTURAL CONCRETE Karel Semrád, Radek Štefan V článku je popsána optimalizační metoda pro automatické generování náhradních příhradových modelů a tomu odpovídající návrh výztuže železobetonových konstrukcí. Výpočetní postup je schopen zohlednit nehomogenní podstatu železobetonu zavedením rozdílných materiálových vlastností ocelové výztuže a betonu do procesu sestavování náhradních příhradových modelů. Možnosti uplatnění metody jsou představeny na řešených příkladech vybraných konstrukčních prvků a detailů. The paper describes a new method for automatic generation of strut-and-tie models and reinforcement layout design of structural concrete. The focus of this work is aimed on developing a design procedure taking into account real stiffness properties of steel and concrete components of structural concrete. A few examples are given to show the potency and possibilities of the proposed method. Pro návrh a posouzení poruchových oblastí železobetonových konstrukcí se v současné době nejvíce používá metoda příhradové analogie. Stěžejním bodem návrhu je sestavení a volba vhodného příhradového modelu, pomocí něhož lze odpovídajícím způsobem vystihnout způsob přenosu zatížení a chování konstrukce. To však není v mnoha případech jednoduché a jednoznačné. Pro řešení daného problému se mnohdy nabízí několik staticky přípustných příhradových modelů, které se od sebe často výrazně liší. Největším nedostatkem klasické metody příhradové analogie je její nepřesné vystihnutí přetvárných vlastností konstrukce. Především u složitých staticky neurčitých příhradových modelů, nezohlední-li se při sestavování modelu rozdílná tuhost tlačených a tažených prutů, nemůže daný model výstižně popsat odpovídající rozložení vnitřních sil uvnitř konstrukce. Tato skutečnost vedla autory k vývoji optimalizační metody pro automatické generování náhradních příhradových modelů a tomu odpovídajícímu návrhu výztuže železobetonových konstrukcí. Výpočetní algoritmus je schopen zohlednit nehomogenní podstatu železobetonu zavedením rozdílných materiálových vlastností ocelové výztuže a betonu do výpočtu. To je nezbytný předpoklad pro návrh efektivního výpočetního modelu. Pouze tak se lze přiblížit ke skutečnému chování železobetonu jako kompozitního materiálu a zároveň vystihnout jeho specifický přenos zatížení po vzniku trhlin. Nástrojem pro řešení dané problematiky je metoda konečných prvků, která je rozšířena o kombinatorický optimalizační algoritmus, vytvořený v prostředí programu Matlab. Značné úsilí při tvorbě optimalizačního algoritmu bylo věnováno tomu, aby byl výpočetní program schopen vystihnout specifické chování železobetonu včetně uvážení konstrukčních zásad pro praktické provedení výztuže. OBECNÁ FORMULACE PROBLÉMU Železobeton je kompozitní materiál skládající se ze dvou základních složek betonu a výztužné oceli. Tyto materiály mají velmi rozdílné mechanické vlastnosti, což vede k jejich odlišné odezvě při zatížení. Hlavním cílem navrhované optimalizační metody je proto zohlednění rozdílné tuhosti betonových vzpěr a ocelové výztuže v tahu v procesu sestavování náhradních příhradových modelů a následného návrhu výztuže. 1 Základním optimalizačním kritériem je minimalizace hmotnosti ocelové výztuže při jejím současném efektivním rozložení v návrhové oblasti konstrukce pro vylepšení mechanických vlastností betonu v tahu. Přínos metody spočívá v plném využití ocelové výztuže, zatímco některé tlačené betonové části konstrukce nejsou plně využity. Problematikou optimalizace příhradových modelů se v minulosti zabývaly již např. práce [1] až [5]. Oproti zmíněným přístupům je hlavním cílem prezentované metody praktický návrh výztuže. POSTUP VÝPOČETNÍHO ALGORITMU Návrhová metoda je iterativní proces, propojující základní principy příhradové analogie s kritérii topologické optimalizace. Výpočetní proces návrhu výztuže železobetonových prvků je shrnut ve vývojovém diagramu na obr. 1 (podrobný popis výpočetního algoritmu je uveden v [8]). Na začátku iteračního procesu je návrhová oblast diskretizována pomocí tzv. základní prutové soustavy (obr. 2). Základní prutový model tvoří síť uzlů, které jsou vzájemně propojeny prutovými elementy. Základní prutová soustava je gener ována pomocí automatického kombinatorického algoritmu. Na základě velikosti vnitřních sil z předešlého iteračního kroku je v každé iteraci přidělen všem taženým, resp. tlačeným elementům modul pružnosti oceli E s, resp. betonu E cm a odpovídající průřezová plocha. Ve výpočtu je uvažováno, že beton působí pouze v tlaku, ocel je navrhována jen pro přenos tahových sil. Průřezová plocha výztužných ocelových prutů 6 BETON technologie konstrukce sanace 1/212
2 Základní prutová soustava 1 - Počet elementů = 363 3 Iterace 1 Iterace 32 = -21 Iterace 12 Iterace 6 Základní prutová soustava 2 - Počet elementů = 22 Iterace 26 Iterace 11 = -21 Obr. 1 Vývojový diagram procesu optimalizace vyztužení železobetonových konstrukcí Fig. 1 Flowchart of the optimization process Obr. 2 Základní prutová soustava, rozměry základního rastru 8*6 x *6 mm, tloušťka konstrukce 2 mm, beton C3/37, ocel B5B Fig. 2 Ground truss, dimensions of a ground truss 8*6 x *6 mm, thickness of a structure 2 mm, concrete C3/37, steel B5B Obr. 3 Průběh optimalizačního procesu stěnového nosníku s otvorem (řešená konstrukce viz obr. 2) Fig. 3 Optimization history for a deep beam with opening, (solved structure see fig. 2) Obr. Graf přetvárné energie v průběhu optimalizačního procesu (celková přetvárná energie modelu zeleně, celková přetvárná energie výztužné oceli modře) Fig. Total strain energy history of the model (green line) during the iterative process; total strain energy of steel reinforcement (blue line) Obr. 5 Graf součinu přetvárné energie oceli a hmotnosti použité oceli v průbě hu optimalizačního procesu Fig. 5 Total strain energy history of steel reinforcement multiplied by its weight during the iterative process (tažených elementů) je v každé iteraci navržena tak, aby byla výztuž v mezním stavu únosnosti plně využita. Aby však bylo možné předem zadat průřezovou plochu některých výztužných prutů, přičemž ostatní výztuž bude dopočítána s uvážením možné redistribuce vnitřních sil uvnitř konstrukce, je třeba stanovit skutečný stav napjatosti a tomu odpovídající přetvoření ve výztužných prutech. Vnější zatížení je uvažováno charakteristickou kombinací zatížení f k a do výpočtu byl zaveden modifikovaný stupeň bezpečnosti pro návrh ocelové výztuže, který lze jednoduše odvodit ze základní podmínky ověřování únosnosti v mezním stavu únosnosti konstrukce. Tahové síly přenášené ocelovou výztuží mohou být interpretovány jako výslednice hlavních tahových napětí, které jsou přenášeny výztužnými pruty poté, co v betonu vznikne trhlina. Je zřejmé, že efektivně umístěné tažené prutové elementy základní příhradové soustavy iterativně zvětšují svou průřezovou plochu, zatímco nevhodně orientované tažené pruty svou průřezovou plochu zmenšují. Všem tlačeným elementům je v rámci jedné iterace přiřazena stejná průřezová plocha, odpovídající ploše nejvíce namáhané betonové vzpěry. Tímto způsobem lze zohlednit rozdílný stav napjatosti uvnitř konstrukce. Jde o jisté zjednodušení odhadu velikosti průřezových ploch tlačených prvků. Vzhledem k tomu, že jsou tuhosti betonových vzpěr několikanásobně větší než ocelových tažených prutů, postačí tento zjednodušený x 1 18 CPE modelu 1 m oceli.pe oceli Přetvárná energie [kj] 16 12 1 8 6 PE oceli m oceli. PE oceli [kg.kj] 8 6 2 2 1 2 3 5 6 7 8 9 1 Iterace CPE = 9,2kJ; PE = 7,73kJ, (t.j. 85,6%) model ocel 5 1 2 3 5 6 7 8 9 1 Iterace 1/212 technologie konstrukce sanace BETON 61
předpoklad pro obdržení kvalitních výsledků. Limitní hodnota návrhového napětí betonu v tlaku je tímto způsobem dosažena jen v nejvíce namáhaném tlačeném elementu (styčníku), zatímco v ostatních částech návrhové oblasti není maximálně dovolená hladina napjatosti dosažena. Toto je důležitý předpoklad navržené metody. Je zřejmé, že tato podmínka představuje jisté zjednodušení. Na druhou stranu bylo zjištěno, že se lze tímto způsobem přiblížit k vystihnutí reálného chování železobetonu po vzniku trhlin, ve kterém nejsou všechny tlačené oblasti betonu stejně využity. Nejvíce namáhaný styčník může být lehce vyhledán a oblast konstrukce posouzena. Samotný návrh ploch výztuže a tlačených betonových prutů je plně v souladu s pravidly pro mezní stav únosnosti (STR) dle norem EN. Pokud se průřezová plocha taženého prutu blíží hodnotě blízké nule, je prut z návrhové oblasti odstraněn. V důsledku odebrání taženého elementu může nastat v přilehlém uzlu nerovnováha. Tlačené elementy představující betonovou část konstrukce jsou v tomto případě z návrhové oblasti odstraňovány pouze za účelem zajištění rovnováhy. Toto je jediný důvod pro odstranění tlačených betonových prvků. Betonová část konstrukce není z návrhové oblasti odstraňována samoúčelně, je modelována tak, aby odpovídajícím způsobem vystihovala rozdílný stav napjatosti v tlačených částech konstrukce. Je zřejmé, že postupné přerozdělování množství výztuže v návrhové oblasti tam, kde je výztuž lépe využita, a odebírání málo využívaných tažených prvků vede k minimalizaci přetvárné energie výpočetního modelu (minimalizaci poddajnosti maximalizaci tuhosti) při současné minimalizaci množství použité oceli. Iterační proces je ukončen, pokud je změna rozložení ocelové výztuže uvnitř návrhové oblasti zanedbatelná. Tj. množství výztuže v jednotlivých prutech se neliší od množství a uspořádání výztuže v předešlém iteračním kroku. Průběh optimalizačního procesu postupného přerozdělování množství výztuže uvnitř návrhové oblasti je patný z obr. 3 až 5. OPTIMALIZAČNÍ PROCES, JEHO VLASTNOSTI A MOŽNOSTI VYUŽITÍ Ve stavební praxi je z praktických důvodů upřednostňováno použití ortogonálního směru uložení výztužných prutů. Do optimalizační metody návrhu výztuže byl proto implementován algoritmus, pomocí něhož lze navrhnout příhradové modely s předem preferovaným směrem tažených prutů [1] (obr. 6 a 7). Další možností optimalizační metody pro automatický návrh výztuže je volba ortogonální orientace tažených prutů, které mohou být doplněny o individuální výztužné pruty orientované jiným než svislým a vodorovným směrem. Průřezové plochy jednotlivých prutů jsou poté dopočítány automaticky vzhledem k jejich preferované orientaci a s uvážením jejich skutečné tuhosti. Výztuž železobetonových konstrukcí lze rozdělit podle důležitosti a způsobu využití na hlavní nosnou a konstrukční výztuž. Primární funkcí hlavní nosné výztuže je přenos tahových sil po vzniku trhlin v betonu. Tím, že v betonu vznikne trhlina, se výztuž aktivuje. Výztuž přebírá uvolněné tahové síly, které byl schopen před vznikem trhlin přenášet neporušený beton. Konstrukční výztuž je do železobetonové konstrukce navrhována pro zachycení napětí vyvolaných objemovými změnami v betonu (vysychání, smršťování betonu, teplotní objemové změny), v případě poruchových oblastí rovněž pro zajištění dostatečné míry duktility konstrukce. Především pro tvarově komplikované konstrukce a D-oblasti, kde není předem stoprocentně zřejmý způsob přenosu vnitřních sil, je vhodné navrhnout dostatečné množství konstrukční výztuže. (Tam, kde není stanoveno přesněji výpočtem, se konstrukční výztuž navrhuje minimálně jako,3% stupeň vyztužení pro oba ortogonální směry). V tomto případě má mimo jiné konstrukční výztuž za úkol zachycovat příčné tahové síly, které vznikají v koncentrovaných betonových vzpěrách po vzniku podélných tahových trhlin. Provedením minimálního stupně vyztužení lze zabezpečit minimální požadovanou duktilitu konstrukce. To znamená, že je možné konstrukční výztuž využít jako dodatečnou rezervu pro zajištění únosnosti při nepředvídané redistribuci vnitřních sil uvnitř konstrukce. V klasické metodě příhradové analogie není přítomnost konstrukční výztuže při návrhu náhradního příhradového modelu vůbec uvažována. Potřeba konstrukční výztuže je brána v potaz jen pro zachycení příčných tahových sil v koncentrované vzpěře, to se však neprojeví do celkové únosnosti příhradového modelu. Je však zřejmé, že se přítomnost konstrukční výztuže projevuje příznivým způsobem do celkové únosnosti konstrukce. Ať už je navržena konstrukční výztuž z jakéhokoliv důvodu, je v běžné konstrukci přítomna. Konstrukční výztuž je rovnoměrně rozmístěna po celé oblasti konstrukce. Tam, kde vzniknou v konstrukci trhliny překročením tahových napětí v betonu, ať už v důsledku objemových změn, nebo přítomností tahových napětí od vnějšího zatížení, je konstrukční výztuž schopná zachycovat tahové síly, a tím vylepšit mechanické vlastnosti betonu. Vnitřní síly se mohou roznášet větším objemem konstrukce, a tím tak může dojít k odlehčení nejvíce namáhaných oblastí konstrukce. Tento fakt se stal dalším cílem vystižení reálného chování železobetonové konstrukce pomocí navržené optimalizační metody. Do optimalizačního algoritmu byla přidána podmínka pro generování náhradních příhradových modelů s uvážením vlivu přítomnosti konstrukč- 6 7 98.1 = 21 98.1 232 169.3 169. 189.3 133.8 16 71.6.1 16 116 877.5 36.5 263.7 372.9 263.7 32.3 28.2 178.2 271 37.8 = 21 16.1 1198 383.3 8.6 222.1 85.3 138.8 3.7 116 5.2 38.9 613. 853.5 26.8 593.6 836.5 7.5 199.3 33.2 2.8 395.2 59. 375 25.5 39.1 6.1 263.7 36.6 372.9 3.3 266.3 53.8 87.2 1.3 672. 26.2 3.5 22.9 376.7 326.2 32. 229. 15.5 37 135.3 681. 21.8 781.1 28 19.8 185.7 5.2 185.7 139.7 262.7 15.7 197.6 262.7 139.7 98.8 127.2 127.2 3.7 23.5 13.6 11.6 2.3 29.7 23.1 99. 3.3 525.6 3.3 225.3 75 3.3 131.3 19.8 571 92.5 1.3 861. 829.9 3.3 6.6 9.9 62 BETON technologie konstrukce sanace 1/212
8 9 F = 21 d 27.5 72 12.5 165.3 39 1.1 1.1 2 35 28.2 175.5 66.7 232.3 9.9 275.8 22. 3.9 13.6 725. 73.7 321.7 8. 332.2 668.3 225.1 93.1 227.5 236.2 19.5 112. 56.7 321.7 12. 133.2 29.6 179.2 783. 7. 8. 166.9.3 F = 21 d 191.5 38.7 96.8 1123.2 21.2 11.7 27.5 68.5 397.5 62.5 525.3 52. 253.3 68.2 295.1 18 3. 79.3 91.2 88.6 51. 51.8 1.1 27.7 26.2 27.8 216 152.7 582 79.7 216 1.8 2.5 758 78.8 59. 55.5 12.3 111.9 51.7 8.1 8. 9.1 21.8 32.6 3 6.3 53.2 5.1 35 82.8 736.9 9.3 129 16.5 191.5 379.7 126 1.6 38.6 52.2 271. 77. 77 71.3 268.8 62.1 31 39.7 3 92.9 59.3 2.5 81.7 11.7 22.8 329.8 517.5 187.7 29.6 23.1 77.2 18.8 66. 329.8 37.2 217.3 251.7 37.2 188.7 133. 76.5 5.1 58.7 52.5 38.6 72.9 26.2 23. 18.1 53.3 17.9 267 196.8 33.2 21 75.6 19.7 39.7 99.2 7.1 325.2 23 266.8 325.2 19.2 137.3 77.1 5.5 58.7 52.5 362.8 6.7 275. 259.1 167.9 329.8 772.2 989.5 856 81.9 775.7 32. 78.1 11.1 872.7 818.2 792 ní výztuže. Konstrukční výztuž je definována ve vodorovném a svislém směru pomocí předepsané minimální plochy (obr. 8). Příhradový model konstrukce s konstrukční výztuží je tužší, přidaná výztuž je schopna přenést určitý podíl tahových sil. Vyztužení vylepšuje mechanické vlastnosti železobetonu v tahu, v důsledku čehož je možné k přenosu sil využít větší část konstrukce. Výsledkem je přerozdělení vnitřních sil v konstrukci. Některá místa jsou odlehčena. Velikosti tahových sil v hlavní nosné výztuži jsou menší, což povede k návrhu menších průřezových ploch hlavní výztuže, a tím k úspoře materiá lu. Výpočet se více přibližuje vystihnutí reálného přenosu sil uvnitř konstrukce. V místech, kde je výztuž obzvláště přínosná pro vylepšení přetvárných vlastností konstrukce, je vhodné ortogonální síť doplnit z praktických důvodů individuální šikmou výztuží, což bylo při sestavování algoritmu rovněž zohledněno (obr. 9). Průřezové plochy jednotlivých prutů jsou dopočítány automaticky vzhledem k jejich preferované orientaci a s uvážením jejich skutečné tuhosti. V některých případech návrhu může být z důvodu proveditelnosti výztuže (např. bezpečný způsob zakotvení výztuže) žádoucí, aby bylo množství výztuže v daném místě omezeno předepsanou plochou. Pro tento praktický případ byl navržen algoritmus, pomocí něhož je možné na základě předepsané plochy výztuže předem určit maximální velikost síly, kterou je schopen výztužný prut přenést. V tomto případě je nutné řešit konstrukci pro charakteristickou kombinaci zatížení a charakteristické materiálové vlastnosti. Výpočetní algoritmus je tedy schopen zohlednit skutečné přetvoření výztuže, která se po dosažení přetvoření na mezi kluzu začíná plasticky protahovat. Průřezová plocha ostatní výztuže je dopočítána automaticky na základě redistribuce vnitřních sil pro zachování rovnováhy v dané oblasti a splnění podmínky předepsané hladiny napjatosti ve výztuži definované pomocí modifikovaného stupně bezpečnosti. Obr. 6 Příhradový model pro návrh výztuže stěnového nosníku s otvorem (řešená konstrukce viz obr. 3) po užití algoritmu pro generování výztuže ve sklonu 5 a 9 Fig. 6 Optimal strut-andtie model for reinforcement design (solved structure see fig. 3) prescribed reinforcement directions of, 5, 9 degrees Obr. 7 Příhradový model pro návrh výztuže stěnového nosníku s otvorem (řešená konstrukce viz obr. 3) použití algoritmu pro generování výztuže pouze v ortogonálním směru Fig. 7 Optimal strut-and-tie model for reinforcement (solved structure see fig. 3) prescribed only orthogonal reinforcement layout Obr. 8 Příhradový model pro návrh výztuže stěnového nosníku s otvorem (řešená konstrukce viz obr. 3) ortogonální směr vyztužení včetně uvážení přítomnosti konst rukční výztuže (min. st. vyztužení,3 %) Fig. 8 Optimal strut-and-tie model for reinforcement design (solved structure see fig. 3) prescribed orthogonal reinforcement layout with the reinforcement required by detailing provisions Obr. 9 Příhradový model pro návrh výztuže stěnového nosníku s otvorem (řešená konstrukce viz obr. 3) ortogonální směr vyztužení včetně uvážení přítomnosti konstrukční výztuže (min. st. vyztužení,3 %) + dva šikmé výztužné pruty (libovolná plocha) Fig. 9 Optimal strut-and-tie model for reinforcement design (solved structure see fig. 3) prescribed orthogonal reinforcement layout with the reinforcement required by detailing provisions + two inclined reinforcement bars NÁVRH VÝZTUŽE, POSOUZENÍ KONSTRUKCE Náhradní příhradové modely jsou podle klasické metody příhradové analogie navrhovány dle zásad mezního stavu únosnosti. Vnitřní síly příhradového modelu jsou počítány pro návrhové hodnoty zatížení a rozměry jednotlivých prutů jsou navrhovány s uvážením návrhových hodnot pevností materiálu. V zásadě stejný princip návrhu rozměrů jednotlivých prutů a jejich následné posouzení je použit i v optimalizační metodě prezentované v této práci. Pro výpočet vnitřních sil v n-krát staticky neurčité příhradové konstrukci je však třeba uvažovat skutečné tuhosti jednotlivých prutů a tomu odpovídající reálné přetvoření. Kvůli možnosti stanovení skutečného přetvoření v některých předem zadaných prutech příhradového modelu (jejichž plocha je předem známa omezena) je nutné počítat vnitřní síly pro charakteristickou kombinaci zatížení. Pro návrh rozměrů prutů příhradového modelu v průběhu optimalizace jsou proto použity modifikované součinitele bezpečnosti tak, aby byla hladina bezpečnosti návrhu stejná jako v mezním stavu únosnosti. V případě, že je v daném taženém prutu dosaženo přetvoření na mezi kluzu, je dosažena jeho maximální únosnost, prut se poté začne plasticky protahovat. Ve výpočtu vnitřních sil musí být tento fakt zohledněn, prut již nemůže přebírat více tahových sil. Vyhledáním nejvíce namáhaných styčníků lze posoudit kritická místa konstrukce v tlaku. S ohledem na geometrii konstrukce a typ styčníku (CCC, CCT, CTT) lze ověřit hodnoty tlakových napětí a eventuelně upravit rozměry konstrukce tak, aby nebyly ve styčnících překročeny limitní hodnoty návrhových napětí v tlaku. Pokud jsou vzpěry patřičně vyztuženy ortogonální výztuží pro zachycení příčných tahových sil, nemusí být v tlačených prutech ověřována návrhová napětí [6]. Navržený program umí vyhledat nejvíce namáhané styčníky, pro které je třeba ručním způsobem sestrojit geometrii uzlové oblasti a oblast posoudit. Optimální příhradové modely mohou být použity pro návrh efektivního vyztužení. Pro návrh výztuže pomocí navrženého algoritmu je vhodné použít jemnější dělení sítě základní prutové soustavy. Na obr. 1 je uveden detailní návrh náhradního příhradového modelu stěnového nosníku. Pro tažené pru- 1/212 technologie konstrukce sanace BETON 63
Y VĚDA A VÝZKUM SCIENCE AND RESEARCH 118 129.1 17.8 = 15 17.8 113.5 55. 28.7 376. 557. 722.9 776.3 15.5 127.3 3.7 1. 39.1 27.6 152. 2.6 3. 27.6 3.6 5.1 2.5 6.2 25.5 8 66 6.2 1.1 62.5 51.9 37 15 213.1 288.7 3.8 317.1 196.3 72 2.7 6.2 1.8 22.1 6 39. 17.7 5.1 3.8 2. 38.6 23.3 7.7 2.7 83.8 3.8 185.5 22.2 26.2 251.8 3.8 59.2 127 237.8 58.2 82.3 11.1 68 56.1 117.5 16.8 9.9 96.2 186.8 51.1 1 75.6 97 37 73.2 39.9 129.7 7. 52.1 17 98.5 83 73.6 17.2 6.9 67.8 59.7 198.8 67 26.7 3.5 55.7 37 2. 62. 99.5 29 9.3 37.5 37.5 35.3 119.5 39 562.5 579.6 21.1 171.3 36. 28.7 3 3.3 56.5 1.5 27.7 6.5 5.6 37.2 32.3 33.7.7.1 27 9.3 59.9 195.1 191.7 13 69. 13.7 77.8 3.1 17.8 33. 1.3 13.1 63.5 7.5 17.7 21.1 7.9 65.9 85.1 3.3 2.9 3.9 1.5 61.5 37.9 16.5 23.3 1.3 75.5 37.8 65.8 7.7 61.3.8 55.3 78.2 1. 81.1 61.7 87.3 2.6 58.6 192.2 6.6 85.7 127.7 196.8 55.7 78.8 115.3 18.6 36.5 55.6 35 163.1 152. 13.1 192.2 13.9 6.2 111. 16.5 36.2 77.7 11.6 539.3 65.6 672.1 658.9 599.6 59.1 513. 81.5 6.1 26.5 31. 6.1 26.5 2.8.2. 19. 3 162.9.6 1.1 16.7 6.9 78.8 68.8 26.5 217.2 51.3 13.3 92. 188.6 19.3.9 22.1 3.2 2 17 129.7 31.6.8 3.3.2 15.3 31.1 139.3 26.9.6 2.5 2.8 59.2 83.8 3.5 22 5.5 71.5 22.5 35.7 5. 35.1 3.7 2. 2.2 2.6 83 269.2 7.8 39.1 186.3 29.7 96.7 3.1 12.7 28.9 2.9 57.2 83 2.3 52.9 19.6 9.5 23.7 65.5 2.5 1.1 81 2.1 2.2 2.1 38 16 37 37 1 366 36 2 2 267 35 338 686 93 197 121 632 2 37 5.2.5 178.8 122 26.7.2 35. 37.5 78.8 28. 5.3 32.7 17.7.7 7.2 8.6 39.2 2.6 3.9 2.3 129.9 1.9 39.8 2 23 393 628 795 617 19 2 27 11 371 2 25 1325 1737 218 216 2122 1931 1768 1653 1551 81 A s,min = 235.6mm 2 (2 prof 1, základní rastr á 2 mm) = 15 235 16 6 F = 15 1.7 1.9.7 k.6 2.2 3.6.7 5.6 5.9 6.1 5 1.8.1 181 6 117 13 213 18 196 18 3 28 196 5 1.2 1.6.5 1 2.6 3.9 5.1 6 6.1 5.1 2.8.9 157 36 181 26 8 1.5.1 1. 3. 5.5 6.3 6 5..2 3 1.9.1 9 195 167 23 186 1.3.8 1.5 7 6.5 6 3.1 1.9.9 155 122 127 129 2 176 118.2.6 1.2 7. 6.7 6 3.3 2.9 197 215 158 137 3 173 17.2.8 7.6 6.9 6.2 5.5. 2.9 29 25 295 58 13 76 2 6.1.1 1.2 2.5 5. 6.6 7.6 7.1 6. 5.6 3.5.9 269 299 75 9 31 28 5 182 186 176 261 161.1.2.2 1.5 2.9. 5.8 7 7. 6.6 5.8.8 1.2 7 26 176 78 181 8 113 251 2 151 56 235 262 257 237 236 196 18 129 2 1 133 1 62 2 16 112 132 16 199 288 157 13 65 7 85 251 289 221 172 112 82 166 117 27 238 217 1 322 31 82 9 9 1 11 12 13 113 1 265 9 259 17 23 6 159 17 57 5 113 15 15.3.6 1.8 3.2.8 6.2 7.2 7.6 7 6.1 5 3.9 2.7 ty příhradového modelu je navržena plocha betonářské výztuže odpovídající požadované únosnosti táhla. Navržená výztuž musí být řádně zakotvena za hranicí uzlu. Navržený program obsahuje funkci pro vykreslení schématu vyztužení, kde je u každého výztužného prutu uvedena potřebná plocha výztuže (obr. 11). Na obr. 12 je zobrazeno napětí ve výztužných prutech. Funkčnost metody byla ověřena porovnáním průhybů a napěťových toků s výsledky získanými nelineární analýzou metodou konečných prvků v programu ATENA 2D (obr. 13 až 15). Podrobnější pojednání o deformovatelnosti příhradových modelů a jejich chování v provozním stavu bude uvedeno v některém z příštích čísel tohoto časopisu. Optimalizační metodu je možné použít pro návrh efektivních náhradních příhradových modelů a tomu odpovídající návrh výztuže libovolných poruchových oblastí (obr. 16 až 19). 15 X = 15-6.33E-3-5.85E-3-5.2E-3 -.55E-3-3.9E-3-3.25E-3-2.6E-3-1.95E-3-1.3E-3-6.5E-.E+ 6.5E- 1.21E-3 ZÁVĚR Pro správný návrh a posouzení konstrukce je nejdůležitějším krokem výpočtu použití vhodného výpočetního modelu, který je schopen vystihnout skutečné chování a přenos sil uvnitř konstrukce. Nejinak tomu je i v případě klasické metody příhradové analogie, která se běžně používá pro řešení poruchových oblastí železobetonových konstrukcí. Navržený výpočetní postup je schopen zohlednit nehomogenní podstatu železobetonu zavedením rozdílných materiálových vlastností ocelové výztuže a betonu do procesu sestavování náhradních příhradových modelů. Během optimalizačního procesu je přerozdělováno množství výztužné oceli uvnitř návrhové oblasti tak, aby byla výztuž plně využita, zatímco objem betonu zůstává stejný, což vede k minimalizaci celkové přetvárné energie výsledného modelu. Výsledkem optimalizačního procesu je návrh minimálního množství ocelové výztuže, což vede k úsporám materiálu a návrhu efektivních konstrukcí. Y X 6 BETON technologie konstrukce sanace 1/212
= 1575 = 1575 = 6 921 211 212 1969 = 6 15.2 653 117 1215 73 7 528 1.7 229.1 353.6 279.5 1.7 131.8 25 25 75 79.5 1.1 335.5 1.1 81.1 81.1 81.1 9.6 75 11 76 2.5 2.3 173.6 25 25 A s,min = 628.3mm 2 (2 prof 1 á 2 mm) 16 17 18 19 Literatura: [1] Ali M. A., White R. N.: Automatic Generation of truss Model for Optimal Design of Reinforced Concrete Structures. ACI Structural Journal, V. 98, No., July-August 21, pp. 31 2 [2] Liang Q. Q., Xie Y. M., Steven G. P.: Topology Optimization of Strut-and-Tie Models in Reinforced Concrete Structures Using an Evolutionary Procedure. ACI Structural Journal, V. 97, No. 2, Mar.-Apr. 2, pp. 322 33 [3] Liang Q. Q.: Performance-based Optimization of Structures: Theory and Applications, Spon Press, London and New York, 25, 26 p. [] Kwak H. G., Noh S. H.: Determination of Strut-and-Tie Models Using Evolutionary Structural Optimization, Engineering Structures, V. 28, 26, pp. 9 [5] Kim H., Baker G.: Topology Optimisation of Reinforced Concrete Structures, In Proc. of the 1st Asian Pacific Congress on Computational Mechanics, 21, Sydney, Australia [6] CEB-FIP, CEB-FIP Model Code 199, Thomas Telford, 1993 [7] Reineck K. H., et al.: Examples for the Design of Structural Concrete with Strut-and-Tie Models, ACI, 22 [8] Semrád K.: Optimalizační metoda pro automatický návrh výztuže železobetonových prvků, Disertační práce, srpen 211, FSv ČVUT Praha [9] Semrád K., Štefan R.: Automatic Generation of Reinforcement Layout of Structural Concrete, In Design of Concrete Structures and Bridges using Eurocodes. K. Gajdošová (Ed.). Bratislava: Slovak University of Technology in Bratislava, September 211, pp. 181-188, ISBN 978-8-876-9-6 Tento příspěvek byl vypracován za podpory poskytnuté v rámci Studentské grantové soutěže ČVUT, grantu číslo SGS11/23/OHK1/1T/11. Ing. Karel Semrád, Ph.D. e-mail: semka81@gmail.com Ing. Radek Štefan e-mail: radek.stefan@fsv.cvut.cz oba: Katedra betonových a zděných konstrukcí Fakulta stavební ČVUT v Praze Thákurova 7, 166 29 Praha 6 tel.: 22 35 633 Obr. 1 Příhradový model pro návrh výztuže stěnového nosníku s otvorem ortogonální směr vyztužení + dva šikmé výztužné pruty (2 ø16), konstrukční výztuž (2 ø 1 á 2 mm), rozměry základního rastru 16*3 x 8*3 mm, tloušťka konstrukce 2 mm, beton C3/37, ocel B5B Fig. 1 Optimal strut-and-tie model for reinforcement design orthogonal reinforcement layout with the reinforcement required by detailing provisions (2 ø 1/2 mm) + two prescribed inclined reinforcement bars (2ø16), dimensions of a ground truss 16*3 x 8*3 mm, thickness of a structure 2 mm, concrete C3/37, steel B5B Obr. 11 Schéma vyztužení [mm 2 ] konstrukce řešené v obr. 1 Fig. 11 Reinforcement layout scheme [mm 2 ] of a structure solved in fig. 1 Obr. 12 Napětí ve výztuži [MPa] konstrukce řešené v obr. 1 Fig. 12 Stress in reinforcement bars [MPa] of a structure solved in fig. 1 Obr. 13 Svislý posun [mm] konstrukce řešené v obr. 1 Fig. 13 Vertical deflection [mm] of a structure solved in fig. 1 Obr. Svislý posun [m] konstrukce řešené v obr. 1 nelineární analýza konstrukce v programu ATENA 2D Fig. Vertical deflection [m] of a structure solved in fig. 1 a non-linear finite element analysis in ATENA 2D Obr. 15 Porovnání toku vnitřních sil s nelineární analýzou v programu ATENA 2D, konstrukce řešená v obr. 1 Fig. 15 Internal forces verification with the non-linear analysis in ATENA 2D, structure solved in fig. 1 Obr. 16 Náhradní příhradový model stěny s dvěma otvory [7], rozměry základního rastru 15*8 x 7*8 mm, tloušťka konstrukce mm, beton C3/37, ocel B5B Fig. 16 Optimal strut-and-tie model of a wall with two openings, dimensions of a ground truss 15*8 x 7*8 mm, thickness of a structure mm, concrete C3/37, steel B5B Obr. 17 Schéma vyztužení [mm 2 ] konstrukce řešené v obr. 16 Fig. 17 Reinforcement layout schneme [mm 2 ] of a structure solved in fig. 16 Obr. 18 Náhradní příhradový model sloupu s konzolou, rozměry základního rastru 15*15 x 6*15 mm, tloušťka konstrukce 3 mm, beton C3/37, ocel B5B Fig. 18 Optimal strut-and-tie model of a column with a corbel, dimensions of a ground truss 15*15 x 6*15 mm, thickness of a structure 3 mm, concrete C3/37, steel B5B Obr. 19 Náhradní příhradový model rámového styčníku, rozměry základního rastru 8*15 x 8*15 mm, tloušťka konstrukce mm, beton C3/37, ocel B5B Fig. 19 Optimal strut-and-tie model of a conner connection, dimensions of a ground truss 8*15 x 8*15 mm, thickness of a structure mm, concrete C3/37, steel B5B Text článku byl posouzen odborným lektorem. 1/212 technologie konstrukce sanace BETON 65