INTERAKCE VNITŘNÍCH SIL PŘI DIMENZOVÁNÍ DLE EC2

Transkript

1 20. Betonářské dny (2013) Sborník Sekce ČT1B: Modelování a navrhování 2 ISBN / (CD) INTERAKCE VNITŘNÍCH SIL PŘI DIMENZOVÁNÍ DLE EC2 Libor Michalčík 1 Jaroslav Navrátil 1 1 IDEA RS s.r.o., U Vodárny 2a, BRNO, Czech Republic, Tel: , Fax: , navratil@idea-rs.com Abstrakt Článek se zabývá problematikou dimenzování mezních stavů únosnosti železobetonových a předpjatých průřezů dle Eurocode. Je proveden rozbor metody výpočtu pro prvky vyžadující návrh smykové výztuže a dále analýza některých ustanovení a parametrů výpočtu dle ČSN EN Srovnávací výpočty jsou provedeny alternativními metodami. Kromě tradičního posouzení ohybového namáhání, smyku a kroucení je třeba zohlednit interakci vnitřních sil působících na průřez. Nestačí však vzít v úvahu jen interakci ohybových momentů a normálové síly. Norma přímo zavádí interakční vztahy pro smyk a kroucení. Metoda výpočtu smyku a kroucení použitá v ČSN EN dále umožňuje vyčíslit interakci všech složek vnitřních sil působících na průřez. V článku je na konkrétních příkladech analyzován vliv jednotlivých složek vnitřních sil a význam jejich interakce. Ta se stává v řadě případů rozhodující pro posouzení únosnosti železobetonových a předpjatých průřezů. Klíčová slova: beton, průřez, Eurocode, ohyb, smyk, kroucení, interakce, posouzení. 1 Úvod Cílem článku není kompletní shrnutí normových požadavků pro posouzení smyku a kroucení. Pozornost bude soustředěna pouze na případ, kdy vzniká smyková trhlina a velikost namáhání posouvající silou dosahuje úrovně vedoucí k nutnosti použití smykové výztuže. Ani tento případ namáhání však nebude řešen do všech detailů potřebných pro návrh železobetonového prvku (redukce, oslabení). Předmětem zájmu budou pouze některá, podle názoru autorů problematická, ustanovení normy [1] a dále možnosti využití normových předpokladů k posouzení interakce všech složek vnitřních sil. 216

2 Sborník 20. Betonářské dny (2013) ISBN / (CD) Sekce ČT1B: Modelování a navrhování 2 2 Příhradová analogie s variabilním úhlem diagonál Předpokladem metody příhradové analogie s variabilním úhlem diagonál je, že je element působením hlavního napětí v tahu porušen šikmými trhlinami pod úhlem θ. Přenos posouvající síly je pak zajištěn systémem betonových vzpěr a ocelových táhel ve formě třmínků a podélné výztuže, viz obr. 1. (a) (b) z * cos θ (c) 0,5(F s+ F p) A sw* σ w d z A sw V E σ c D V F s+ F p E σ c s * sin θ b w A s+ A p θ s 0,5(F s+ F p) Obr. 1 Podmínky rovnováhy příhradového modelu, převzato z [2] θ s Z trojúhelníku sil lze vyjádřit tři podmínky rovnováhy na řešeném betonovém elementu, viz [2]. V těchto třech rovnicích se však vyskytují čtyři neznámé: tlakové napětí v betonu σ c, tahová síla v podélné výztuži (F s + F p ), napětí ve třmíncích σ w a úhel θ. 2.1 Řešení podmínek rovnováhy Podmínky rovnováhy lze řešit několika způsoby. První z možností je volba úhlu θ. To můžeme provést, neboť výše popsaná metoda je založena na teorii plasticity, a pokud budou splněny oba základní teorémy plasticity, můžeme nalézt teoreticky libovolné množství plastických modelů. Praktická omezení úhlu θ dává norma [1] mezi hodnotami 21,8 až 45. Při známém úhlu θ lze další neznámé dopočítat z rovnic rovnováhy. S ohledem na to, že používáme plastickou metodu, můžeme rovněž předpokládat dosažení pevnosti betonu v tlaku v diagonálních vzpěrách (sníženou příčným tahem). Pevnost dosadíme za σ c a řešíme soustavu dvou rovnic pro neznámé σ w a θ. Poté lze vypočítat tahové napětí v podélné výztuži. Třetí možností vyčerpání únosnosti je dosažení meze kluzu (resp. návrhové pevnosti) v podélné i třmínkové výztuži. Druhá a třetí možnost se dá považovat za způsob, jak nalézt z hlediska využití materiálů optimální velikost úhlu θ. Za účelem zjištění, do jaké míry lze kritéria vyčerpání únosnosti betonu nebo výztuže využít pro reálný návrh průřezu byla zpracována níže uvedená studie. Na T průřezu z obr. 2 (C30/37, při dolním povrchu B500B 4φ20, při horním 2φ10, dvojstřižné třmínky φ10 á 150 mm s krytím 30 mm.) byla vždy pro daný úhel θ vypočtena únosnost ve smyku při drcení tlakových diagonál V Rd,max. Tato síla na mezi únosnosti byla poté zadána jako návrhová hodnota posouvající síly V Ed a opět pro daný úhel θ byly nalezeny odpovídající síly v třmíncích F sw a v podélné výztuži F s. Z obr. 3 je zřejmé, že pro zvětšující se úhel roste potřeba třmínkové výztuže a naopak klesá plocha podélné výztuže nutná k přenesení dané návrhové posouvající síly. Zároveň z něj vyplývá, že na studovaném průřezu, který je zcela běžný v praxi, dosahuje i pro nejmenší úhel θ povolený dle [1] únosnost ve smyku V Rd,max hodnot cca 400 kn a více. Obvyklé hodnoty posouvající 217

3 20. Betonářské dny (2013) Sborník Sekce ČT1B: Modelování a navrhování 2 ISBN / (CD) síly V Ed se pro nosníky s těmito průřezy pohybují od cca 150 do 250 kn, tedy ve žlutě vyznačeném pásu. Abychom tedy pro tyto průřezy dosáhli optimálního využití betonu v tlaku, museli bychom pro výpočet použít úhel θ < 15, který však Eurocode nepovoluje. Proto je požadavek optimálního využití betonu v tlaku v tomto případě iluzorní. V případě velmi vysokých hodnot posouvajících sil, např. v případě velkých osamělých břemen působících v blízkosti podpěr, lze optimálního využití betonu v tlaku dosáhnout pro úhly θ blízké dolní povolené mezi, např. pro θ = 21,8 je nutná třmínková výztuž 2φ10 á 235 mm při jejím plném využití. Při tak nízkých úhlech θ však neúměrně rostou požadavky na množství podélné výztuže. V tom případě je vhodnější volit větší úhel θ. Obr. 2 Vyšetřovaný T průřez Obr. 3 Závislost únosnosti ve smyku při drcení tlakových diagonál na úhlu θ 2.2 Závislost posouzení smyku na ohybovém namáhání? V obr. 6.5 čl [1] je uveden model náhradní příhradoviny, ve kterém je svislá kóta ramene vnitřních sil z vztažena k návrhové hodnotě tlakové síly v betonu F cd a jejím prostřednictvím k ohybovému momentu v posuzovaném prvku. Rovněž je konstatováno, že lze použít přibližnou hodnotu z = 0,9d, pokud v prvku nepůsobí normálová síla. Jak vyplývá z případu čistého smyku dle obr. 1, vzniká od posouvající síly v horním i dolním pasu tahová síla, kterou je třeba přenést podélnou výztuží ovinutou třmínky účinnými pro přenos smyku. Hodnota z je v tomto případě vzdálenost obou pasů náhradní příhradoviny. Je tedy nesmyslné vázat tuto hodnotu na ohybové namáhání. V případě průřezu namáhaného velkou tlakovou silou, např. v předpjatém průřezu bývá dokonce celý průřez tlačen, a tedy neexistuje tažená výztuž. V odstavci (7) čl [1] je tahová síla F td (na obr. 1 označená F s + F p ) v podélné výztuži vypočtena jako ½ síly vznikající v obou pasech náhradní příhradoviny. A priori se zřejmě předpokládá, že síla v pasu, který je od ohybu tlačen, je větší, a tudíž bude fungovat jako tlaková rezerva pro druhou polovinu tahové síly způsobené smykem. Tento předpoklad však nemusí platit vždy. Proto lze doporučit navrhnout přídavnou podélnou výztuž na celou tahovou sílu a ovinout ji třmínky účinnými pro přenos smyku. Pro tento účel lze samozřejmě využít konstrukční výztuž nutnou pro sestavení armokoše. 218

4 Sborník 20. Betonářské dny (2013) ISBN / (CD) Sekce ČT1B: Modelování a navrhování 2 S cílem poukázat na problematičnost návaznosti posouzení smyku na ohybové namáhání byla zpracována studie únosnosti obdélníkového průřezu namáhaného právě kombinací smyku a ohybu, přičemž byl sledován vliv zmenšujícího se ramene vnitřních sil (obr. 4) při zvětšujícím se úhlu mezi svislou posouvající silou a měnící se rovinou ohybu. Průřez by výšky 1000 mm, šířky 400 mm, C30/37 a byl vyztužen při obou površích B500B 4φ20 a dvojstřižnými třmínky φ10 á 150 mm s krytím 30 mm. Z obr. 5 vyplývá, že při úhlu cca 35 dochází ke snížení smykové únosnosti V Rds průřezu vyztuženého smykovou výztuží. Při úhlu 90 by měl průřez nulovou únosnost. Přestože nakloněním výslednice ohybových momentů a tedy i tlačené zóny může dojít k přitížení betonu tlakové diagonály v tlaku, jeví se autorům vliv ramene vnitřních sil od ohybu na smykovou únosnost nereálný. Obr. 4 Rameno vnitřních sil na vyšetřovaném průřezu Obr. 5 Závislost únosnosti ve smyku na rameni vnitřních sil od ohybu 2.3 Omezení síly v podélné výztuži způsobené smykem V odstavci (7) čl [1] je tahová síla v podélné výztuži (F s + F p ) limitována hodnotou (M Ed,max /z), kde M Ed,max je největší prostá hodnota momentu v příslušném úseku nosníku s momentem stejného znaménka. Je zřejmé, že v případě prostě uložených konců nosníků, kde je posouvající síla extrémní, není třeba problém řešit s ohledem na nulový ohybový moment. V místě extrémního kladného momentu v poli prostého či spojitého nosníku je zase nulová posouvající síla. Omezení se tedy může uplatnit pouze nad podporami spojitého nosníku (příp. nad sloupy rámu, ). Přímo v řezu nad podporou je sice v tomto případě posouvající síla rovněž nulová, ale v řezech těsně zleva a zprava nabývá extrémních hodnot. Se záměrem ověřit velikost tahové síly v podélné výztuži vznikající od smyku byl proveden srovnávací výpočet. Spojitý nosník o dvou polích 2*10 m zatížen rovnoměrným zatížením 10 knm -1 byl řešen jako příhradový nosník. Vzdálenost horního a dolního pasu byla 1,0 m. Tuhosti průřezů jednotlivých prvků byly odhadnuty s ohledem na očekávané tuhosti vzpěr a vyztužení. Vzhledem na vějíř vzpěr nad podporami nosníku bude v pasech příhradového nosníku zohledněn přírůstek normálové síly nejen od momentu, ale také od posouvající síly. Čím hustější vějíř vzpěr namodelujeme, tím více se blížíme ke skutečnému působení. Průběh normálové síly na prvcích symetrické poloviny příhradového nosníku je na obr

5 20. Betonářské dny (2013) Sborník Sekce ČT1B: Modelování a navrhování 2 ISBN / (CD) Obr. 6 Průběh normálové síly na prvcích příhradového nosníku Obr. 7 Celková síla v horním pasu Na obr. 8 je celková tahová síla v průřezu (v obou pasech) od posouvající síly. Z průběhu F s na příhradovém nosníku je zřejmé, že v místě nad teoretickou podporou a lokálně v jejím okolí se skutečně součet sil v obou pasech od posouvající síly snižuje a jak plyne z obr. 9 v horním pasu (tj. v tažené výztuži) jde k nule. Křivka průběhu celkové síly F s získaná jako příspěvek posouvající síly k interakci v průřezu výpočtem pomocí příhradové analogie s variabilním úhlem diagonál (dle obr. 1) je ve velmi dobré shodě až do vzdálenosti cca 0,7 m od teoretické podpěry. To lze vysvětlit jiným sklonem diagonál v daném místě příhradového nosníku. V této oblasti neplatí Bernoulli-Navierova hypotéza a tudíž jde o oblast diskontinuit, která by měla být posouzena jiným způsobem. Čl (8) [1] dokonce stanoví, že u prvků namáhaných převážně rovnoměrným zatížením není třeba posuzovat návrhovou posouvající sílu do vzdálenosti d od líce uložení. Jak je již uvedeno výše, čl (7) zřejmě předpokládá, že síla v pasu, který je od ohybu tlačen, bude fungovat jako tlaková rezerva pro polovinu tahové síly způsobené smykem. Z obr. 9 vyplývá, že i v dolním pasu je od posouvající síly po délce nosníku tahová síla. To potvrzuje doporučení navrhnout přídavnou podélnou výztuž na celou tahovou sílu F s. Obr. 8 Celková tahová síla v průřezu (v obou pasech) od posouvající síly Obr. 9 Síly v horním a dolním pasu od posouvající síly 3 Interakce vnitřních sil Mezi přínosy příhradové analogie s variabilním úhlem diagonál patří možnost zohlednit vzájemnou interakci jednotlivých složek vnitřních sil. Účinky lze superponovat, protože smyk a kroucení jasně vyvozují ve výztuži tah, tlak v tlakových diagonálách se omezuje vzorcem (6.29) [1]. Tlak od ohybu v interakci s tlakem od smyku a kroucení se 220

6 Sborník 20. Betonářské dny (2013) ISBN / (CD) Sekce ČT1B: Modelování a navrhování 2 nekontroluje. Na příkladu T průřezu z obr. 2 namáhaného momentem a posouvající silou (M Ed =210kNm, V Ed =150kN) jsou dále vysvětleny možné přístupy k zohlednění interakce. Základním případem je odezva průřezu bez vlivu interakce, viz obr. 10. V případě, že aplikujeme posun momentového obrazce (v našem případě M Ed =283kNm, V Ed =150kN), získáme rozdělení přetvoření a napětí podle obr. 11. Pokud na vyztužený průřez jako celek Obr. 10 Bez vlivu interakce aplikujeme tahovou sílu od posouvající síly (v tomto případě M Ed =210kNm, V Ed =150kN, N Ed =150kN), pak bude rozdělení přetvoření a napětí podle obr. 12. Nejsprávnějším postupem podle názoru autorů však je aplikovat přírůstky přetvoření na podélnou výztuž ovinutou třmínky účinnými pro přenos smyku, viz obr. 13. Obr. 11 Posun momentového obrazce Obr. 12 Interakce pomocí normálové síly Obr. 13 Interakce pomocí přetvoření 4 Poděkování Výpočetní metody a software pro řešení prezentovaných studií byly vyvinuty firmou IDEA RS za finanční podpory MPO ČR prostřednictvím projektu FR-TI3/063 Interaktivní systém pro projektování stavebních konstrukcí. Literatura [1] ČSN EN ( ) Eurokód: Navrhování betonových konstrukcí Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, 2011 [2] NAVRÁTIL, J., Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, VUT v Brně, Fakulta stavební, 2008 Ing. Libor Michalčík IDEA RS s.r.o. U Vodárny 2a, BRNO Czech Republic michalcik@idea-rs.com URL Doc. Ing. Jaroslav Navrátil, CSc. IDEA RS s.r.o. U Vodárny 2a, BRNO Czech Republic navratil@idea-rs.com URL 221