Katedra Teoretick informatiky MFF UK. Meze form ln metody 1. Petr t p nek. 7. ervence 2000

Katedra Teoretick informatiky MFF UK Meze form ln metody 1 u ebn text Petr t p nek 7. ervence 2000 1 meze.dvi meze.ps http://kocour.ms.mff.cuni.cz/people/stepanek.cz.html

vod Zat m jsme pou vali jako z ejm fakt to, e odvozovac pravidla jsou mechanick manipulace, kter transformuj formule, tedy et zce symbol. V dal m v kladu budeme syntaktick mu aspektu odvozov n v novat v t pozornost. Za neme jednoduch m p kladem jednoduch teorie. P klad Teorie grup je teorie s jazykem fe; g a t emi axiomy x (y z) = (x y) z e x = e = x e 8x9y (y x = e) Kdybychom postupn sestrojovali v echny d kazy z t to mno iny axiom, a k nim posloupnost dok zan ch formul, takov posloupnost by obsahovala v echny v ty teorie grup. Mohli bychom postupovat nap klad tak, e bychom nejprve sestrojili v echny d kazy d lky jedna v n jak m po ad, potom v echny d kazy, kter jsou posloupnost dvou formul atd. Posledn formuli ka d ho d kazu bychom za adili na konec dosud sestrojen posloupnosti v t. Takov metod sestrojov n se k vy erp vaj c (exhaustivn ). Jej m v sledkem by patrn byla redundantn posloupnost formul, kter by obsahovala adu trivi ln ch v t a ve kter by se dok zan formule mohly opakovat. P i d sledn m dodr en exhaustivn ho postupu by v ak bylo zaru eno, e ka d v ta teorie grup by byla v n kter m kroku sestrojena. Takov postup by mohl jen t ko zaujmo algebraika, kter pracuje v teorii grup. Jeho zaj m zda n jak zcela ur it formule je i nen v tou teorie grup. Jako odpov na svou ot zku ek d kaz dan formule nebo protip klad. Proto e exhaustivn metoda d v v ka d m kroku jen kone n mnoho v t teorie grup, pom e jen v tom p pad, e dan formule ji byla dok z na. V p pad, e dan formule nen v tou nem eme to exhaustivn m postupem v kone n m ase zjistit. 1 Rozhodnelnost a enumerovatelnost N p iklad uk zal dva d le it pojmy, kter jsou motivov ny dv ma odli n mi koly. Je-li T n jak teorie, jde o to efektivn m postupem generovat v echny v ty teorie T pro libovolnou formuli efektivn rozhodno zda je i nen v tou T kde efektivnost znamen, e existuje algoritmick procedura, kter kol e. 1.1 Denice Nech F je mno ina formul n jak ho jazyka L, nech T je teorie s jazykem L. 1

(i) k me, e F je enumerovateln, existuje-li algoritmick procedura, kter generuje v echny prvky mno iny F. (ii) k me, e teorie T je rozhodneln, jestli e existuje algoritmus, kter pro libovolnou formuli A jazyka L dovoluje rozhodno zda A je i nen v tou teorie T. V opa n m p pad k me, e T je nerozhodneln. 1.2 Uk zali jsme, e enumerovatelnost mno iny v ech v t nemus zaru ovat rozhodnelnost teorie. Naopak nen t k uk zat, e rozhodnelnost teorie zaru uje enumerovatelnost mno iny v ech jej ch v t. Je-li T teorie s jazykem L a je-li P algoritmick procedura, kter rozhoduje of v t ch teorie T, sta generovat v echny formule jazyka L podle n jak ho uspo d n a do enumeruj c posloupnosti za adit jen ty formule, kter procedura P ozna jako v ty. Tak jako v p edchoz ch odstavc ch bude pojem algoritmick procedury hr t svou roli i v dal m v kladu spolu s dal mi pojmy teorie vy slitelnosti, kter se tak k teorie rekursivn ch funkc nebo teorie rekurse. 2 Rekursivn funkce Rekursivn funkce jsou specick m vyj d en m pojmu algoritmick procedury. V dal m v kladu pou ijeme t dy ste n ch rekursivn ch funkc na mno in p irozen ch sel. M me pro to dva d vody: je to nej ast ji pou van formalizace vy slitelnosti a t da ste n ch rekursivn ch funkc m bezprost edn vztah k jazyku aritmetiky. Je v ak zn mo, e t du ste n ch rekursivn ch funkc lze denovat na mno- in slov ka d kone n abecedy, pop pad i na dal ch oborech. 2.1 Tot ln a ste n funkce v oboru p irozen ch sel V dal m budeme mno inu p irozen ch sel ozna ovat p smenem N. P ipome me, e pro ka d p irozen n f : N n! N ozna uje funkci denovanou na mno in N n v ech uspo dan ch n-tic p irozen ch sel, s hodnotami v mno in p irozen ch sel N. Takov m zobrazen m k me tot ln funkce. Teorie vy slitenosti pracuje tak s ste n mi funkcemi n-prom nn ch na mno in N. Funkce f je ste n, je-li denov na na n jak podmno in dom(f) N n a jej m oborem hodnot je n jak podmno ina rng(f) N. 2.2 ste n rekursivn funkce Pro t du R v ech ste n ch rekursivn ch funkc je zn ma ada ekvivalentn ch denic. R je t da 2

funkc vy sliteln ch Turingov m strojem funkc vy sliteln ch URM-strojem -denovateln ch funkc v lambda kalkulu nejmen t da, kter obsahuje jist z kladn funkce a je uzav ena na jist operace Pro ely tohoto v kladu nen t eba rozv d t dnou z t chto denic. Posta, kdy zavedeme obvyklou terminologii a na vhodn ch m stech p ijmeme jako fakt n kter tvrzen rekursivn ch funkc ch. 2.3 Denice (i) Je-li funkce f 2 R tot ln, k me, e f je rekursivn funkce. (ii) k me, e mno ina A N n je rekursivn, je-li jej charakteristick funkce rekursivn. (iii) k me, e mno ina A N n je rekursivn spo etn, je-li deni n m oborem n jak ste n rekursivn funkce. Term n rekursivn spo etn mno ina m sv j p vod v n sleduj c m tvrzen : Nepr zdn mno ina A N n je rekursivn spo etn pr v kdy je oborem hodnot rekursivn funkce. 2.4 Vlastnosti t dy R Pro dal v klad maj z sadn v znam p edev m n sleduj c t i vlastnosti t dy R. enumerovatelnost zejm na mno iny v ech ste n ch rekursivn ch funkc jedn prom nn. aritmetizovatelnost syntaxe form ln ch syst m rekursivn mi funkcemi. reprezentovatelnost ste n ch rekursivn ch funkc a rekursivn ch relac v aritmetice Zat mco enumerovatelnost mno iny ste n ch rekursivn ch funkc jedn prom nn je d na Kleeneho v tou o norm ln form, kterou v z p t uvedeme, aritmetizovatelnost syntaxe form ln ho syst mu rozum me fakt, e termy, formule, posloupnosti formul a d kazy tohoto form ln ho syst mu lze k dovat p irozen mi sly pomoc rekursivn ch funkc. Representovatelnost rekursivn ch funkc a rekursivn ch predik t v aritmetice znamen mo nost p ev st vhodn m zp sobem rovnosti tvaru f(n 1 ; n 2 ; : : : ; n k ) = m pro n 1 ; n 2 ; : : : ; n k ; m 2 N 3

na dokazatelnost ur it ch formul v aritmetice. T m bude zaru eno, e aritmetizaci, to znamen k dov n form ln ho syst mu aritmetiky, lze prov st v n sam. Z toho pak plynou d le it v sledky o form ln m syst mu aritmetiky, ne plnost, nerozhodnelnost, nedenovatelnost pravdy, nemo nost dok zat bezespornost aritmetiky v n sam a dal v sledky. 2.5 Enumerovatelnost R a probl m zastaven P ipome me konvenci, kter se pou v pro rovnost mezi ste n mi rekursivn mi funkcemi. Rovnost f(n) = g(n) znamen, e funkce f je denov na pro slo n pr v kdy pro n je denov na i funkce g a ob hodnoty se sob rovnaj. Podobn mluva plat i pro funkce v ce prom nn ch a pro p pad, kdy n kter prom nn mohou vystupovat jako parametry, nap klad pro rovnost h(p; q) = g(p), kde slo q hraje roli parametru. Je-li funkce f denov na pro p irozen slo n, k me tak, e f(n) konverguje a p eme f(n) < 1. Jinak k me, e f(n) diverguje. Enumerovatelnost t dy R je d sledkem n sleduj c ho tvrzen 2.6 V ta o norm ln form (Kleene, Turing) Pro ka d p irozen slo k 1 existuje ste n rekursivn funkce k+1 (k+1) prom nn ch takov, e (i)denujeme-li pro ka d p irozen n a p irozen sla n 1 ; : : : ; n k n (n 1 ; : : : ; n k ) = k+1 (n; n 1 ; : : : ; n k ) pak n je ste n rekursivn funkce. (ii) ka d ste n rekursivn funkce k prom nn ch je rovna funkci n n kter p irozen slo n. pro 2.7 k me, e funkce k+1 je univers ln pro t du v ech ste n ch rekursivn ch funkc k prom nn ch a e p irozen slo n je indexem funkce n. Z v ty o norm ln form pro ka d k 1 bezprost edn vypl v enumerovatelnost mno iny v ech ste n ch rekursivn ch funkc k prom nn ch, speci ln mno iny v ech ste n ch rekursivn ch funkc jedn prom nn. 2.8 Probl m zastaven Enumerace mno iny v ech ste n ch rekursivn ch funkc jedn prom nn dovoluje denovat jistou mno inu p irozen ch sel, kter nen rekursivn a na kterou lze redukovat adu probl m rozhodnelnosti. 2.9 V ta Mno ina 4

K = fnj n (n) < 1g nen rekursivn. D kaz v ty se prov d diagonalizac. Kdyby K byla rekursivn mno ina, potom funkce g denovan p edpisem g(n) = ( n (n) + 1 je-li n 2 K 0 jinak by byla (tot ln ) rekursivn funkce, kter by byla r zn ode v ech funkc n ; n 2 N: To by bylo ve sporu s v tou o norm ln form, mno ina K tedy nen rekursivn. 2.10 Zb v je t vysv tlit jak m mno ina K vztah k zastaven. Turing sestrojil rekursivn predik t T (n; m; p), kter charakterisuje v po ty univers ln ho Turingova stroje. Pro libovoln p irozen sla n; m je hodnota n (m) je denov na pr v kdy existuje p irozen slo p takov e plat T (n; m; p). slo p koduje protokol v po tu a hodnotu n (m) z n j lze vypo tat. Pokud takov p neexistuje (\Turing v stroj se nezastav "), hodnota n (m) nen denov na. Proto je mo no mno inu K ekvivalentn vyj d it n sleduj c m zp sobem K = fn j 9 p T (n; n; p)g a K sest v ze v ech sel n, pro kter se v po et hodnoty n (n) univers ln m Turingov m strojem zastav. 3 Nerozhodnelnost predik tov logiky Nyn uk eme, e probl m rozhodnelnosti predik tov logiky I. du lze redukovat na nerozhodnelnost probl mu zastaven. 3.1 V ta (Church) Nech L je spo etn jazyk prvn ho du, kter obsahuje dostate n mnoho speci ln ch symbol. Jin mi slovy, p edpokl d me, e L obsahuje alespo jednu konstantu a alespo jeden funk n symbol etnosti n 1. pro ka d p irozen slo n jazyk L obsahuje spo etn mnoho predik tov ch symbol etnosti n a ne v ce. Potom mno ina fa j A je uzav en formule jazyka L a j= Ag (1) 5

v ech logicky pravdiv ch sentenc jazyka L nen rozhodneln. V takov m p pad k me, e predik tov logika s jazykem L je nerozhodneln. N znak d kazu. Ke ka d mu p irozen mu slu n p i ad me uzav enou formuli A n takovou, e j= A n pr v kdy n 2 K (2) Potom ka d algoritmick procedura, kter by rozhodovala o prvc ch mno iny (1) by rozhodovala i o prvc ch mno iny K, kter podle V ty 2.9 nen rekusivn. Mno ina (1) tedy nen rozhodneln. Zb v sestrojit uzav en formule A n, pro kter by platilo (1). Mno ina K byla sestrojena diagonalizac enumerace v ech ste n ch rekursivn ch funkc jedn prom nn. Z v ty o norm ln form v me, e enumerace je d na jedinou ste nou rekursivn funkc 2 dvou prom nn ch. K sestrojen formul A n vyu ijeme logick ch program pro rekursivn funkce (viz [7]) v dan m jazyce L. Numer ly k dujeme termy 0; 1; 2; : : : ; n; n + 1; : : : c; f(c); f(f(c)); : : : ; f n (c); f n+1 (c); : : : pokud c je n jak konstanta a f je n jak un rn funk n symbol jazyka L. Pokud L neobsahuje un rn funk n symbol, kodujeme numer ly nap klad pomoc term c; f(c; : : : ; c); f(c; : : : ; c; f(c; : : : ; c; )); : : : V jazyce L je mo n sestrojit logick program P, takov, e pro jist predik t p a p irozen sla n; m; r plat 2 (n; m) = r pr v kdy existuje SLD-zam tn pro P [ f p (n; m; r)g (3) Plat -li (3), k me, e program P po t funkci 2. Nyn pro libovoln n dost v me nk pr v kdy 9r ( 2 (n; n) = r) pr v kdy existuje SLD zam tn pro P [f pr v kdy P j= 9r p (n; n; r) pr v kdy j= P! 9r p (n; n; r) p (n; n; r)g kde v posledn implikaci ch peme P jako konjunkci v ech klauzul programu P. Ozna me-li nyn to implikaci A n, uk zali jsme, e plat (2). V ta 3.1 je dok z na. 6

3.2 Podrobn j m rozborem konstrukce programu P z d kazu p edchoz v ty bychom zjistili, jak po adavky na jazyk L jsou pro tento d kaz nerozhodnelnosti posta uj c. P i konstrukci logick ho programu pro v po et Turingova predik tu jsme pou ili jen kone n mnoho predik tov ch symbol. Konstrukce programu P nepou v predik t rovnosti. Dal podstatnou redukc je mo n z skat nap klad tento v sledek. 3.3 V ta Je-li L jazyk prvn ho du bez rovnosti, kter obsahuje alespo dva bin rn predik ty, potom predik tov logika s t mto jazykem je nerozhodneln. 4 Aritmetizovatelnost form ln ch syst m Rekursivn funkce dovoluj efektivn k dovat syntaktick v razy, termy, formule a posloupnosti formul libovoln ho jazyka prvn ho du L pomoc p irozen ch sel. Pokud je T teorie s jazykem L a mno ina (k d ) axiom teorie je rekursivn, je mo n efektivn k dovat tak d kazy prov d n v teorii T. K dov n et zc znak m dv str nky. Je t eba d t p edpis, kter m se k dy generuj a potom je t eba ov it, e takov p edpis popisuje vy slitelnou, tedy rekursivn funkci. Omez me se zde jen na prvn str nku probl mu. Ov en, e k dujeme pomoc rekursivn ch funkc ponech me na ten i, kter je sezn men se z klady teorie rekurse. Ostatn ten i mohou tento fakt p ijmo bez d kazu. 4.1 D len se zbytkem denuje dv bin rn (primitivn ) rekursivn funkce q a r denovan n sledovn q(x; y) = minz x[(y(z + 1) > x)] r(x; y) = x (y q(x; y)) kde u v = u v pokud u v a jinak u v = 0: Je-li b 6= 0 potom q(a; b) je celo seln pod l a r(a; b) je zbytek p i d leln sla a slem b. 4.2 Mno ina prvo sel se d podle velikosti uspo dat do posloupnosti p 0 ; p 1 ; p 2 ; : : : kde p 0 = 2; p 1 = 3; p 2 = 5; : : : a p n je n-t prvo slo. Podle Eukleidova d kazu existence nekone n mnoha prvo sel je p i+1 p i! + 1 proto m eme denovat posloupnost (funkci) p i takto p 0 = 2 p i+1 = min y (p i! + 1)f(y > p i ) & 8z < y[(z 1) _ (r(y; z) > 0)]g 7

D se uk zat, e p i je (primitivn ) rekursivn funkce prom nn i. Polo me-li (z) x = min y < z(r(z; (p x ) y+1 ) > 0) pak pro z > 0 je (z) x nejv t y takov, e (p x ) y je d litelem sla z. Plat tak (0) x = 0, ale nebudeme to pot ebovat. k me, e (z) x je x-t exponent v prvo seln m rozvoji sla z. 4.3 K dov n kone n ch posloupnost sel Chceme vz jemn jednozna n k dovat kone n posloupnosti pomoc p irozen ch sel. (n 0 ; n 1 : : : ; n k ) K tomu m eme pou t posloupnosti prvo sel 2; 3; 5; 7; 11; 13; : : : kterou enumeruje jist rekursivn funkce p. Pro libovoln i budeme i-t prvo slo ozna ovat p i m sto p(i). Nyn m eme denovat (i) hn 0 ; n 1 : : : ; n k i = p n 0+1 0 p n 1 +1 1 : : : p n k +1 k pro k 0 hi = 1 (ii) i (n) = (n) i 1 kde (n) i je i-t exponent sla n (iii) Seq(a) $ a = hb 0 ; : : : ; b n i pro n jak ~ b 4.4 Lemma (i) hn 0 ; n 1 ; : : : ; n k i = hm 0 ; m 1 ; : : : ; m l i pr v kdy k = l a n i = m i pro ka d i k (ii) lh(hn 0 ; : : : ; n k i) = k + 1 lh(hi) = 0 kde lh(n) = k +1, jestli e k je index u nejv t ho prvo sla s nenulov m exponentem sla n. lh(n) = 0, jestli e n = 0 nebo n = 1 (iii) (iv) (v) i (hn 0 ; : : : ; n k i) = n i pro i k Pro ka d k je hn 0 ; : : : ; n k i je rekursivn funkce i (n) rekursivn v prom nn ch i; n (vi) Seq(n) je rekursivn predik t 8

D kaz (vi) Seq(n) $ 8x < lh(n)((n) x 6= 0 _ n = 1) 4.5 V ta Existuje rekursivn funkce? takov, e hn 0 ; : : : ; n k i? hm 0 ; : : : ; m l i = hn 0 ; : : : ; n k ; m 0 ; : : : ; m l i D kaz Sta polo it a? b = a i=lh(b) 1 Y i=0 p (b) i lh(a)+i Potom dokazovan rovnost plat a tak a? hi = a = hi? a 4.6 Jazyk aritmetiky (i) Jazyk aritmetiky I. du m tyto symboly x 0 ; x 1 ; x 2 ; : : : prom nn :;!; 8; = logick symboly (; ) z vorky 0; S; +; funk n symboly (ii) T da term T je denov na takto 0 2 T x i 2 T (1) Je-li t 1 ; t 2 2 T potom tak St 1 2 T (t 1 + t 2 ) 2 T (2) (t 1 t 2 ) 2 T (iii) T da formul F je denov na takto je-li t 1 ; t 2 2 T ; potom t 1 = t 2 2 F (3) je-li t 1 ; t 2 2 T ; potom t 1 t 2 2 F je-li A; B 2 F; potom :A 2 F (A! B) 2 F (4) 8x i A 2 F P ipome me, e v razy 9

jsou zkratky za formule A _ B; A & B; A $ B a 9x A :A! B; :(A! :B); ((A! B) & (B! A)) a :8x :A Nyn se budeme v novat teori m, jejich jazyk je toto n s jazykem aritmetiky nebo je jeho roz en m. L = f0; S; +; ; g Pro k dov n syntaktick ch objekt jazyk prvn ho du se pou v r zn ch metod. V t ina z nich pou v relace d litelnosti na mno in p irozen ch sel a jednozna nost k d je zaru ena jednozna nost prvo seln ch rozvoj p irozen ch sel. Uvedeme zde jednu z nich. 4.7 K dov n term a formul Nejprve p i ad me ka d mu symbolu s jazyka aritmetiky ur it slo (s) a potom budeme p i azovat k dy term m a formul m. Jazyk aritmetiky obsahuje nekone n mnoho prom nn ch, t m p i ad me po ad sud sla, polo me (x i ) = 2i pro ka d p irozen i. Speci ln m symbol m p i ad me lich sla nap klad (0) = 1 (S) = 3 (+) = 5 () = 7 (=) = 9 () = 11 a logick m symbol m dal dosud nepou it lich sla (:) = 13 (!) = 15 (8) = 17 Jako k dy dal ch symbol p padn ho roz en jazyka aritmetiky mohou slou it v echna zb vaj c lich sla. (i) Nyn ka d mu termu t p i ad me p irozen slo ]t n sleduj c m p edpisem. Je-li t prom nn x i pro n jak p irozen i, potom ]t = h(x i )i = h2ii (1) Jsou-li r a s termy, p i ad me ] 0 = h1i ] Sr = h(s); ] ri (2) ] (r + s) = h(+); ]r; ]si ](r s) = h(); ]r; ]si (3) 10

Libovoln formuli A p i ad me p irozen slo ]A n sleduj c m zp sobem Jsou-li r a s termy, B a C formule, potom ] (r = s) = h(=); ]r; ]si ](r s) = h(); ]r; ]si (4) ]:B = h(:); ]B; i ](B! C) = h(!); ]B; ]Ci (5) ](8x i B) = h(8); h2ii; ]Bi pro i = 0; 1; 2; : : : (6) Ozna me-li T (x) charakteristickou funkci mno iny k d v ech term, potom plat T (x) $ (x = h1i) _ 9u < x(x = h2ui) 9u < x9v < x[t (u) & T (v) & & f(x = h(s); ui) _ (x = h(+); u; vi) _ (x = h(); u; vig] D se uk zat, e T (x) je (primitivn ) rekursivn predik t. Podobn se d uk zat, e existuje rekursivn funkce F (x), kter je charakteristickou funkc mno iny fxjx = ](A) a A je formule jazyka aritmetikyg V dal m budeme pou vat k dy instanc formul, pot ebujeme tedy rozpozn vat z k du formule jej voln prom nn a tak sestrojit k d jej instance, kter vznikne dosazen m termu za jej voln prom nn. 4.8 Prom nn, termy a formule (i) Polo me-li V ar(x) $ x = h(x) 0 i & 9y x((x) 0 = 2:y) potom V ar je rekursivn predik t a V ar(x) plat, pr v kdy x se rovn k du n jak prom nn x y : (ii) Denujeme funkci sub(x; y; z) takovou, e pro libovoln term t; formuli A a term s plat Polo me sub(x; y; z) = sub(]t; ]y; ]s) = ](t y [s]) 8 >< >: sub(]a; ]y; ]s) = ]A y [s] z je-li V ar(y) & x = y h(x) 0 ; sub((x) 1 ; y; z)i je-li lh(x) = 2 h(x) 0 ; sub((x) 1 ; y; z); sub((x) 2 ; y; z)i je-li lh(x) = 3 & (x) 0 6= (8) h(x) 0 ; (x) 1 ; sub((x) 2 ; y; z)i je-li x = h(8); (x) 1 ; (x) 2 i & (x) 1 6= y x jinak 11

Z p edchoz denice plyne, e sub(x; y; z) je rekursivn funkce. Podobn m postupem bychom mohli denovat rekursivn funkci Sub(x; ~y; ~z); kter generuje k d termu nebo formule, do kter byly substituov ny termy s k dy z 1 ; z 2 ; : : : ; z k za prom nn s k dy y 1 ; y 2 ; : : : ; y k. Predik t Fvar(x, y) takov, e pro libovolnou formuli A a prom nnou x plat F var(]a; ]x) pr v kdy prom nn x m voln v skyt ve formuli A lze denovat takto F var(x; y) $ f[x = y & V ar(x)] _ [F var((x) 1 ; y) & lh(x) = 2] [(lh(x) = 3 & (x) 0 6= (8)) & (F var((x) 1 ; y)_f var((x) 2 ; y))] _[F var((x) 2 ; y) & (x) 1 6= y]g Nyn by bylo mo n denovat predik t Sbtl(x; y; z) takov, e pro libovolnou formuli A, term t a prom nnou x plat Sbtl(]A; ]x; ]t); pr v kdy t je term substituovateln do A za prom nnou x. 4.9 K dy numer l a instanc (i) Denujeme-li pro libovoln p irozen slo n funkci num p edpisem potom num(n) = ]n (7) num(0) = h1i num(n + 1) = h(s); num(n)i a z denice (7) plyne, e num je rekursivn funkce. Podle 4.8 pro libovoln p irozen slo n; prom nnou y; term t; a formuli A plat sub(]t; ]y; num(n)) = ]t y [n] sub(]a; ]y; num(n)) = ]A y [n] 5 Representovatelnost Uva ujeme relace a funkce na mno in p irozen ch sel N standardn ho modelu aritmetiky. Je-li R k- rn relace a n 1 ; n 2 ; : : : ; n k jsou p irozen sla, p eme R(n 1 ; n 2 ; : : : ; n k ) m sto (n 1 ; n 2 ; : : : ; n k ) 2 R. P eme tak A(n 1 ; n 2 ; : : : ; n k ) m sto instance A [n x 1;x2;:::;xk 1; n 2 ; : : : ; n k ]: Chceme-li zd raznit v echny nebo jen n kter voln prom nn formule A; p eme A(x 1 ; x 2 ; : : : ; x k ) m sto A: 5.1 Denice Nech T je teorie prvn ho du s jazykem aritmetiky L. (i) k me, e k- rn relace R N k je representovateln v teorii T, jestli e existuje formule A v jazyce L s voln mi prom nn mi x 1 ; x 2 ; : : : ; x k takov, e pro libovoln n 1 ; n 2 ; : : : ; n k 2 N plat 12

je-li R(n 1 ; n 2 ; : : : ; n k ) potom T ` A(n 1 ; n 2 ; : : : ; n k ) je-li :R(n 1 ; n 2 ; : : : ; n k ) potom T ` :A(n 1 ; n 2 ; : : : ; n k ) k me, e formule A representuje relaci R v teorii T. (ii) k me, e ( ste n ) k- rn funkce f; y = f(x 1 ; x 2 ; : : : ; x k ) je representovateln v teorii T, jestli e existuje formule A v jazyce L s voln mi prom nn mi x 1 ; x 2 ; : : : ; x k ; y takov, e pro libovoln n 1 ; n 2 ; : : : ; n k 2 N plat T ` A(n 1 ; n 2 ; : : : ; n k ; y) $ y = n k+1 kde n k+1 = f(n 1 ; n 2 ; : : : ; n k ): k me, e formule A representuje funkci f v teorii T. N sleduj c lemma uv d me bez d kazu. 5.2 Lemma (i) Jsou-li T a S teorie takov, e T S T h(n) 2, potom v echny relace a funkce, kter jsou representovateln v T, jsou tak representovateln v S. (ii) Ve sporn teorii jsou representovateln v echny relace a funkce. (iii) Je-li T bezesporn a rekursivn axiomatizovateln 3, potom ka d relace representovateln v T je rekursivn a ka d funkce representovateln v T je ( ste n ) rekursivn. 5.3 Denice Je-li T T h(n) teorie s jazykem aritmetiky a jsou-li v echny rekursivn relace a v echny ste n rekursivn funkce representovateln v T, p eme Repr T. 5.4 Robinsonova aritmetika je teorie prvn ho du s jazykem aritmetiky a n sleduj c mi osmi axiomy Q1 S(x) 6= 0 Q6 x 0 = 0 Q2 S(x) = S(y)! x = y Q7 x S(y) = (x y) + x Q3 x 6= 0! 9y(x = S(y)) Q8 x y $ 9z(z + x = y) Q4 x + 0 = x Q5 x + S(y) = S(x + y) 2 viz 5.6 3 viz 7.1 13

To teorii naz v me Robinsonova aritmetika a budeme ji ozna ovat Q. Teorie Q m kone n mnoho axiom, zavedeme je t dv aritmetiky s nekone n m po tem axiom. 5.5 Peanova aritmetika je teorie prvn ho du s jazykem aritmetiky. M axiomy Q1, Q2, Q4 - Q8 a nekone n mnoho axiom, kter specikuje n sleduj c Schema indukce: Pro ka dou formuli A a prom nou x je n sleduj c formule axiomem indukce A x [0]! f8x(a! A x [S(x)])! 8xAg To teorii naz v me Peanova aritmetika a budeme ji ozna ovat P. D se uk zat, e axiom Q3 je v n dokazateln. Peanova aritmetika je tedy roz en m Robinsonovy aritmetiky Q. 5.6 pln aritmetika T h(n) je teorie v jazyku aritmetiky, jej axiomy jsou v echny sentence pravdiv ve standardn m modelu aritmetiky N, tedy T h(n) = faja je uzav en formule a N j= Ag Proto e v echy axiomy Peanovy aritmetiky jsou spln ny ve standardn m modelu N, jejich uz v ry jsou pravdiv v N a jsou prvky mno iny T h(n). pln aritmetika je tedy roz i en m P. N sleduj c v ty uv d me bez d kazu. 5.7 V ta (i) Repr Q (ii) Repr P (iii) Repr T h(n) 5.8 Nejt je dok zat representovatelnost rekursivn ch relac a funkc v nejslab z t chto t aritmetik v Robinsonov aritmetice Q. Zb vaj c tvrzen pak plynou z Lemmatu 5.2. 5.9 Lemma o diagonalisaci Nech T je teorie takov, e plat Repr T. Pro ka dou formuli A s jednou volnou prom nnou x existuje sentence D A takov, e plat T ` D A $ A x []D A ] Sentence D A k \m m vlastnost A". D kaz. Budeme diagonalizovat mno inu v ech formul s jednou volnou prom nnou v 1. Nech v dal m ozna uje B(v 1 ) pop pad jen B formuli s jednou volnou prom nnou. Denujme funkci F : N 2! N p edpisem 14

F (n; m) = ( ]B(m) je-li n = ]B 0 jinak F je rekursivn funkce a pro libovolnou formuli B s jednou volnou prom nnou plat F (]B; m) = ]B(m) = sub(]b; ]v 1 ; num(m)) Z representovatelnosti F v T plyne existence formule C(v 1 ; v 2 ; v 3 ), kter representuje funkci F v T. Pro libovolnou formuli A s jednou volnou prom nnou polo me D(x) 8z(C(x; x; z)! A(z)) D A 8z(C(]D; ]D; z)! A(z)) Proto e D m jednu prom nnou volnou a D A je tvaru D(]D), dost v me Nyn zb v dok zat F (]D; ]D) = ]D A (1) T ` D A $ A(]D A ) K d kazu ekvivalence pou ijeme toho, e formule C representuje funkci F. Proto podle (1) T ` C(]D; ]D; z) $ z = ]D A (2) P itom podle v t o rovnosti plat ` A(]D A ) $ 8z(z = ]D A! A(z)) odtud s pou it m (2) a v ty o ekvivalenci dost v me T ` A(]D A ) $ 8z(C(]D; ]D; z)! A(z)) Na prav stran ekvivalence je formule D A. T m je v ta dok z na. 15

6 Nedenovatelnost pravdy v aritmetice Budeme nyn zkoumat s mantiku form ln ch syst m, kter se zdaj dosti siln, aby mohly sv mi prost edky vyjad ovat tvrzen o pravdivosti i nepravdivosti sv ch tvrzen. Je-li T teorie s jazykem aritmetiky, uva ujeme mno inu v ech sentenc pravdiv ch ve v ech modelech teorie T, tedy mno inu T h(t ) = faja je sentence a T j= Ag (1) Abychom mohli ci, e pojem pravdy v teorii T je denovateln v teorii T sam, je t eba uk zat, e mno ina (1) je representovateln v teorii T. 6.1 V ta (A. Tarski) (i) Nech T je bezesporn roz en Robinsonovy aritmetiky Q, pro kter plat Repr(T ). Je-li mno ina T h(t ) v ech pravdiv ch sentenc teorie T representovateln v T, pak existuje sentence D jazyka teorie T takov, e ani D ani :D nen prvkem mno iny T h(t ). (ii) T h(n) nen representovateln v T h(n). K d kazu v ty pou ijeme n sleduj c tvrzen. 6.2 Lemma Nech T je bezesporn roz en aritmetiky Q; Je-li mno ina v ech pravdiv ch sentenc teorie T representovateln v T, potom existuje sentence D takov, e ani D ani :D nen dokazateln v T. D kaz. P edpokl dejme, e mno ina (1) je representovateln v T a e formule T rue(x 0 ) to mno inu representuje. Potom pro ka dou sentenci A plat T ` T rue(]a) pr v kdy T j= A Podle v ty o plnosti m eme na prav stran nahradit s mantick symbol pro spl ov n j= symbolem ` pro dokazatelnost. Polo me-li F alse(x 0 ) :T rue(x 0 ), pak podle lemmatu o diagonalizaci 5.9 existuje sentence D takov, e T ` D $ F alse(]d) (2) Sentence D k \j nejsem pravdiv ". Budeme-li nyn postupovat podobn jako p i rozboru paradoxu lh e dok eme, e ani D ani :D nem e b t v tou teorie T. 16

Je-li T ` D potom T ` F alse(]d): Z denice predik tu False pak T =`D ve sporu s p edpokladem o dokazatelnosti D: Sentence D tedy nen v tou. Je-li naopak T ` :D potom podle (2) je T ` T rue(]d) a tedy T ` D; odkud by plynula spornost teorie T. Proto ani :D nen v tou teorie T. T m je lemma dok z na. D kaz V ty 6.1 Tvrzen (i) vypl v p edchoz ho lemmatu a faktu, e podle V ty o plnosti predik tov logiky plat T ` D pr v kdy T j= D: Teorie T tedy nen pln. Tvrzen (ii) plyne z (i) a faktu, e T h(n) je pln teorie. 6.3 Tarsk ho V ta o nedenovatelnosti pravdy m velk v znam pro studium s mantiky. Tvrzen (ii) ukazuje, e dostate n siln form ln syst m nem e sou- asn spl ovat n sleduj c dva po adavky. (i) T je pln, to znamen, e ka d sentence je bu pravdiv nebo nepravdiv v T: (ii) Pravdu, tedy predik t T rue(x) lze vyj d it v T. Zn m paradox lh e je zalo en na p edpokladu, e oba po adavky (i) a (ii) jsou spln ny v b n m ivot. Tarsk ho v tu lze stru n vyj d it tvrzen m \nen mo n denovat pravdu pro aritmetiku uvnit aritmetiky ". 7 G delovy v ty Je-li T teorie s jazykem aritmetiky, uk zali jsme jak se k duj termy a formule jazyka aritmetiky a m eme denovat mno inu T hm T k d v t teorie T n sledovn T hm T = f]a j A je formule a T ` Ag (1) Nyn m eme precisovat pojem rozhodnelnosti, kter jsme v intuitivn m zp sobem zavedli v prvn m paragrafu t to kapitoly. Teorie T je rozhodneln, pr v kdy (1) je rekursivn mno ina. Abychom pro konkr tn teorii T dok zali, e je rozhodneln, pot ebujeme algoritmy, kter dovoluj rozpozn vat k dy axiom teorie T rozpozn vat k dy axiom predik tov logiky rozpozn vat k dy d kaz teorie T 17

Nazna me jak toho lze dos hno. Budeme pracovat s jazykem aritmetiky, ale metoda k dov n je obecn. Nejprve budeme charakterizovat mno inu axiom a odvozovac pravidla predik tov logiky. 7.1 K dy axiom a odvozovac ch pravidel predik tov logiky Denujeme-li predik t Avl(x) p edpisem Avl(x) $ 9u < x9v < x9w < xff (u) & F (v) & F (w) & & f[x = h(!); u; h(!); v; uii]_ Prvn hranat z vorka popisuje v rokov axiomy tvaru (A! (B! A)) _[ ] _ [ ]gg kde u = ]A a v = ]B. Charakterizaci zb vaj c ch dvou typ axiom v rokov logiky nen t k doplnit. Podobn lze pomoc predik t Sub(x; y; z); Sbtl(x; y; z) a F var(x; y) z odstavce 4.8 charakterizovat oba typy axiom pro univers ln kvantik tor a axiomy rovnosti. T mto postupem bychom denovali predik t Apl(x), charakterizuj c mno inu v ech k d axiom predik tov logiky. Pokud bychom postupovali rozumn, dalo by se uk zat, e je to rekursivn predik t. V obecn m p pad m e b t mno ina axiom teorie T d na jako zcela libovoln podmno ina mno iny v ech formul. Proto Ax T = f]a j A 2 T g nemus b t rekursivn mno ina. V p pad, e je rekursivn k me, e teorie T je rekursivn axiomatizovan. M -li teorie jen kone n mnoho axiom, pak je rekursivn axiomatizovan. To je p pad Robinsonovy aritmetiky Q: D se uk zat, e schema indukce Peanovy aritmetiky m rekursivn mno inu k d, tak e Peanova aritmetika je tak rekursivn axiomatizovan. Na druh stran uk eme, e mno ina k d axiom T h(n) nen rekursivn. To znamen, e T h(n) nen rekursivn axiomatizovan. P i charakterizac k d d kaz pot ebujeme denovat predik ty, kter charakterizuj odvozov n podle pravidel Modus ponens a Pravidla generalizace. Polo me-li Mp(x; y; z) $ (F (x) & F (z) & y = h(!); x; zi) pak Mp(x; y; z) plat pr v kdy formule s k dem z je odvozena z formul s k dy x a y pravidlem Modus ponens. Podobn denujeme-li predik t Gen(x; y) denovan p edpisem 18

Gen(x; y) $ (F (x) & 9i < y(y = h(8); h2ii; xi)) potom Gen(x; y) plat pr v kdy y je k d formule, kter byla odvozena pravidlem generalizace z fomule s k dem x. D se uk zat, e oba predik ty jsou rekursivn. 7.2 K dov n d kaz N sleduj c vahu lze prov st pro rekursivn axiomatizovan teorie s obecn m jazykem, ne nn s jazykem aritmetiky. Formule a d kazy takov teorie lze k dovat metodou popsanou v odstavc ch 4.6 a 7.1 pro speci ln p pad jazyka aritmetiky. Nech T je rekursivn axiomatizovan teorie. V d kazech v t teorie T vystupuj jednak axiomy predik tov logiky, jednak speci ln axiomy teorie T. Polo me-li Ax(x) $ (Apl(x) _ Ax T (x)) pak Ax je rekursivn predik t, kter charakterizuje mno inu v ech formul, kter mohou v d kazech v t teorie T vystupovat jako axiomy. Predik t P roof T ; takov, e P roof T (x; y) plat pr v kdy slo x je k dem d kazu formule s k dem y lze denovat takto P roof T (x; y) $ fseq(x) & lh(x) > 0 & y = (x) lh(x) 1 & 8i < lh(x)[ax((x) i ) _ 9j < i 9k < i (Mp((x) j ; (x) k ; (x) i ))_ 9j < i (Gen((x) j ; (x) i ))]g Potom P roof T je rekursivn predik t a P roof T (d; ]A) plat pr v kdy d je k dem d kazu formule A. M eme nyn denovat T hm T (x) $ 9dP roof T (d; x) proto e na prav stran je neomezen kvantik tor, nem eme ci, e predik t T hm T je rekursivn. Z v sledk teorie rekurse v ak plyne, e neomezenou existen n kvantikac dost v me z rekursivn ho predik tu rekursivn spo etn predik t. Mno ina (1) je tedy rekursivn spo etn. Odtud plyne n sleduj c tvrzen. 7.3 V ta Je-li T rekursivn axiomatisovan teorie, potom mno ina T hm T k d v t teorie T je rekursivn spo etn. 7.4 V ta o nerozhodnelnosti aritmetiky (Church 1936) Je-li T bezesporn roz en Robinsonovy aritmetiky, Q; potom T je nerozhodneln teorie. D kaz. Kdyby T byla rozhodneln teorie, pak existuje formule A(x) s jednou volnou prom nnou x, representuj c v Q mno inu v ech v t teorie T. To znamen, e pro libovolnou sentenci B plat 19

potom T ` B implikuje Q ` A(]B) T =`B implikuje Q ` :A(]B) Nech D je diagon ln sentence pro formuli :A(x), tedy nech Q ` D $ :A(]D) M eme ci, e formule D o sob tvrd "j nejsem v ta teorie T ". Uva ujme n sleduj c dva p pady. (i) Je-li odkud dost v me a tak T ` D; Q ` A(]D); Q ` :D T ` :D: proto e T je roz en m Q: To proti e bezespornosti T: potom Odtud a tak (ii) Podobn, je-li T =` D Q ` :A(]D): Q ` D T ` D; a to je ve sporu s p edpokladem o nedokazatelnosti formule D v T. Teorie T tedy nen rozhodneln. 7.5 Lemma Je-li T pln a rekursivn axiomatizovan teorie, potom T je rozhodneln teorie. D kaz. plnost teorie se vztahuje k uzav en m formul m (sentenc m). Bude proto u ite n k dan mu k du formule sestrojit k d formule, kter je ekvivalentn s jej m uz v rem. Denujme funkci F n sleduj c m zp sobem 20

F (0; a) = a F (n + 1; a) = h(8); ]x n ; F (n; a)i a funkci U p edpisem U(a) = F (a + 1; a) Je-li a k d formule A, potom U(a) = ](8x a 8x a 1 : : : 8x 0 A) P itom, je-li x i prom nn, kter m voln v skyt v A; plat i ]x i < ]A = a; tedy 8x a 8x a 1 : : : 8x 0 A je uzav en formule. Z plnosti teorie T plyne pro ka dou uzav enou formuli A :T hm T (]A) $ T hm T (h(:); ]Ai) Pro libovoln p irozen slo a dost v me :T hm T (a) $ :F or(a) _ T hm T (h(:); U(a)i) $ 9d(:F or(a) _ P roof T (d; h(:); U(a)i)) kde F or(a) znamen, e slo a je kodem formule. Prav strana ekvivalence ukazuje, e :T hm T je rekursivn spo etn predik t. Proto e T hm T je tak rekursivn spo etn, podle Postovy v ty je T hm T rekursivn predik t a T je rozhodneln teorie. 7.6 V ta o ne plnosti aritmetiky (G del, Rosser) Je-li T rekursivn axiomatizovan roz en Robinsonovy aritmetiky, pak T nen pln teorie. D kaz. Kdyby T byla pln, pak je podle lemmatu 7.5 rozhodneln, a to odporuje tvrzen V ty 7.4. Teorie T nen pln. 7.7 Ozna en Je-li T bezesporn, rekursivn axiomatizovan roz en Peanovy aritmetiky P a A je formule, p eme A jako zkratku za formuli T hm T (]A) Con T jako zkratku za formuli : 0 = 1 7.8 Druh v ta o ne plnosti (G del 1931) Nech T je bezesporn, rekursivn axiomatizovateln roz en Peanov aritmetiky. Potom T =` Con T 21

D kaz pou v v t 7.10 a 7.12. Zat m uvedeme d sledek, kter se t k teorie mno in. ZF C ozna uje teorii mno in s axiomem v b ru v axiomatice podle Zermela a Fraenkela. Podrobn v klad t to teorie mno in a jej axiomatiky je mo n naj t v monograi [1]. 7.9 D sledek Je-li ZF C bezesporn teorie, potom ZF C =` Con ZF C. N sleduj c t i tvrzen se naz vaj L bovy podm nky. Jsou elegantn j vers Hilbertov ch a Bernaysov ch podm nek na formalisaci d kaz v aritmetice. 7.10 V ta Je-li T bezesporn, rekursivn axiomatizovan roz en Peanovy aritmetiky, potom plat (L1) (L2) (L3) T ` (A! B)! (A! B) T ` A! A T ` A implikuje T ` A D kaz je proveden v 7.15 a 7.19. 7.11 Princip reexe Pro dokazateln formule Peanovy aritmetiky z v ty o korektnosti plyne P ` A implikuje N j= A Formalizujeme-li toto tvrzen v Peanov aritmetice dost v me tak zvan princip reexe pro formuli A. P ` A! A N sleduj c v ta ukazuje, e princip reexe v P lze dok zat jen pro v ty Peanovy aritmetiky a e obdobn tvrzen plat pro rekursivn axiomatizovan roz en Peanovy aritmetiky. 7.12 V ta (L b 1955) Nech T je rekursivn axiomatizovan roz en Peanovy aritmetiky, nech A je sentence, potom plat T ` A! A pr v kdy T ` A 22

D kaz a) Je-li T ` A, pak odtud lze odvodit T ` A! A podle pravidla Modus ponens za pomoci prvn ho schematu axiom v rokov logiky. b) Je-li T ` A! A (2) pou ijeme diagonaliza n lemma 5.9 na formuli T hm T (x)! A. Nech B je sentence takov, e T ` B $ (B! A) (3) D kaz T ` A rozd l me na dv sti. Nejprve dok eme T; B ` A a potom vylou me p edpoklad B. T; B ` (B! A) (3), (L1), (L3) (4) T; B ` B! A (L1) (5) Nyn z p epokladu B dost v me T; B ` B (L2) (6) T; B ` A (5), (6) (7) T; B ` A (2), (7) (8) T ` B! A v ta o dedukci, (8) (9) T ` B (3), (9) (10) T ` B (L3), (10) (11) T ` A (9), (11) T m je v ta dok z na. 7.13 D kaz druh G delovy v ty o ne plnosti Kdyby T ` Con T potom tak 23

T ` :(0 = 1) T ` (0 = 1)! (0 = 1) T ` (0 = 1) taologick d sledek L bova v ta To je ve sporu s p edpokladem bezespornosti T. T m je v ta dok z na. 7.14 D sledek Existuje model M Peanovy aritmetiky takov, e plat M j= 9dP roof(d; ](0 = 1)) (12) D kaz. Podle druh G delovy v ty o ne plnosti P =`Con P tedy sentence (0 = 1) je bezesporn. Existuje tedy model Peanovy aritmetiky, ve kter m je tato sentence pravdiv. Tento model je nestandardn, proto e ve standardn m modelu N nen pravdiv sentence (12). P irozen slo m 2 M, takov, e M j= P roof P (m; ](0 = 1)) mus b t proto nestandardn. T m je D sledek 7.14 dok z n. P klad (Shepherdson) P edvedeme d kaz nestandardn d lky dokazuj c libovoln zvolenou sentenci A. Tato posloupnost v ak nen k dovateln p irozen m slem v dn m nestandardn m modelu Peanovy aritmetiky, a proto nen v dn m takov m modelu d kazem. Je-li A libovoln sentence nap klad 0 = 1, pak posloupnost A! (A! A); A! (A! A); : : : ; : : : A; A! A; A; A! A; A : : : (13) je p kladem d kazu nestandardn d lky sentence A. Prvn sek d kazu, kter odpov d standardn m p irozen m sl m (numer l m) sest v z nekone n mnoha kopi axiomu v rokov logiky a za n m (po st edn ku) n sleduje sek d kazu sest vaj c z kopi dokazovan sentence A, kter se st d s implikac A! A. P ipome me, e v nestandardn m modelu nem e existovat nejmen nestandardn slo. Jeho p edch dcem by pak bylo nejv t standardn slo, a takov neexistuje. Ka d formule v nestandardn sti d kazu (za st edn kem) m nekone n mnoho nestandardn ch p edch dc, a je proto odvozena pravidlem modus ponens z p edchoz ch formul. Posloupnost (13) je tedy 24

d kazem sentence A, ale d se uk zat, e v dn m modelu Peanovy aritmetiky nen k dov na p irozen m slem, proto e koncov sek d kazu, kter tvo posloupnost formul za st edn kem, je denovateln, ale nem prvn prvek. Uveden p klad nazna uje skal, kter mohou p edstavovat d kazy nestandardn d lky. 7.15 D kaz L bov ch podm nek Podm nku (L1) lze dok zat jako jednoduchou syntaktickou v tu. M eme sestrojit term t(d; d 0 ) takov, e T ` P roof T (d; ](A! B))&P roof T (d 0 ; ]A)! P roof T (t(d; d 0 ); ]B) (14) kde t(d; d 0 ) k duje odvozen podle pravidla modus ponens a je sestrojen takto t(d; d 0 ) = 8 >< >: d d 0 hbi 0 jinak jestli e 9u < d 9 v < d 0 (P roof T (d; u) & P roof T (d 0 ; v) &Mp(u; v; b)) Potom (L1) je bezprost edn m d sledkem (14). 7.16 Denice. Omezen kvantik tory a omezen formule Nech L je jazyk aritmetiky nebo n jak jeho roz en, nech x; y jsou dv r zn prom nn a A je formule. (i) v raz (8x y)a ch peme jako zkratku za formuli 8x(x y! A) a v raz (9x y)a ch peme jako zkratku za formuli 9x(x y & A) k me, e v raz (Qx y), kde symbol Q zastupuje univers ln nebo existen n kvantik tor je omezen univers ln nebo existen n kvantik tor. P i omezen kvantikaci se vedle neostr nerovnosti pou v i nerovnost ostr. (ii) k me, e A je omezen formule, jestli e A je atomick formule A je tvaru :B nebo B! C a B; C jsou omezen formule A je tvaru (8x y)b nebo (8x < y)b a B je omezen formule Jsou-li B; C omezen formule, potom 25

B _ C B & C B $ C jsou tak omezen formule proto e jsou to zkratky za formule, kter se daj z B a C vyj d it pomoc negace a implikace. Podobn (9x y)b je omezen formule, proto e je to zkratka za omezenou formuli :(8x y):b: Tot plat pro (9x < y)b. Mno inu v ech omezen ch formul ozna ujeme 0, ale tak 0 nebo 0, proto e to jsou formule, kter nemaj dn neomezen existen n ani univers ln kvantik tor. 7.17 Denice. 1 formule k me, e A je 1 formule; jestli e A je formule tvaru 9x B; kde B je omezen formule. 1 formule maj jeden neomezen existen n kvantik tor. N sleduj c v tu uv d me bez d kazu. 7.18 V ta. 1 plnost Robinsonovy aritmetiky (i) Je-li A 1 sentence, potom N j= A implikuje Q ` A (ii) Je-li T rekursivn axiomatizovan roz en Peanovy aritmetiky, pak pro libovolnou 1 sentenci D plat T ` D! D P ipome me, e v tomto p pad je D je zkratka za formuli T hm T (]D). 7.19 D kaz podm nek (L2) a (L3) Nech T je rekursivn axiomatizovan roz en Peanovy aritmetiky. Pro libovolnou formuli A je A 1 sentence. Podle tvrzen (ii) v ty 7.18 potom T ` A! A a to je podm nka (L2). K d kazu (L3) si sta uv domit, e T ` A implikuje N j= A podm nka (L3) potom plyne z tvrzen (i) p edchoz v ty. 26

Literatura [1] B. Balcar, P. t p nek, Teorie mno in, ACADEMIA Praha 1986 [2] H. Barendregt, The Incompletness Theorems, Communications of Mathematical Instite, Rijksuniversiteit Utrecht, 4-1976 [3] J. Bell, M. Machover, A Course in Mathematical Logic, North Holland, Amsterdam, New York 1977 [4] H.-D.Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas, Mathematical Logic, 2. vyd n, Springer-Verlag, Heidelberg, Berlin, 1994 [5] P. H jek, V. vejdar, Matematick logika, studijn materi l, Praha, listopad 1994 [6] J. R. Shoeneld, Mathematical Logic, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, MA 1967 [7] J. ebel k, P. t p nek, Horn Clause Programs for Recursive Functions, in: Logic Programming, K.L. Clark, S. A. T rnlund (editor), ACADEMIC PRESS, London 1982, str 325{340. 27