JAK NA ZEBRY? Marta Volfová, garant oboru matematika

JAK NA ZEBRY? Marta Volfová, garant oboru matematika Učitel autoškoly říká adeptovi šoférského umění: Právě jste přejel zebru! Ten sebou trhne a ptá se: Propána, co se jí stalo? Žije? Tak o těchto zebrách řeč nebude. Nebudeme hovořit ani o tom, jak osedlat zebru ze ZOO. Zebrami nazýváme zajímavé logické kombinatorické úlohy, které vyžadují správně k sobě přiřadit prvky několika různých množin na základě několika (zdánlivě nepostačujících) informací. Název zebra dostaly podle úlohy, která asi před 50 lety okouzlila celý svět a která končila otázkou: Kdo chová zebru? (U nás se tato úloha prvně objevila v r. 1964 v časopise, který může mladým matematickým talentům hodně dát, neboť stále vychází a mívá zajímavé články a úlohy, totiž v Rozhledech matematickofyzikálních.) Několik posledních let však tato úloha putuje v různě obměněných verzích po internetu pod názvem Einsteinova úloha (i s informací, že 98 % lidí ji vyřešit neumí). Úloha 1 V ulici cizinecké čtvrti stojí vedle sebe pět domků různých barev. V každém bydlí muž jiné národnosti, v každém se pije jiný oblíbený nápoj, v každém domku je oblíben jiný sport, resp. se nesportuje vůbec a konečně v každém se pěstuje jiný druh zvířat. O domcích a jejich obyvatelích známe tyto informace: A) Angličan bydlí v červeném domku. B) Španěl chová psa. C) Káva se pije v zeleném domku. D) Polák pije vodku. E) Zelený domek stojí vedle domku bílého (z hlediska pozorovatele domků). F) Fotbalista pěstuje hlemýždě. G) Ve žlutém domku bydlí cyklista. H) Mléko se pije v prostředním domku. I) V prvním domku bydlí Nor. J) Nesportovec bydlí vedle domku, v němž je chována liška. K) Domek cyklisty sousedí s domkem, v němž je chován kůň. L) Zápasník pije pomerančovou šťávu. M) Japonec je hokejista. 1

N) Nor bydlí vedle modrého domku. O) V jednom domku se pije voda. P) V jednom domku je chována zebra. Kdo chová zebru a kdo pije vodu? Jestli jste už takové úlohy řešili, můžete ji zkusit bez dalšího čtení řešit. Jestliže ne, začneme úlohou lehčí a ukážeme, jak se takové úlohy řešit dají. Stará a oblíbená je tato úloha 2 (vyskytuje se v přemnoha variantách) Tři známí sedí spolu v kavárně, povídají si a najednou jeden povídá: to je legrace, my máme stejná zaměstnání jako jsou naše jména, ale nikomu se jméno a zaměstnání nekryje! Na to odpoví pekař: To máte pravdu, pane Zahradníku! Jaké zaměstnání měl pan Tesař? Lze řešit usuzováním, kombinováním, někdo řeší tzv. vhledem. Dobré je u podobných úloh užívat tabulku. pekař zahradník tesař pan Pekař pan Zahradník pan Tesař Proškrtneme dvojice, které se vylučují (Pekař pekař atd.), pak i dvojici těch, co spolu hovořili (a nemohou tedy tvořit jednu osobu): pekař Zahradník. Zbyde-li v nějaké řádce či sloupci jen jedna možnost, vyznačíme ji jako správnou a v příslušném sloupci či řádce vyškrtáme zbylé možnosti. Zde ve 2. řádce zbývá jediná možnost pan Zahradník je tesařem tedy tesařem není pan Pekař, proto ve 3. sloupci vyloučíme možnost Pekař tesař a tabulku dokončíme. pekař zahradník tesař pan Pekař pan Zahradník pan Tesař Pan Pekař je tedy zahradníkem a pan Tesař pekařem. Tuto tabulkovou metodu můžeme využít i u složitějších úloh, jak ukážeme dále. Nejdřív ale připomeneme ještě dvě jiné metody řešení Zeber. 2

Úloha 3 Na studiích se sešly tři studentky Kája, Jana a Lenka. Každá dělá jiný sport a pochází z jiného města. Víme o nich, že 1. Jana nedělá balet, 2. Lenka nedělá gymnastiku, 3. gymnastka je z města krajky, 4. ta, co baletí, není z Hradce, 5. Lenka není z Plzně, 6. jedna pěstuje aikido. Můžeme řešit tzv. stromem logických možností např. ke každé dívce připíšeme všechny možnosti prováděného sportu (to je 3. 3 = 9 případů) a ke každému z nich všechna tři města (celkem 27 možností) a pak budeme vyškrtávat podle sdělených informací neslučitelné. Z 1. a 2. však plyne, že u Jany a Lenky přicházejí v úvahu jen dva sporty, z 3., že ke gymnastce přiřadíme jen Vamberk, k baletu by podle 4. patřil Vamberk nebo Plzeň, protože ale Vamberk je přiřazen gymnastce, může být balet spojen jen s Plzní. Pro Lenku přichází v úvahu jen Hradec nebo Vamberk. Tedy Vamberk bude jen u gymnastiky a Plzeň u baletu. Jana gymnastika - Vamberk aikido - Hradec Lenka balet Plzeň (ale podle 5. Lenka z Plzně není) aikido - Hradec Kája balet Plzeň gymnastika - Vamberk aikido Hradec Vidíme, že pro Lenku vychází jen možnost aikido Hradec (škrtneme aikido u druhých děvčat) pak Janě vychází Vamberk a gymnastika a Káje balet a Plzeň. Další metodou, vhodnou pro jednodušší úlohy, je užívat grafického znázornění. Načrtneme trojúhelník (případně i čtyř- nebo pětiúhelník) a na každou jeho stranu vyznačíme prvky jedné z množin (např. lidi, města, pohoří, ). Pak spojíme plnou čarou prvky, které k sobě patří a čárkovaně, které nepatří. 3

Užití ukážeme na úloze 4 Každý ze tří kamarádů (Petr, Karel, Jan) o prázdninách podnikal turistické túry právě v jednom z pohoří Alpy, Tatry, Krkonoše a navštívil právě jedno ze zajímavých měst Hradec Králové, Salzburg, Kežmarok. Určete, kdo byl kde, víte-li, že: - Karel si opět zopakoval svou oblíbenou tatranskou túru na Kriváň. - Ten, kdo jel do Krkonoš, si cestou prohlédl Gočárovo řešení Hradce. - Petr říkal, že v Krkonoších byl už aspoň desetkrát, a jel jinam. - Ten, kdo byl v Tatrách, uvěřil reklamě, že při špatném počasí je nejlepší řešení navštívit půvabné městečko Kežmarok a své návštěvy nelitoval. Načrtneme trojúhelník, na každou stranu napíšeme prvky jedné z množin a vyznačíme plnou čarou podle textu pravdivá spojení, čárkovanou neuskutečněná. Dále: - Karel byl v Tatrách, tedy ne v Krkonoších spojíme Karel Krkonoše přerušovanou čarou. - Krkonoše nejsou spojeny plnou čarou ani s Petrem ani s Karlem musí být s Janem. A protože jsou plnou čarou spojeny s Hradcem, dostáváme 1. řešení trojúhelník Jan Krkonoše Hradec Králové. - Petr nejel do Krkonoš ani do Tater (tam byl Karel), jel tedy do Alp. (Vyznačíme plnou čarou.) - Plzně je spojeno Karel Tatry, Tatry Kežmarok, bude i spojení Karel Kežmarok (2. řešení). - Petr je spojen s Alpami, z měst zbývá jediné, tedy propojíme a máme 3. řešení: trojúhelník Petr Alpy Salzburg. 4

Vždy platí: každý prvek je spojen právě s jedním prvkem z každé další množiny (spojení vyznačíme plnou čarou); s ostatními prvky té množiny již být spojen nemůže (čárkovaná čára). Má-li prvek vyloučeny z nějaké další množiny již všechny prvky až na jeden, musí být spojen s ním. Tato metoda je výhodná jen pro jednodušší úlohy. Pro trochu složitější úlohy si získala oblibu metoda tabulková. Její užití ukážeme na úloze 5 Určete, kdo má jakého psa, víte-li, že Královi nemají boxera, ale mají psa jménem Nero nebo Dick, Staňkovi mají psa, co se jmenuje Nero nebo Filip a není to určitě vlčák, knírač Alan se se Šmídovým Filipem nemá moc rád. Vlčák není Filip ani Argo, boxer má jméno Nero nebo Dick, u Valentů mají vždy krásně ostříhaného pudla, Majerovi nedali psovi jméno Argo. Jeden pes je jezevčík. Připravíme tabulku a podle textu budeme vyznačovat (to, co platí, tečkou, co neplatí, vodorovnou čarou). boxer vlčák jezevčík knírač pudl Alan Nero Dick Argo Filip Královi Staňkovi Šmídovi Majerovi Valentovi Alan Nero Dick Argo Filip - Královi nemají boxera, jejich pes se nejmenuje ani Alan ani Argo ani Filip (protože je Nero nebo Dick), - Staňkovi nemají vlčáka; jejich pes není Alan ani Dick ani Argo, - knírač je Alan; ke dvojici Alan knírač vyškrtáme zbývající část řádku i (dolního) sloupce, protože knírač Alan nemá rád Filipa od Šmídových, tedy Šmídovi nemají knírače, nemají Alana; mají Filipa; ke dvojici Šmídovi Filip vyškrtáme opět zbylé v řádku i sloupci, - Valentovi mají pudla; k dvojici Valentovi pudl vyškrtáme v příslušném řádku i sloupci zbylá okénka, - Majerovi nemají Arga, 5

- uplatníme, že vlčák není Argo a boxer že není Alan ani Argo ani Filip (protože je Nero nebo Dick). (Výsledná podoba tabulky po tomto doplňování informací je na obrázku.) - Nyní ve sloupci Argo zbývá jediné volné políčko Valentovi; k dvojici Valentovi Argo proškrtáme zbylé v řádku i sloupci; Valentovi mají pudla Argo doplníme v dolní tabulce Argo pudl a proškrtáme zbytek sloupce i řádku. - V posledním řádku Filip je teď jediné volné okénko jezevčík ; Filipa mají Šmídovi, tedy mají jezevčíka (vyškrtáme vše k dvojici Filip jezevčík a Šmídovi jezevčík). - V pravé horní tabulce vyznačíme Staňkovi Nero (jediné volné políčko) a proškrtáme sloupec; dále Královi Dick (totéž) a Majerovi Alan (opět táž situace). - Víme tedy, že Majerovi mají Alana a že Alan je knírač; vyznačíme dvojici Majerovi knírač a proškrtáme zbylé v příslušném sloupci i řádku. - Zbývá doplnit, že Královi mají vlčáka; jejich pes se jmenuje Dick; Dick je tedy vlčák. - Uzavřeme posledními dosud volnými políčky: Staňkovi boxer, Nero boxer. Výsledná tabulka sděluje, že Královi mají vlčáka Dicka, Staňkovi boxera Nera, Šmídovi jezevčíka Filipa, Majerovi knírače Alana a Valentovi pudla Arga. Nejsložitější úlohy řešíme úvahou. Pomáháme si tak, že prvky, o nichž již víme, že k sobě patří, skládáme do jakýchsi bloků. Úloha 6 Čtyři manželské páry vyrazily na jarní výlet na české hrady a zámky. Každý pár zvolil jiný dopravní prostředek a jiný cíl. - Užíkovi se jeli podívat na hrad do Litic nad Orlicí. - Jedni manželé jeli vlakem. - Petra byla na zámku Opočno. - Olda se ženou navštívil zámek Doudleby nad Orlicí. - Radka Vlčková na Bezdězu nebyla. - Pan Bárta se nejmenuje Jarda. - Manžel Věry se jmenuje Vili. - Olda nemá příjmení Staněk. - Busem jel Láďa s manželkou. - Jana a její muž vyrazili na kolech. 6

- Bártovi si udělali výlet autem. Budeme řešit úvahou a využijeme schémat (bloků). Vypišme cíle cest a co kolem nich víme a jména, která k sobě patří spolu s dopravními prostředky. Opočno Doudleby Vlčkovi Užíkovi Petra (ne Bezděz) Litice Olda Radka Bártovi Staňkovi Užíkovi ne Jarda Věra Láďa Jana Vili ne Olda bus kolo auto Víme, že Radka Vlčková nebyla na Bezdězi, nebyla ani na zámku Opočno (tam byla Petra) ani v Liticích (tam byli Užíkovi), byla tedy v Doudlebech a to s manželem Oldou. Nejeli autem (tím se dopravovali Bártovi) ani na kolech (tak jela Jana s manželem), ani busem (tím jel Láďa se ženou) tedy využili vlak. Věra a Vili nejeli busem (tím jel Láďa) ani na kole (na tom jela Jana) ani vlakem, jak jsme výše usoudili tedy autem byli to tedy Bártovi; nebyli proto ani v Liticích (tam byli Užíkovi) ani v Doudlebách (Vlčkovi) ani v Opočně (tam byla Petra, ne Věra) byli tedy na Bezdězi. Jana jela na kole, jejím manželem tedy nemůže být Láďa (jel busem) Láďa tedy patří k Petře. Láďa s Petrou byli busem v Opočně, jmenují se Staňkovi a k Janě přiřadíme Jardu a příjmení Užíkovi, byli v Liticích. Závěr: Radka a Olda Vlčkovi byli vlakem v Doudlebách, Věra a Vili Bártovi autem na Bezdězi, Petra a Láďa Staňkovi busem v Opočně a Jana a Jarda Užíkovi zajeli na kolech do Litic. Poslední úloha 7 V ulici stojí vedle sebe pět domků (každý jiné barvy). Zjistěte, v jakém pořadí domky stojí, který muž a žena v nich bydlí, jaké zvíře chovají a jaké vlastní auto, víte-li, že: - Adam bydlí v červeném domku, - Leoš má psa, - Milan bydlí v 1. domku zleva, - Jiřina bydlí ve žlutém domku, - Iveta má sousedy, co chovají rybičky, - Milan bydlí vedle modrého domku, 7

- Berta má kočku, - Eva jezdí v autě Fiat, - Tomáš vlastní auto Seat, - Karel se oženil s Lucií, - sousedi Jiřiny chovají koně, - S Mazdou jsou spokojeni v zeleném domku, - zelený domek je hned nalevo od bílého, - Škodu vlastní v prostředním domku, - někdo vlastní auto Renault, - v jednom domku chovají želvu. Řešení: Nejprve si informace z textu úlohy zaznamenáme do bloků, řešíme postupně úvahou. Dobré je vytvořit si schéma (zde pět domků vedle sebe) a již zjištěná umístění prvků zapisovat na správné místo. 1. 2. 3. červený žlutý modrý zelen ý Adam Le oš pes Mila n Jiřina Iveta Ber ta kůň ryby koč ka Ev a Fia t Tomá š Seat Kare l Luci e bílý Mazd a Škod a Uvažujeme a doplňujeme do schématu: 1) Kolikátý je zelený domek? ne 1. to by vedle něj byl modrý ale má být bílý. ne 2. ten je modrý, ne zelený. ne 3. tam mají Škodovku, ne Mazdu. ne 5. má být nalevo od bílého, nemůže být poslední. Je tedy čtvrtý a bílý domek je pátý. 2) Jakou barvu má první domek? ne zelenou tu má 4. ne bílou tu má 5. 8

chovají koně). ne modrou tu má 2. ne červenou tam bydlí Adam, ne Milan Je tedy žlutý, proto tam bydlí i Jiřina (a vedle ve 2. domě 3. domek (s Adamem a škodovkou) musí být červený. 3) Ze schématu vidíme, že Eva (s Fiatem) může bydlet jen ve 2. nebo 5. domku a také Tomáš (se Seatem) může bydlet jen ve 2. nebo 5. domku, ale buď bydlí Eva ve 2. a Tomáš v 5., nebo Tomáš ve 2. a Eva v 5. (mají různá auta nepatří do téže rodiny každá má právě jedno auto). 4) Dvojici Karla s Lucií můžeme umístit už jen do 4. domku (v 1. už jsou Milan s Jiřinou, ve 2. je Eva nebo Tomáš, stejně tak v 5., a ve 3. je Adam). 5) Leoš se psem se nyní vejde už jen do 5. domku; bude tam s Evou (a s Fiatem) a tedy Tomáš se svým Seatem bude v domku č. 2. 6) Berta s kočkou se vejde už jen do 3. domku. 7) Iveta bude ve 2. domku a sousedi, co pěstují rybičky, budou v 1. 8) Doplníme: auto Renault vlastní v 1. domě, želvu chovají ve 4., úloha je vyřešena. Zkuste nyní vyřešit úvodní Einsteinovu úlohu. (Další úlohy lze nalézt v [1] či [2].) Literatura: [1] Volfová, M.: Metody řešení matematických úloh, Gaudeamus, Hradec Králové, 2000. [2] Pěnčík, J. Pěnčíková, J.: Lámejte si hlavu. Prometheus Praha, 1995. 9