analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

Transkript

1 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami jste se již určitě s funkcemi více proměnných setkali. Již na střední škole se řeší úloha, jak vpočítat objem a povrch základních geometrických těles, např. krchle, koule, kvádru, atd. Položme si jednoduchou otázku. Jak se vpočítá objem kvádru? Odpověd na tuto otázku je dobře známá. Pro objem kvádru o hranách a > 0, b > 0, c > 0 platí vztah V = a b c. Zároveň jsme si uvedli první příklad funkce více proměnných, konkrétně v tomto případě funkce tří proměnných. Skutečně, na V můžeme nahlížet jako na funkci tří proměnných a, b a c. Za a, b a c dosazujeme konkrétní kladná reálná čísla, která mezi sebou násobíme. Výsledkem je opět číslo kladné reálné, které má význam objemu příslušného kvádru. Pro zápis této skutečnosti budeme používat analogické schéma jako pro funkci jedné proměnné (f : R A R, A f() = R), tj. V : R + R + R + R, resp. V : R + R + R + [a,b,c] V (a,b,c) = a b c R. Každé trojici kladných reálných čísel se přiřadí jejich součin, což je opět kladné reálné číslo. Dalších podobných funkcí b se dala najít celá řada. Zkuste sami vmslet nějaký další příklad funkce více proměnných

2 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti 4. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Průvodce studiem V rámci této kapitol se seznámíme s funkcemi více proměnných, především se bude jednat o funkce dvou proměnných, které budeme chápat jako přirozené zobecnění pojmu funkce jedné proměnné. Ukážeme si, že ačkoliv se některé pojm pro funkce více proměnných definují analogick jako v případě funkcí jedné proměnné, tak jejich aplikace na konkrétní příklad je poměrně obtížná. Toto se týká především limit a spojitosti funkce více proměnných. Cíle Funkce více proměnných, funkce dvou proměnných, funkce tří proměnných, definiční obor, graf, vrstevnice, limita, spojitost. Předpokládané znalosti Funkce jedné proměnné, její definiční obor, funkční předpis, graf. Limita a spojitost funkce jedné proměnné, kuželosečk, soustav rovnic. 4.. Definice funkce více proměnných Výklad Definice 4... Necht M R n, M. Funkcí více proměnných budeme rozumět každé zobrazení f : M R. Množinu M nazýváme definičním oborem funkce f a značíme D f. Množina R n je tvořená uspořádanými n-ticemi reálných čísel. Jedná se o zkrá

3 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti cený zápis kartézského součinu n množin reálných čísel, tj. R n =R R... R } {{ }. n Poznámka Připomeňme, že kartézským součinem množin A a B rozumíme množinu A B = {[a,b] a A b B}. Např. je-li A = {, 2, }, B = {m,n}, pak A B = {[,m], [,n], [2,m][2,n], [,m], [,n]}. Prvk množin R n, uspořádané n-tice, značíme X = [, 2,..., n ], i R n, i n. Funkce více proměnných je ted zobrazení, které každému bodu X = [, 2,..., n ] D f přiřadí jediné reálné číslo R. Používáme zápis = f(, 2,..., n ) nebo zkráceně = f(x). Číslu říkáme funkční hodnota v bodě X. Poznámka. V souladu s terminologií, kterou používáme u funkce jedné proměnné,, 2..., n budeme nazývat nezávislé proměnné, argument funkce f, bude závislá proměnná. 2. Pro funkci dvou proměnných volíme místo = f(, 2 ) označení z = f(,).. Pro funkci tří proměnných volíme místo = f(, 2, ) označení u = f(,,z). 4. Není-li zadán definiční obor, pak se jím rozumí maimální,,přípustná podmnožina v R n, tj. množina bodů, ve kterých má daná funkce smsl, ve kterých eistuje funkční hodnotu. 5. Kromě označení D f pro definiční obor funkce se také používá D(f), Domf

4 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Řešené úloh Příklad 4... Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce z = ln( + ) Řešení: Sestavíme jednotlivé omezující podmínk, které nám vmezí hledanou podmnožinu v R 2.. Logaritmus je schopen působit pouze na kladná reálná čísla, ted + > 0 >. 2. Neumíme dělit nulou. Proto ve zlomku musí být jmenovatel různý od nul, což nám dává podmínku Odmocnina je schopna působit pouze na reálná čísla nezáporná, Všechn tři podmínk musí platit současně, každá z nich vmezuje podmnožinu v R 2. Definičním oborem bude průnik jednotlivých podmnožin, Obr Podmínka. určuje množinu uspořádaných dvojic reálných čísel [,] R 2, pro které platí >. Jedná se o polorovinu s hraniční přímkou =, ta ale do této množin nepatří. Proto ji v grafickém vjádření vznačíme čárkovaně. Podmínka 2. určuje množinu bodů [,] R 2, pro které platí Jedná se o všechn bod rovin, které neleží na kružnici se středem v počátku a s poloměrem 2. Tuto skutečnost vznačíme tak, že do grafického vjádření nakreslíme čárkovaně kružnici se středem v počátku a poloměrem 2. Bude to znamenat, že bod, které leží na této kružnici, do definičního oboru nepatří. Podmínka. určuje množinu bodů [,] R 2, pro které platí Jedná se o kruh se středem v počátku a poloměrem

5 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti = 2 2 Obr. 4.. Příklad Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce z = sin. Řešení: Zformulujeme omezující podmínku na definiční obor, sin 0. Tato nerovnice je splněna, kdž oba činitelé jsou bud současně nezáporní, nebo současně nekladní, sin 0 ( 0 sin 0) ( 0 sin 0). Zbývá diskutovat podmínku sin 0 resp. sin 0. je sjednocení intervalů Řešením první nerovnice k Z 0 + k2π,π + k2π, kde Z je množina celých čísel. Pro hodnot z těchto intervalů je funkce sin nezáporná, červená část sinusoid, Obr π π 2π π Obr π 2π π

6 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Řešením druhé nerovnice je sjednocení intervalů k Z π + k2π, 0 + k2π. Pro hodnot z těchto intervalů je funkce sin nekladná, modrá část sinusoid, Obr π 2π π 0 π 2π π 4π Obr. 4.. Grafické vjádření definičního oboru zadané funkce je na Obr π π 2π π 0 π 2π π Obr Vezmeme-li např. (0,π), hodnota funkce sin 0 a současně musí být 0. Příklad 4... Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce z = arcsin( + ). Řešení: Funkce arkus sinus je schopna působit pouze na reálná čísla z intervalu,. Musíme zařídit, že argument funkce arkus sinus bude nabývat jen hodnot z intervalu,. Dostáváme omezující podmínku na definiční obor ve tvaru +. Jedná se o sstém dvou nerovnic, + +. Řešením pak bude

7 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Definičním oborem je průnik dvou poloprostorů s hraničními přímkami = a =. Nejdříve zakreslíme hraniční přímk a pak vznačíme vlastní průnik poloprostorů, viz. Obr = = Obr Příklad Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce tří proměnných u = arcsin + arcsin + arcsinz. Řešení: Funkce arkus sinus je schopna působit jen na čísla z intervalu,, z. Definiční obor: D u = {[,,z] R z }, jedná se o krchli se středem v počátku a délkou hran 2. z Obr

8 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Úloh k samostatnému řešení. Určete a načrtněte definiční obor funkce z = Určete a načrtněte definiční obor funkce z = Určete a načrtněte definiční obor funkce z = Určete a načrtněte definiční obor funkce z = ln + ln ln( ). 5. Určete a načrtněte definiční obor funkce z = ln(( + 2)). 6. Určete a načrtněte definiční obor funkce z = arcsin arccos. 7. Určete a načrtněte definiční obor funkce z = ( 2 2 ) 2 arccos Určete a načrtněte definiční obor funkce z = arccos( 2 + ). 9. Určete a načrtněte definiční obor funkce z = cos(2 ). 0. Určete a načrtněte definiční obor funkce z = tg (arcsin( + )). Výsledk úloh k samostatnému řešení. Omezující podmínka: Definiční obor: D z = {[,] R 2 + 8}, Obr Omezující podmínka: Definiční obor: D z = {[,] R }, Obr = Obr Obr

9 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti. Omezující podmínka: 2 0. Definiční obor: D z = {[,] R 2 2 }, Obr Omezující podmínk: > 0 > 0 > 0. Definiční obor: D z = {[,] R 2 > 0 > 0 < }, Obr = Obr Obr Omezující podmínk: (+2) > 0. Definiční obor: D z = {[,] R 2 ( > > 0) ( < < 0)}, Obr Omezující podmínk: arcsin 0 arccos 0. Definiční obor: D z = {[,] R 2 0 < }, Obr Obr. 4.. Obr

10 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti 7. Omezující podmínk: Definiční obor: D z = {[,] R < }, Obr Omezující podmínka: 2 +. Definiční obor: D z = {[,] R }, Obr = +2 2 = Obr. 4.. Obr Omezující podmínka: cos(2 ) 0. Definiční obor: D z = {[,] R 2 2 k Z π + 2kπ, π + 2kπ }, Obr Omezující podmínk: arcsin( + ) π + kπ +, k Z. 2 Definiční obor: D z = {[,] R 2 < + < }, Obr = 2+k2π π + 2 = = = 2+k2π 2 π Obr Obr

11 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Kontrolní test. Určete a načrtněte definiční obor funkce z = ln( + ). a)d z = {[,] R 2 > } b)d z = {[,] R 2 } = = Obr Obr c)d z = {[,] R 2 } d)d z = {[,] R 2 < } = = Obr Obr Určete a načrtněte definiční obor funkce z = ln( ). a)d z = {[,] R 2 > } b)d z = {[,] R 2 } = = Obr Obr

12 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti c)d z = {[,] R 2 < } d)d z = {[,] R 2 } = = Obr Obr Určete a načrtněte definiční obor funkce z = arcsin a) D z = {[,] R = 9 b) D z = {[,] R > } < 25} Obr Obr c) D z = {[,] R } d) D z = {[,] R } 5 5 Obr Obr

13 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti 4. Určete a načrtněte definiční obor funkce z = a)d z = {[,] R } b)d z = {[,] R > 9} Obr Obr c)d z = {[,] R } d)d z = {[,] R } Obr. 4.. Obr ( ) Určete a načrtněte definiční obor funkce z = arccos a)d z = {[,] R } b)d z = {[,] R } Obr. 4.. Obr

14 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti c)d z = {[,] R } d)d z = {[,] R } Obr Obr Určete a načrtněte definiční obor funkce z = 2 + sin( ). a)d z = {[,] R } b)d z = {[,] R 2 0 0} Obr Obr c)d z = {[,] R } d)d z = R 2 Obr Obr

15 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti 7. Určete a načrtněte definiční obor funkce z = a) D z = {[,] R } b) D z = {[,] R } = 2 + = 2 = 2 + = 2 Obr Obr c) D z = {[,] R } d) D z = {[,] R } = 2 + = 2 + = 2 = 2 Obr Obr

16 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti 8. Určete a načrtněte definiční obor funkce z = 2. a) D z = {[,] R 2 ( > 2 < ) ( < 2 > )} = 2 b) D z = {[,] R 2 2 < } = 2 = = Obr Obr c) D z = {[,] R 2 2 < } d) D z = {[,] R 2 ( 2 < )} ( 2 > )} = 2 = 2 = = Obr Obr

17 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti 9. Určete a načrtněte definiční obor funkce z = sin( 2 ). a) D z = {[,] R 2 2 (0 + 2kπ,π + 2kπ)} k Z b) D z = {[,] R 2 2 (0 + 2kπ,π + 2kπ } k Z = 2 +kπ = 2 +kπ Obr Obr c) D z = {[,] R 2 2 k Z 0 + 2kπ,π + 2kπ } d) D z = {[,] R 2 2 k Z 0 + 2kπ,π + 2kπ)} = 2 +kπ = 2 +kπ Obr Obr Určete a načrtněte definiční obor funkce z = 2 2 +arcsin+arccos

18 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti a) D z = {[,] R 2 b) D z = {[,] R 2 } } = = = Obr Obr c) D z = {[,] R 2 ( ) } = d) D z = {[,] R 2 < < } Obr Obr Výsledk testu. c), 2. a),. c), 4. b), 5. b), 6. d), 7. a), 8. d), 9. c), 0. a)