II. kolo kategorie Z5

Transkript

1 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem měl n zčátku víc korun o kolik? Řešení. Příkld řešíme od konce, použijeme k tomu tbulku: levá kps (L) prvá kps (P) rozdíl stv n konci přesun 16 dvoukorun z P do L 32 dlužím přesun 4 pětikorun z L do P Závěr: v levé kpse jsem měl o 11 korun víc než v prvé. Z5 II 2 N obrázku vidíte čtverec rozdělený n šest mnohoúhelníků. Všechny tyto mnohoúhel níky mjí vrcholy v mřížových bodech čtvercové sítě největší z nich má obsh 35 mm 2. Zjistěte obsh celého čtverce. Řešení. Nejprve si očíslujeme dné mnohoúhelníky. Číslo 1 bude mít mnohoúhelník v le vém horním rohu čtverce, mnohoúhelníky číslujeme po obvodu ve směru hodinových ruči ček, číslo 6 bude mít mnohoúhelník uprostřed. Jejich obshy vyjádřené v počtu čtverečků potom budou: S 1 = 3; S 2 = 2,5; S 3 = 2,5; S 4 = 2,5; S 5 = 3,5; S 6 = 2. Největší obsh má mnohoúhelník číslo 5 (v levém dolním rohu čtverce), to 3,5 čtve rečku. Jestliže 3,5 čtverečku má obsh 35 mm 2, potom 7 čtverečků má obsh 70 mm 2. Odtud 1 čtvereček má obsh 70 : 7 = 10 mm 2. Protože celý čtverec n obrázku je složen ze 16 tkovýchto čtverečků, má obsh = 160 mm 2.

2 Z5 II 3 V čekárně u lékře sedí Anežk, Boris, Cecilk, Dn Emil. Vypište všechn možná pořdí, jk je mohl lékřk volt do ordince, víte-li, že po kždém děvčeti šel chlpec, Anežk nešl první Emil nešel poslední. Řešení. Jestliže po kždém děvčeti šel chlpec, nemohlo se stát, že by šl dvě děvčt bezprostředně z sebou. Protože v čekárně seděli dv chlpci tři děvčt, situce musel vypdt tkto: dívk, chlpec, dívk, chlpec, dívk. Možnosti jsou tedy následující: Cecilk, Boris, Anežk, Emil, Dn Cecilk, Boris, Dn, Emil, Anežk Cecilk, Emil, Anežk, Boris, Dn Cecilk, Emil, Dn, Boris, Anežk Dn, Boris, Anežk, Emil, Cecilk Dn, Boris, Cecilk, Emil, Anežk Dn, Emil, Anežk, Boris, Cecilk Dn, Emil, Cecilk, Boris, Anežk

3 II. kolo ktegorie Z9 Z9 II 1 Petr Michl si v kempinku postvili stny. Když jde Petr nejdříve pro Michl ž potom do jídelny, ujde o 20 metrů víc, než kdyby šel přímo do jídelny. Když jde Michl nejdříve pro Petr potom do jídelny, ujde o 16 metrů více, než by ušel při cestě přímo do jídelny. Kolik metrů jsou vzdálené stny kmrádů? Který z nich to měl přímou cestou do jídelny dál? O kolik metrů? (Dillingerová) Řešení. Oznčme p vzdálenost (v metrech) Petrov stnu od jídelny, m vzdálenost (v me trech) Michlov stnu od jídelny s vzdálenost (v metrech) obou stnů. Petrov cest do jídelny kolem Michlov stnu: s + m metrů, Michlov cest do jídelny kolem Petrov stnu: s + p metrů, Pro Petrovu cestu pltí: s + m = p + 20, Pro Michlovu cestu pltí: s + p = m Po sečtení obou rovnic dostáváme: 2s + m + p = m + p + 36, tedy s = 18 metrů, což je odpověď n první otázku. Odpověď n druhou třetí otázku získáme po doszení vzdálenosti mezi stny do jedné z rovnic. Dostneme: 18 + m = p + 20, tedy m = p + 2. To znmená, že Michlův stn stojí o 2 m dál od jídelny než Petrův. Z9 II 2 V šchovnici 5 5 složené z pěti částí (viz obr.) vybrvěte všechn políčk pěti různými brvmi tk, by se v kždé části, kždé řdě kždém sloupci vyskytovl kždá použitá brv právě jednou. (Volfová) Řešení. Úloh má jediné řešení. Použijeme brvy: červenou, modrou, žlutou, zelenou čer nou. červená políčk: 1, 8, 14, 20, 22, modrá políčk: 3, 7, 11, 19, 25, žlutá políčk: 4, 6, 15, 17, 23, zelená políčk: 2, 10, 13, 16, 24, černá políčk: 5, 9, 12, 18, 21. Políčk doplňujeme v tomto pořdí: 20, 14, 25, 19, 11, 7, 3, 22, 8, 1, 15, 6, 17, 4, 23, 2, 10, 13, 24, 16 zbývjící políčk jsou černá.

4 Z9 II 3 Ppírový obdélník s rozměry 48 mm 64 mm jsme přeložili podél úhlopříčky vznikl pětiúhelník. O kolik mm 2 má vzniklý pětiúhelník menší obsh než původní obdélník? (Dillingerová) Řešení. Tkto vzniklý pětiúhelník má menší obsh než původní obdélník o obsh troj úhelníku, který je tvořen překrývjícími se částmi původního obdélníku (tento trojúhelník je n následujícím obrázku vybrven). 64 c Abychom zjistili obsh tohoto trojúhelníku (který je rovnormenný úhly při strně c jsou shodné), potřebujeme znát délku zákldny c příslušnou výšku. Oznčíme-li = = 48 mm b = 64 mm strny původního obdélníku, pro strnu c bude pltit: c 2 = 2 + b 2, odtud c = 80 mm. Abychom mohli vypočítt výšku, musíme nejdřív zjistit délku rmen. Využijeme k tomu prvoúhlý trojúhelník, jehož jedn odvěsn je, tedy 48 mm, druhou odvěsnu oznčíme jko. Délku přepony lze vyjádřit jko 64 (sečteme-li délku odvěsny oznčené jko délku přepony, dostneme délku delší strny původního obdélníku b, viz obrázek). Použitím Pythgorovy věty dostneme: = 64, = , 128 = 1 792, = 14 mm. Rmen trojúhelníku mjí tedy délku = 50 mm.

5 Hlednou výšku v trojúhelníku opět vypočítáme pomocí Pythgorovy věty. = 14 v 50 = 48 c = 80 Pltí, že v 2 +( 80 2 )2 = 50 2, odtud v = 30 mm. Obsh tohoto trojúhelníku je S = = = mm 2. Závěr: Vzniklý pětiúhelník má o mm 2 menší obsh než původní obdélník. Z9 II 4 Njděte nejmenší číslo zpsné jen cifrmi 0 1, které je beze zbytku dělitelné souči nem šesti nejmenších přirozených čísel. Řešení. Nejprve určíme součin šesti nejmenších přirozených čísel: = = Hledné číslo n lze tedy npst jko n = 10, kde číslo je nejmenší číslo zpsné pouze číslicemi 0 1 dělitelné číslem = Podle prvidl dělitelnosti číslem 8 má být poslední trojčíslí čísl dělitelné 8, přitom le i toto trojčíslí má být tvořeno jen číslicemi 0 1. V úvhu tedy připdá jen trojčíslí 000. To znmená, že číslo = b, kde b je nejmenší přirozené číslo zpsné jen pomocí 0 1 dělitelné číslem 3 2 = 9, protože n = 10 = b číslo 3 nedělí Podle prvidel dělitelnosti číslem 9 má být ciferný součet hledného čísl b dělitelný 9, což znmená, že číslo b je tvořeno pouze devíti číslicemi 1. Hledné číslo n je tedy rovno