V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:
|
|
- Jindřiška Pospíšilová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Příklad 1 V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Skupina Počet ženichů Počet nevěst let let let let let let let let let Vypočtěte Pearsonovy korelační koeficienty a sestavte korelační matici. Z výsledných korelačních koeficientů se pokuste verbálně charakterizovat tabulkou popsaný jev. Řešení 1 Data pro tuto úlohu máme zadána tabulkou četnosti. Chceme zkoumat vztahu mezi počtem ženichů a počtem nevěst s tím, že na jev hledíme z hlediska věkové skupiny. Zajímá nás tedy, zda se dá říci, že lidé často uzavírají sňatek v rámci stejné věkové skupiny. Poznámka - Samozřejmě mnohem zajímavější a ve výsledku lépe vypovídající by bylo zkoumání trendu závislosti věku ženicha a věku nevěsty. To s těmito daty ale udělat nemůžeme. Na to bychom potřebovali primární data o věku ženicha a nevěsty v každém uzavřeném manželství. Nicméně na tomto příkladu si ukážeme, že i z ne zcela kvalitních dat lze statistickými metodami získat poměrně kvalitní odpověď. Řešení 1 a ruční výpočet Označme počty ženichů a počty nevěst postupně pro jednotlivé věkové třídy. Zde je počet ženichů a je počet nevěst i-té věkové třídy. 11, , , , 50 46, 26 39, 25 26, 27 29, 22 27, 12 Sestavíme nyní bodový graf ukazující vztah počtu ženichů a počtu nevěst v jednotlivých věkových třídách. Na vodorovnou osu vynášíme počet ženichů, na svislou osu počet nevěst. Jednotlivé body 1
2 grafu pak ukazují soubor příslušných dvojic ze stejné věkové třídy. Tento graf je jediným užitím MS Excel v rámci tohoto řešení. Zahájíme výpočet Pearsonova korelačního koeficientu. Nejprve vypočítáme aritmetické průměry jednotlivých znaků, neboli vypočteme aritmetický průměr počtu ženichů a aritmetický průměr počtu nevěst. Začneme se ženichy. 1 Pokračujeme nevěstami. & "11#166#191#88#46#39#26#29#27$ , "30#272#159#50#26#25#27#22#12$ ,22 9 Oba průměry mají stejnou hodnotu. Sňatek v roce 1998 mohl uzavírat pouze muž se ženou, proto jsou počty ženichů a počty nevěst nutně stejné. Stejný je i počet věkových tříd. Průměr pak nemůže vyjít jinak, než stejně (kdyby nevyšel, bylo by zřejmé, že jsme někde ve výpočtu udělali chybu). Dále budeme počítat kovarianci počtu ženichů a počtu nevěst. 2
3 ' () = 1 " $" &$ = 1 9 +"11 69,22$"30 69,22$+"166 69,22$"272 69,22$ +"191 69,22$"159 69,22$+"88 69,22$"50 69,22$ +"46 69,22$"26 69,22$+"39 69,22$"25 69,22$ +"26 69,22$"27 69,22$+"29 69,22$"22 69,22$ +"27 69,22$"12 69,22$, = 1 9 +" 58,22$ " 39,22$+96,78 202,78+121,78 89,78+18,78 " 19,22$ +" 23,22$ " 43,22$+" 30,22$ " 44,22$+" 43,22$ " 42,22$+" 40,22$ " 47,22$ +" 42,22$ " 57,22$, = , , ,41 360, , , , , ,83,= ,56=4551,17 Pro výpočet Pearsonova korelačního koeficientu budeme potřebovat i rozptyl počtu ženichů a rozptyl počtu nevěst. Oba rozptyly můžeme počítat jako kovarianci těchto počtů sama se sebou. Začneme výpočtem rozptylu počtu ženichů. ' ( = 1 " $ = 1 " $" $ =' (( = = 1 9 +"11 69,22$"11 69,22$+"166 69,22$"166 69,22$ +"191 69,22$"191 69,22$+"88 69,22$"88 69,22$ +"46 69,22$"46 69,22$+"39 69,22$"39 69,22$ +"26 69,22$"26 69,22$+"29 69,22$"29 69,22$ +"27 69,22$"27 69,22$, = 1 9 +" 58,22$ " 58,22$+96,78 96,78+121,78 121,78+18,78 18,78 +" 23,22$ " 23,22$+" 30,22$ " 30,22$+" 43,22$ " 43,22$+" 40,22$ " 40,22$ +" 42,22$ " 42,22$, = , , ,37+352,69+539,17+913, , , ,53,= ,659,56=3851,06 Pokračujeme výpočtem rozptylu počtu nevěst. 3
4 ' ) = 1 " &$ = 1 " &$" &$ =' )) = = 1 9 +"30 69,22$"30 69,22$+"272 69,22$"272 69,22$ +"159 69,22$"159 69,22$+"50 69,22$"50 69,22$ +"26 69,22$"26 69,22$+"25 69,22$"25 69,22$ +"27 69,22$"27 69,22$+"22 69,22$"22 69,22$ +"12 69,22$"12 69,22$, = 1 9 +" 39,22$ " 39,22$+202,78 202,78+89,78 89,78+" 19,22$ " 19,22$+" 43,22$ " 43,22$+" 44,22$ " 44,22$+" 42,22$ " 42,22$ +" 47,22$ " 47,22$ +" 57,22$ " 57,22$, = , , ,,45+369, , , , , ,13,= ,56=6910,84 Získané mezivýsledky použijeme k výpočtu Pearsonova korelačního koeficientu. - (,) = ' () 4551,17 =.' ( ' /3851, ,84 = 4551,17 / ,59 =4551, ,88 =0,88 ) Všechny výpočty jsme průběžně zaokrouhlovali na dvě desetinná místa. Zbývá ještě vyjádřit slovně vztah počtu ženichů a počtu nevěst v jednotlivých věkových třídách. Hodnotit budeme podle tabulky (viz teorie). Korelační koeficient Úroveň závislosti - (,) = 1 Pevná záporná závislost 1<- (,) < 0,7 Značně vysoká záporná závislost 0,7<- (,) < 0,5 Vysoká záporná závislost 0,5<- (,) < 0,3 Střední záporná závislost 0,3<- (,) <0 Slabá záporná závislost - (,) =0 Neexistující závislost 0<- (,) <0,3 Slabá kladná závislost 0,3<- (,) <0,5 Střední kladná závislost 0,5<- (,) <0,7 Vysoká kladná závislost 0,7<- (,) <1 Značně vysoká kladná závislost - (,) =1 Pevná kladná závislost Můžeme konstatovat, že mezi počty ženichů a nevěst v jednotlivých věkových třídách značně vysoká kladná závislost. To nás nepřekvapuje. Viděli jsme tuto závislost již v tabulce třídního rozdělení v zadání. Počty ženichů a nevěst se v jednotlivých třídách řádově nelišily. Řešení 1 b naivní využití MS Excel V tomto řešení tého příkladu nebudeme užívat kalkulačku, ale k provedení výpočtů využijeme MS Excel. Nebudeme ale užívat žádné z jeho statistických funkcí, neboli ho budeme užívat jen velmi naivně (tak, jak to dělá naprostá většina uživatelů tohoto programu). Data si vložíme v MS Excel do tabulky 4
5 Skupina Ženichů Nevěst let let let let let let let let let Z této tabulky vytvoříme bodový graf Tabulku doplníme O řádky směřující k výpočtu průměru obou zkoumaných znaků (počtu nevěst a počtu ženichů). Skupina Ženichů Nevěst let let let let let let let let let Počet 9 9 Součet Průměr 69,22 69,22 5
6 Průměr (je nutně stejný pro oba zkoumané znaky, jak jsme konstatovali v minulém řešení) máme vypočítaný. Tabulku si nyní rozšíříme o sloupce týkající se výpočtu odchylek od průměrného věku v obou zkoumaných třídách. Jde o sloupce Zo pro ženichy a No pro nevěsty. Skupina Ženichů Nevěst Prumer Zo No let ,22-58,22-39, let ,22 96,78 202, let ,22 121,78 89, let ,22 18,78-19, let ,22-23,22-43, let ,22-30,22-44, let ,22-43,22-42, let ,22-40,22-47, let ,22-42,22-57,22 Počet 9 9 Součet 0,00 0,00 Součet Počet Průměr 69,22 69,22 Kovariance Kontrolní součet odchylek je nulový. V této fázi výpočtu tedy nemáme chybu. Abychom mohli vypočítat korelační koeficient, potřebujeme nejprve vypočítat kovarianci a rozptyly obou zkoumaných znaků. Pro výpočet si tabulku rozšíříme o pomocné sloupce ZoNo, Zo2 a No2. Do sloupce ZoNo vložíme vzorce pro výpočet součinu sloupců Zo a No v odpovídajících řádícch. Do sloupce Zo2 vložíme vzorce pro výpočet druhé mocniny hodnoty ve sloupci Zo v odpovídajícím řádku. A podobně naplníme i sloupec No2. Vypočteme součty těchto sloupců. Dostaneme Skupina Ženichů Nevěst Prumer Zo No ZoNo Zo2 No let ,22-58,22-39, , , , let ,22 96,78 202, , , , let ,22 121,78 89, , , , let ,22 18,78-19,22-360,95 352,60 369, let ,22-23,22-43, ,72 539, , let ,22-30,22-44, ,49 913, , let ,22-43,22-42, , , , let ,22-40,22-47, , , , let ,22-42,22-57, , , ,38 Počet 9 9 Součet 0,00 0, , , ,56 Součet Počet Průměr 69,22 69,22 Kovariance 4551,17 Pro výpočet kovariance teď stačí vydělit součet sloupce ZoNo počtem tříd. Totéž platí pro výpočet rozptylu hodnot obou zkoumaných znaků. 6
7 Skupina Ženichů Nevěst Prumer Zo No ZoNo Zo2 No let ,22-58,22-39, , , , let ,22 96,78 202, , , , let ,22 121,78 89, , , , let ,22 18,78-19,22-360,95 352,60 369, let ,22-23,22-43, ,72 539, , let ,22-30,22-44, ,49 913, , let ,22-43,22-42, , , , let ,22-40,22-47, , , , let ,22-42,22-57, , , ,38 Počet 9 9 Součet 0,00 0, , , ,56 Součet Počet Průměr 69,22 69,22 Kovariance 4551,17 Korel.koef. 0,88 =CORREL(B2:B10;C2:C10) Pearson 0,88 =PEARSON(B2:B10;C2:C10) Rozptyl 3851, ,84 Nyní již máme k dispozici všechny potřebné mezivýsledky pro výpočet Pearsonova korelačního koeficientu. Nejprve si vypočítáme součin obou rozptylů. Ten poté odmocníme. A nakonec vydělíme dříve nalezenou kovarianci hodnotou této odmocniny. Tím je výpočet dokončen. Skupina Ženichů Nevěst Prumer Zo No ZoNo Zo2 No let ,22-58,22-39, , , , let ,22 96,78 202, , , , let ,22 121,78 89, , , , let ,22 18,78-19,22-360,95 352,60 369, let ,22-23,22-43, ,72 539, , let ,22-30,22-44, ,49 913, , let ,22-43,22-42, , , , let ,22-40,22-47, , , , let ,22-42,22-57, , , ,38 Počet 9 9 Součet 0,00 0, , , ,56 Součet Počet Průměr 69,22 69,22 Kovariance 4551,17 Korel.koef. 0,88 =CORREL(B2:B10;C2:C10) Pearson 0,88 =PEARSON(B2:B10;C2:C10) Rozptyl 3851, ,84 Součin rozptylů ,53 Odmocnina součinu rozptylů 5158,88 Pearson 0,88 7
8 Řešení 1 c maximální využití MS Excel Data si vložíme do MS Excel tabulky Skupina Ženichů Nevěst let let let let let let let let let Z této tabulky vytvoříme bodový graf Tabulku doplníme vzorcem pro výpočet korelačního koeficientu. Využijeme vestavěnou funkci CORREL nebo PEARSON. Obě tyto funkce mají stejný typ parametrů. Prvním je pole s hodnotami prvního znaku a druhým je pole s hodnotami druhého znaku jejichž závislost zkoumáme. Obě funkce dávají i stejné výsledky. Dostaneme. Skupina Ženichů Nevěst let let let let let let
9 45-49 let let let Korel.koef. Pearson 0,88 =CORREL(B2:B10;C2:C10) 0,88 =PEARSON(B2:B10;C2:C10) Poznámka MS Excel umožňuje přímo v grafu velmi snadno zobrazit přímku trendu pouhou jednoduchou volbou vhodného rozložení grafu. To už ale trochu předbíháme. Jak najít tuto přímku a jaký je její význam je předmětem jednoho z pozdějších témat (viz 14 - Lineární regrese). 9
10 Příklad 2 V jedné poněkud tragické třídě měli studenti následující trojice známek z matematiky, fyziky a dějepisu.: 433, 423, 531, 322, 334, 441, 531, 434, 522, 331, 552, 531, 221, 432, 442. Vypočtěte Pearsonovy korelační koeficienty a stanovte korelační matici. Z nalezených koeficientů se pokuste slovně charakterizovat vztah hodnocení v jednotlivých předmětech. Řešení 2a zcela ruční výpočet Označme jednotlivé známky postupně pro jednotlivé studenty. Zde je známka z matematiky, je známka z fyziky a 1 je známka z dějepisu i-tého studenta. 4, 3, 1 3 4, 2, 1 3 5, 3, 1 1 3, 2, 1 2 3, 3, 1 4 4, 4, 1 1 5, 3, 1 1 4, 3, 1 4 5, 2, , 2 3, , 5, 1 2 5, 3, 1 1 2, 2, 1 1 4, 3, 1 2 4, 4, 1 2 Dříve, než budeme hledat vztah hodnocení pomocí Pearsonových korelačních koeficientů, můžeme si sestavit grafy ukazující vztah hodnocení v jednotlivých dvojicích předmětů. Na vodorovnou osu vynášíme známku studenta z prvního uvedeného předmětu, na svislou osu známku z druhého předmětu. Jednotlivé body grafu pak ukazují soubor dvojic se zkoumaným hodnocením. Tyto grafy jsou jediným užitím MS Excel v rámci tohoto řešení. 10
11 Nyní Se již pustíme do výpočtu Pearsonových korelačních koeficientů. Nejprve vypočítáme aritmetické průměry jednotlivých znaků, neboli vypočteme aritmetické průměry známek z jednotlivých předmětů. Začneme známkami z matematiky "4#4#5#3#3#4#5#4#5#3#5#5#2#4#4$ Pokračujeme výpočtem průměrné známky z fyziky. & "3#2#3#2#3#4#3#3#2#3#5#3#2#3#4$ Nakonec vypočteme průměrnou známku z dějepisu "3#3#1#2#4#1#1#4#2#1#2#1#1#2#2$ Tyto krásné celé průměry pochopitelně nejsou ze života. Jde o školní příklad. Ale aspoň někdy si můžeme užít pohody. Dále budeme počítat kovarianci jednotlivých dvojic předmětů. Začneme výpočtem kovariance hodnocení z matematiky s hodnocením z fyziky. 11
12 ' () = 1 " $" &$ = "4 4$"3 3$+"4 4$"2 3$+"5 4$"3 3$+"3 4$"2 3$ +"3 4$"3 3$+"4 4$"4 3$+"5 4$"3 3$+"4 4$"3 3$ +"5 4$"2 3$+"3 4$"3 3$+"5 4$"5 3$+"5 4$"3 3$ +"2 4$"2 3$+"4 4$"3 3$+"4 4$"4 3$, = " 1$+1 0+" 1$ " 1$+" 1$ " 1$+" 1$ " 2$ " 1$ , = ,= = 4 15 Pokračujeme výpočtem kovariance hodnocení z matematiky s hodnocením z dějepisu. ' (3 = 1 " $"1 1 $ = "4 4$"3 2$+"4 4$"3 2$+"5 4$"1 2$+"3 4$"2 2$ +"3 4$"4 2$+"4 4$"1 2$+"5 4$"1 2$+"4 4$"4 2$ +"5 4$"2 2$+"3 4$"1 2$+"5 4$"2 2$+"5 4$"1 2$ +"2 4$"1 2$+"4 4$"2 2$+"4 4$"2 2$, = " 1$+" 1$ 0+" 1$ 2+0 " 1$+1 " 1$ " 1$ " 1$ " 1$+" 2$ , = ,= 1 15 " 2$ = 2 15 Nakonec vypočteme kovarianci hodnocení z fyziky s hodnocením z dějepisu. ' )3 = 1 " &$"1 1 $ = "3 3$"3 2$+"2 3$"3 2$+"3 3$"1 2$+"2 3$"2 2$ +"3 3$"4 2$+"4 3$"1 2$+"3 3$"1 2$+"3 3$"4 2$ +"2 3$"2 2$+"3 3$"1 2$+"5 3$"2 2$+"3 3$"1 2$ +"2 3$"1 2$+"3 3$"2 2$+"4 3$"2 2$, = " 1$ 1+0 " 1$+" 1$ " 1$+0 " 1$+0 2 +" 1$ 0+0 " 1$ " 1$ , = ,= 1 15 " 1$ = 1 15 Dále budeme potřebovat rozptyl jednotlivých předmětů. Ten můžeme počítat jako kovarianci předmětu sama se sebou. Začneme výpočtem rozptylu hodnocení z matematiky. 12
13 ' ( = 1 " $ = 1 " $" $ =' (( = = "4 4$"4 4$+"4 4$"4 4$+"5 4$"5 4$+"3 4$"3 4$ +"3 4$"3 4$+"4 4$"4 4$+"5 4$"5 4$+"4 4$"4 4$ +"5 4$"5 4$+"3 4$"3 4$+"5 4$"5 4$+"5 4$"5 4$ +"2 4$"2 4$+"4 4$"4 4$+"4 4$"4 4$, = " 1$ " 1$+" 1$ " 1$ " 1$ " 1$ " 2$ " 2$ , = ,= =12 15 Pokračujeme výpočtem rozptylu hodnocení z fyziky. ' ) = 1 " &$ = 1 " &$" &$ =' )) = = "3 3$"3 3$+"2 3$"2 3$+"3 3$"3 3$+"2 3$"2 3$ +"3 3$"3 3$+"4 3$"4 3$+"3 3$"3 3$+"3 3$"3 3$ +"2 3$"2 3$+"3 3$"3 3$+"5 3$"5 3$+"3 3$"3 3$ +"2 3$"2 3$+"3 3$"3 3$+"4 3$"4 3$, = " 1$ " 1$+0 0+" 1$ " 1$ " 1$ " 1$ " 1$ " 1$ , = ,= =10 15 Nakonec vypočteme rozptyl hodnocení z dějepisu. ' 3 = 1 "1 1 $ = 1 "1 1 $"1 1 $ =' 33 = = "3 2$"3 2$+"3 2$"3 2$+"1 2$"1 2$+"2 2$"2 2$ +"4 2$"4 2$+"1 2$"1 2$+"1 2$"1 2$+"4 2$"4 2$ +"2 2$"2 2$+"1 2$"1 2$+"2 2$"2 2$+"1 2$"1 2$ +"1 2$"1 2$+"2 2$"2 2$+"2 2$"2 2$, = " 1$ " 1$ " 1$ " 1$+" 1$ " 1$ " 1$ " 1$+0 0+" 1$ " 1$+" 1$ " 1$ , = ,= =16 15 Nyní získané mezivýsledky použijeme k výpočtu Pearsonových korelačních koeficientů. Nejprve vypočteme koeficient lineární závislosti hodnocení matematiky a hodnocení fyziky. - (,) = ' 4 4 () = 15.' ( ' ). 12 = 15 4 = = 2 30 = = = Pokračujeme výpočtem koeficientu lineární závislosti hodnocení matematiky a hodnocení dějepisu. 13
14 - ' * 2 * 2 ( *2 *1 * 3 * 3 (,3 /' ( ' Nakonec vypočteme koeficient lineární závislosti hodnocení fyzika a hodnocení dějepisu. * ),3 ' )3 * 1 15 * *1 * 10 * * ' ) ' Nalezené koeficienty sestavíme do korelační matice. Z teorie víme, že je symetrická s jedničkami na hlavní diagonále. - (,( - (,) - (,3 - (,( - (,) - (, * < 5- ),( - ),) - ), (,) - ),) - ), * 10 ; ; - 3,( - 3,) - 3,3 - (,3 - ),3-3, ; 7 * 3 12 * : Zbývá ještě vyjádřit slovně vztah hodnocení jednotlivých dvojic předmětů. Hodnotit budeme podle tabulky (viz teorie). Korelační koeficient Úroveň závislosti - (,) *1 Pevná záporná závislost *10- (,) 0*0,7 Značně vysoká záporná závislost *0,70- (,) 0*0,5 Vysoká záporná závislost *0,50- (,) 0*0,3 Střední záporná závislost *0,30- (,) 00 Slabá záporná závislost - (,) 0 Neexistující závislost 00- (,) 00,3 Slabá kladná závislost 0,30- (,) 00,5 Střední kladná závislost 0,50- (,) 00,7 Vysoká kladná závislost 0,70- (,) 01 Značně vysoká kladná závislost - (,) 1 Pevná kladná závislost Abychom mohli tabulku využít pro snadné porovnání, potřebujeme vyjádřit Pearsonovy korelační koeficienty v desetinném rozvoji. Dostaneme - 30 (,) 15 0,37, - (,3 * 3 12 *0,14, - ),3 * *0,08 Nyní již můžeme konstatovat, že mezi hodnocením z matematiky a hodnocením z fyziky v naší podivné třídě je střední kladná závislost. Mezi hodnocením z matematiky a hodnocením z dějepisu je slabá záporná závislost. Mezi hodnocením z fyziky a hodnocením z dějepisu je velmi slabá záporná závislost. Řešení 2b mírné využití MS Excel Budeme řešit stejnou úlohu, tentokrát nebudeme provádět vlastní výpočet ručně, ale prostřednictvím MS Excel. Nebudeme ale v tomto programu používat žádné speciální statistické funkce, neboli budeme ho používat způsobem, jakým byly užívány tabulkové kalkulátory v době svého vzniku (zhruba 80-tá léta 20-tého století). Stručně řečeno, MS Excel budeme používat naivně.
15 Přichystáme si tabulku se zadanými daty. StID M F D Přidáme řádky Součet, Počet a Průměr pro výpočet průměru za jednotlivé předměty. StID M F D Celkem Počet Průměr Z této tabulky můžeme vytvořit stejné grafy, které jsme již prezentovali v řešení 1a. Tyto grafy je zbytečné na tomto místě opakovat. Přidáme sloupce pro výpočet odchylek a naplníme je vzorcem pro výpočet odchylky (hodnota mínus průměr) pro každého studenta. 15
16 StID M F D Mo Fo Do Celkem Počet Průměr kovar Pro každého studenta vypočteme součiny odchylek pro každou dvojici předmětů a pro předmět sám se sebou pro rozptyl. Doplníme součtem a vydělením počtem studentů. Získáme kovariance dvojic předmětů a rozptyly předmětů. StID M F D Mo Fo Do MoFo MoDo FoDo Mo2 Fo2 Do Celkem Počet Průměr kovar 0,27-0,13-0,07 0,80 0,67 1,07 Šest hodnot v zeleném poli (jsou v tomto konkrétním případu v 19-tém řádku) použijeme pro výpočet Personových koeficientů. Vytvoříme si vzorce 16
17 Průměr kovar 0,27-0,13-0,07 0,80 0,67 1,07 MF 0,37 =H19/ODMOCNINA(K19*L19) MD -0,14 =I19/ODMOCNINA(K19*M19) FD -0,08 =J19/ODMOCNINA(L19*M19) Ve druhém sloupci máme výsledné koeficienty. Mohli bychom je sestavit do matice a můžeme pomocí nich slovně vyjádřit úroveň vztahu hodnocení v jednotlivých dvojicích předmětů. Opakovat to, co jsme konstatovali už dříve, by bylo zbytečné. Poznámka Vidíme, že i velmi naivní použití MS Excel (takhle to dělá většina jeho uživatelů) nám ušetřilo poměrně dost práce. Kvalitní užití MS Excel ale vypadá jinak. Měly by při něm být využity všechny jeho vhodné možnosti. Malá ukázka následuje jako další verze řešení téhož příkladu. Řešení 2c maximální využití MS Excel Stejně jako v řešení 2b si přichystáme tabulku se zadanými daty. StID M F D Přímo z této tabulky bychom mohli vytvořit bodové grafy znázorňující vzájemný vztah hodnocení ve všech dvojicích předmětů. Ty jsou zobrazeny v řešení 1a a nebudeme je tu opakovat. Přidáme tři řádky, do kterých vložíme uvedené vzorce. Dostaneme ihned výsledek, který je možné okamžitě interpretovat. MF 0,37 =CORREL(B2:B16;C2:C16) MD -0,14 =CORREL(B2:B16;D2:D16) FD -0,08 =CORREL(C2:C16;D2:D16) Poznámka Rozdíl v pracnosti proti oběma předchozím variantám je očividný. Vycházíme-li z kvalitní znalosti věci, je hledání řešení problémů vždy snazší. 17
18 Příklad 3 V roce 1991 (publikováno 1996) měla velká města v České republice následující hodnoty některých statistických ukazatelů: Plocha [km²] Obyvatel [tis.os.] Délka ulic [km] Domácnosti Praha Brno Ostrava Plzeň Olomouc Liberec Hradec Králové České Budějovice Ústí nad Labem Pardubice Havířov Zlín Vypočtěte Pearsonovy korelační koeficienty a sestavte korelační matici. Z výsledných korelačních koeficientů se pokuste verbálně charakterizovat tabulkou popsaný jev. Řešení 3 Tato úloha je již poměrně komplexní v tom smyslu, že se máme zabývat hledáním závislostí čtyř znaků dvanácti velkých měst České republiky. Víme, že závislosti vyšetřujeme po dvojicích, budeme se tedy zabývat celkem šesti závislostmi. Příslušné vzorce známe z teorie a v předchozích příkladech jsme se s nimi dostatečně seznámili při ručních i naivních výpočtech pomocí MS Excel. Tuto úlohu už budeme řešit pouze s využitím statistických funkcí MS Excel. Tabulku ze zadání vložíme do MS Excel. Plocha Obyvatel Délka ulic Domácnosti Praha Brno Ostrava Plzeň Olomouc Liberec Hradec Králové České Budějovice Ústí nad Labem Pardubice Havířov Zlín Přímo z této tabulky vytvoříme jednotlivé bodové grafy (bude jich šest, tedy stejně jako závislostí). 18
19 19
20 Obyvatel - Domácnosti Počet domácností Domácnosti Počet obyvatel Délka ulic - Domácnosti Počet domácností Domácnosti Délka ulic 20
21 Nyní již využijeme funkci CORREL nebo PEARSON k získání hodnot Pearsonova korelačního koeficientu pro všechny kombinace zkoumaných znaků. Dostaneme Město Plocha Obyvatel Délka ulic Domácnosti Praha Brno Ostrava Plzeň Olomouc Liberec Hradec Králové České Budějovice Ústí nad Labem Pardubice Havířov Zlín Korelační koeficienty Plocha - Obyvatel Plocha - Délka ulic Plocha - Domácnosti Obyvatel - Délka ulic Obyvatel - Domácnosti Délka ulic - Domácnosti 0,9732 =CORREL(B2:B13;C2:C13) 0,9676 =CORREL(B2:B13;D2:D13) 0,9710 =CORREL(B2:B13;E2:E13) 0,9770 =CORREL(C2:C13;D2:D13) 0,9998 =CORREL(C2:C13;E2:E13) 0,9753 =CORREL(D2:D13;E2:E13) Pearsonovy korelační koeficienty máme vypočteny. Připomeňme si naši tabulku pro slovní hodnocení zjištěné závislosti. Korelační koeficient Úroveň závislosti - (,) = 1 Pevná záporná závislost 1<- (,) < 0,7 Značně vysoká záporná závislost 0,7<- (,) < 0,5 Vysoká záporná závislost 0,5<- (,) < 0,3 Střední záporná závislost 0,3<- (,) <0 Slabá záporná závislost - (,) =0 Neexistující závislost 0<- (,) <0,3 Slabá kladná závislost 0,3<- (,) <0,5 Střední kladná závislost 0,5<- (,) <0,7 Vysoká kladná závislost 0,7<- (,) <1 Značně vysoká kladná závislost - (,) =1 Pevná kladná závislost Vidíme, že pro všechny zkoumané dvojice znaků jde o značně vysokou kladnou závislost. V případě dvojice Počet obyvatel Počet domácností jde o závislost téměř pevnou. Poznámka K řešení jsme použili jen statistické funkce MS Excel. Jde o ukázku, jak se podobná statistická vyhodnocení dělají prakticky. Je důležité vždy vědět, co můžeme od které funkce očekávat a jak prakticky funguje. Bezduché použití nějaké funkce by vedlo k chybné interpretaci výsledku. 21
Popisná statistika. Komentované řešení pomocí MS Excel
Popisná statistika Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Máme k dispozici data o počtech bodů z 1. a 2. zápočtového testu z Matematiky I v zimním semestru 2015/2016 a to za všech 762 studentů,
VícePříklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13
Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test
VíceProtokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:
Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále
VícePOPISNÁ STATISTIKA Komentované řešení pomocí programu Statistica
POPISNÁ STATISTIKA Komentované řešení pomocí programu Statistica Program Statistica I Statistica je velmi podobná Excelu. Na základní úrovni je to klikací program určený ke statistickému zpracování dat.
Více6 Ordinální informace o kritériích
6 Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důležitosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní
VíceParametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =
Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.
VíceKontrola: Sečteme-li sloupec,,četnost výskytu musí nám vyjít hodnota rozsahu souboru (našich 20 žáků)
Základní výpočty pro MPPZ Teorie Aritmetický průměr = součet hodnot znaku zjištěných u všech jednotek souboru, dělený počtem všech jednotek souboru Modus = hodnota souboru s nejvyšší četností Medián =
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceÚloha č. 2 - Kvantil a typická hodnota. (bodově tříděná data): (intervalově tříděná data): Zadání úlohy: Zadání úlohy:
Úloha č. 1 - Kvantily a typická hodnota (bodově tříděná data): Určete typickou hodnotu, 40% a 80% kvantil. Tabulka hodnot: Varianta Četnost 0 4 1 14 2 17 3 37 4 20 5 14 6 7 7 11 8 20 Typická hodnota je
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceStavový model a Kalmanův filtr
Stavový model a Kalmanův filtr 2 prosince 23 Stav je veličina, kterou neznáme, ale chtěli bychom znát Dozvídáme se o ní zprostředkovaně prostřednictvím výstupů Příkladem může býapř nějaký zašuměný signál,
VícePearsonův korelační koeficient
I I.I Pearsonův korelační koeficient Úvod Předpokládejme, že náhodně vybereme n objektů (nebo osob) ze zkoumané populace. Často se stává, že na každém z objektů měříme ne pouze jednu, ale několik kvantitativních
VíceCVIČNÝ TEST 17. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 17 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Jsou dány funkce f: y = x + A, g: y = x B,
VíceKorelace. Komentované řešení pomocí MS Excel
Korelace Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A2:B84 (viz. obrázek) Prvotní představu o tvaru a síle závislosti docházky a počtu bodů nám poskytne
Více676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368
Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VíceVýsledný graf ukazuje následující obrázek.
Úvod do problematiky GRAFY - SPOJNICOVÝ GRAF A XY A. Spojnicový graf Spojnicový graf používáme především v případě, kdy chceme graficky znázornit trend některé veličiny ve zvoleném časovém intervalu. V
VíceJEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica
JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu
VíceZ tohoto setříděného souboru snadno sestavíme tabulku prostého rozdělení četností.
Příklad 1 Firma má pro své zaměstnance stanoveny tyto základní mzdy v Kč: 18600, 17650, 19200, 20400, 20800, 18600, 20400, 24200, 20400, 19200, 24200, 20400, 17650, 25800, 17650. Určete charakteristiky
Vícevzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor
Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Učební materiály (využívány průběžně): Poznámky Umí provádět operace
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
Více2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce
2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž
VícePopisná statistika kvantitativní veličiny
StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali
VíceUčivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh
Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceZáklady popisné statistiky
Základy popisné statistiky Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 26 Obsah 1 Základy statistického zpracování dat 2
VíceCvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 3 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme základní statistiky, typy proměnných a začali analýzu kvalitativních dat Tyhle termíny by měly být známé: Histogram, krabicový graf
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceŘešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
VíceJana Vránová, 3. lékařská fakulta UK
Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceStatSoft Jak vyzrát na datum
StatSoft Jak vyzrát na datum Tento článek se věnuje podrobně možnostem práce s proměnnými, které jsou ve formě datumu. A že jich není málo. Pokud potřebujete pracovat s datumem, pak se Vám bude tento článek
VíceVýběr báze. u n. a 1 u 1
Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceZÁKLADY STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ ÚDAJŮ 5. hodina , zapsala Veronika Vinklátová Revize zápisu Martin Holub,
ZÁKLADY STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ ÚDAJŮ 5. hodina - 22. 3. 2018, zapsala Revize zápisu Martin Holub, 27. 3. 2018 I. Frekvenční tabulky opakování z minulé hodiny Frekvenční tabulka je nejzákladnější nástroj
VíceStav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6
1. Příklad Byly sledovány rodinné stavy nevěst a ženichů při uzavírání sňatků a byla vytvořena následující tabulka četností. Stav Svobodný Rozvedený Vdovec Svobodná 37 10 6 Rozvedená 8 12 8 Vdova 5 8 6
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceMěření závislosti statistických dat
5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě
VícePopisná statistika. Komentované řešení pomocí programu R. Ústav matematiky Fakulta chemicko inženýrská Vysoká škola chemicko-technologická v Praze
Komentované řešení pomocí programu R Ústav matematiky Fakulta chemicko inženýrská Vysoká škola chemicko-technologická v Praze Načtení vstupních dat Máme k dispozici data o počtech bodů z 1. a 2. zápočtového
VíceKategorická data METODOLOGICKÝ PROSEMINÁŘ II TÝDEN 7 4. DUBNA dubna 2018 Lukáš Hájek, Karel Höfer Metodologický proseminář II 1
Kategorická data METODOLOGICKÝ PROSEMINÁŘ II TÝDEN 7 4. DUBNA 2018 4. dubna 2018 Lukáš Hájek, Karel Höfer Metodologický proseminář II 1 Typy proměnných nominální (nominal) o dvou hodnotách lze říci pouze
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceZadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde: Bodová předpověď: Intervalová předpověď:
Predikce Text o predikci pro upřesnění pro ty, které zajímá, kde se v EViews všechna ta čísla berou. Ruční výpočty u průběžného testu nebudou potřeba. Co bude v závěrečném testu, to nevím. Ale přečíst
VíceObecné, centrální a normované momenty
Obecné, centrální a normované momenty Obsah kapitoly 4. Elementární statistické zpracování - parametrizace vhodnými empirickými parametry Studijní cíle Naučit se počítat centrální a normované momenty pomocí
VíceLineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel
Lineární regrese Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:B11 (viz. obrázek) na listu cela data Postup Základní výpočty - regrese Výpočet základních
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI SEMESTRÁLNÍ PRÁCE
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Ekonomická fakulta Studentská 2 461 17 Liberec 1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE STATISTICKÝ ROZBOR DAT Z DOTAZNÍKOVÝCH ŠETŘENÍ Gabriela Dlasková, Veronika Bukovinská Sára Kroupová, Dagmar
VíceČasové řady - Cvičení
Časové řady - Cvičení Příklad 2: Zobrazte měsíční časovou řadu míry nezaměstnanosti v obci Rybitví za roky 2005-2010. Příslušná data naleznete v souboru cas_rada.xlsx. Řešení: 1. Pro transformaci dat do
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
Více10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda
@112 10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda Jedna z metod, která se používá při řešení soustavy lineárních rovnic, se nazývá substituční. Nejlépe si metodu ukážeme na příkladech. Příklad:
VícePrůměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot.
Průměr Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot. Co je to průměr # Průměrem se rozumí klasický aritmetický průměr sledovaných hodnot. Můžeme si pro
Vícepráce s Microsoft Accessem
Manuál práce s Microsoft Accessem pro cvičení z Humánní geografie 1 Zadání cvičení...2 2 Podkladová data...3 3 Microsoft Access...5 3.1 Založení nové databáze...6 3.2 Import tabelárních dat ve formátu
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
67. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C 1. Najděte nejmenší přirozené číslo končící čtyřčíslím 2018, které je násobkem čísla 2017. 2. Pro celá čísla x, y, z platí x 2 + y z =
VíceFrantišek Hudek. květen 2012
VY_32_INOVACE_FH06 Jméno autora výukového materiálu Datum (období), ve kterém byl VM vytvořen Ročník, pro který je VM určen Vzdělávací oblast, obor, okruh, téma Anotace František Hudek květen 2012 8. ročník
VíceVícerozměrná rozdělení
Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
VícePříklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11
Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Více2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)
Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7
Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku
VíceDotazy tvorba nových polí (vypočítané pole)
Téma 2.4 Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Pomocí dotazu lze také vytvářet nová pole, která mají vazbu na již existující pole v databázi. Vznikne tedy nový sloupec, který se počítá podle vzorce.
VícePythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami
Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek část (procentem) řeší aplikační úlohy
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceZpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen
VíceVýrobní produkce divizí Ice Cream Po lo ha plane t Rozložený výse ový 3D graf Bublinový graf Histogram t s tn e ídy
Výrobní produkce divizí Ice Cream Polo ha planet Rozložený výsečový 3D graf Bublinový graf Ice Cream 1 15% Ice Cream 2 12% Ice Cream 3 18% Ice Cream 4 20% Statistika 40 30 20 Ice Cream 6 19% Ice Cream
VíceJednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
VíceKarnaughovy mapy. Pravdivostní tabulka pro tři vstupní proměnné by mohla vypadat například takto:
Karnaughovy mapy Metoda je použitelná již pro dvě vstupní proměnné, své opodstatnění ale nachází až s větším počtem vstupů, kdy návrh takového výrazu přestává být triviální. Prvním krokem k sestavení logického
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Leptání plasmou. Ing. Pavel Bouchalík
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Leptání plasmou Ing. Pavel Bouchalík 1. ÚVOD Tato semestrální práce obsahuje písemné vypracování řešení příkladu Leptání plasmou. Jde o praktickou zkoušku znalostí získaných při přednáškách
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Více7 Ortogonální a ortonormální vektory
7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceMatematické modelování dopravního proudu
Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení
VícePythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy
Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu
VíceUKAZATELÉ VARIABILITY
UKAZATELÉ VARIABILITY VÝZNAM Porovnejte známky dvou studentek ze stejného předmětu: Studentka A: Studentka B: Oba soubory mají stejný rozsah hodnoty, ale liší se známky studentky A jsou vyrovnanější, jsou
VíceROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceGEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. VÝPOČET VÝMĚR Z PRAVOÚHLÝCH SOUŘADNIC Ing. Jana Marešová, Ph.D. rok 2018-2019 Výpočet ze souřadnic se používá pro určení
VíceAlgoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Více2.8.8 Výpočty s odmocninami II
.8.8 Výpočty s odmocninami II Předpoklady: 00807 Př. : Vypočti. Odmocniny, které nejdou počítat z hlavy usměrni. 5 0 7 3 c) 5 3 5 0 = 00 = 0 7 3 = 9 3 3 = 3 3 = 9 c) 5 = 9 5 = 3 5 3 = 6 = Př. : Vypočti
VíceVýpočet nového stavu je závislý na bezprostředně předcházejícím stavu (může jich být i více, zde se však omezíme na jeden).
Počáteční úloha Při simulace vývoje systému v čase používáme jednoduché zásady: Spojitý čas nahradíme posloupností časových okamžiků t 0, t 1, t 2, t 3,, t i,. Interval mezi následujícími časovými okamžiky
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
VícePožadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků
Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy
VíceCvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz
VíceStatistika pro geografy
Statistika pro geografy 2. Popisná statistika Mgr. David Fiedor 23. února 2015 Osnova 1 2 3 Pojmy - Bodové rozdělení četností Absolutní četnost Absolutní četností hodnoty x j znaku x rozumíme počet statistických
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VíceValue at Risk. Karolína Maňáková
Value at Risk Karolína Maňáková Value at risk Historická metoda Model-Building přístup Lineární model variance a kovariance Metoda Monte Carlo Stress testing a Back testing Potenciální ztráta s danou pravděpodobností
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
Více