JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

Transkript

1 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární. S : x + x = S : x + x = S 3 : x - x = 6x + 3x = 6x + 3x = 4 6x + 3x = 6 (A) S,S (B) S,S 3 (C) S,S 3 (D) všechny (E) žádná Regulární soustava se pozná tak, že hodnost její matice i hodnost její rozšířené matice je rovna počtu rovnic, kterých je ale stejně jako neznámých. Vzoreček vypadá takto: h(a) ) = h(a*) = počet rovnic = počet neznámých Toto když platí, je soustava regulární, a jinak ne. Připomínám, že hodnost se počítá tak, že se na danou matici použije Gaussova eliminace, tj. převedení úpravami na spodní trojúhelníkový tvar; a pak se spočítají nenulové řádky. Jak se dostaneme od soustavy k matici předvedu na zadaném příkladě. Jen si napřed řekneme tři důležitá pravidla přípravné fáze toho přechodu od soustavy k matici: ) Všechny členy v soustavě seřadíme podle písmenek abecedně nebo podle indexů. Např.: 3z - x + y = -x + y + 3z = ) Ve členech tvořených pouze písmenkem před to samotné písmenko dopíšeme jedničku - např.: -x + y + 3z = -x + y + 3z = 3) Když v nějaké rovnici chybí člen s nějakým písmenkem, doplníme místo něj nulový člen - bude tvořen nulou a tím písmenkem. Např.: -x + y + 3z = -x + y + 3z = 3x - z = 3x + y - z = Poznámka: Zadané soustavy jsou už téměř připravené, jenom na dvou místech chybí jednička.

2 S : x + x = x + x = 6x + 3x = 6x + 3x = Matici A soustavy dostaneme tak, že vynecháme písmenka, plusy a pravé strany včetně rovnítek = A Úpravy: 6 3 h(a) = Snad Vás nezmátl způsob zápisu úpravy matice, neznamená to, že odečítáme tři ix, nýbrž že odečítáme trojnásobek prvního řádku od řádku druhého. Rozšířenou matici A* soustavy (nejen) S uděláme tak, že v předpřipravené soustavě vynecháme pouze písmenka a plusy. (Sloupec pravých stran oddělujeme čárkovanou čárou.) = A* Úpravy: 6 3 h(a*) = h(a)... Soustava S není regulární. Soustava S nám dává pěknou možnost pochopit, co vlastně znamená regulární soustava, a co se děje, když soustava není regulární. A sice když ji zkusíme vyřešit postaru jako na základní škole: x + x = 6x + 3x = Druhou rovnici dělíme třemi, protože jsou vlevo soudělná čísla x + x = x + x = 3 Z toho plyne =, což není pravda, takže jsme dostali spor. To znamená, že soustava nemá žádné řešení. U podobné soustavy x x = 6x 3x =3 by vyšlo h(a) = h(a*) =, protože se vlastně jedná o dvě varianty jedné rovnice o dvou neznámých. Ani tato soustava není regulární a má nekonečně mnoho řešení. Ale zpět k příkladu: S : x + x = 6x + 3x = 4 A = h(a) =,

3 A* = h(a*) =, rovnic..., neznámých.... Takže tato soustava je regulární. S 3 : x - x = x - x = 6x + 3x = 4 6x + 3x = 4 A = A* = h(a) =, h(a*) =, rovnic..., neznámých.... S 3 je také regulární. Správně je (C): "S, S 3 ". A jak by vypadalo řešení takové regulární soustavy? S : x + x = 6x + 3x = 4-6x + -6x = -6 6x + 3x = 4 první rovnici vynásobíme mínus trojkou sečteme x - 3x = - -3x = - / :(-3) x = 3 Dosadíme do první rovnice: x = / : x + 3 = / - Řešení soustavy S : [ 4 3, 3 ]. x = = 4 3. Určete, kolik řešení má soustava čtyř rovnic o čtyřech neznámých x, x, x 3, x 4 vpravo x + x - 3x 3 + x 4 = x + x + x 3 - x 4 = 6 3x + x - 3x 3 + x 4 = 5 x - x - x 3 + 3x 4 = 4 (A) žádné (B) právě (C) právě (D) právě 4 (E) nekonečně mnoho Soustava má právě jedno řešení, když je regulární, tj. hodnost matice soustavy, hodnost rozšířené matice soustavy, počet rovnic v soustavě a počet neznámých je jedno a totéž číslo.

4 Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(a) = h(a*) < počet neznámých. Soustava nemá žádné řešení, pokud h(a) < h(a*). A nic jiného nenastane. Takže postup řešení je jako v prvním příkladu: x + x - 3x 3 + x 4 = x + x + x 3 - x 4 = 6 3x + x - 3x 3 + x 4 = 5 x - x - x 3 + 3x 4 = 4 x + x - 3x 3 + x 4 = x + x + x 3 - x 4 = 6 3x + x - 3x 3 + x 4 = 5 x - x - x 3 + 3x 4 = h(a) = 4, h(a*) = 4, rovnic... 4, neznámých... 4, tzn. soustava je regulární. Má tedy právě jedno řešení, kterým je ovšem jedna čtveřice čísel. Správně je tedy (B). Poznámka: Protože rozšířená matice A* soustavy už obsahuje matici A dané soustavy, provádíme úpravy na rozšířené matici a při konečném počítání nenulových řádků A si pak odmyslíme sloupec pravých stran.

5 3. Je dána soustava lineárních rovnic o neznámých x, x x - 3x = 3 x + px = 6 Určete, jaká musí být hodnota parametru p, aby soustava byla regulární. (A) p 6 (B) p -6 (C) p = 6 (D) p = -6 (E) žádná z uvedených odpovědí není správná. Vlastně stejně jako v předchozích příkladech sestrojíme rozšířenou matici soustavy. Provádíme na ní úpravy, přitom s písmenkem p pracujeme stejně jako s číslem. Nakonec se podíváme, pro jaká p má výsledná matice ten správný počet nenulových řádků, čímž dostaneme jednu (ne)rovnici pro p. Její řešení je výsledek příkladu. x - 3x = 3 x - 3x = 3 x + px = 6 x + px = 6 3 p p6 3 p6= ha*=, h A=, rovnice, neznámé Soustava není regulární. p6 ha*=ha=počet rovnic = počet neznámých= Soustava je regulární. p + 6 / -6 p -6 Takže možnost (D) je správně. 4. Máme řešit maticovou rovnici X. [ ] = [ ] pomocí matice inverzní. Tato matice inverzní je rovna [ (A) ] [ (B) ] [ (C) ] [ (D) (E) není žádná z uvedených matic. ] Řešení maticových rovnic je vysvětleno na zvláštní stánce. Jenom způsob zápisu ve skriptech neodpovídá. Já používám tento: X = Podle návodu je první krok řešení označit matice písmenky:

6 X A = B, A =, B = Dále by následovaly úpravy: X A = B / A - (zprava) X A A - = B A - / vlevo roznásobit X E = B A - /... atd. Úkolem ale není vyřešit rovnici. Pouze se dopídit k matici A -. Ukážeme si výrobu inverzní matice metodou úprav. Dělá se to tak, že si napíšeme dvojmatici ( A E ). Vlevo je zadaná matice, ke které hledáme matici inverzní, vpravo pak dáme jednotkovou matici odpovídající velikosti. Pak děláme úpravy na celé takto vzniklé dlouhé dvojřádky, až >>>>> se dostaneme k jednotkové matici vlevo. To, co je v pravé půlce, je potom hledaná inverzní matice ( E A - ). Protože jde většinou o docela dlouhý proces, kde může na každém kroku dojít k hloupé chybě třeba přehlédnutím, doporučuji pak ještě udělat zkoušku vynásobením matic A A -. Nuže realizujeme celý postup, aby bylo jasno: ( A E ) = = ( E A- ) Ten zápis berte s rezervou, je spíše schematický než korektní. Nicméně výsledek je: A - =, což je možnost (B).

7 5. Pomocí Cramerova pravidla vypočítejte neznámou x 3 soustavy lineárních rovnic. 5x + x + 9x 3 = x - x + x 3 = 4x - x + 6x 3 = (A) x 3 = - (B) x 3 = (C) x 3 = (D) x 3 = (E) není žádná z uvedených. Cramerovo pravidlo spočívá v tom, že upravíme soustavu podle návodu v příkladu, pořídíme si její matici A, a pak ještě další matice - těch bude tolik, kolik je neznámých a dostaneme je takto: Matice A j vznikne z matice A nahrazením j-tého sloupce sloupcem pravých stran. Neznámé pak spočítáme podle vzorečku: x j = det A j neboli x det A j = A j A, j nabývá hodnot,,... n = počet neznámých. kde samozřejmě písmenko Poznámka: Mně osobně není Cramerovo pravidlo moc sympatické, protože na soustavy o dvou a třech neznámých mi připadá příliš složité, tj. že dle mého vyžaduje více úprav; a u větších soustav zase narážíme na problém výpočtu velkého determinantu, což se může ukázat jako problém náročnější než samotné řešení soustavy třeba i bez matic. Pokud ale hledáte způsob, jak naprogramovat počítač, aby počítal soustavy rovnic, pak jste s Cramerovým pravidlem na správné cestě. Přerušení poznámky. Zde máme soustavu 3 rovnic čili zadání asi nejšikovnější na Cramerovo pravidlo. Vezmeme to popořádku: přípravná fáze - úprava soustavy: 5x + x + 9x 3 = x - x + x 3 = 5x + x + 9x 3 = x - x + x 3 = 4x - x + 6x 3 = 4x - x + 6x 3 = = A* opatříme si matici soustavy:

8 5 9 6 A = 4, a rovnou spočítáme její determinant: A = = = 5.(-) (-) - 9.(-).4-5..(-) -..6 = = = = -8 Opatřili bychom si další 3 matice a jejich determinanty, ale v tomto příkladu se po nás chce spočítat pouze x 3, takže se s A a A nebudeme zdržovat, když nám A 3 stačí: 5 A 3 =, determinant: 4 A 3 = = = 5.(-) (-) -.(-).4-5..(-) -.. = = = = = = - 4 Zbývá dosadit do vzorečku: x 3 = A 3 A = 4 8 = Takže možnost (D). Pokračování poznámky: Nyní račte posoudit, zda je to šikovnější způsob než úpravami matice: 5 9 Rozšířenou matici soustavy A* už máme

9 x - x + x 3 = x + 3x 3 = 4x 3 = Upravíme pouze třetí rovnici, protože x a x nepotřebujeme: 4x 3 = / :4 x 3 = Dobrá, dobrá. Vyšlo to tak nějak nerozhodně. Ale kdybychom měli spočítat všechny neznámé, asi by byla metoda úprav opravdu rychlejší. Konec poznámky. 6. Určete, kolik z daných čtyř soustav rovnic o neznámých x, x nesplňuje Frobeniovu podmínku. x - x = x - x = x + x = -x + x = -4x + 4x = -4 6x + 3x = 3 x + x = 3x + 3x = (A) (B) (C) (D) 3 (E) 4 Ta Frobeniova podmínka je: h(a) = h(a*) Postup bude tedy stejný jako v příkladu a, jenom zde nemusíme výsledek porovnávat s počtem neznámých, resp. rovnic. První soustava: x - x = x - x = -x + x = -x + x = h(a) =, h(a*) =... Podmínku nesplňuje. Pro ty, kdo z nějakého důvodu potřebují vysvětlivku, jakým kouzlem se došlo k číslům h(a) a h(a*): 3

10 h(a)... Počet nenulových řádků schematu levých stran po úpravách. To je toto: h(a*)... Spočítáme řádky v matici po úpravách, ve kterých je alespoň jedna nenula včetně sloupce levých stran. To je toto: Tak pokročíme k druhé soustavě: x - x = -4x + 4x = h(a) =, h(a*) =... Splňuje. Třetí soustava: x + x = x + x = 6x + 3x = 3 6x + 3x = h(a) =, h(a*) =... Nesplňuje. Poslední soustava: x + x = x + x = 3x + 3x = 3x + 3x = 3 3 h(a) =, h(a*) =... Splňuje. Takže vyšlo dvakrát, že nesplňuje a dvakrát, že splňuje. To je možnost (C). Dokument je součástí projektu Matematiho matematické stránky.