Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Transkript

1 Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové číslo, které splňuje výše uvedenou podmínku, nazýváme ho řešením neboli kořenem rovnice. Rovnice, v nichž se neznámá vyskytuje pouze v první mocnině, nazýváme lineární. Představme si rovnost jako váhy, na jejichž miskách leží oba výrazy: Jaké číslo musíme dosadit za neznámou x, aby byla rovnost zachována a misky zůstaly ve stejné výšce? Zpaměti snadno určíme, že hledaným číslem je 10. Jak jinak můžeme k tomuto číslu dospět? Řešení vidíme na obrázku. Přidáme-li na obě misky číslo 1, rovnováha (rovnost) se nezmění. Na levé misce zůstane pouze neznámá x, na pravé straně číslo 10. A nyní si celou situaci popišme matematickým jazykem: levá miska vah... levá strana rovnice pravá miska vah... pravá strana rovnice přidání čísla 1... přičtení čísla 1 k oběma stranám rovnice 1

2 a také matematickým zápisem: x 1 = 9 / +1 x = x = 10 U každé rovnice je možno provést zkoušku tak, že za neznámou dosadíme spočtený výsledek, a to zvlášť do každé strany rovnice. V našem konkrétním příkladě to bude vypadat následovně: L(10) = 10 1 = 9 P(10) = 9 L(10) = P(10) Číslo 10 je řešením neboli kořenem rovnice. Množinu všech kořenů rovnice zapisujeme takto: K = {10}. Ekvivalentní 1 úpravy Jedná se o úpravy, po jejichž provedení mají původní i nově vytvořená rovnice stejné kořeny. Ekvivalentní úpravy sice změní matematický zápis rovnice, nezmění však rovnost ani řešení (kořeny) rovnice. Proč je vůbec provádíme? Důvod je jednoduchý: pomocí ekvivalentních úprav se snažíme vyjádřit (osamostatnit) neznámou. Jaké ekvivalentní úpravy známe? 1. Přičtení nebo odečtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice. 2. Vynásobení nebo vydělení obou stran rovnice libovolným nenulovým číslem (výrazem). Pro úplnost dodejme, že kořen rovnice se nezmění ani v případě, že zaměníme pravou a levou stranu rovnice. Ekvivalentní úpravu zapisujeme obvykle za lomítko v řádku, kde jsme ji zahájili. 1 Význam slova ekvivalentní: rovnocenný, stejný. 2

3 2. x + 3 = 5 / 3 2. x = x = 2 / : 2 2. x 2 = 2 x = 1 K = {1} Pomocí ekvivalentních úprav můžeme "převádět" neznámou z jedné strany rovnice na druhou. Násobení obou stran rovnice nenulovým číslem nám také umožňuje zbavit se zlomků. x = x 4 3 / x x = x + 8 = 3x 18 / 3x / 8 6x + 8 3x 8 = 3x 3x x = 26 / : 3 x = 26 3 K = 26 3 Obor řešení rovnice Množinu, ve které hledáme všechny kořeny rovnice, nazýváme oborem řešení rovnice. Rovnici nejčastěji řešíme v oboru reálných čísel, ale existují i výjimky. Například při řešení slovních úloh pomocí rovnic může nastat situace, kdy budeme požadovat, aby oborem řešení byla pouze přirozená čísla s ohledem počty lidí, zvířat apod. 3

4 V N řešte rovnici: 4x 6 = 2x + 5 / 2x /+6 4x 2x = 2x 2x + 5 2x = 5 /: 2 x = 5 2 K = (Prázdná množina. Řešení není z oboru přirozených čísel.) Počet řešení Rovnice může mít nekonečně mnoho řešení nebo žádné řešení. Ukažme si to na konkrétních příkladech. 3x + 2x + 1 = 5x x + 1 = 5x + 1 / 5x / 1 0 = 0 K = R Pokud je výsledkem pravdivá rovnost, která neobsahuje neznámou, existuje nekonečně mnoho řešení rovnice. Jinak řečeno, množina všech kořenů je rovna oboru řešení rovnice. 3x + 2x 1 = 5x x 1 = 5x K = 4

5 Pokud je výsledkem nepravdivá rovnost, která neobsahuje neznámou, neexistuje žádné řešení rovnice. Jinak řečeno, množina všech kořenů je množinou prázdnou. Rovnice s neznámou ve jmenovateli Jedná se o náročnější typ rovnic, ve kterých se neznámá vyskytuje ve jmenovateli aspoň jednoho zlomku. Neznámou odstraníme vhodným vynásobením celé rovnice. Při řešení těchto rovnic bychom měli v úvodu stanovit podmínky řešení x = 0 /.2x x 0 2 2x 3x (10 + x) = 0 3x 10 x = 0 K = {5} 2x 10 = 0 2x = 10 x = x 12 = 5 x x (x 4) = 5 x x x 4 = 5 x x 4 5(x 4) + 1 = 5 x x 4 0 x 4 /(x 4) 5x = 5 x 6x = 24 /:6 x = 4 K = 5

6 Poznámka: Pokud bychom provedli zkoušku, zjistili bychom, že číslo 4 není kořenem dané rovnice. Zkouška tedy může nahradit podmínky řešení, ale někdy bývá časově náročnější x 2 = 1 3x 1 + 3x x 3x 1 12 (1 3x)(1 + 3x) = 1 3x 1 + 3x 1 + 3x (1 3x) K = { 1} 12 = (1 3x) 2 (1 + 3x) 2 12 = (1 6x + 9x 2 ) (1 + 6x + 9x 2 ) 12 = 1 6x + 9x 2 1 6x 9x 2 12 = 12x 1 = x 1 + 3x 0, 1 3x 0 x ± 1 3 /(1 3x)(1 + 3x) vytknutí čísla 1 Poznámka: V průběhu řešení jsme použili obrat vytýkání čísla 1 před závorku: 3x 1 = 1(1 3x) = (1 3x) 6

7 Řešení soustav 2 rovnic o 2 neznámých Řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých znamená najít takovou uspořádanou dvojici čísel x, y (zapisujeme [x, y]), která jsou řešením obou rovnic. Způsoby řešení Různé způsoby řešení si ukažme na konkrétní soustavě rovnic. 1. Dosazovací metoda Při řešení soustavy dosazovací metodou vyjádříme nejprve jednu z neznámých z první rovnice a pak tento výsledek vložíme do druhé rovnice. V reálných číslech řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: 4x + 2y = 14 7x 3y = 5 2y = 14 4x /: 2 (z první rovnice vyjádříme např. neznámou y) y = 7 2x vyjádřenou proměnnou y dosadíme do druhé rovnice 7x 3(7 2x) = 5 a vypočteme proměnnou x : 7x x = 5 /+21 13x = 26 x = 2 výsledek dosadíme zpět do neznámé y: y = y = 7 4 y = 3 Zkoušku provedeme tak, že výsledky dosadíme do obou rovnic. L1 = = = 14 7

8 P1 = 14 L1 = P1 L2 = = 14 9 = 5 P2 = 5 L2 = P2 Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice [2, 3]. Množinu výsledků můžeme zapsat takto: K = {[2, 3]} 2. Sčítací metoda Při řešení soustavy rovnic sčítací metodou vynásobíme jednu z rovnic (nebo obě) vhodným číslem (nebo čísly) tak, aby po sečtení obou rovnic zůstala nejvýše jedna neznámá. V reálných číslech řešte soustavu rovnic sčítací metodou: 4x + 2y = 14 /.3 7x 3y = 5 /.2 12x + 6y = 42 14x 6y = 10 26x = 52 /:26 x = 2 + Sečtením obou rovnic se pokusíme odstranit neznámou y. výsledek dosadíme za proměnnou x do libovolné z rovnic, například do první rovnice: y = y = 42 / 24 8

9 6y = y = 18 /: 6 y = 3 K = {[2, 3]} Další informace o řešení lineárních rovnic a jejich soustav - viz látka 1. ročníku (kapitola: Lineární funkce, rovnice, nerovnice a jejich soustavy). Odkaz na další studijní materiály: Použitá literatura a ostatní zdroje CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU - 1. díl. 1. vydání. Prometheus, ISBN Obrázky - zdroj: vlastní tvorba 9