Nekvantový popis interakce světla s pasivní látkou Zcela nekvantová fyzika nemůže interakci elektromagnetického záření s látkou popsat, např. atom jako soustava kladných a záporných nábojů by vůbec nebyl stabilní. Na druhé straně jsou pojmy klasické (nekvantové) fyziky názorné a pro běžnou praxi i laboratorní práci zcela nepostradatelné. Rozdělení optického spektrálního oboru str. 1. Příklady typických interakcí optického záření s látkami jsou na str. 2. V mnoha běžných případech v optickém oboru je zanedbáváno silové působení magnetické složky elektromagnetického pole na náboje v látce str. 3 6. Základem fenomenologického, makroskopického popisu interakce záření s látkou jsou Maxwellovy rovnice ve tvaru r div D = ρ v optice obvykle neutrální prostředí ρ = 0 r r r r B r r D div B = 0, rot E =, rot H = j + t t r r r r r r r r r r B ( ) ( ) ( ) ( ) (, t) r r D, t = ε 0E, t + P, t, H, t = M (, t) µ 0 které neberou v úvahu příliš rychlé časové a prostorové změny polí v látce. Na veličiny r r r r E, D, B, H se lze dívat jako na vhodně zprůměrovaná mikroskopická pole (viz J.Kvasnica: Teorie elektromagnetického pole, kapitola II). str. 7 8. V optice se velmi často předpokládá M r = 0, čímž se mnohé vztahy podstatně zjednoduší. V této části se budeme zabývat elektromagnetickou vlnou, se kterou látka interaguje pasivně, tedy energii z dopadající vlny absorbuje a nepřevádí energii jiného druhu (která by v látce byla uskladněna) na elektromagnetické záření; není to tedy aktivní zdroj vln. Materiálové vztahy adekvátní pro popis různých jevů tohoto druhu mohou být dosti rozmanité; za základní lze považovat přiblížení lineárního prostředí se zahrnutím frekvenční r (časové) disperze, což znamená, že odezva látky - tj. v tomto modelu vektor polarizace P ( r, t) - reaguje nejen na okamžité elektrické pole v daném místě, ale i na elektrická pole v minulosti. Reakce látky je pak popsána konvolucí paměťové funkce a časové závislosti elektrického pole v minulosti. r r t r P(, t) = ε ( t t ) E( r, t ) dt 0 χ t< t r Prostorová disperze (závislost polarizace P ( r, t) v místě r na elektrickém poli v okolí tohoto místa) se v mnohých případech dá zanedbat, pro některé jevy je však podstatná, str. 9 11. Aplikací věty o Fourierově transformaci konvoluce dostáváme, že fourierovské složky dopadající vlny a odezvy lze spojit frekvenčně závislou susceptibilitou str. 12-16 ω = ε χ ω E ω. ( ) ( ) ( ) Pω 0 Základní nekvantový model Lorentzův vychází z představy látky jako souboru oscilátorů - elektrických dipólů, jejichž náboje elektrické pole vychyluje z jejich rovnovážných poloh. Tak je vytvářena v látce polarizace. Výsledné pole vyhovuje Maxwellovým rovnicím, z čehož ω ω
lze odvodit vztah mezi parametry oscilátorů (náboj q, rezonanční frekvence Ω, tlumení γ ), jejich koncentrací N v látce a susceptibilitou χ. Nejjednodušší varianta předpokládá monochromatickou vlnu, jeden druh oscilátorů, zanedbává interakci mezi oscilátory a vede ke vztahu pro susceptibilitu 2 2 2 χ Nq Ω ω + iγω ( ω) =, ω 2 2 2 ε 2 2 0 Ω ω + str. 17 20. m γ ω ( ) Šíření vlny v látce je nejjednodušeji popsáno pomocí komplexního indexu lomu ω n + iκ = 1+ χ či komplexním vlnovým vektorem o velikosti K = ( n + iκ ) = k R + ik I, c přičemž k r R je kolmá na vlnoplochy a k r I je kolmá na plochy konstantní amplitudy. V homogenní tlumené vlně je k r k r. Pokles intenzity záření na dráze z je popsán vztahem I ( z) = I( z = ) exp( αz) R I ω 0, kde absorpční koeficient je α = 2 k I = 2 κ, str. 18 24. c V reálných látkách je vždy více druhů oscilátorů lišících se rezonanční frekvencí. Platí pravidlo o sčítání susceptibilit, což může dost podstatně ovlivnit spektra pozorovaných veličin. Na spektrální závislosti spočtené v modelu osamoceného Lorentzova oscilátoru má vliv síla oscilátoru, tlumení i příspěvek k susceptibilitě od oscilátorů s mnohem vyšší rezonanční frekvencí, o frekvenčně blízkých oscilátorech ani nemluvě. Na obrázcích jsou znázorněny: - spektrální závislosti reálné a imaginární části susceptibility a její absolutní hodnoty, - fázový posun mezi polarizací látky a elektrickým polem vlny, - diagram imaginární část reálná část susceptibility, - spektrální závislosti reálné a imaginární části indexu lomu, - reálná a imaginární část koeficientu amplitudové odrazivosti pro kolmý dopad rovinné vlny na rovinné rozhraní vakuum - látka. - a spektrální závislost výkonové odrazivosti rovněž pro kolmý dopad. Velmi výrazné spektrální závislosti se objevují zejména v případě silného, málo tlumeného oscilátoru, kdy ani vliv dalších oscilátorů nezabrání záporné hodnotě reálné části permitivity. V okolí rezonanční frekvence polarizace a elektrické pole kmitají téměř v protifázi (příslušný fázový posuv se blíží π), reálná část indexu lomu je podstatně menší než 1 a v okolí rezonanční frekvence nastává na rozhraní vysoká reflektivita následovaná pro trochu vyšší frekvence prudkým poklesem ( reflexní hrana ) obr. na str. 28 a 29. Ovšem např. silnější tlumení oscilátoru tyto výrazné jevy velmi významně redukuje (str. 29A,B). Zatímco spektrální průběh reflektivity není přímo závislý na hodnotě rezonanční frekvence (předchozí grafy lze kreslit jako funkce relativní frekvence ω / Ω ), ve vztahu pro absorpční koeficient vystupuje i ω. Obr. na str. 33 má ilustrovat kmity iontů v iontovém krystalu (relativně velmi silný oscilátor), obr. na str. 34 ukazuje, že i případ v předchozích obrázcích označovaný jako malá síla oscilátoru je spojen s dosti významnou absorpcí i pro vzorky mikrometrové tloušťky. str. 25-34. Často užívaným výrazem pro spektrální závislost absorpce je Lorentzův tvar absorpčního pásu, což je velmi dobrá aproximace vztahu odvozeného z Lorentzova modelu, str. 35.
Obecná souvislost mezi rezonanční křivkou a paměťovou funkcí (Fourierova transformace) je ilustrována na Lorentzově modelu. Paměťová funkce (odezva na δ-pulz) je spočtena jako limita pro excitaci velmi úzkými obdélníkovými pulzy, str. 36 38. Fourierovou transformací paměťové funkce získáme rezonanční křivku, str. 39, Fourierovou transformací rezonanční křivky dostaneme paměťovou funkci, str. 40 42. Reálná a imaginární část rezonanční křivky χ ( ω) jsou spojeny Kramersovými Kronigovými relacemi, ověření lze provést pomocí reziduální věty str. 43 45, výpočet téhož integrováním v reálném oboru rozkladem na parciální zlomky je na str. 46 52. Původní Kramersovy Kronigovy relace jsou vztahy mezi složkami indexu lomu n + iκ str. 52 54. Fázová rychlost vlny v látce (popsaná reálnou částí indexu lomu) je odlišná od rychlosti světla ve vakuu. Lze to objasnit na základě superpozice dopadající (excitační) vlny a vln vysílaných dipóly látky rozkmitanými touto vlnou. To je ilustrováno na modelu velmi tenké vrstvy vyplněné navzájem neinteragujícími dipóly. V místě pozorování za deskou je výsledkem součtu původní rovinné vlny s kulovými vlnami vyzařovanými rozkmitanými dipóly rovinná vlna fázově posunutá oproti vlně, která by zde byla v nepřítomnosti desky. Fázový posun souvisí jednak s komplexní susceptibilitou, která popisuje fázový posuv mezi kmitajícími dipóly a budící vlnou v místě dipólu a dále s fázovým posuvem spojeným se vzdáleností dipóly místo pozorování. Druhý příspěvek přináší pro nekonečnou a velmi tenkou vrstvu fázový posuv π, 2 str. 55 62. Všechny dosud uvedené úvahy zanedbávaly interakci mezi kmitajícími dipóly. V elektrostatice je vliv vnitřního pole způsobeného okolními dipóly zohledněn v Clausiově Mossottiově vztahu mezi polarizovatelností molekul β, jejich koncentrací N a relativní permitivitou ε rel Nβ ε rel 1 =, 3ε 0 ε + 2 zatímco bez započtení vzájemného působení dipólů je ε rel = Nβ +1. Velmi podobnému 2 Nβ n 1 vztahu v optice = se říká Lorentzův Lorenzův. str.63-68. 2 3ε 0 n + 2 Zahrnutím vnitřního pole do pohybové rovnice dostaneme i posunutí rezonanční frekvence a významné ovlivnění indexu lomu též ve spektrální oblasti daleko od rezonancí, str. 69 69/2. Obecně lze ukázat, že Lorentzův Lorenzův vztah je v souhlase s představou, že pole v látce vzniká superpozicí dopadající vlny a vln vyzařovaných dipóly rozkmitávanými touto vlnou i kulovými vlnami od okolních dipólů. Všechny tyto příspěvky se sice šíří s fázovou rychlostí c, ale výsledná vlna má fázovou rychlost jinou, popsanou indexem lomu n, který vyhovuje Lorentzově-Lorenzově vztahu. Obecný postup výpočtu není úplně triviální (např. při popisu kulových vln emitovaných dipóly se nelze omezit na aproximaci radiační zóny), viz Born, Wolf, Principles of Optics, část 2.4. Zde se omezíme na speciální případ kolmého dopadu rovinné vlny na rovinné rozhraní, kdy látka (spojité rozložení dipólů) vyplňuje poloprostor, str. 70 80. rel
Podobným způsobem lze pojednat i vlnu odraženou od rozhraní zpět do vakua jako složení vln emitovaných rozkmitanými dipóly, str. 81-82. Na základě tohoto přístupu lze odvodit i zákon lomu a Fresnelovy vztahy pro koeficienty reflektivity (Born, Wolf, část 2.4.3). V látkách nejsou přítomny jen náboje vázané ke svým rovnovážným polohám, ale vyskytují se i náboje volně pohyblivé. Jejich příspěvek k optickým parametrům je v nejjednodušší verzi popsán Drudeovým modelem, který vychází z pohybové rovnice náboje v elektrickém poli monochromatické vlny. Příslušná proudová odezva je charakterizována vodivostí 2 Nq iε 0 2 iε 0 σ ( ω) = = ω p, ε 0m ω + iγ ω + iγ kde plasmová frekvence je dána koncentrací nábojů, velikostí příslušného náboje a jeho hmotností; γ je opět tlumení pohybu náboje. Prostředí je elektricky neutrální a vzájemná interakce nábojů a jejich proudů se neuvažuje. Z Maxwellových rovnic pak vyplývá, že v takovém prostředí může existovat vlna popsaná komplexním vlnovým vektorem 2 ω 2 ω p k = ( n + iκ ), kde ( n + iκ ) 1 =, což lze velmi přirozeně označit jako c ω( ω + iγ ) susceptibilitu, přesněji jako příspěvek volných nábojů k celkové susceptibilitě. Veličiny spočtené v čistém Drudeově modelu bez dalších příspěvků jsou ilustrovány na str. 87 až 90. Taková látka ovšem neexistuje a vždy se vyskytují další příspěvky, např. od oscilátorů. Pokud je jejich rezonanční frekvence daleko, můžeme je aproximovat v nejhrubším popisu konstantním příspěvkem k susceptibilitě. To má za následek spektrální posuv frekvence, pro kterou nastává ε ( ω) = 0, což v případě čistého Drudeova modelu je právě plasmová frekvence ω p, se kterou je spojena např. reflexní hrana. To je ukázáno na str. 91. Jako příklad reálných kovů jsou na str. 92 a 93 uvedena spektra zlata a stříbra. V obou případech mezipásové elektronové přechody významně posunou reflexní hrany k nižším frekvencím. Přestože parametry volných nábojů jsou pro oba kovy velmi podobné, právě další příspěvky (mezipásové přechody) způsobují výrazné ovlivnění parametrů zlata ve viditelné oblasti a z toho vyplývá různý vzhled (barva) obou kovů, str. 83 93. Látkami se mohou šířit různé typy vln. Pokud zajistíme podmínky tak, aby se šířila homogenní rovinná monochromatická vlna (např. kolmý dopad homogenní rovinné vlny na rovinné rozhraní), v látce se bude šířit rovinná homogenní tlumená vlna plně v souladu s popisem materiálu pomocí permitivity, str. 94 95, v jiných případech složitější nehomogenní tlumená vlna. Jisté obezřetnosti je potřeba při zkoumání odezvy na elektrické pole, které má stejnosměrnou složku, jako je tomu při hledání odezvy na velmi krátký pulz (δ-pulz) při určování příslušné paměťové funkce přímo z pohybové rovnice náboje, str. 96 99. Výsledek je v souladu s výpočtem Fourierovy transformace Drudeovy susceptibility, str. 100 102. Vodivostní paměťová funkce je v podstatě časová derivace susceptibilitní paměťové funkce, čemuž ve Fourierových obrazech odpovídá násobení ω, str. 103-104.
Reálná a imaginární část Drudeovy susceptibility splňují Kramersovy-Kronigovy relace, což je pro jednu z nich prověřeno na str. 104 106.