Poznámky k Fourierově transformaci

Transkript

1 Poznámky k Fourierově transformaci V těchto poznámkách jsou uvedeny základní vlastnosti jednorozměrné Fourierovy transformace a její aplikace na jednoduché modelové případy. Pro určitost jsou sdružené proměnné označeny jako t (čas) a ω (kruhová frekvence), případně τ (časové zpoždění) a ω. Snadno dostupný zdroj poučení o Fourierově transformaci je pojednání Prof. Jiří Komrska Fourierovské metody v teorii difrakce a strukturní analýze (obsah) (jednotlivé kapitoly) kde xx=00 až 20. V našem pojednání budeme užívat pro přímou FT (vše za podmínky, že příslušné integrály existují) a pro zpětnou transformaci f f ω 1 =, 2π ( ω) f ( t) exp( iωt) dt 1 = 2π ( t) f ( ω) exp( iωt) dω. ω V následujících poznámkách jsou uvedeny příklady FT jednoduchých modelových tvarů pulzů. Pro tyto transformace postačí znalost integrace typu x2 1 exp[( a + ib) x] dx = { exp[ ( a + ib) x2 ] exp[ ( a + ib) x1 ]}, a + ib x1 případně pro gaussovské pulzy π b ( a x + bx) dx = exp, a > 0, b exp a 2 4a může být komplexní. V některých případech jsou ukázány i výpočty zpětné Fourierovy transformace. Potřebné integrály je výhodné počítat pomocí reziduové věty či využitím Hilbertovy transformace, což je náplní prvních částí těchto poznámek. Pro zpětnou transformaci funkcí spojených s tlumeným oscilátorem je užitečné ( iωt) exp dω = 2π i exp ω ω + iγ 0 = 0 ( γt) exp( iωt) pro pro t > 0 t < 0 Poté následuje část o obených vlastnostech FT, její aplikace na pulzy obdélníkové, trojúhelníkové, gaussovské a tlumené oscilace. Na těchto typech pulzů je ilustrována nepřímá úměrnost mezi dobou trvání pulzu a příslušnou spektrální šířkou. Pro optickou spektroskopii je důležitá energetická spektrální hustota, což je kvadrát absolutní hodnoty Fourierova obrazu pulzu f ( ω) 2 ω autokorelační funkce pulzu. To je ukázáno jak obecně pro kvadraticky integrabilní f ( t) ilustrováno na příkladech tlumené oscilace a gaussovského pulzu., který je úměrný Fourierově obrazu, tak

2 Poslední část je věnována Fourierově transformaci δ-funkce a Heavisideova schodu. Vlastností Heavisideova schodu lze využít při odvození Kramersových Kronigových relací, které lze alternativně odvodit též za pomoci reziduové věty. Obsah: Použití reziduové věty k výpočtu integrálů... str Použití Hilbertovy transformace k výpočtu integrálů... str Vybrané integrály... str. 20 Obecné poznámky k FT... str. 21 a násl. rozvoj periodických funkcí... str neperiodické funkce... str kosinová a sinová FT reálné funkce... str linearita FT... str. 27 teorémy o škálování, posuvu a modulaci... str. 28 teorém o konvoluci, (FT konvoluce dvou funkcí)... str. 29 teorém o součinu (FT součinu dvou funkcí)... str speciální případ konvoluce autokorelace... str. 31 Parsevalův teorém... str Fourierova transformace vybraných funkcí... str. 33 a násl. aa) obdélník symetrický kolem t=0... str ab) inverzní transformace k předešlému... str. 35 ac) časově posunutý obdélník... str ad) vliv zúžení obdélníku... str ae) modulovaný obdélník symetrický kolem t=0... str af) modulovaný obdélník antisymetrický kolem t=0... str ag) obdélník modulovaný exponenciálou s imaginární proměnnou str. 43 ba) trojúhelník symetrický kolem t=0... str bb) trojúhelník jako korelační funkce obdélníku... str. 46 ca) gaussovský pulz kolem. t=0... str cb) časově posunutý gaussovský pulz... str cc) gauss. pulz modul. exponenciálou s imaginární proměnnou str. 51 cd) gauss. pulz modul. reálnou funkcí sinus... str. 52 ce) gauss. pulz modul. reálnou funkcí kosinus... str. 53 cf) časově posunutý modulovaný gaussovský pulz... str cg) velmi krátký modulovanýgaussovský pulz... str. 56 da) oboustranná exponenciála... str. 57 db) zpětná transformace k předešlému... str dc) komplexní tlumené oscilace... str. 60 dd) tlumené sinové oscilace... str de) málo tlumené sinové oscilace... str. 63

3 df) zpětná transformace... str. 64 dg) tlumené kosinové oscilace... str dh) relaxace (přetlumené oscilace )... str Šířky pulzů a jejich Fourierových obrazů... str Autokorelace a spektrální energetická hustota pulzu sinových tlumených oscilací... str gaussovského pulzu s kosinovou modulací... str δ-funkce a její fourierovský obraz... str Heavisideův schod a jeho fourierovský obraz... str Cauchyova hlavní hodnota integrálu... str H.schod, FT součinu a Kramers Kronigovy relace... str kauzalita, reziduová věta a Kramers Kronigovy relace... str δ-funkce jako derivace Heavisideova schodu... str. 93

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98