MTIOVÉ OPERE V SIMULINKU VERZE 4 Daniel Honc, František Dušek Katedra říení procesů a výpočetní techniky, FHT, Univerita Pardubice bstrakt Vere 4 SIMULINKu přinesla principiální měnu možnost pracovat se signály typu matice. Od tohoto okamžiku le na úrovni modelu používat maticové operace, což bylo dříve možné poue na úrovni S-funkcí. Tímto se možnosti ápisu modelu v SIMULINKu přiblížily možnostem vlastního MT- Lu. Zvláště užitečná je tato nová vlastnost např. pro oblast říení, kde je nyní možné vytvořit kompletní diskrétní regulátor. Ukáka modelu SIMULINKu využívajícího nové možnosti pro realiaci adaptivního říení je námětem tohoto příspěvku. Je ukáána průběžná identifikace modelu říené soustavy, průběžný odhad stavu soustavy a LQ regulátor. Úvod Při návrhu algoritmů říení je velmi přínosná možnost experimentovat na fyikálním modelu. Poue numerická simulace chování uavřené regulační smyčky je sice užitečná, ale případné problémy se projeví často až v reálu. Prvním krokem k realitě je říení na fyikálním modelu v reálném čase. ěžně se pro tyto účely používá MTL ve spojení s Real Time Toolboxem nebo Data cquisition Toolboxem či jiným specialiovaným toolboxem např. pro podporu signálových procesorů. Zapsání příslušných algoritmů v MTLu není až tak složitá áležitost. Pracnější je jejich ověření pomocí simulace uavřené regulační smyčky, jejíž součástí je např. i nelineární model říené soustavy. Právě pro ápis nelineárních dynamických modelů a simulace chování a růných podmínek je výhodné použít SIMULINK. Proč tedy úlohu neřešit rovnou v SIMULINKu? Problémem byla realiace složitějších diskrétních algoritmů obsahujících maticové operace, cykly a iterace roložené v čase. Jediný roumný působ řešení bylo napsat vlastní S-funkci, což není triviální áležitost. Vere MT- Lu 6. přinesla nové možnosti například v souvislosti s připojením externích aříení (podpora sériové linky [Dušek 0]) a také rošíření SIMULINKu vere 4 o podporu maticových signálů a operací. V příspěvku je na konkrétním příkladu ukááno adaptivní říení elektrické soustavy. Spojení se soustavou je realiováno pomocí akviiční karty a Real Time Toolboxu. Parametry modelu soustavy ve tvaru diferenční rovnice jsou průběžně identifikovány rekurentní metodou nejmenších čtverců. Diferenční rovnice je převedena na stavový model, který je využíván jednak pro průběžnou identifikaci stavu Kalmánovým filtrem a jednak pro výpočet LQ regulátoru (aktualiovaného v každém kroku) s konečným horiontem říení a penaliací akčního ásahu. Všechny použité bloky jsou napsány obecně tj. jsou parametriovány pro volbu řádu soustavy, počáteční hodnoty pracovních matic a be nutnosti volit explicitně interval vorkování. Nové možnosti SIMULINKu vere 4 Signály mohou být jednoroměrové nebo dvouroměrové. Jednoroměrový -D signál je jednoroměrové pole vytvořené např. blokem Mux. Dvouroměrový -D signál je dvouroměrové pole - matice. Jednoprvkové pole je onačováno jako skalár. Rolišuje se řádkový vektor jako -D pole s jedním řádkem a sloupcový vektor je -D pole s jedním sloupcem. loky Simulinku se liší v roměrech signálů, které mohou akceptovat nebo produkovat během simulace. Některé bloky podporují signály libovolných roměrů, některé poue skalární nebo -D signály. Detailní popis všech bloků je uveden v nápovědě Simulinku (v části lock Reference).
Přehled použitých bloků a stručný popis jejich funkce Selector - vybere prvky vstupního vektorového nebo maticového signálu. ssignment - přiřadí hodnoty určeným prvkům signálu. Matrix oncatenation - spojí vstupy horiontálně nebo vertikálně. Reshape - mění roměr signálu. U -> Y U -> Y(E) Y ssi gnment Reshape Selector Hori at Matrix oncatenation Product - provede násobení, dělení, maticové násobení nebo inveri vstupů. Matrix Math Function - provede matematickou funkci (např. transpoici). u T Math Function Product For Iterator Subsystem - subsystém, který se cyklicky vykoná během jednoho simulačního kroku. In for {... } For Iterator Subsystem Out For Iterator For Iterator In Out Použité algoritmy V této části jsou shrnuty použité algoritmy realiované jako obecné (parametriované) knihovní bloky. Matematický maticový ápis je velmi stručný, popis v textu je aměřen spíše na problémy či ajímavosti při převodu matematického ápisu do modelu SIMULINKu. ližší popis algoritmů je ve většině běžných publikací abývajících se klasickým diskrétním říením. Konkrétně použité vere algoritmů byly převaty publikace [Dušek 99], pro kterou byla jedním hlavních drojů v této oblasti publikace [Havlena 96]. Rekurentní metoda nejmenších čtverců s exponenciálním apomínáním Nenámé parametry soustavy jsou odhadovány rekurentní metodou nejmenších čtverců s exponenciálním apomínáním. Jsou identifikovány parametry diferenční rovnice y = u, kde a jsou vektory parametrů soustavy, y a u jsou vektory tvořené výstupy a vstupy soustavy v daných intervalech vorkování. = [ a a... an], = [0 b b... bn], y = [ y(k-) y(k-n)]', u = [u(k) u(k-) u(k-n)]' V každém intervalu vorkování je třeba provést následující posloupnost výpočtů:. časová aktualiace vektoru dat x = [-y(k-) -y(k-)... -y(k-n) u(k-) u(k-)... u(k-n)]. výpočet chyby predikce eps eps(k) = -theta(k-). výpočet pomocného vektoru m = P(k-)'/[lambda+P(k-)'] 4. aktualiace matice P P(k) = [P(k-)-P(k-)]/lambda 5. aktualiace vektoru parametrů theta theta(k) = theta(k-)+eps(k) 6. normování vektorů a = [ theta()... theta(n)], = [0 theta(n+)... theta(n)]
Vstupy amaskovaného bloku Simulinku jsou regulovaná veličina a akční veličina u(k-). Výstupem jsou polynomy a s odhadovanými parametry. Parametry bloku jsou řád soustavy N (stupeň polynomu a ) a faktor exponenciálního apomínání lambda. u(k-) Rekurentni metoda nejmensich ctvercu Pro dílčí operace -6 jsou vytvořeny samostatné subsystémy. Standardní bloky posun P a posun theta mají jako parametr počáteční hodnoty matice P a vektoru theta. Počáteční hodnoty vektoru dat x jsou adávány v bloku posun x. Interval vorkování celého subsystému je určen intervalem vorkování vstupů u a y (intervalem vorkování nadřaeného systému). Časová aktualiace vektoru dat x je ajištěna následujícím působem. Ze požděného vektoru x(k-) je v bloku Selektor odstraněn poslední prvek. V loku Mux je na první místo přidána hodnota y(k-). Pomocí bloku ssigment je na poici N+ přiřaena hodnota u(k-). lok Reshape tvoří řádkový vektor. Ostatní bloky jsou přímočarým přepisem výpočetních vtahů. eps(k) = -*theta(k-) Rekurentní metoda nejmenších čtverců u(k-) u(k-) casova aktualiace vektoru dat [x6] [x6] [6x] theta(k-) eps(k) chyba predikce eps(k) = P(k-)*'/[lambda+*P(k-)*'] [x6] P(k-) [6x] P(k) = [P(k-)-**P(k-)]/lambda pomocny vektor [6x] [x6] P(k-) P(k-) aktualiace matice P(k) P(k) P(k) [6x] [6x] theta(k) = theta(k-)+*eps(k) eps(k) theta(k) [6x] theta(k) [6x] theta(k-) aktualiace vektoru parametru theta(k) (k) theta(k) (k) normovani [x4] [x4] posun P theta(k-) [6x] [6x] posun theta = [-y(k-) -y(k-)... -y(k-n) u(k-) u(k-)... u(k-n)] y(k-) Unit Delay - Gain [x6] [x5] U U(E) Selector [x6] U -> Y U -> Y(E) Y ssignment [x6] [x6] [x6] u(k-) Časová aktualiace vektoru dat x(k-) [x6] posun x [x6]
eps(k) = -*theta(k-) [x6] = P(k-)*'/[lambda+*P(k-)*'] [x6] Matrix [6x] theta(k-) *theta(k-) eps(k) [x6] P(k-) Matrix [6x] [6x] ' P(k-)*' [x6] [6x] Matrix *P(k-)*' lambda lambda [6x] hyba predikce Pomocný vektor [6x] deleni ktualiace matice P(k) theta(k) = theta(k-)+*eps(k) [6x] [x6] P(k-) Matrix **P(k-) P(k) = [P(k-)-**P(k-)]/lambda /lambda P(k) Gain [6x] theta(k-) [6x] eps(k) [6x] *eps(k) [6x] theta(k) ktualiace vektoru parametrů theta(k) Normování onstant [6x] [6x] theta(k) [x] U U(E) Selector [4x] [x4] (k) 0 onstant [6x] U U(E) [x] [4x] [x4] (k) Selector Poorovatel stavu (stochastická soustava a kvadratické kritérium Kalmánův filtr) Stav soustavy je odhadován pomocí Kalmánova filtru. Model soustavy je ve stavovém popisu. x je vektor stavů, u je vektor vstupů a y výstupů soustavy., a jsou matice stavového popisu. U modelu je uvažován šum na vstupu a na výstupu soustavy. x(k+) = + u(k) + in e in (k) = + e ou (k) in e in (k) e ou (k) matice váhy šumu na složky stavu vektor šumu na vstupu vektor šumu na výstupu V každém intervalu vorkování je třeba provést následující posloupnost výpočtů:. výpočet pomocného vektoru M M=P K (k/k-)'(r K +P K (k/k-)') -. datová aktualiace matice P K P K (k/k)=(i-m)p K (k/k-). časová aktualiace matice P K P K (k+/k)=p K (k/k)'+ in Q K in '
4. datová aktualiace vektoru x x(k/k)=x(k/k-)+m(-x(k/k-)) 5. časová aktualiace vektoru x x(k+/k)=x(k/k)+u(k) Vstupy bloku Simulinku jsou regulovaná veličina, akční veličina u(k) a matice,, in a. Výstupem je odhad stavu soustavy x(k+). Parametry bloku jsou řád soustavy N (počet stavů), kovarianční matice šumu na vstupu Q K a kovarianční matice šumu na výstupu R K. u(k) x(k+) in Kalmanuv filtr Pro dílčí operace -5 jsou vytvořeny samostatné subsystémy. loky posun P a posun x mají jako parametr počáteční hodnoty matice P a vektoru x. Posun P M=Pk(k/k-)*'*inv(Rk+*Pk(k/k-)*') Pk(k/k)=(I-M*)*Pk(k/k-) 6 [x] [x] P(k/k-) Pomocny vektor m [x] M [x] [x] P(k/k-) M Pk(k/k) Datova aktualiace P 5 in Pk(k+/k)=*Pk(k/k)*'+in*Qk*in' P(k/k) Pk(k+/k) [x] in asova aktualiace P x(k/k)=x(k/k-)+m(-*x(k/k-)) [x] Posun x [x] [x] [x] x(k/k-) M x(k/k) [x] [x] Datova aktualiace x x(k+/k)=*x(k/k)+*u(k) [x] x(k/k) Kalmánův filtr u(k) 4 [x] u(k) [x] x(k+/k) asova aktualiace x [x] x(k+) LQ regulátor programové říení na konečném horiontu říení s penaliací akční veličiny Soustava je říena pomocí LQ regulátoru na konečném horiontu říení délky N. Model soustavy je ve stavovém popisu x(k+) = + u(k), = k Kritérium je ve tvaru: + N- J(N) = x '(N) Q x(n) + [ e'(i) Qe(i) + u'(i) Ru(i)], kde N i= k+ N je délka horiontu říení (počet kroků) x(n) je vektor stavu na konci horiontu říení Q N je penaliační matice koncového stavu e(i) je vektor regulačních odchylek v i-tém kroku e(i) = (i)-y(i), = [(k+n-) (k+n)... (k+)] Q je penaliační matice regulační odchylky
u(i) R je vektor akčních ásahů v i-tém kroku je penaliační matice akčních ásahů Regulační ákon: u(k) = K() + l() Pro i = N-,, je nutné rekurentně počítat parametry K(i) a l(i), pomocnou matici P(i), pomocný vektor p(i) podle vtahů:. výpočet parametru K K(i) = -[R+'P(i+)] - 'P(i+). výpočet parametru l l(i) = -[R+'P(i+)] - 'p(i+). výpočet pomocné matice P P(i) = 'Q+'P(i+)+['P(i+)]'K(i) 4. výpočet pomocného vektoru p p(i) = 'p(i+)-'q(i)+['p(i+)]'l(i) Vstupy bloku Simulinku jsou budoucí průběh žádané hodnoty, matice, a. Výstupem jsou matice K a vektor l regulačního ákona. Parametry bloku jsou délka horiontu říení N a penaliační matice Q, R a Q N. K for {... } l LQ regulator Iterace je provedena pomocí bloku For Iterator Subsystem. Počet iterací bloku For Iterator je nastaven na N-. Počáteční hodnoty pomocné matice P a pomocného vektoru p jsou adány jako parametry bloků Posun P a Posun p. [x] [x] For Iterator For Iterator N onstant [x9] P(i+) p(i+) l(i) Vypocet l U U(R,) Selector l [x] K P(i+) P(i+) K(i) [x] l(i) [x] (i) Vypocet K [x] [x] p(i+) p(i) [x] [x] Vypocet p Posun P P(i+) K(i) [x] P(i) [x] [x] Vypocet P [x] [x] Posun p [x] 4 [x] LQ regulátor
udoucí průběh žádané hodnoty Pro LQ regulátor je nutné mít k dispoici budoucí průběh žádané hodnoty. Vstupem bloku Simulinku je žádaná hodnota v čase k+n-. Výstupem je vektor obsahující N- budoucích hodnot a (k) (k+n-) udouci prubeh adane hodnoty žádaná hodnota v čase k. Parametry bloku jsou délka horiontu říení N a počáteční hodnota žádané. [x9] [x8] U U(E) Selector [x9] [x9] [x9] (k+n-) [x9] [x9] Unit Delay [x9] U U(E) Selector Unit Delay (k) udoucí průběh žádané hodnoty Převod soustavy do stavového popisu Rekurentní metodou nejmenších čtverců ískáme diferenční rovnici. Pro Kalmánův filtr a LQ regulátor je nutné model soustavy převést e vstupně-výstupního do stavového popisu. x x x N ( k ) ( k + ) + a a L a N = 0 0 M M ( k + ) a x N 0 x M M 0 xn 0 + u M 0, y = [ b b L b ] N x x M xn x ( k +) = x + u = x y Vstupem bloku jsou polynomy a. Výstupem je matice a vektory a stavového popisu. Parametrem bloku je řád soustavy N. Prevod soustavy do stavoveho popisu Počáteční naplnění matice je provedeno v bloku posun. V každém intervalu vorkování je do prvního řádku matice přenesen vektor se áporně vatými koeficienty. Vektor je konstantní. Vektor je tvořený přímo koeficienty vektoru.
posun [x4] [x] - [x] Selector Gain U -> Y U -> Y(R,) ssignment eros(n,) onstant [x] onstant U -> Y Y U -> Y(E) ssignment [x] [x4] [x] Selector Převod soustavy do stavového popisu Uavřený regulační obvod Pulse Generator u(k-) u+ Fcn Rekurentni metoda nejmensich ctvercu [x4] [x4] (k) (k+n-) [x9] udouci prubeh adane hodnoty [x] Prevod soustavy do stavoveho popisu [x] [x9] [x] [x] K for {... } l LQ regulator [x] [x] Matrix K*x(i) u Saturation 0 onstant u y u Soustava / Unit Delay u(k) Scope [x] [x] x(k+) / [x] Unit Delay in [x] [x] Kalmanuv filtr Uavřený regulační obvod Propojením výše uvedených bloků je vytvořeno simulační schéma uavřeného regulačního obvodu. Pro generování žádané hodnoty je použit blok Pulse Generator. lok soustava je subsystém obsahující poue bloky pro vstupní a výstupní signály měřicí karty RT In a RT Out a přepočet na inženýrské jednotky. U Kalmánova filtru musí být blok Unit Delay požďující predikovaný stav soustavy o jeden interval vorkování. Vorkování celého modelu je určováno vorkováním bloku Pulse Generator a bloků RT In a RT Out. u u RT In RT In (u+)*5 Fcn u/5- Fcn u/5- Fcn Soustava y RT Out RT Out RT Out RT Out dapter
Říená soustava a spojení s P P Windos MTL Uspořádání aříení je na obráku. Říenou soustavou je elektrická soustava (operační esilovače) s dvěma vstupy a jedním výstupem. Tato soustava je třetího řádu s ustálením cca 0 sec a esílením cca. Pro připojení soustavy je využita akviiční karta D5 (Humusoft). Tato karta obsahuje bitový analogočíslicový převodník 00 kh (D nalog to Digital onvertor) s multiplexorem (8 kanálů) a dva bitové číslicoanalogové (D Digital to nalog onvertor) převodníky, oba s nastaveným vstupním i výstupním rosahem 0-0 V. Karta je vložena do IS slotu počítač P v konfiguraci Pentium 50 MH, 8 M EDO RM a Windos 98 SE. Použití karty MTLU vere 6. a SIMULINKu ajišťuje Real Time Toolbox vere. (Humusoft). Realiace říení soustavy v reálném čase 8x MUX D ( bit, 00 kh) x D ( bit) 8 bit TTL DI 8 bit TTL DO Je ukáán průběh regulačního pochodu při adaptivním říení elektrické soustavy. Interval vorkování je 0,5 s. Žádaná hodnota má obdélníkový průběh s periodou 50 s. Regulační pochod ačíná s úplnou nenalostí modelu soustavy. K odhadu parametrů docháí v několika prvních krocích regulace. Dále jsou uvedeny parametry bloků Simulinku a počáteční hodnoty pomocných matic. Parametry bloků Simulinku Rekurentní metoda nejmenších čtverců: N =, lambda = 0,99 Kalmánův filtr: N =, Q K = 0,, R K = 0, LQ regulátor: N = 0, Q = 0, R =, Q N = eye() udoucí průběh žádané hodnoty: N = 0, 0 = (obdélníkový průběh, perioda 50 s, úrovně a 7) Převod soustavy do stavového popisu: N = Počáteční hodnoty pomocných matic Rekurentní metoda nejmenších čtverců: x = eros(,*n), P = eye(*n)*00, theta = ones(*n,) Kalmánův filtr: P = eye(n)*0.0, x = eros(n,) LQ regulátor: p = 0, P = Q N udoucí průběh žádané hodnoty: = ones(,n-)* 0 I S D 5 0-0 V 0-0 V 0-0 V elektrická soustava III.řádu (operační esilovače) Σ k ( T s + ) 0 9 8 u y 7 u, y, [V] 6 5 4 0 0 0 0 0 40 50 60 70 80 90 00 t [s] Regulační pochod
Závěr ílem článku není čtenáře senámit s novým přístupem k říení, ale na standardních příkladech demonstrovat možnosti Simulinku vere 4 v oblasti maticových výpočtů. loky le většinou vytvořit přiroeným přepisem matematických vtahů. Práce s maticemi a jejich naplnění na ačátku simulace je poněkud pracnější a proto je při vytváření blokových schémat velmi důležitá možnost průběžně kontrolovat roměry signálů. Pro iterační výpočty disponuje Simulink subsystémy pro říení výpočtů (rohodování a cykly). loky LQ regulátoru a Kalmánova filtru jsou sestaveny obecně a le je použít pro mnoharoměrovou soustavu (s větším počtem vstupů a výstupů). loky metody nejmenších čtverců a převodu do stavového popisu jsou uvažovány pro jednoroměrovou soustavu. U metody nejmenších čtverců jsou ukáána schémata všech použitých subsystémů. U ostatních metod jsou uvedeny poue první úrovně. Interval vorkování všech bloků je určován intervalem vorkování nadřaeného systému a není jej nutné adávat jako parametr. Oproti skriptu Matlabu je řešení v Simulinku poněkud pracnější a méně přehledné. V případě, že jsou v modelu růné nelinearity, části simulované spojitě nebo systémy s růnými intervaly vorkování, má použití Simulinku své opodstatnění. Práce se vstupními a výstupními signály je v Simulinku pohodlná (načtení dat prostředí Matlabu nebo e souboru, interpolace, předání libovolně vyvorkovaných dat pět do Matlabu). Simulaci le spustit příkaem Matlabu, čímž jsou otevřené možnosti pro nejrůnější optimaliace. Literatura Dušek, F.: MTL a SIMULINK úvod do používání. Druhé rošířené vydání. [skriptum] Pardubice 00, ISN 80-794-475-0 Dušek, F.: daptivní říení. [učební text] Pardubice 999 Dušek, F.; Honc, D.: Využití sériové linky pod MTLem vere 6. [v tomto sborníku], 00 Havlena, V.; Štecha, J.: Moderní teorie říení. [skriptum] Vydavatelství ČVUT, 996 SIMULINK Help: Using SIMULINK/lock Reference. 00 Ing. Daniel Honc, Ph.D. e-mail: daniel.honc@upce.c tel.: 040-60 707 doc. Ing. František Dušek, Sc. e-mail: frantisek.dusek@upce.c tel.: 040-60 75 Katedra říení procesů a výpočetní techniky Fakulta chemicko-technologická Univerita Pardubice nám. Čs. legií 565 5 0 Pardubice