Modelování a simulace Lukáš Otte

Transkript

1 Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte

2 Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast výrobní sféry ve fázi projektování náročných zařízení a technologií v přímém řízení výroby (real-time a operativní řízení) podpora při syntéze a optimalizaci řídících systémů a procesů uplatnění v oblasti vzdělávání

3 Význam, účel a výhody MaS Modelem je účelově definovaný systém na základě podobnosti dvou systémů, který umožňuje, nebo usnadňuje řešení úlohy definované na originálu. Simulace je provedení řízeného pozorování na modelu reálného objektu za účelem ověření pravdivosti stanovených hypotéz.

4 Význam, účel a výhody MaS součástí tvorby modelu jsou i zjednodušující předpoklady, hypotézy a různá omezení model vždy obsahuje zjednodušení a abstrakci reality model se vždy od reality něčím liší nikdy není úplně dobře model = zjednodušená reprezentace skutečnosti Účelem MaS je možnost studia chování reálného systému na definovaném modelu bez možnosti poškození reálného systému.

5 Význam, účel a výhody MaS Výhody: možnost experimentování v případech provozního nebezpečí rizika zničení zařízení či technologie vysoké nákladnosti experimentu na originálu nemožnosti experimentu možnost časové transformace zpomalení či zrychlení modelu v rámci simulace

6 Význam, účel a výhody MaS Výhody: možnost zkoumání vlastností originálu ve všech detailech možnost vytváření komplexního pohledu na danou problematiku možnost mnohonásobných experimentů optimalizace technologického procesu výběr vhodné varianty řešení

7 Simulační proces

8 Simulační proces

9 Matematický model Jde o soubor matematicko-logických vztahů, které popisují dynamické vlastnosti systému a jsou vyjádřeny: rovnicemi nerovnostmi blokovými schématy grafy tabulkami

10 Matematický model Při vytváření M.M. dochází k volbě počtu proměnných ani málo a ani moc příliš složitý / jednoduchý model X(t) vektor vstupních proměnných Q(t) vektor vnitřních proměnných Y(t) vektor výstupních proměnných T operátor transformace

11 Používaná zjednodušení zanedbání proměnných redukce agregace proměnných nahrazení skupiny proměnných jedinou proměnnou změna charakteru proměnných náhrada proměnné konstantou náhrada spojité proměnné diskrétní náhrada stochastické proměnné deterministickou

12 Používaná zjednodušení změna charakteru funkčních závislostí linearizace kvadratická aproximace nelineární funkce aproximace náhodné veličiny normálním rozdělením změna omezujících podmínek vypouštění zavedení modifikace

13 Tvorba matematického modelu Dvě metody analytická a experimentální ANALYTICKÁ METODA změna rozlišovací úrovně sestavení soustav diferenciálních rovnic na základě fyzikálních, chemických a matematických vztahů popisujících vlastnosti prvků systému

14 Tvorba matematického modelu EXPERIMENTÁLNÍ METODA zavádění určitých podnětů na vstup systému (jednotlivých prvků) zaznamenání průběhů odezvy reakce systému zavedení aproximace M.M. podle předem definovaných metod Např. použití Strejcovy metody pro aperiodické průběhy přechodové charakteristiky

15 Základní fyzikální zákony Bilanční rovnice Pohybová rovnice určená pro translační pohyb rovnováha sil i F i (t) = 0 Energetická rovnice zákon zachování energie v systému i W i (t) = 0

16 Základní fyzikální zákony Hmotnostní rovnice Bilanční rovnice i m i (t) = 0 Rovnováha momentů sil (D Alembertův princip) určen pro točivé stroje Tepelná bilance i M i (t) = 0 i Q i (t) = 0

17 Příklad skládka materiálu Je třeba analyticky popsat a simulačně ověřit proces hromadění (akumulaci, skladování) materiálu na skládce. Analýza systému a teoretický model: m(t) [kg] celkové množství materiálu na skládce q 1 (t) [kg*s -1 ] dovážené množství q 2 (t) [kg*s -1 ] odvážené množství

18 Výběr matematického popisu zákonitostí Bilanční rovnice: i m i (t) = 0 dm t) q ( t) dt q ( t) dt ( 1 2 Vytvoření modelových rovnic Úpravou získáme lineární diferenciální rovnici: dm( t) dt q1( t) q2( t) Určení podmínek řešení Počáteční podmínka říká, že množství na skládce nemůže být záporné, a že na počátku již nějaké množství na skládce bylo m ( 0) m 0 0

19 Integrací vztahu při uvažování počátečních podmínek získáme tento matematický model: t m( t) q q d m 0 A následně tento teoretický počítačový model: 1 2 0

20 Následně jen realizujeme model na počítači např. v prostředí MATLAB - Simulink

21 Nebo v některém z dostupných programovacích prostředků (např. využití Visual Basic for Application a MS Excelu)

22 Příklad elektrický obvod Je třeba analyticky popsat a simulačně ověřit elektrický obvod s jednou indukčností. Analýza systému a teoretický model: Obvod je složen ze zdroje stejnosměrného napětí, spínače, rezistoru a induktoru.

23 Zjednodušení: 1) Zdroj napětí považujeme za ideální tj., že na jeho svorkách najdeme za všech okolností konstantní hodnotu napětí. 2) Rezistor je ideální pasivní elektrotechnický prvek, jehož jedinou vlastností je za všech okolností konstantní elektrický odpor. 3) Induktor je ideální elektrotechnický pasivní prvek, jehož jedinou vlastností je za všech okolností konstantní indukčnost.

24 Výběr matematického popisu zákonitostí Bilanční rovnice: 1. Kirchhofův zákon součet proudů v uzlu i i i (t) = 0 2. Kirchhofův zákon součet napětí ve smyčce i u i (t) = 0 Další zákony: Ohmův zákon pro rezistor U= R I Vznik indukovaného napětí na cívce u i = L di dt

25 Vytvoření modelových rovnic Úpravou získáme lineární diferenciální rovnici: U = U L + U R U = Ri + L di dt Určení podmínek řešení Počáteční podmínka říká, že velikost proudu v obvodu v čase t = 0 je rovna nule.

26 Matematickou úpravou získáme diferenciální rovnici a tuto převedeme na matematický model ve smyslu operátorového přenosu: Li t + Ri t = u t G s = I(s) U(s) = 1 L s + R = 1 R L R s + 1 A následně tento teoretický počítačový model:

27 Následně jen realizujeme model na počítači např. v prostředí MATLAB - Simulink

28 Nebo v některém z dostupných programovacích prostředků (např. využití Visual Basic for Application a MS Excelu)