III. MKP vlastní kmitání

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "III. MKP vlastní kmitání"

Renáta Tesařová
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Jiří Máca - katedra mechaniky - B325 - tel maca@fsv.cvut.cz III. MKP vlastní kmitání 1. Rovnice vlastního kmitání 2. Rayleighova Ritzova metoda 3. Jacobiho metoda 4. Metoda inverzních iterací 5. Metoda iterace podprostoru 6. Příklady

2 2 1. Rovnice vlastního kmitání určení základních dynamických charakteristik systému: - vlastní frekvence a tvary kmitání Mr( t) Kr( t) 0 r( t) ( A cos t B sin t) r n n n n n 2 ( t) nr( t) K M 0 2 n n soustava pohybových rovnic pro netlumené vlastní kmitání soustav s n - SV řešení pohybových rovnic harmonické kmitání rovnice vlastního kmitání problém vlastních čísel n - vlastní tvar kmitání ω n - vlastní (kruhová) frekvence 2 det K n M 0 podmínka netriviálního řešení frekvenční rovnice polynom stupně N pro pro řešení praktických úloh nevhodná metoda 2 n

3 3 2. Rayleighova Ritzova metoda redukce původního problému vl. čísel s N stupni volnosti na řešení problému vlastních čísel s J stupni volnosti K M 0 2 n n K M 0 K M K M Rayleighův kvocient libovolný vektor Vlastnosti 1. Je-li vlastní vektor n, potom Rayleighův kvocient je roven 2 odpovídajícímu vlastnímu číslu n 2. Rayleighův kvocient je ohraničen nejnižším a nejvyšším vlastním číslem n a dále platí: n n

4 4 2. Rayleighova Ritzova metoda nalezení minima Rayleighova kvocientu Ritzovou metodou Ψz vlastní tvary se vyjádří jako kombinace lineárně nezávislých vektorů ψ i, i = 1,2 J <N Ritzovy vektory ψ i tvoří sloupce matice Ψ typu N x J z vektor J zobecněných souřadnic substituce Ritzových vektorů (Ritzova transformace) do Rayleighova kvocientu K z Ψ KΨz ( ) ( z) M z Ψ MΨz M Ψ MΨ K Ψ KΨ transformace matic K, M typu N x N na matice typu J x J z Kz () z z Mz

5 5 2. Rayleighova Ritzova metoda podmínka minima Rayleighova kvocientu ( z) z i z Kz 0 i1,2,... J () z z Mz ( z) 2 Kz z Mz ( z)2mz z i Kz ( z) Mz = 0 K M z 0 redukovaný problém vlastních čísel i, z i i = 1,2 J <N K M 0 2 n n i 2 i i Ψz i aproximace vlastních čísel a vektorů

6 6 3. Jacobiho metoda určení všech vlastních čísel a vektorů využití např. redukovaný problém vl. čísel v Rayleighově-Ritzově metodě základní myšlenka transformace matic tuhosti a hmotnosti na matice diagonální pomocí transformačních matic (matice rotace) iterační proces vytváří se posloupnost transformovaných matic K resp.. M 1 K K M M k1 k k k k1 k k k na konci iteračního cyklu platí vlastní frekvence: vlastní tvary: (spektrální matice) k 2 ii i mii Φ k 1 1 řádek i řádek j 1 transformační matice pro nulování mimodiagonálního prvku (i,j)

7 7 4. Metoda inverzních iterací (Stodolova metoda postupných aproximací) Iterace vzad - inverzní iterace určení nejnižší vlastní frekvence Kx Mx x K Mx x x 1 k 1 k k 1 k k 1 k 1 1/ 2 ( xk 1Mxk1) k 1 1 x pro k Iterace vpřed určení nejvyšší vlastní frekvence Mx Kx x M Kx x x 1 k 1 k k 1 k x k 1 k 1 1/ 2 ( xk 1Mxk1) k1 n pro k 1 i 2 i n

8 8 4. Metoda inverzních iterací 1. Startovací vektor x 0 libovolný 2. R Mx 0 0 Kx R x K R x Kx x Mx ( k 1) k 1 k 1 k 1 k xk 1Mxk 1 xk 1Mxk 1 3. (Rayleighův kvocient) 4. Kx x k1 ( k1) ( k) ( k 1) Mx x tol 5. Není-li kritérium konvergence splněno: normování k 1 k 1 1/ 2 xk 1Mxk1 k x K Mx Mx 1 k1 k k a návrat do bodu 2 (k = k+1)

9 9 4. Metoda inverzních iterací 6. Je-li kritérium konvergence splněno: pro iteraci (k+1) 2 ( k 1) 1 x k 1 1 k 1 1/ 2 xk 1Mxk1 Grammova-Schmidtova ortogonalizace x (normování vl. tvaru) v této formulaci metoda konverguje k 1. vlastnímu tvaru vyšší tvary lze určit tak, že se do algoritmu zavedou podmínky ortogonality mezi hledaným (m+1) tvarem a všemi předcházejícími vlastními tvary (nutno určit všech m předcházejících vlastních tvarů) modifikace vektoru x k+1 provádí se v každém iteračním kroku před návratem do bodu 2 m k 1 k 1 cjj kde cj j k 1 j1 x x Mx

10 10 4. Metoda inverzních iterací Inverzní iterace s posunutím μ umožňuje výpočet libovolného vlastního čísla λ i K M K K M 1. vlastní vektory původního problém i problému s posunutím jsou stejné 2. inverzní iterace konverguje k vl. číslu, které je nejblíže k hodnotě posunutí μ tj. např. k v (c) 3

11 11 5. Metoda iterace podprostoru metoda vhodná pro řešení rozsáhlých úloh pro určení několika nejnižších vlastních tvarů a frekvencí spojení inverzních iterací a Rayleighovy-Ritzovy metody iterace se provádějí s několika vektory současně jejich počet je m m menší z čísel (2p) a (p+8), kde p je počet hledaných vlastních čísel (p je obvykle podstatně menší než počet stupňů volnosti N) 1. Startovací vektory X 0 R KX MX 0 0 R Iterace podprostoru a) inverzní iterace KX k1 MX k K X KX M X MX b) Ritzova transformace k1 k1 k1 k1 k1 k1

12 12 5. Metoda iterace podprostoru c) redukovaný problém vlastních čísel (m vlastních čísel) Ω spektrální matice, Q modální matice K Q Ω M Q 2 k1 k1 k1 k1 k1 řešení - např. Jacobiho metoda d) výpočet nových vektorů X X Q k1 k1 k1 e) návrat do bodu 2 a) 3. Sturmova kontrola ověření, zda byla vypočtena požadovaná vlastní čísla (vl. frekvence) a vlastní vektory (vl.tvary) t.j. právě prvních p vl. čísel

13 13 6. Příklady 6.1 Jednoduchý rám přesné řešení prvky prvků prvků f 1 [Hz] 7,270 7,282 7,270 7,270 f 2 [Hz] 28,693 34,285 28,845 28,711 EI = knm 2 μ = 252 kgm -1 f 3 [Hz] 46,799 74,084 47,084 46, vl. tvar 2. vl. tvar 3. vl. tvar

14 14 6. Příklady 6.1 Jednoduchý rám přesné 3 6 řešení prvky prvků f 1 [Hz] 28,662 34,285 28,845 f 2 [Hz] 41,863 65,623 42,393 EI = knm 2 μ = 252 kgm -1 f 3 [Hz] 50,653-51, vl. tvar Doporučení: při vytváření výpočetního modelu MKP vkládat alespoň 1 uzel mezi styčníky jednotlivých prutů vede k podstatnému zvýšení přesnosti výpočtu (zejména u jednoduchých konstrukcí)

15 6. Příklady 6.2 Rovinný rám budova tvar kmitání f 1 = 2.19 Hz 2. tvar kmitání f 2 = 6.91 Hz 3. tvar kmitání f 3 = Hz 4. tvar kmitání f 4 = Hz 5. tvar kmitání f 5 = Hz

16 6. Příklady Rovinný rám budova 6. tvar kmitání f 6 = Hz 7. tvar kmitání f 7 = Hz 8. tvar kmitání f 8 = Hz 9. tvar kmitání f 9 = Hz 10. tvar kmitání f 10 = Hz

17 6. Příklady 6.3 Prostorový rám základ turbosoustrojí 17

18 6. Příklady 6.3 Prostorový rám základ turbosoustrojí 18

19 6. Příklady 6.3 Prostorový rám základ turbosoustrojí 19

20 6. Příklady 6.4 Prostorový rám + pružné podloží 20

21 6. Příklady 6.5 Zavěšený most 21

22 22 6. Příklady 6.5 Zavěšený most

23 23 6. Příklady 6.5 Zavěšený most

24 6. Příklady 6.6 rojský most 24 f (1) = 0,841 Hz f (2) = 0,885 Hz

25 6. Příklady rojský most f (4) = 1,359 Hz f (3) = 1,129 Hz f (5) = 1,385 Hz

Podobné dokumenty

KMS cvičení 6. Ondřej Marek

KMS cvičení 6. Ondřej Marek KMS cvičení 6 Ondřej Marek NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m