A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2.
|
|
- Jiří Veselý
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f (x) > 0 => rostoucí, f (x) < 0 => klesající, f (x) > 0 => konvexní ᴗ, f (x) < 0 => konkávní ᴖ, f (x) = 0 ᴧ f (x)!= 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic: 1.1. půlení intervalů: najdu dva body kte v jednom to vychází + a v druhém -, spočítám hodnotu ve středním bodě a podle toho změním buď min nebo max, furt dokola 1.2. newtonova metoda (tečen) x 1 = x 0 (f(x 0 ))/(f (x 0 )); konverguje pokud f(x 0 ) f (x 0 ) > metoda prosté inerace musí jít zderivovat, konvergovat, jen pro záporné kořeny. Zadanou rovnici přepíši do tvaru x = g(x). Zvolím počáteční x 0, další x k+1 = g(x k ). 2. Soustavy lineárních rovnic: 2.1. Jacobiho metoda: Funguje pouze pokud v zadání x 1 > x 2 + x 3 ᴧ x 2 > x 1 + x 3 ᴧ x 3 > x 2 + x 1 (je ostře diagonálně dominantní) Pokud nesplňuje, zkusím přeskládat aby splňovala. Z 1. rovnice vyjádřím x1, z 2. x2 a z 3. x3. Pokud nejde vyjádřit, přeskládám aby šlo vyjádřit. Zvolím počátační odhady do tabulky první řádek tabulky. Většinou nuly pokud nemám nic lepšího. Postupně dopočítávám další řádky s použitím předchozích dokud to není dost přesné Gaus-seidlova metoda Stejné jak Jacobiho, ale výsledky používám hned jak je to možné. Ale pokud není ostře diagonálně dominantní, stačí když je pozitivně definitivní, to je pokud má det. všech stupňů > 0. Převod na pozitivně definitivní: K čtvercové matici udělalám transponovanou, a pak Ax = b => A T Ax = A T b (levou I pravou stranu vynásobím transponovanou, záleží na pořadí operandů!), vzniklá matice určitě konverguje pro GS metodu. 3. Soustavy nelineárních rovnic: 3.1. metoda prosté iterace: Soustavu upravíme na tvar x = g 1 (x,y), y = g 2 (x,y). Zvolím počáteční aproximace x 0 a y 0. Počítám další aproximace x k+1 = g 1 (x k,y k ), y k+1 = g 2 (x k,y k ). Skončím až x k+1 - x k < Ɛ y k+1 - y k < Ɛ. Metoda může divergovat a zpravidla také diverguje metoda tečen: Spočítám matici parciálních derivací. Do této matice dosadím počáteční odhady x 0 a y 0. Dostanu levou stranu soustavy. Počáteční odhady dosadím také do zadaných fcí, obrácenou pravou stranu. Vyřeším soustavu. K výsledku přiču x k-1 a y k-1. Dostávám x k a y k. Pokračuju znovu dosazováním a získáváním soustavy. Př. 1: Zadání: f1(x,y) = (x-1)2+y2-4; f2(x,y) = x+(y+1)2-1. Matice derivací: Volím x 0 = 0, y 0 = Krok Dosadím x 0 a y 0 do F a také do zadání, dostávám. Sestavím soustavu s obrácenými F. Vyřeším. => x 1 = x 0 + = = y 1 = y 0 + = = Krok Sestrojím soustavu. Vyřeším: x 2 = x 1 + = = y 2 = y 1 + = = Atd. 4. Aproximace funkcí Jde o to vytvořit přibližný předpis funkcí pro pár zadaných bodů - interpolace Lagrangeův interpolační polynom: Př. 2: Zadání: x i f i Řešení: Mám zadané 4 body, takže polynom bude nejvýše 3. stupně Newtonův interpolační polynom: P n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) + + a n (x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1 ). a 0, a 1.. jsou poměrné diference první řádek tabulky. Při dosazování x zůstává x! x i f i f i, i+1 f i, i+1, i+2 f i, i+1, i+2, i+3 x 0 f 0 = a 0 x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f Spline metoda nejmenších čtverců: Po částech nasekaný polynom, navazující plynule na sebe. Ve společných bodech musí mít stejné derivace (tečny). Př. 3: Zadání: x y Sestrojím tabulku, poslední řádek jsou sumy: x i y i x 2 i x i y i x 3 i x 4 i x 2 i y i
2 a 4 b 43 c 27 d 125 e 787 f 75 g Prokládám přímkou: 4 poc_bod a + 5 a b = 4 b 5 a a + 43 c b = 27 d y = a + bx y = x poc_bod = počet bodů které mám zadané Prokládám parabolou: 4 poc_bod a + 5 a b +43 c c = 4 b 5 a a + 43 c b +125 e c = 27 d 43 c a e b f c = 75 g y = a + bx + cx 2 y = -0.57x x Numerické derivování 5.1. Chci dostat zderivovanej předpis: Mám body. Proložím vhodným interpolačním polynomem. Zderivuju polynom Chci dostat derivace v jednotlivých bodech: Musím stanovit krok h. Pak podle vzorce Základní vzorec: Vylepšený vzorec: Další vzorce: Pouze sečna mezi dvěma body: 6. Numerická integrace Používá se tam, kde něco nelze zintegrovat. Používáme Newton-Cotesovy vzorce Obdélníková metoda 6.2. Lichoběžníková metoda hyba: 6.3. Simpsonova metoda ( ) Toto je podobné jako lichoběžníková, ale prokládám křivkou. Potřebuji hodnotu v počátečním, koncovém a středovém bodě Složená lichoběžníková metoda První a poslední bod se násobí ½. Interval <a,b> rozdělím na m dílků délky. Chyba: Prý prakticky nelze určit. Největší možná chyba: Výpočet M 2 : Provedu druhou derivaci. Za x zkouším dosazovat něco z t tak, abych dostal co nejvyšší výsledek. Př. 4: 6.5. Složená Simpsonova metoda
3 Interval <a,b> rozdělím na sudý počet m dílků délky. Chyba: Nejvyšší možná chyba: M 4 spočítám podle stejného principu jako M 2 výše. 7. Diferenciální rovnice Dostanu zadanou y =f(x,y) a musím z toho dostat y(x)=?. Potřebuji PP, aby bylo 1 řešení. Nezískám přesný předpis, ale pouze graf (lomenou čáru) Eulerova metoda Postupně dopočítávám další body, f(x i, y i ) je směrnice a získám ji dosazováním do zadání. Př. 5: Zadání: y = y-2x; y(0) = 1; volím h=1. Toto je pro mě y 0. y 1 = = 2 Na 1 jsem přišel: y = y-2x = = 1 y 2 = = 2 Na 0 jsem přišel: y = y-2x = = 0 y 3 = 2+1 (-2) = 0 Na -2 jsem přišel: y = y-2x = = -2 y 4 = 0+1 (-6) = -6 Na -6 jsem přišel: y = y-2x = = -6 Výsledkem je tabulka + graf První modifikovaná Eulerova metoda i x i y i Druhá modifikovaná Eulerova metoda 7.4. Metoda Rungeho-Kutty 4. řádu Funkce Derivace Funkce Derivace Integrace c (kons.) 0 x 1 x n nx n-1 x α αx α-1 e x e x a x a x ln(a) ln(x) log ax sin(x) cos(x) cos(x) -sin(x) tg(x) cotg(x) arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arccotg(x) sinh(x) cosh(x) cosh(x) sinh(x) tgh(x) cotgh(x) (a f(x) + b g(x)) = a f (x) + b g (x) (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) (f[g(x)]) = f [g(x)]g (x)
4 B PRAVĚPODOBNOST 1. Klasická PST Funguje, pokud je pro vše stejná PST. Ω základní prostor všechny možné výsledky náhodný jev libovolná podmožina možných výsledků 5. Podmíněná PST PST jevu za nějaké podmínky Př. 12: 3 kostky. PST, že alespoň 1x dvojka za podmínky součet 5. A součet 5; A = {113, 131, 311, 122, 212, 221}; A = 6 B alespoň 1x dvojka Př. 1: 2x hodím kostkou. Jaká je PST že součet bude 4? Ω = {[1,1], [1,2],, [6,6],}; Ω = 36 A = {[1,3], [2, 2], [3, 1]}; A = 3 Př. 2: 2x hodím kostkou. Jaká je PST 2. hod > 1.hod? Ω = {[1,1], [1,2],, [6,6],}; Ω = 36 B = {[1,2], [1,3],, [5,6]}; A = 15 tady to chce asi umět kombinatoriku Př. 3: 3x hodím kostkou. PST, že nepadne 6? Ω = {111, 112, 113, 114, 115, 116,, 666}; Ω = 6 3 = 216 A = {111, 112,, 555}; A = 5 3 = 125 Př. 4: 3x hodím kostkou. PST, že součet max. 5? Ω = {111, 112, 113, 114, 115, 116,, 666}; Ω = 6 3 = 216 A = {111, 112,,122}; A = Nezávislé jevy Jev A je na podmínce B nezávislý, pokud přidání B neovlivní PST. Nezávislé: (PST jevu A za podmínky B) 7. Úplná PST Př. 13: švestky od 3 dodavatelů I dodává 50% švestek, z toho je 5% červavých P(AH 1) = 0.05 II dodává 30% švestek, z toho je 8% červavých P(AH 2) = 0.08 III dodává 20% švestek, z toho je 15% červavých P(AH 3) = 0.15 a) Náhodně vyberu švestku. Jaká je PST, že je červavá? H 1 švestka od I P(H 1) = 0.5 H 2 švestka od II P(H 1) = 0.3 H 3 švestka od III P(H 1) = 0.2 P(A) = = b) Vytáhl jsem červavou, jaká je PST, že je od III? Př. 5: 3x hodím kostkou. PST, že 3 různá čísla? Ω = {111, 112, 113, 114, 115, 116,, 666}; Ω = 6 3 = 216 A = = Bayesův vzorec ( ) Př. 6: 6 mincí. PST, že 6x líc? Ω = 2 6 = 64 A = {rrrrrr}; A = 1 Př. 7: 6 mincí. PST, že 3x líc, 3x rub? Ω = 2 6 = 64 A = {lllrrr, llrrrl, lrrrll, }; A = = 20 Př. 8: 6 mincí. PST, že lic>rub? Ω = 2 6 = 64 0 líc, 1 rub 2. Diskrétní PST Můžu použít pokud Ω je konečná nebo spočetná množina, a přitom ω i nemusí nastat se stejnou PST. Př. 9: Opakovaně hážu jednou mincí, dokud 2x po sobě nepadne líc. Jaká je PST, že skončím nejpozděj 5. hodem? Ω = {lllll, llllr, llrll, }; Ω = 2 5 = 32 A = {rrll, lrrll, rlrll, rrll, rll, ll, lrll}; 3. Geometrická PST Př. 10: H a M se domluvili, že se sejdou mezi 8 a 9 hod. Každý bude čekat 15 min. Jaká je PST, že se potkají? Spočátím obsah vybarveného / obsah celého čtverce a mám výsledek. 4. Jevové pole Př. 11: 3 kostky. PST, že na dvou stejné číslo? Ω = 6 3, A = 6 2 Př. 14: Nemoc má 15% lidí. Pokud člověk má nemoc, test je pozitivní ve 100% případech. Pokud člověk nemá nemoc, test je pozitivní ve 10% případech. Test je pozitivní, jaká je PST, že jsem nemocný? H 1 člověk má nemoc P(H 1) = 0.15 H 2 člověk má nemoc P(H 2) = 0.85 A test je pozitivní P(AH 1) = 1; P(AH 2) = 0.1 P(A) = = Př. 15: Tahám ze 3 sáčků podle toho co hodím kostkou. Jaká je pst, že vytáhnu bílou? Jaká je PST, že vytáhnu bílou? P(A) = 1/2 P(B) = 1/3 P(C) = 1/6 P(KA) = 1/4 P(KB) = 1/3 P(KC) = 1/2 Př. 16: př. 15 naopak. Vytaháhl jsem bílou. Jaká je PST že je z XXX? Př. 17: 4 dodavatelé. A: dodává 30%, z toho 3% špatná B: dodává 25%, z toho 2% špatná C: dodává 25%, z toho 4% špatná D: dodává 20%, z toho 5% špatná a) Náhodně vyberu. Jaká PST, že je špatná? P(K) = 0.3x x x x0.05 = b) Vytáhl jsem bílou. Jaká PST, že je od D?
5 Př. 18: Test má 4 otázky, každá 3 varianty. 10% studentů to umí, 90% tipuje. Test je zcela správně. Jaká je PST, že to uměl (je z 10%)? P(A) = 0.1 P(KA) = 1 P(B) = 0.9 P(KB) = P(K) = 0.1x x = Náhodné veličiny (diskrétní) náhodná veličina = fce. Př. 20: 4x hodím mincí. PST, že padne X rubů. Na toto jsem přišel tak, že jsem si vypsal všechny možnosti a spočítal to. P(0) = P(X=0) = 1/16 P(3) = P(X=3) = 2/16 P(1) = P(X=1) = 7/16 P(4) = P(X=4) = 1/16 P(2) = P(X=2) = 5/16 Graf: Histogram: Distribuční fce: Př. 24 Loterie, vyhává každý 5. los (20%). Koupím 15 losů, x=počet vyhrávajících. a) PST, že žádný nevyhrává? X~Bi(15,1/5) b) PST, že alespoň 3 vyhrávají? = 1 p(0) p(1) p(2) = p(1,2) spočítím přesně stejně jak p(0) Poissonovo rozdělení X počet událostí za jednotku času, průměrně nastává λ událostí za jednotku času. X~Po(λ) EX = λ; DX = λ Př. 23 Dilema úředníka, lidi chodí náhodně. V průměru za 4lidi/1h. a) Jaká je PST, že během 20 min nepřijde nikdo? Nejprve musím určit lambda Distribuční FCE F(x) = P(X < x); F = součet předchozích, jsou to stoupající schody 8.2. Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny jakási průměrná hodnota Př. 20 pokračování: X = počet lidí/20min; X~Po(4/3) b) PST, že během 20 min příjde 3 a více lidí. Př. 24 Porodnice, událost narození. V průměru 13 dětí/8hodin. X~Po(λ) a) PST, že během 1h 0 dětí. λ = 13/ Rozptyl Př. 20 pokračování: b) PST, že během 1/2h 2 děti. λ = 13/ Směrodatná odchylka 8.5. Rozdělení PST Geometrické rozdělení Mnoho opakování, stejné podmínky, opakuju dokud je úspěch. X ~ Ge(p); p(k) = p k (1-p); k = 0,1, Exponenciální rozdělení X doba mezi dvěma výskyty události, λ počet událostí za jednotku času. Podmínka: pro kladná x: Normální rozdělení Př. 21 Hážu kostkou dokud nepadne 6. a) Jaká PST, že 6 padne max 2. hodem? P(0) + P(1) b) Jaká je střední hodnota? 1 5 úspěch, p = 5/6 x počet úspěšnýcho hodů; X = Ge(5/6) Převod na standardizované normální rozdělení Př. 25: Zadání: μ = 998[g]; σ = 6 [g]. Balení je v normě pokud má g. Náhodně vyberu, jaká je PST, že je v normě? X~No(998,6 2 ) Binomické rozdělení X~Bi(n,p) EX = np DX = np(1-p) Př. 22 5x hodím kostkou. a) EX =?; b) PST, že padla 2x 6? X~Bi(5,1/6) a) EX = 5x(1/6) = 5/6 b) Př. 26: Zadání: plním 2l lahev. μ = 1992[ml], σ = 8.5[ml], X=No(1992, ) a) PST, že náhodná lahev má <= 2000 ml? b) PST, že náhodná lahev má ml?
6 9.2. Distribuční funkce neklesající, spojitá c) PST, že náhodná lahev má >= 2010 ml? e) Jaký objem překlročí 1% lahví? obráceně P(X > α) = 0.01 α=? 9. Spojité náhodné veličiny Př. 27 V sáčku je 5 kuliček. 3 bílé a 2 černé. 3 náhodně vytáhnu. Jaká je PST, že mám X bílích? Pro X=1,2,3. p(x) = P(X=x) F(x) = P(X<x) A = {( b c c),( c b c),( c c b)} 9.3. Střední hodnota Nemusím počítat s nekonečnem, ale pouze tam kde je FCE nenulová Rozptyl 9.5. Směrodatná odchylka 10. Moive-Laplaceova věta převod Bi na No Př. 28: 100 kostek, PST, že 6 padne 15-25x? X~Bi(100; 1/6) P(15<=x<=25) = P(15)+P(16)+ NA DLOUHO X~No(μ,σ 2 ); μ=np; σ 2 = np(1-p) 11. Testování hypotéz H 0 náhoda, H 1 není náhoda, α určuje co je náhoda, T kritická hodnota kterou potřebuju spočítat Př. 29: zářivky. Průměrná životnost 950h = μ, σ = 80h. X~No(950, 80 2 ). Zlepšovák: 1100h, zkouším 1 kus. Distribuční FCE: 9.1. Hustota PST je nezáporná f(x), taková že: Př. 29: děti. Průměrná výška 138cm = μ, σ = 4,5cm (směr. od.) => rozptyl = 4,5 2. X~No(138, ) 6 dětí: 138, 142, 145, 168, 149, 150 cm. náhoda? Hledám zlomovou výšku T ( ) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) 0,00 0, ,30 0, ,60 0, ,90 0, ,20 0, ,50 0, ,80 0, ,10 0, ,40 0, ,01 0, ,31 0, ,61 0, ,91 0, ,21 0, ,51 0, ,81 0, ,11 0, ,41 0, ,02 0, ,32 0, ,62 0, ,92 0, ,22 0, ,52 0, ,82 0, ,12 0, ,42 0, ,03 0, ,33 0, ,63 0, ,93 0, ,23 0, ,53 0, ,83 0, ,13 0, ,43 0, ,04 0, ,34 0, ,64 0, ,94 0, ,24 0, ,54 0, ,84 0, ,14 0, ,44 0, ,05 0, ,35 0, ,65 0, ,95 0, ,25 0, ,55 0, ,85 0, ,15 0, ,45 0, ,06 0, ,36 0, ,66 0, ,96 0, ,26 0, ,56 0, ,86 0, ,16 0, ,46 0, ,07 0, ,37 0, ,67 0, ,97 0, ,27 0, ,57 0, ,87 0, ,17 0, ,47 0, ,08 0, ,38 0, ,68 0, ,98 0, ,28 0, ,58 0, ,88 0, ,18 0, ,48 0, ,09 0, ,39 0, ,69 0, ,99 0, ,29 0, ,59 0, ,89 0, ,19 0, ,49 0, ,10 0, ,40 0, ,70 0, ,00 0, ,30 0, ,60 0, ,90 0, ,20 0, ,50 0, ,11 0, ,41 0, ,71 0, ,01 0, ,31 0, ,61 0, ,91 0, ,21 0, ,51 0, ,12 0, ,42 0, ,72 0, ,02 0, ,32 0, ,62 0, ,92 0, ,22 0, ,52 0, ,13 0, ,43 0, ,73 0, ,03 0, ,33 0, ,63 0, ,93 0, ,23 0, ,53 0, ,14 0, ,44 0, ,74 0, ,04 0, ,34 0, ,64 0, ,94 0, ,24 0, ,54 0, ,15 0, ,45 0, ,75 0, ,05 0, ,35 0, ,65 0, ,95 0, ,25 0, ,55 0, ,16 0, ,46 0, ,76 0, ,06 0, ,36 0, ,66 0, ,96 0, ,26 0, ,56 0, ,17 0, ,47 0, ,77 0, ,07 0, ,37 0, ,67 0, ,97 0, ,27 0, ,57 0, ,18 0, ,48 0, ,78 0, ,08 0, ,38 0, ,68 0, ,98 0, ,28 0, ,58 0, ,19 0, ,49 0, ,79 0, ,09 0, ,39 0, ,69 0, ,99 0, ,29 0, ,59 0, ,20 0, ,50 0, ,80 0, ,10 0, ,40 0, ,70 0, ,00 0, ,30 0, ,60 0, ,21 0, ,51 0, ,81 0, ,11 0, ,41 0, ,71 0, ,01 0, ,31 0, ,70 0, ,22 0, ,52 0, ,82 0, ,12 0, ,42 0, ,72 0, ,02 0, ,32 0, ,80 0, ,23 0, ,53 0, ,83 0, ,13 0, ,43 0, ,73 0, ,03 0, ,33 0, ,90 0, ,24 0, ,54 0, ,84 0, ,14 0, ,44 0, ,74 0, ,04 0, ,34 0, ,00 0, ,25 0, ,55 0, ,85 0, ,15 0, ,45 0, ,75 0, ,05 0, ,35 0, ,20 0, ,26 0, ,56 0, ,86 0, ,16 0, ,46 0, ,76 0, ,06 0, ,36 0, ,40 0, ,27 0, ,57 0, ,87 0, ,17 0, ,47 0, ,77 0, ,07 0, ,37 0, ,60 0, ,28 0, ,58 0, ,88 0, ,18 0, ,48 0, ,78 0, ,08 0, ,38 0, ,80 0, ,29 0, ,59 0, ,89 0, ,19 0, ,49 0, ,79 0, ,09 0, ,39 0, ,00 0,
Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny
Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Ing. Jana Šenkapoulová VODÁRENSKÁ AKCIOVÁ SPOLEČNOST, a.s. Brno, Soběšická 156, 638 1 Brno ÚVOD Každé rekonstrukci
VíceTématické celky { kontrolní otázky.
Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te
VíceFAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD
VíceCyklometrické funkce
Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
Vícesoubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
VíceNumerická matematika Písemky
Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
VíceNěkteré zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení
Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.
Vícena magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy
Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru
VíceKapitola1. Lineární lomená funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce s obecným reálným exponentem Funkce n-tá odmocnina...
Kapitola1 Základní soubor funkcí v R Lineární funkce.......................................................... 1-1 Kvadratická funkce...................................................... 1-2 Mocninná
VíceTeoretická rozdělení
Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceTypy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)
Typy příkladů na písemnou část zkoušky NU a vzorová řešení (doc. Martišek 07). Vhodnou iterační metodou (tj. metodou se zaručenou konvergencí) řešte soustavu: x +x +4x 3 = 3.5 x 3x +x 3 =.5 x +x +x 3 =.5
VíceRegresní a korelační analýza
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)
VíceTéma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n
Více1. Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí.
. Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí. Vyjádřete zlomkem, jakou část druhého obdélníku tvoří zatmavená plocha..
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceNewtonova metoda. 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce
Více2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.
Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.
VíceSTP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA
Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady
VícePetr Hasil
Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceÚstav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007
Rychlotest-řešení Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně 14. května 2007 Příklad 1 Mějme funkci y = sin x rozhodněte zda směrnice tečny k dané křivce
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané
VíceMETODA PŮLENÍ INTERVALU (METODA BISEKCE) METODA PROSTÉ ITERACE NEWTONOVA METODA
2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 1 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC - řešení nelineární rovnice f(x) = 0, - separace kořenů =
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceBřetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
VíceSbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a
VíceINTERPOLAČNÍ POLYNOM. F (x)... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí
8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace Kateřina Konečná/1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení:
VíceDrsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?
Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VíceZáklady matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 24.10.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceRychlotest-internet. Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007
Rychlotest-internet Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně 14. května 2007 Na vyřešení testu by Vám mělo stačit 25 minut. K jeho řešení nebudete potřebovat
VíceVedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua
Vedení tepla v MKP Stacionární úlohy (viz dále) Konstantní tepelné toky Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Nestacionární úlohy (analogické dynamice stavebních konstrukcí) 1 Základní rovnice
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
Více(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada
(Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem
VíceSemestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
VícePro bodový odhad při základním krigování by soustava rovnic v maticovém tvaru vypadala následovně:
KRIGING Krigování (kriging) označujeme interpolační metody, které využívají geostacionární metody odhadu. Těchto metod je celá řada, zde jsou některé příklady. Pro krigování se používá tzv. Lokální odhad.
Vícey = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich
Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma
VíceINTERPOLAČNÍ POLYNOM.... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí
8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace 1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení: P (n) množina všech
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceMgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí
VíceZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCÍ - ŘEŠENÉ PŘÍKLADY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Lucie Ceplechová Přírodovědná studia, obor
Více1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
VíceModely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceLibovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.
A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin
VíceRozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.
Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:
VíceCvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 4 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme deskriptivní statistiku Tyhle termíny by měly být známé: Korelace Regrese Garbage in, Garbage out Vícenásobná regrese Pravděpodobnost
VíceMatematika 1 sbírka příkladů
Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které
VíceZápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A
skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceZadání projektů z BPC2 pro letní semestr 2007/2008
Zadání projektů z BPC2 pro letní semestr 2007/2008 Několik poznámek na úvod Projekt může být i konzolová aplikace. Záleží však na typu zadání, ne každé v konzolové aplikace vyřešit lze. Mezi studenty jsou
VíceMatematické symboly a značky
Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,
VíceVýznamná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
Alternativní rozdělení Příklad Střelec vystřelí do terče, pravděpodobnost zásahu je 0,8. Náhodná veličina X udává, jestli trefil: položíme X = 1, jestliže ano, a X = 0, jestliže ne. Alternativní rozdělení
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceMATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik
MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VícePRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I
PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D. 16. března 2009 Literatura [1] J. Anděl: Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998 [2] V. Dupač, M. Hušková: Pravděpodobnost a matematická
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
VíceQ(y) dy = P(x) dx + C.
Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato
VícePoznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
Vícealternativní rozdělení Statistika binomické rozdělení bi(n, π)(2)
Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara 5. listopadu 2007 1(178) binomické rozdělení Poissonovo rozdělení normální rozdělení
VíceNumerické metody a programování. Lekce 7
Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceOptimalizace spotřebitele & poptávka Jan Čadil FNH VŠE
Optimalizace spotřebitele & poptávka Jan Čadil FNH VŠE Footer Text 3/24/2014 1 Podstata problému Spotřebitel se snaží maximalizovat užitek a zároveň je omezen rozpočtovým omezením Optimum nastává tehdy,
VíceV praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více
9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VícePožadavky a podmínky zkoušky z Numerických metod I (2NU)
Požadavky a podmínky zkoušky z Numerických metod I (2NU) LS 2018/2019 Zkouška je písemná, trvá 90 min. Skládá se ze 3 praktických příkladů a 4 teoretických otázek. S sebou ke zkoušce: psací potřeby (čisté
VíceDiferenciál a Taylorův polynom
Diferenciál a Taylorův polynom Základy vyšší matematiky lesnictví LDF MENDELU c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 1 / 11 Aproximace funkce v okoĺı bodu Danou funkci
VíceŘešení nelineárních rovnic
Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS
Více8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
VíceNáhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
Více