Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů 1897: J.J. Thomson - elektron jako částice 1900: P. Drude: kinetická teorie plynů - kov jako plyn elektronů Drudeho model elektrony se mezi srážkami pohybují volně (není e-e interakce a interakce s kladným zbytkem) neustálé srážky (s jádry) - změny rychlosti elektronů pravděpodobnost srážky ~ 1/ ( = doba mezi srážkami) tepelná rovnováha díky srážkám (rychlost e- daná teplotou v místě srážky) -ezv -e(z-zv) ez kov: valenční elektrony vodivostní elektrony
2
3
Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů 1897: J.J. Thomson - elektron jako částice 1900: P. Drude: kinetická teorie plynů - kov jako plyn elektronů Drudeho model elektrony se mezi srážkami pohybují volně (není e-e interakce a interakce s kladným zbytkem) neustálé srážky (s jádry) - změny rychlosti elektronů pravděpodobnost srážky ~ 1/ ( = doba mezi srážkami) tepelná rovnováha díky srážkám (rychlost e- daná teplotou v místě srážky) -ezv -e(z-zv) ez kov: valenční elektrony vodivostní elektrony el. vodivost, Ohmův zákon, Hallův jev vztah el. a tepelné vodivosti (Wiedemann-Franz) měrné teplo C 3 Nk B 2 κ C V mv2 σ 4
Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony měrné teplo LuNiAl. 3 atomy n = 3 3*n = 9 fononových větví 3 akustické a 6 optických aproximace exp. dat pomocí 3 parametrů, každý popisuje 3 fononové větve LuNiAl 80 Measurement Electrons Debye Einstein 1 Einstein 2 Total 70 Cp [J/mole.K] 60 50 40 30 20 10 0 0 50 100 150 T [K] 200 250 300 5
6
Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů σ* -ezv -e(z-zv) 1s ez 1s σ vodivostní pás valenční pás 7
Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů elektrony v nekonečné potenciálové jámě a 8
Cu 4s1 vodivostní pás valenční pás 9
Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů 2.0 Sommerfeldův model M-B kvantový popis elektronového plynu f(e) klasický popis: Maxwell-Boltzmannovo rozdělení 1.5 F-D 1.0 T = 300 K (TF = 50 000 K) 0.5 kvantový popis: Fermi-Diracovo rozdělení 0.0 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 E/kB (K) 5 000 K 1.0 (chemický potenciál) 10 000 K f(e) 0.8 aplikace na elektronový plyn 1 000 K T = 20 000 K 0.6 0.4 (TF = 50 000 K) 0.2 0.0 0 20000 40000 E/kB (K) 60000 80000 10
Elektronová struktura pevných látek elektronový plyn (bez e--e- interakce a interakce s ionty) v krystalu N elektronů v objemu V (L3) periodické okrajové podmínky (Born-Karman) (stejně pro y a z) Fermiho plocha na jedno připadá objem obsazené stavy: koule o poloměru kf obsazené stavy neobsazené stavy spin 11
Elektronová struktura pevných látek elektronový plyn hustota stavů: g(e) Fermiho energie: ~kt EF E 12
Elektronová struktura pevných látek tepelné vlastnosti elektronového plynu stručně: volné elektrony: 13
Elektronová struktura pevných látek tepelné vlastnosti elektronového plynu 60 Cp/T (mj/mol.k2) 50 γ 40 LuNiAl 30 Au 20 10 Cu 0 0 20 40 60 T2 (K2) 80 100 volné elektrony vs. reálné kovy efektivní hmotnost 14
15
Elektronová struktura pevných látek model téměř volných elektronů T 16
Elektronová struktura pevných látek model téměř volných elektronů Blochův teorém V dokonalém periodickém potenciálu krystalu lze napsat řešení Schrödingerovy rovnice ve tvaru rovinné vlny vynásobené periodickou funkcí, která má periodu shodnou s periodou krystalu. 17
Kronigův Penneyův model II. I. oblast I.: oblast II.: 18
Kronigův Penneyův model spojitost a na hranici oblastí bod x=0 19
Kronigův Penneyův model spojitost a na hranici oblastí spojitost v x=-b a x=a 20
Kronigův Penneyův model 21
Kronigův Penneyův model 22
Kronigův Penneyův model 23
Kronigův Penneyův model 24
Elektronová struktura pevných látek model téměř volných elektronů Blochův teorém V dokonalém periodickém potenciálu krystalu lze napsat řešení Schrödingerovy rovnice ve tvaru rovinné vlny vynásobené periodickou funkcí, která má periodu shodnou s periodou krystalu. 25
Elektronová struktura pevných látek model téměř volných elektronů 26
Elektronová struktura pevných látek model téměř volných elektronů v 1.BZ 27
Elektronová struktura pevných látek model téměř volných elektronů 1D případ: v 1.BZ 28
Elektronová struktura pevných látek model téměř volných elektronů v 1.BZ g nechť je nejmenší vektor reciproké mřížky =0 29
Elektronová struktura pevných látek model téměř volných elektronů v 1.BZ g nechť je nejmenší vektor reciproké mřížky řešení na hranici 1.BZ: 30
Elektronová struktura pevných látek pásová struktura v 1D postupná vlna: stojatá vlna snížení potenciální energie zvýšení potenciální energie U zakázaný pás postupná vlna 2 ψ +2 ψ 3D: 31
Elektronová struktura pevných látek pásová struktura 1 pás N hodnot k, 2N stavů (N primitivních buněk) Si: (Ne)3s23p2 8 valenčních e-, struktura diamantu E 2 E1 ΔEE k 2 k1 B k 2 k1 32
Elektronová struktura pevných látek pásová struktura 33
Elektronová struktura pevných látek pásová struktura rozdělení pevných látek podle zaplnění pásů E izolátor kov polokov polovodič 34
Elektronová struktura pevných látek pásová struktura polovodičů příměsová vodivost akceptory donory vlastní vodivost vodivostní pás Eg valenční pás vodivostní pás vodivostní pás valenční pás valenční pás polovodiče typu n polovodiče typu p Si Si + P, As Si + B, Ga 35
Elektronová struktura pevných látek tepelné vlastnosti elektronového plynu 60 Cp/T (mj/mol.k2) 50 γ 40 LuNiAl 30 Au 20 10 Cu 0 0 20 40 60 T2 (K2) 80 100 volné elektrony vs. reálné kovy efektivní hmotnost 36
Elektronová struktura pevných látek pásová struktura polovodičů, efektivní hmotnost efektivní hmotnost = reakce na vnější pole pro elektron v krystalu anizotropie... souvisí se zakřivením pásu E(k) 37
Elektronová struktura pevných látek Fermiho plocha neobsazené stavy obsazené stavy plocha konstantní energie EF v k-prostoru tvar Fermiho plochy elektrické vlastnosti kovu 38
Elektronová struktura pevných látek Fermiho plocha neobsazené stavy obsazené stavy plocha konstantní energie EF v k-prostoru tvar Fermiho plochy Cu (fcc) Al (fcc) elektrické vlastnosti kovu Sc (hcp) 39