3. Cvi ení. Matematická analýza pro fyziky I ZS 2016/17, MFF UK. 1. Ukaºte, ºe pro kladná ísla x 1,..., x n platí. x 1 = 1

Podobné dokumenty
Mgr. Jakub Lukeš. Praha (pracovní list) Ročník: Datum vytvoření: listopad 2013 VY_32_INOVACE_ NEJ

Projekt EU peníze středním školám. Wir leben und sprechen Deutsch II. die Adventszeit. Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent

Saurer Regen. V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dozvědí se základní informace o kyselém dešti.

ROEDL & PARTNER ERSTES BÜRO IN PRAG MATERIÁLY PRO UČITELE

Projekt EU peníze středním školám. Wir leben und sprechen Deutsch II. Familie. Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent

Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY

Mezinárodní závody Zpívající fontány

EINBAUANWEISUNG FÜR SCHALLDÄMM-SET BWS/DWS MONTÁŽNÍ NÁVOD PRO ZVUKOVĚ IZOLAČNÍ SOUPRAVY BWS/DWS

MATN2. Trigonometrie. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"

Aufgabe 1. Úloha 1. V druhé početnici (1522) Adama Riese jsou úlohy o nákupu hospodářských zvířat (viz přiložený obrázek).

Čtvrtek Donnerstag

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/ Dělnická.

Implementace finanční gramotnosti. ve školní praxi. Sparen, sparen, sparen. Irena Erlebachová

Jak bude testování probíhat? Úplně jednoduše. Z nabízených variant vyberete tu, která je podle Vás gramaticky správná.

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/ Předmět.

Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA KVALITY Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/ EU PENÍZE ŠKOLÁM

Jméno, třída: In der Stadt Wiederholung. VY_32_INOVACE_111_In der Stadt_PL. Pracovní list Š2 / S6/ DUM 111

Škola. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1

Deutschland Bundesländer

DEMATECH PREISANGEBOT / CENOVÁ NABÍDKA

Geocaching. V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dovědí se základní informace o geocachingu.

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Gesunde Lebensweise :38:05

Easy-6 Pivottür mit Seitenwand / Otočné dveře s boční stěnou

SSOS_NJ_2.12 Die Feste

KTS - SCHORNSTEINZUGSYSTEM KTS - KOMÍNOVÝ TAHOVÝ SYSTÉM

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám

(1) Uveď během 30 sekund tolik řek, kolik jich znáš. Zähle in 30 Sekunden alle Flüsse auf, die du kennst.

Střední odborná škola a Střední odborné učiliště Horky nad Jizerou 35. Obor: M/02 Cestovní ruch

Německý jazyk. Jaroslav Černý

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/

Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky

DIESES LERNTAGEBUCH GEHÖRT

MATN4. Derivace funkce. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"

QR, b = QS, c = QP. Dokaºte ºe vzdálenost bodu P od roviny spl uje. a (b c) d =

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu. Základní škola Sokolov, Běžecká 2055 pracoviště Boženy Němcové 1784

1) Číslovky a základní početní úkony zápis. Die Zahlwörter.

Čas potřebný k prostudování učiva lekce: 5 vyučujících hodin Čas potřebný k ověření učiva lekce: 30 minut

Německý jazyk. Mgr. Hana Staňová. Z á k l a d o v ý t e x t :

2. Cvi ení. Matematická analýza pro fyziky II LS 2015/16, MFF UK. 1. Ur ete sou et následujících ad. 3. a) 2 n + ( 1)n. 3 n. (z + n)(z + n + 1) zu a:

Týdenní školení bavorských učitelů v Sušici Einwöchige Schulung von bayerischen Lehrern in Sušice

Berlin Sehenswürdigkeiten 1

Projekt EU peníze středním školám. Wir leben und sprechen Deutsch II. Essen. 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent

OBSAH 1. LEKCE 2. LEKCE

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Seznam příloh. A... Záznamový arch pozorování. B.. Ukázka vyplněného záznamového archu. C... Plán hodiny experimentální skupina

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

STTN2. Obrábění paprskem elektronů. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR

Spinnen. V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dovědí se základní informace o pavoucích.

Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Bildungssystem in Deutschland

B, e²te následující rekurenci n kterou z metod z kapitoly o sumách: (a j b k a k b j ) 2

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám

Digitální učební materiály III/ 2- Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. VY_32_INOVACE_860_Zemepisna_jmena_PL

ROEDL & PARTNER SIE WOLLEN EXPANDIEREN MATERIÁLY PRO UČITELE

MATN1. Výrazy a jejich úpravy. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"

IV. Systém jmenování soudců správních soudů či senátů v České republice

Výsledky úloh. 1. Úpravy výrazů + x 0, 2x 1 2 2, x Funkce. = f) a 2.8. ( ) ( ) 1.6. , klesající pro a ( 0, ) ), rostoucí pro s (, 1)

Nein, wir sprechen noch nicht Deutsch. Wir möchten es aber lernen. Wir brauchen Fremdsprachen. Alle wissen es.

TKGN4. Ložiska a těsnění. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR

Časté chyby při návrhu a provádění pasivních domů masivní konstrukce v ČR 1. Úvod:

MODELOVÁ ŘADA A CENÍK KOČÁRKŮ KOLOFOGO OD

Porozumění stavby. Janákova vila. ZAT Rottová & Janíková

Mohu vybrat peníze z bankomatu v [název země] bez placení poplatků? Fragen, ob Gebühren anfallen, wenn man in einem bestimmten Land Geld abhebt

Inovace: Posílení mezipředmětových vztahů, využití multimediální techniky, využití ICT.

dream. 111/B. 131/B-S. 110-S.

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Komplexní čísla

Berlin Sehenswürdigkeiten 2

5. DEUTSCHE ARBEITSÜBERSETZUNG DER FORMULARE OZNÁMENÍ FYZICKÉ OSOBY UND OZNÁMENÍ DER PRÁVNICKÉ OSOBY

Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky

Voda její vlastnosti Wasser und seine Eigenschaften

WICHTIG - FÜR SPÄTERE VERWENDUNG AUFBEWAHREN - SORGFÄLTIG LESEN.

TEST 1. pololetí ŠR 2013/2014

Využití ICT pro rozvoj klíčových kompetencí CZ.1.07/1.5.00/

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/ Dělnická.

Stammesheimat Sudetenland

Cílová skupina SŠ s maturitní zkouškou německý jazyk pro začátečníky (vyučováno jako 2. cizí jazyk)

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

ČTENÍ. Německý jazyk. Mgr. Jitka Svobodová. Z á k l a d o v ý t e x t : MEINE TRAUMWOHNUNG

VESTAVBOVÝ RÁM - ROLLO JUMBO

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/

M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u :

Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, Karlovy Vary Autor: Soňa Novotná

Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA KVALITY Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/ EU PENÍZE ŠKOLÁM

Stříkací pistole. Striekacia pištoľ

1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =

FM-TERMODVEŘE pro nízkoenergetické a pasívni domy

ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

UNTERKUNFT IN EINEM HOTEL

Spojky souřadné - procvičování

SPORTOVNÍ CENTRUM MLÁDEŽE JINÍN. Autoklub der Tschechische Republik

Spojky podřadné - procvičování

HAKA. Diese Produktlinie vereinigt handwerkliche Qualität mit einer höchst effizienten und sauberen Technik. Warmluftheizung

VY_22_INOVACE_2.11_NJ_KALTE _KÜCHE

Transkript:

Matematická analýza pro fyziky I ZS 06/7, MFF UK. Cvi ení. Ukaºte, ºe pro kladná ísla x,..., x n platí x... x n x +... + x n n Návod: Abyste dokázali výrok pro x,..., x n+, p edpokládejte, ºe x n < a x n+ > pro to lze?) a pouºijte induk ní p edpoklad na x,..., x n, x n x n+. x... x n x n x n+ ) x +... + x n + x n x n+ n noch zz: x n x n+ n n + x n+ x n+ ) x n ) > 0 }{{} +x n+x n+ x nx n+ >0. Artitmetický pr m r nezáporných ísel x,..., x n je a x +...+x n n, geometrický pr m r je g n n x... x n a harmonický pr m r h. +... x xn Dokaºte, ºe a g h Návod: Pouºijte, ºe y... y n y +... + y n n pro kladná y i. x n x... xn... x n n x... xn x +...x n n x... xn n a g n x... xn x n x... x... n x n n ) x... x n x +... + x n n g h. Dokaºte pro komplexní) ísla a,..., a n a b,..., b n Cauchy-Schwarzovu nerovnost: a k b k ak bk k Návod: Ov te pro A k a k a B k bk nerovnost A k B k. a i b i i i Pouºijte p itom skute nost, ºe geometrický pr m r lze shora odhadnou aritmetickým pr m rem. a k b A k k B k a i b i i A k B k A k B k k A k +B k i A k + B k + a k ai b k bi

a k b k ai bi k 4. Dokaºte pro ísla a,..., a n a b,..., b n Minkowského nerovnost ak + b k ak + bk Návod: Rozloºte sou et pod levou odmocninou na dva sou ty a pouºijte Cauchy-Schwarzovu nerovnost. 5. Bu θ kπ. Dokaºte identitu a Návod: Rozepi²te noch zz: ak + b k a k + b k a k + a k + b k b k CS ak + b k ak + ak + b k bk [ ak + b k ak + ] bk n k e kθ. sin θ + sin θ +... sin nθ n+ sin θ sin θ sin nθ ) ) sin n + θ + cos θ + cos θ +... + cos nθ sin θ e ikθ cos θ + cos θ +... + cos nθ) + isin θ + sin θ +... + sin nθ) k n iθ e k e ikθ eiθ einθ e iθ 6. Najd te v²echna reálná ísla x s e i θ e inθ e i θ e i θ ei n+ )θ e i θ i sin θ sinn+ )θ) sin θ ) + i cos θ cosn+ )θ) sin θ cos θ cos n + ) ) θ sin n+ θ) sin n θ) cos n+ θ n θ) cos n+ θ + n θ) sin x sin x cos x ) sin x cos x ) x sin cos x sin x )

oder sin x sin x cos x sin x sin x sin x 4 sin x sin x sin x 0 sin x x kπ sin x x π 4 + k π ) 7. Spo t te následující komplexní ísla: a) z 5 + i 5) + i) + 4i) b) z 5 i ) 4 i c) z + i d) z 5 + i) + + i)8 7i e) i ) + i ) Berechnen Sie die folgenden komplexen Zahlen : a) z 5 + i 5) + i) 5) + i) + i) 5 5) [ + i) + i)] + i) }{{} 4 0 5) + i) 0 5 + 0 5i b) z c) z + 4i) 5 i 5 + 8i)5 + i) 9 ) 4 i + i + 4i) 5 + i) 5 i)5 + i) 59 70i) 9 ) 4 i) i) + i) i) d) z 5 + i) + + i)8 7i + 4i) 5 + i) 9 59 9 70 9 i ) 4 i) i) + i) i) ) 7 6i 5 84i 5 5 84 5 i 5 i) + i) i) + + i)8 7i i) + + i) 8 7i 4i) i) + + i) + i) + i) + i) 7i 8i) + i) 4 8i) + 6 8 i) e) i ) + i ) i ) + i )) i ) 64 8. Na rtn te v Gauÿovské rovin následující mnoºiny komplexních ísel: a) {z C ; z z + i} b) {z C ; z + i z 5i } { ) } { c) z C ; Re d) z C ; z, z z } e) {z C ; z i z + + i } f) {z C ; z > Rez)}.

zu a) z z + i mit z a + bi z a bi) + i z a b)i Diese Gleichung kann nur erfüllt werden, wenn gilt: z a 0 und b 0 b a + ) a + 4 a z + i zu b ) Sei z a + bi z + i z 5i a ) + b + ) a ) + b 5) 4a Das bedeutet, dass genau die komplexen Zahlen z C die obige Gleichung erfüllen, die auf der Geraden M mit der Geradengleichung b a+ 8 liegen. M ist die Mittelsenkrecht zwischen den Punkten i und + 5i. zu c ) Sei z a + bi Re 0 a a + b 6 a 4) + b. ) ) ) a bi Re Re z a + bi a + b a a + b zu d )

zu e ) Sei z a + bi z i z + + i a ) + b ) 4 a + ) + b + ) ) a + b + 0 a + 0 b + 0 a + 5 + b + ) 5 ) 9. zu f ) Sei z a + bi z > Rez) a + b > a b > a. 9. Dokaºte, ºe pro v²echna komplexní ísla z, w C platí tak zvaná rovnob ºníková identita z + w + z w z + w ). Jaká geometrická v ta se za ní skrývá? Mit z a + bi und w c + di folgt: z + w + z w a + c) + b + d) + a c) + b d) a + ac + c + b + bd + d + a ac + c + b bd + d a + b ) + c + d ) z + w ) Die geometrische Aussage des Satzes lautet: Die Quadrate der Längen der Diagonalen eines Parallelogramms entsprechen dem Doppelten der Quadrate der beiden Seitenlängen. 0. P eve te následující výrazy na trigonometrický tvar z r cos ϕ + i sin ϕ) : a) + i) + i)cos a + i sin a), a R b) 5 c) i + sinα) i cosα), 0 α < π zu a) + i) + i) cos a + i sin a) argz) }{{}}{{} π z z cos π + i sin π) z w argw) 4 π w w cos 4 π + i sin 4 π) + i) + i)cos a + i sin a) cos π + i sin π) cos 4 π + i sin 4π)cos a + i sin a)

zu b) 5 5cos π + i sin π) cos 7 7 π + a) + i sin π + a)) zu c) i+sinα) i cosα) sinα)+i cosα)) sin α cos α+i sin α) sin αcos α+i sin α). e²te rovnice pro z C, z x + iy : a) z i b) z 6 7 c) z 4 + i d) z + 0 e) z + z + 8i) 0 f) z 4 z + 0 g) z + 4i h) z 5 i Bemerkung: Es gibt mehrere Arten die komplexe Gleichung z a + bi zu lösen. Zunächst kann dies unter Zuhilfenahme der Formel von Moivre geschehen. Sei z a + bi. Man bestimme ϕ argz) und r z, dann gilt: z r cos ϕ) + i sin ϕ )) und z r cos ϕ + π) + i sin ϕ + π)) Man kann aber auch so vorgehen: Sei z a + bi und z x + yi. Falls b 0 ist, so gilt oenbar: z / { ± a falls a 0 ±i a falls a < 0 Falls jedoch b 0 ist, so gilt z x + yi) x y + xyi a + bi, was auf die zwei reellen Gleichungen I) a x y und II) b xy führt. Da b 0 vorausgesetzt ist, folgt aus II) direkt: x 0 und y 0. Weiter gewinnt man aus I) durch Einsetzen von II) zunächst: die reellen Gleichungen x b 4x a und umgeformt x4 ax b 4 0 woraus nach der p q Formel: x ) / a ± a 4 + b 4 folgt, was durch das das plus unter der Wurzel immer einen sinnvollen Ausdruck. Man überlegt sich ferner, dass stets gilt: woraus sich a a + 4 + b 4 > 0, a x) / ± + a + b und durch II) auch y / bestimmen lässt.

Abschlieÿend sei darauf hingewiesen, dass auch die p q Formel in C gilt. zu a) z i z argz ) π z cos π + i sin Moivre π) z cos 6 π + i sin 6 π) + i z cos 5 6 π + i sin 5 6 π) + i z cos π + i sin π) i zu b) z 6 7 z 6 7 argz 6 ) π z cos π + i sin π) Moivre z cos 6 π + i sin 6 π) + i z cos π + i sin π) i z cos 5 6 π + i sin 5 6 π) + i z 4 cos 7 6 π + i sin 7 6 π) i z 5 cos π + i sin π) i z 6 cos π + i sin 6 6 π) i zu c) z 4 + i z 4 argz 4 ) π z cos π + i sin Moivre π) z 4 cos π + i sin π) z 4 cos 7 π + i sin 7 π) z 4 cos π + i sin zu d) z + 0 z / ±i π) z 4 4 cos 9 π + i sin 9 π) zu e) z + z + 8i) 0 z + ) 8i z + ) / ± ± + i) z + i und z i zu f) z 4 z + 0 z ) + 0 z ± i. Fall: z + i. Fall: z i Moivre z / ± 4 cos π 8 + i sin π 8 ) Moivre z /4 ± 4 cos π 8 i sin π 8 ) + i zu g) z + 4i ergibt gemäss der Bemerkung mit a und b 4 z + i und z i zu h) z 5 i ergibt gemäss der Bemerkung mit a 5 und b z i und z + i ). Spo t te p esnou hodnotu cos π 5 und sin π 5. Návod: Poloºte z cos π 5 + i sin π 5 a pouºijte z5 + 0 stejn jako z + z cos π 5. Sei also z cos π 5 + i sin π 5 ). z 5 + 0 z + ) z 4 z + z z + ) 0 }{{} 0 z 4 z + z z + 0 z z + z + z 0 )

n : z + z n z + ) z + + z z ) n n 0 n / ± 4 + ± 5) n z + z + 5) cos π 5 cos π 5 4 + 5) sin π 5 cos π 5 5 5). Na trn te v C následující mnoºiny Zu a) a) {z C : z i }, b) {z C : z + i z }, c) {z C : z + z }, d) {z C : z + z }, e) {z C : Rez + ) Imz}. Der Abstand zwischen z und i soll sein. Es handelt sich also um Kreis mit Mittelpunkt i und Radius. Zu b) Der Abstand von z zu i muss gleich dem Abstand von z zu sein. Es handelt sich also um die Achse der Ve rbindungsgerade zw. i und, also die Achse des zweiten und vierten Quadrants. Zu c) Erstmal nden wir wie in b) die Menge M {w C : w + w }. Dies ist die imaginäre Achse. Dann suchen wir die Menge M {z C : z M}. Aus der geometrischen Intepretation der Multiplikation komplexer Zahlen folgt, dass M { + i)t : t R} { i)t : t R}. Zu d) Der Abstand zw. z und ist doppel so groÿ als der Abstand zw. z und. In der Menge liegen also die Punkte und 5. Aus der Elementargeometrie folgt, dass die Menge so-gennanter Apollonischer Kreis ist, d.h. Kreis mit Mittelpunkt und Radius. Zu e) Die Ungleichung erfüllen alle Punkte z a + ib mit a + b, d.h. eine Halbebene. Ihrer Rand ist eine Gerade, die durch die Punkte und i geht. 4. Udejte trigonometrickou reprezentaci ísel a) + i, b) ) + i, c) + i ) 0, d) + i) 5 + i) 4. Najd te reálnou a imaginární ást a absolutní hodnotu Zu a) e) + i i, f) i, g) i + +i i +. i + i + i, ϕ arctg π 4.

Also ist + i cos π 4 + i sin π 4 ). Zu b) und c) Aus der Formel r cos ϕ + i sin ϕ )r cos ϕ + i sin ϕ ) r r cosϕ + ϕ ) + i sinϕ + ϕ )) folgt und ) + i cos π 4 + i sin π 4 ) cos π + i sin π ) i. ) + i 0 ) 0 cos 0 π π + i sin 0 4 4 ) 5 cos π + i sin π ) i 768. Zu d) + i) 5 + i 5 cos 5 π π + i sin 5 ) 5 cos 5π + i sin 5π) 5 cos π + i sin π). + i) 4 + i 4 cos 4 π 6 + i sin 4π 6 ) 4 cos 4π + i sin 4π) 4. Also + i) 5 5 + i) 4 4 9. Zu e) Also Zu f) also z + i + i) + i) i i) + i) i i Rez) 0, Imz), z. z i i i i i i, Rez) 0, Imz), z. Zu g) also z i + +i i + i i + i i + +i 5. Budiº z, z, z komplexní ísla s vlastnostmi i + i i + + i + i + i) i) + i + i) i) 4 i i 0 5, Rez) 5, Imz) 5, z 5 5. a z z z z + z + z 0

Ukaºte, ºe z, z, z jsou vrcholy rovnostranného trojúhelníka. Návod: Pouºijte z + w + z w z + w ). zz: z z z z z + z ) z + z z 4