1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =

Transkript

1 I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin f) lim ln + a) Pro R platí: sin() = 2n+ n= ( )n, (2n+)! b) Pro (, : log( + ) = k n= ( )n+ n n c) Pro (, ) a a R: ( + ) a = k ( a n= n cotg c) lim 2 ( g) lim ) e d) lim π 4 h) lim cos() = 2n n= ( )n, (2n)! 3 tg 2 sin 2 ( arcsin ) n, kde ( ) a = a (a ) (a 2) (a n+) 2. Najd te Taylor v polynom k-tého ádu v bod pro funkce: n n!. ) / 2 e = n n=. n! a) tg(), k = 4 b) cos(sin ), k = 5 c) sin(sin ), k = 6 d) sin( cos ), k = 3 e) ++2, k = f) e 2 2, k = 5 g), k = 4 h) log(cos ), k = 6 e 3. Odhadn te absolutní chybu aproimace daných funkcí na daných intervalech: a) sin 3, [ /2, /2] b) + + 2, [, ] Spo t te e s p esností 2 5. Spo t te limity cos e 2 2 e sin ( + ) a) lim b) lim c) lim ( ) 3 d) lim 3/2 ( a + a 2 ( ) e) lim (a > ) f) lim ) 2 sin g) lim ( 2 log( + )) ( h) lim ) cos i) lim (( )e sin ) (cos ) sin j) lim k) lim 3 sin 6. Spo t te limity (p íklady ze zkou²kových písemek na FSV): a) lim sin(e (2) ) + 2 sin(cos() ) log( + 4 ) b) lim log( + sin ) ep( sin ) + cos( sin ) sin 4

2 II. MOCNINNÉ ADY. Nalezn te polom r konvergence následujících mocninných ad. Ur ete oblasti absolutní konvergence, neabsolutní konvergence a divergence. a) n= z n (p R) n p e) (3+( ) n ) n n= i) n= 2 n z n2 n z n f) b) 3 n +( 2) n n= (z + ) n c) n n= ( + n )n2 z n d) n= z n (a, b > ) g) a n +b n n= 2. Se t te ady uvnit kruhu konvergence: a) z 4n+5 n= b) n! n= nzn c) n n= n(n+) g) 2n n= ( )n n(2n ) l) n= (n )(n + 3)2n h) n 2 n= n i) 3 n n! n= ( a n n + bn n 2 ) z n (a, b > ) n= a n z n (a > ) h) ( ) +2 cos πn n 4 n= z n n d) n= n2 n e) n= ( )n+ n 2 n f) n= n(n+2)n ( ) n n 2n+ (2n+)! j) n= 2n (2n)! k) n= m ºe se hodit: ( ( ) log( ) ( ) ) = log( ); ( arctg log( + 2 )/2 ) = arctg 3. Vyjád ete následující funkce jako mocninnou adu o st edu : a) e z2 b) arctg c) sin 2 d) ( + ) log( + ) e) z +z 2z 2 f) arctg ( ) n (4n)! g) ( z) 2 h) log + 4. Rozvi te funkce f(z) = ep(z), g(z) = z ep(z), h(z) = z 2 ep(z) v mocninné ady se st edem v bod z, kde a) z =, b) z =, c) z = 8; a stanovte polom r konvergence t chto ad. 5. Rozvi te funkce f(z) = sin(z), g(z) = z sin(z), h(z) = z 2 sin(z) v mocninné ady se st edem v bod z, kde a) z =, b) z = π/6, c) z = 2; a stanovte polom r konvergence t chto ad.

3 III. HLEDÁNÍ PRIMITIVNÍ FUNKCE - ÚVOD Vyjád ete primitivní funkce na maimálních intervalech eistence. P íklady na integrování "p ímo": a) 9 + 5e + 3 cos b) 2e c) d) ( ) 2. P íklady, kde se musí funkce "lepit": a) b) cos c) 6 d) sin 2 e) sin + cos f) ma{, 2 } g) e h) P íklady na integrování pomocí substituce: a) tg b) cotg c) 2 d) e) f) cos g) log 2 +5 log log(log ) 4. Dal²í p íklady k procvi ení: a) ( ) ( 2 3 3) 2 b) c) (2 + 3 ) 2 d) 2 e) f) 3 g) sin( ) h) cos 2 i) 2 j) sin cos k) arcsin sin 4 (t ºké) sin P íklady na integrování "per partes": a) 3 sin b) e cos c) log d) n e, n N e) log f) e cos 6. Dal²í p íklady k procvi ení: a) sin b) 2 cos c) arctg d) 2 2 e) arctg f) 2 sin(2) 3 ( ) 2/ g) log 2 h) 2 e 2 i) ( ) log 2 j) 5 e 3 k) e l) sin 7. P íklady na integrování pomocí druhé v ty o substituci: a) 4 2 b) c) (a > ) ( 2 ) 3/2 ( 2 +a 2 ) 3/2 d) +a (a > ) e) a (a > ) 2a

4 IV. HLEDÁNÍ PRIMITIVNÍ FUNKCE - POKRAƒOVÁVNÍ Vyjád ete primitivní funkce na maimálních intervalech eistence. P íklady na "integrování racionálních funkcí": a) (2+3)(3+2)(+) f) b) c) d) 4 + e) ( )( 2 ++) 2 2. a) + b) c) d) (+e ) 2 e) e 2 +e 2 f) +e /2 +e /3 +e /6 g) a) b) tg 2 + sin +tg sin 2 +sin cos f) sin 2 g) sin +sin 2 sin 3 +cos 3 c) sin 3 +sin cos 3 +cos d) cos 2 (4 sin 2 ) e) (2+cos ) sin 4. a) b) sin cos c) d) 5+cos +sin 4 (sin 2 +2 cos 2 ) 2 2 sin cos +5 e) 2 + a 2 (a > ) f) 2 a 2 (a > ) 5. a) b) 2 2 +a 2 (a > ) c) d) ( ) P eve te na integrál z racionální funkce pomocí následujících substitucí: a) t = b) t = c) t = 2 7. BONUS - p íklady ze zkou²kových písemek na FSV: a) 2 (2+3)( b) sin 3 c) 2+3) cos (sin 2 +) ( ) 3 + d) cos sin 8. BONUS - p íklady ze zkou²kových písemek na MFF: a) b) sin c) (e 2 +e 2)(e 2 +) sin +cos 3 + d) 2 log 2 () log 4 () log 2 () 6

5 V. NEWTON V INTEGRÁL Vypo t te následující integrály. a) 2 b) log 2 e c) 2π 2 cos d) e e f) log 2 e g) a 2 a 2 2 h) 2π j) 2. a) 2 ++ e) 6π sin(2 ) 2+sin( 2 ) k) 2π b) sin 4 +cos log e) π, ε [, ) i) +ε cos c) ++ (+) 3 3. Dal²í pou né p íklady jsou nap. na stránce doc. Kalendy zde (série IX): d) 5π cos 2, ab a 2 sin 2 +b 2 cos 2 sin 2 +2 cos 2

6 VII. EXISTENCE NEWTONOVA INTEGRÁLU. Vy²et ete eistenci následujících Newtonových integrál a) 4 b) 2 3 c) ( 2 ) 5 e d) g) π 2 sin p cos q h) π 2 sin q ( sin ) p i) e sin e) e cos f) π 2 log sin j) log(+e ) p ( ) q k) p e 2. Vy²et ete eistenci následujících Newtonových integrál (v²echny parametry jsou reálné) a) π 2 cos b) k sin c) α arctg β d) π m 2 (tg +sin )α e) π ( 2 α π ) β 2 tg γ f) 2 p ln q 3. Pomocí B-C podmínky ukaºte, ºe následující Newtonovy integrály neeistují: a) sin (α ) b) sin c) cos d) sin 2 α π 4. Pomocí metod per partes a substituce rozhodn te o eistenci následujících Newtonových integrál : a) sin (α (, ]) b) sin( 2 ) α 5. Vy²et ete eistenci následujících Newtonových integrál : a) 2 cos ( 4 ) b) cos c) sin 2 d) +8 α f) ( ) sin arctg g) ( ) sin + a, (a R) 6. BONUS - p íklady ze zkou²kových písemek na MFF: sin arctg e) log(+) cos a) ( ) + sin( ) U tohoto p íkladu m ºete bez ov ování pouºít informaci, ºe eistuje okolí nekone na, na kterém je funkce ( + /) rostoucí. b) ( 3 )(log ) α (2+ 2 ) 2 (α R) c) cos( α + )

7 VIII. METRICKÉ PROSTORY. Ov te, zda následující formule denují metriku na R: a) ρ(, y) = 3 y 3 b) ρ(, y) = 2 y 2 c) ρ(, y) = ( y) 2 2. A ρ, ρ 2 jsou metriky na mnoºin P. Musí být i funkce ρ denovaná níºe metrikou na P? a) ρ = ρ + ρ 2 b) ρ = ma{ρ, ρ 2 } c) ρ = min{ρ, ρ 2 } d) ρ = ma{ρ, } e) ρ = min{ρ, } 3. Na mnoºin P = {A N : A je kone ná} denujme ρ(a, B) = (A \ B) (B \ A) pro A, B P. Je ρ metrika? 4. Na prostoru C([, ]) uvaºujme supremovou metriku, tj. ρ s (f, g) = ma{ f(t) g(t) : t [, ]}. a) Spo ítejte ρ s (, 2 ). b) Pro n N a [, ] denujme f n () = sin(n+3) n+ a g n () = n. Je posloupnost funkcí (f +n 2 2 n ) n= konvergentní v metrice ρ s k funkci f() =, [, ]? Platí analogické tvrzení pro posloupnost (g n ) n=? 5. Na prostoru C([, ]) uvaºujme integrální metriku, tj. ρ i (f, g) = f() g(). a) Spo ítejte ρ i (, 2 ). b) Pro jaké a (, ) je vzdálenost ρ i (a, 2 ) nejmen²í moºná? 6. Uvaºujme na R 2 libovolnou metriku ρ. Která z následujících tvrzení jsou pravdivá? Která jsou pravdivá, pokud ρ(, y) = y pro n jakou normu na R 2? a) 5U(, ) = U(, 5) ( zna í nulový vektor, 5A denujeme jako mnozinu {5a : a A} pro A R 2 ) b) 5U(, ) = + U(, 5), R 2 7. A P je metrický prostor, y jsou dva body z P. Dokaºte: a) {} je uzav ená mnoºina. b) Eistují disjunktní otev ené mnoºiny U, V ºe U a y V. 8. A (P, ρ) je metrický prostor, f : [, ) [, ) je funkce spl ující (i) f() = = (ii) r s + t f(r) f(s) + f(t) Poloºme σ(, y) = f(ρ(, y)). Dokaºte, ºe σ je potom metrika na P. Pomocí tohoto tvrzení dokaºte, ºe σ(, y) = ρ(,y) +ρ(,y) je metrika na P. 9. ekneme, ºe ρ je pseudometrika na P, pokud pro kaºdé, y, z P platí ρ(, ) =, ρ(, y) = ρ(y, ), ρ(, z) ρ(, y) + ρ(y, z). Nech na mnoºin P máme posloupnost pseudometrik ρ n, n N spl ující, y P, y n N : ρ n (, y). Dokaºte, ºe potom ρ(, y) = n= min{ρ 2 n n (, y), } denuje metriku na P. Toto tvrzení aplikujte na d kaz toho, ºe pokud na C(R) denuji ρ n (f, g) = sup{ f() g() : [ n, n]}, pak ρ(f, g) = n= min{ρ 2 n n (f, g), } je metrika na C(R).

8 . Rozhodn te, zda následující mnoºiny jsou otev ené (resp. uzav ené). Zjist te jejich vnit ek, uzáv r a hranici. a) N b) Q c) { : n N} d) {[, y] n R2 : >, y } e) {[, y] R 2 : + y > + y} f) {[, y] R 2 : y = y} g) {[, y] R 2 : 2 + y 2 + 2y = 5} h) {[, y, z] R 3 :, y >, + y = 2, z } i) {f C[, ] : f( ) = 2} 2 j) {f C[, ] : f( ) (, 2)} k) {f C[, ] : f() = } 2. Platí v metrických prostorech následující rovnosti? Platí alespo jedna inkluze? a) A B = A B b) Int(A \ B) = Int(A) \ Int(B) c) A = A \ A (uvaºujte A otev enou) 2. Dokaºte následující ekvivalence pro uzav enou mnoºinu A v metrickém prostoru P : dist(, A) = A Int(A) = P \ A = P, (platí toto tvrzení i kdyº A není uzav ená?) 3. A A P je podmnoºina metrického prostoru (P, ρ). Dokaºte: a) Int(A) = {U A : Uje otev ená} b) A = {F A : F je uzav ená}

9 2 +y 2 + IX. FUNKCE VÍCE PROM NNÝCH - LIMITY, DERIVACE. Lze následující funkce spojit roz²í it na R 2? a) 2 +y 2 b) 2 y 2 + c) sin(3 +y 3 ) d) 2 +y 2 2 +y 2 f) ( + y) sin sin y g) 2y h) +y i) y 2 +y 2 2 +y 2 2. P i a te grafy funkcí k p edpis m: 2 y 2 e) 3 y 3 2 y 2 +( y) 2 y 2 +y 2 j) ( + 2 y 2 ) a) b) c) 2 +y 2 k) ( 2 + y 2 ) 2 y 2 d) e) f) i) 2 + y 2 ii) ep() + y iii) 2 y 2 iv) + y v) 2 y 2 vi) 4 + y 3. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = b) f(, y) = ( 2 + y 2 )(4 2 y 2 ) c) f(, y) = ( 2 + y) 2 d) f(, y) = 2 +y 2 sin(2 + y 2 ) 4. Spo t te parciální derivace funkcí v²ude, kde eistují ( a) m y n b) e y c) y +yz +z d) y e) y +cos f) sin y sin g) cos y sin h) π i) y z j) sin( y ) k) f(, y) = e 2 +3y+3y 2 pro (, y), f(, ) = (, ) l) + y 2 5. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vy²et ete parciální derivace funkcí (ze zkou²kových písemek na FSV) a) e y e b) log y c) e 2 +y 2 e 4 d) 2 y 2 e) arcsin y f) log 2 +y+ 6. Mají následující funkce totální diferenciál v bod [, ]? (pokud v tomto bod funkce není denována, spojit ji dodenujte) a) 2 + y 2 b) 3 + y 2 c) y d) y 3 e) ( 2 + y 2 ) sin f) e 2 +y 2 2 +y 2 7. Vy²et ete, ve kterých bodech mají následující funkce totální diferenciál a spo t te jej a) f(, y) = 5 y 5 4 +y 4 pro [, y] [, ], f(, ) = b) ma{ 3, y 3 } y ) z