I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY

Transkript

1 I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) = 1 2 y 2 1 g) f(, y) = h) f(, y) = ( 2 + y 2 1)(4 2 y 2 ) 2 +y 2 1 i) f(, y) = 1 ( 2 + y) 2 j) f(, y) = sin( 2 + y 2 ) k) f(, y) = sgn(sin sin y) l) f(, y) = + y 2. P i a te grafy funkcí k p edpis m: a) b) c) d) e) f) i) 2 + y 2 ii) ep() + y iii) 2 y 2 iv) + y v) 2 y 2 vi) 4 + y 3. Rozhodn te, zda následující mnoºiny jsou otev ené ev. uzav ené a ur ete vnit ek, uzáv r, hranici. a) N b) Q c) { 1 n : n N} d) {( 1)n : n N} e) {[, y] R 2 : > 0, y 0} f) {[, y] R 2 : 2 + y 2 < 1} g) {[, y] R 2 : 2 + y 2 1} h) {[, y] R 2 : 2 + e y > 17} i) {[, y] R 2 : + y > + y} j) {[, y] R 2 : y = y} k) {[, y] R 2 : 2 + y 2 + 2y = 5} l) {[, y, z] R 3 : 0, y > 0, + y = 2, z 0}

2 II. PARCIÁLNÍ DERIVACE 1. Spo t te parciální derivace funkcí v²ude, kde eistují ( a) m y n b) e y c) y +yz +z d) y e) y +cos f) sin y sin g) cos y sin h) { π i) y z j) sin( y e ) k) f(, y) = 2 +3y+3y 2 (, y) 0, l) + y 2 0 (, y) = (0, 0) 2. Ur ete a nakreslete deni ní obor funkce f, vy²et ete parciální derivace funkcí a napi²te rovnici funkce jejímº grafem je te ná rovina ke grafu funkce f v bod B (p íklady ze zkou²kových písemek z minulých let) a) e y e; B = [1, 1 + log 2, f(1, 1 + log 2)] b) log 1 ; B = [5, 5, f(5, 5)] 1 y c) e 2 +y 2 e 4 ; B = [3, 0, f(3, 0)] d) 2 y 2 ; B = [ 1, 0, f( 1, 0)] e) arcsin y2 +7 ; B = [9, 0, f(9, 0)] +5 f) log 2 +y+1 1 ; B = [4, 18, f(4, 18)] 3. Pomocí v ty o derivaci sloºené funkce spo t te parciální derivace funkce F a) f : R 2 R dána p edpisem f(, y) = 2 + y 2 ; ϕ 1, ϕ 2 : R 3 R dány p edpisy ϕ 1 (r, s, t) = 2r + s, ϕ 2 (r, s, t) = t; F : R 3 R dána p edpisem F (r, s, t) = f(ϕ 1 (r, s, t), ϕ 2 (r, s, t)) b) f : R 3 R dána p edpisem f(, y, z) = + y 2 + 2z; ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 : R 2 R dány p edpisy ϕ 1 (s, t) = 3st, ϕ 2 (s, t) = s 2 + 2t, ϕ 3 (s, t) = t; F : R 2 R dána p edpisem F (s, t) = f(ϕ 1 (s, t), ϕ 2 (s, t), ϕ 3 (s, t)) y ) z

3 III. IMPLICITNÍ FUNKCE 1. Je dán vztah 2 + 2y 2 + y 4 y 5 = 0 a bod [0, 1]. Dokaºte, ºe: i) tímto vztahem je denována hladká funkce y = f() v jistém okolí bodu 0, pro kterou platí f(0) = 1; ii) spo t te f (0); iii) spo t te f (0); iv) napi²te rovnici te ny ke grafu funkce f v bod 0; v) zjist te, zda je f na okolí bodu 0 konkávní/konvení. 2. Ukaºte, ºe daná rovnice ur uje v jisté okolí bodu M = [m 1, m 2 ] implicitn zadanou funkci y = f(). Spo t te f (m 1 ) a f (m 1 ) a napi²te rovnici te ny ke grafu funkce f v bod m 1. (p íklady ze zkou²kových písemek z minulých let) a) arctg +2y 3 + arctg 2+y 3 = π 2, M = [1, 1] b) y + y = 3, M = [1, 2] c) cos(y + e ) + sin(y e ) = 1, M = [0, π] d) e (2 +y 2) + e (y2 ) = 2, M = [1, 1] e) e ( y 1) + e ( y2) = 2, M = [1, 1] f) 4 arctg ( y 2 ) + log (3y ) = π, M = [5, 2] 3. Je dán vztah 2 + 2y 2 + 3z 2 + y z 9 = 0 a bod [1, 2, 1]. i) Dokaºte, ºe tímto vztahem je denována hladká funkce z = z(, y) v jistém okolí U bodu [1, 2], pro kterou platí z(1, 2) = 1; ii) ur ete z, z y v okolí U; iii) napi²te rovnici te né roviny ke grafu funkce z = z(, y) v bod [1, 2]. 4. Ukaºte, ºe daná rovnice ur uje v jisté okolí bodu M = [m 1, m 2, m 3 ] implicitn zadanou funkci = f(y, z). Spo t te te nou rovinu ke grafu f v bod [m 1, m 2, m 3 ]. (p íklady ze zkou²kových písemek z minulých let) a) + sin( + y + log(y + 2)) = e 2z, M = [1, 1, 0] b) tg(y + 2 z) = log(y 2 z + e ), M = [1, π/4, 0] 5. Ukaºte, ºe soustava rovnic ur uje v jisté okolí bodu M = [m 1, m 2, m 3 ] implicitn zadané funkce = f(y), z = g(y). Spo t te první a druhé derivace t chto funkcí v bod m 2. (p íklady na motivy zkou²kových písemek z minulých let) a) b) c) ze +y = e z + cos(z) + sin(zy) = 2 e 2(y z) + sin( + z) = 2 + 2y yze y+z = 1 z + arctg(z) = log(y) + z + arctg( + y) = log(y 2 z 2 ) M = [1, 1, 1] M = [1, 1, 0] M = [ 1, 1, 1]

4 IV. EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROM NNÝCH 1. Zjist te sup a inf funkce f na mnoºin M a vy²et ete, zda t chto hodnot funce f na M nabývá (bez Lagrangeových multiplikátor ). a) f(, y) = 2y 3; M = {[, y]; 0 1, 0 y 1, + y 1} b) f(, y, z) = ( + y) 2 + ( y) 2 + z; M = 1, 1 1, 1 1, 1 c) f(, y, z) = y 2 3y; M = R 2 d) f(, y, z) = y 2 ; M = R 2 e) f(, y) = 2 y +y 2 ; M = {[, y]; + y 1} f) f(, y) = a + y b, a > 0, b > 0; M = {[, y]; 2 +y 2 1} g) f(, y) = ( 2 + y 2 )e (2 +y 2) ; M = R 2 h) f(, y) = ( 2 + 5y 2 )e (32 +y 2) ; M = R 2 i) f(, y) = 2 + y 2 ; M = {[, y]; 2 + 4y 2 = 1} j) f(, y) = ( + y)e (2+3y) ; M = {[, y]; > 0, y > 0} k) f(, y) = y; M = {[, y]; + y = 5} l) f(, y, z) = 2 + 3y 2 z 2 ; M = {[, y, z]; 2 + y 2 + z 2 100} 2. Zjist te sup a inf funkce f na mnoºin M a vy²et ete, zda t chto hodnot funce f na M nabývá (s Lagrangeovými multiplikátory). a) f(, y, z) = 2y + 2z; M = {[, y, z], 2 + y 2 + z 2 = 1} b) f(, y, z) = 2y + 2z; M = {[, y, z], 2 + y 2 + z 2 = 1, + y + z = 0} c) f(, y, z) = sin sin y sin z, M = {[, y, z] ; + y + z = π, > 0, y > 0, z > 0} 2 d) f(, y, z) = y 2 z 3, M = {[, y, z] ; + 2y + 3z = a, > 0, y > 0}, kde a > 0 e) f(, y) = + y, M = {[, y, z], 3 + y 3 2y = 0, 0, y 0} f) f(, y, z) = 10z + y, M = {[, y, z], 2 + y 2 + z 2 1, y + 0} 3. Zjist te sup a inf funkce f na mnoºin M a vy²et ete, zda t chto hodnot funce f na M nabývá (ze zkou²kových písemek). a) f(, y, z) = ( 1) 2 + (y 1) 2 + (z 2) 2, M = {[, y, z] R 3 : 2 + y 2 + z 2 = 1, 2 + y + 2z 0} b) f(, y, z) = y + z, M = {[, y, z] R 3 : 2 + y 2 + z 2 4, 2 + y z 2 } c) f(, y, z) = ( 1) 2 + (y 2) z2, M = {[, y, z] R 3 : 2 + y 2 + z 2 4, 2 + y 2 z 2 = 1} d) f(, y, z) = (y + z), M = {[, y, z] R 3 : 2 + y 2 + 2z 2 = 4, + y + z 1} e) f(, y, z) = 2 y 2, M = {[, y, z] R 3 : 2 + y 2 + z 2 = 9, + z 1}

5 V. MATICE 1. Ur ete hodnost matic (v závislosti na parametru): a) a (a 1) (3a + 1) a b) 1 a 1 a c) (1 a) a a a 2a a ze zkou²kových písemek: d) e) y y y Spo tete (je-li to moºné) sou in matic AB a BA, kde: 2 1 ( ) a) A = , B = b) A = 0 3 1, B = Nalezn te inverzní matice k následujícím maticím (v závislosti na parametru): a) b) c) ze zkou²kových písemek: d) Spo t te determinanty (v závislosti na parametru): a) b) c) ze zkou²kových písemek: d) A = Pro která R je det A = det(a 1 )?

6 5. Najd te e²ení soustav lineárních rovnic: a) + 2y z = y = 1 y + z = 1 ze zkou²kových písemek: d) b) 2 + 3y w = y + 4z 2w = 0 y + 4z w = 2 + 5y + w = y + z + w = y + 2z + w = y + 2z + w = 6 c) 4 + 3y + 6z = y + 4z = 10 2y + 2z = 9 6. Najd te v²echna e²ení soustavy A = b pro uvedenou matici A a uvedené t i vektory pravých stran b 1, b 2 a b 3 (ze zkou²kové písemky): A = , b 1 = 3 2, b 2 = 6 1, b 3 = Ur ere parametry p R pro které je determinant matice následující soustavy nulový a pro tyto parametry soustavu vy e²te (ze zkou²kové písemky): 2 + y + 5z + 3w = 1 3 y + pw = y + z + 2w = 0 3 y + pz + 2w = 4

7 1. Ur ete, zda konvergují následující ady: a) k 5 b) 2 k 2 k c) 2k 2 +3k+4 k! 2k 3 f) sin(k2 + 3k) 4k +3 k g) 2k 2 +3k+4 5 k +2 k 2k 4 +3 j) n) 9 k k 9 9 k k 9 ( 1 cos 1 k ) k) ( 1)k 1 k 2 k k VI. ADY o) k e ( k k 2 +8), R d) ( k + 1 k 1) e) h) ( k k 2 1) i) k 8 3 k +5 k l) k sin( 1) k+1 k m) log(1 + Ak ), A > 0 2. Vy²et ete konvergenci (absolutní i neabsolutní) následujících ad: a) ( 1)n 1 n log n b) cos(n2 )( n 6 + n n 3 ) c) ( 1)n n cos( 1 ) n+1 n d) ( 1)n n n 2 +1 cos( 1 n ) e) 1 n log n f) log n cos ( ) sin n+8 n 2 n 8 ( 3 k k 2 1) g) ( 1)n 1 log n cos ( n n Vy²et ete konvergenci a absolutní konvergenci následujících ad (ze zkou²kových písemek): a) k, R b) 3 k k k 2 ( 1)k ( k k) arctg k+k, R c) ( ) cos 1 (k 2 ) k d) ( ) ( 1)k log 1 + k k, > 0 e) k+1 log( k 2 + 2k + 15 k) f) k, R 1+k log k2 +2 k 2 +1 cos 1 k )