2. Cvi ení. Matematická analýza pro fyziky II LS 2015/16, MFF UK. 1. Ur ete sou et následujících ad. 3. a) 2 n + ( 1)n. 3 n. (z + n)(z + n + 1) zu a:

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1 Matematicá aalýza pro fyziy II LS 05/6, MFF UK. Cvi eí. Ur ete sou et ásledujících ad. [ ] b z + z + +, z C \ N zu a: [ ] zu b: s N N 3 3 } {{ } + 3 } {{ } N z + z + + z + z + + z + N z + N + z +. Vy²et ete absolutí overgeci ásledujících ad b! 3 + c + d +! e f g zu a: a + 6+! a +! ! zu c: 0 +, Z + ist ach Quotieteriterium absolut overget ud damit auch overget. zu b: < ist ach Wurzelriterium absolut overget ud damit auch overget. a + + a ist eie Nullfolge. e Deshalb a + icht overgiere ud ist demzufolge diverget. zu d: 6! e6

2 durch eie divergete Miorate als diverget erwiese. zu e: Nach der Ugleichug zwische dem Harmoische ud Geometrische Mittel folgt: a + a ist somit eie Nullfolge. Deshalb a icht overgiere ud ist demzufolge diverget. zu f: a + a +! + + +! + + +! + e < ist ach dem Quotieteriterium absolut overget ud damit auch overget. zu g: Für sogar für >, wäre icht Z vorausgesetzt ist die Reihe + absolut overget ud damit auch overget, de es gilt: 3. Uaºte, ºe ásledující ady mají uvedeé sou ty 4, b + + 4, c ist für α > overget. α , d Zu l + l l+ l, e + x 0 x, x <, f x x, x <. x Zu b N 4 lim N N 4 lim N lim N lim N +. I Aalogie zu der Reihe + + A + + B suche wir eie Darstellug C + + N N + A B + + C +, + +

3 also A + B + C + 3A + B + C + A. Aus de Gleichuge A + B + C 0, 3A + B + C 0, A folgt A, B, C. Die Reihe a ma also umschreibe ud Zu c Folgt aalog zu b: Der Asatz A + + B + + C + 3 A B C führt zu A, B, C 3 ud Zu d Wir schreibe die Glieder um: l + l l+ l + l + l l + l l + l l l +. Es ist also eie telesopische Reihe ud die Summe ist gleich l. Zu e x + x + x + x ist eie geometrische Reihe. We ma zwei diese Reihe miteiader multipliziert ud Cauchy-Produt bildet, beommt ma x j0 x j l0 x l 0 j0 x j x j x +. Alle Rechuge sid für x < zugelasse, isbesodere ist die geometrische Reihe auch absolut overget. Zu f x + x x x x x x.

4 4. Zjist te, zda ásledující ady absolut overgují e α, b 4 e, f +, c, g 4 3 l, d, l l +, h 3. Zu Für α 0 gehe die Glieder icht gege Null ud die Reihe ist diverget. Für α > 0 ist es eie alterierede Reihe ud overgiert ach dem Leibitz-Kriterium. Zu b Aus folgt, dass die Glieder icht gege Null gehe ud die Reihe ist diverget. Zu c Aus l l 0 folgt ach dem Wurzel-Kriterium, dass die Reihe overgiert. Zu d Die Reihe ist overget ach dem Majorate-Kriterium. ist äquivalet zu ud zu l l < e l ll > e l l ll > l ud das gilt, falls ll >, d.h. > e e, also > 69. Zu e Aus dem Wurzel-Kriterium folgt, dass die Reihe overget ist. 4 e 4/ e 0 0. Zu f 4 4! !! Die Reihe ist also overget ach dem Majorate-Kriterium Vergleich mit 3. Zu g Die Reihe ist overget ach dem Leibitz-Kriterium. + 0, es bleibt also ur überprüfe, ob die Glieder mooto-falled sid: a + a [ + ] + [ + ] <

5 Zu h Aus der Abschätzug.3. folgt!! <. e Nach dem Majorate-Kriterium Vergleich mit ist die Reihe overget. 5. Vy²et ete absolutí overgeci ásledujících ad. +! +! + +! +, b! d, e e 3. + Zu Die Reihe ist also diverget. Zu b Wir schätze a ab 3: si!, c a +. +!e, p R, +p! +! + +! a!! +! + +!! !! Aus Majorate-Kriterium folgt, dass die Reihe absolut overgiert. Zu c Zu d Wir schreibe die a um: [ a ] + + Aus lim e folgt, dass < + + für 0 ud für diese gilt da a. Aus Majorate-Kriterium folgt da absolute Kovergez der Reihe Zu e Aus Wurzel-Kriterium folgt ud Kovergez der Reihe. a e Doaºte ásledující tvrzeí. ada x + x overguje práv dyº overguje posloupost x. b Poud x overguje a x 0, ta overguje i x. c Poud overguje ada a x 0, ta overguje i x. x

6 zu a: N N s N x + x x N+ x zu b: Da x lim N x N x overgiert ud x 0 ist, bildet x eie Nullfolge. 0 mit x für 0 x x,. x 0 x + x 0 0 x + x < 0 zu c: Ma weis, dass die Reihe: x ud overget sid. Daher overgiert auch die Reihe x +. Da aber ach der Ugleichug zwische dem Arithmetische ud dem Geometrische Mittel gilt: x x x + overgiert auch die Reihe 7. Formálí Caychy v sou i ad x. a Doaºte, ºe pro libovolé α R: b Spo t te Cauchy v sou i a b je deová jao α + +! m0 0 a b. m α m m! α +. +!. Co lze íct o overgeci této ady? + + α + m α m +! m! m0 α β setzt. zu b: α +, α R folgt aus b we ma +! vertausche α + { }}{ β β + α + +!! +!! α + β α β + + +!!! +! α + β α β + + +!!! +! 0 0

7 zu c: Setzt ma c a b 0 +! +! + }{{} a [ ] α + β +!! + α β + +!! 0 [ ] + + α + β + α β [ ] + α β } {{ } b c + Damit a das Cauchy-Produt der Reihe 0 α + β+ +! so gilt ach dem formale Cauchy-Produt: + + c + icht overget sei Poud vyecháme z ady v²echa, terá obsahují ve svém deadicém rozvoji alespo jedu devítu, ta tato ada jiº overguje. Wir betrachte die atürcliche Zahle, die i ihrer deadysche Darstellug geau Zier habe. Das sid isgesamt 9 0. We die weglässt, die eie oder mehrere 9 i dieser Darstellug habe, bleibe 8 9 übrig ud jedes ist grösser als 0. Die Reihe aus der Aufgabe ist also leier als Die Reihe ist also overget ud die Summe ist leier als Zostruujte divergetí p erováí. Zuächst weis ma, dass die Reihe b 9 < divergiert. Daher existiert eie Folge b 0 mit b N, b 0 0 so dass gilt. Beispielsweise ist b 4, de >. Ma 8 orde daher gemäss dieser Vorschrift so um, dass folgede Reihe etsteht: + b i b 0 + i } {{ } >0 3 + b i b + i } {{ } > Oebar ist diese Reihe eie Umordug vo 5 + b 3 i b + i } {{ } > 7 + b 4 i b 3 + i } {{ } >3, die diverget ist. +...

8 0. Vy²et ete absolutí overgeci ásledujících alterujících ad. + b + 3 zu a: a + a + mooto. Also overgiert die Reihe c streg + ach dem Leibizriterium. Da adererseits aber stets gilt, ist die Reihe icht absolut overget, de 3 divergete Miorate. zu b: Da 3 eie mooto fallede Nullfolge ist, overgiert die Reihe dem Leibizriterium. Sie overgiert jedoch icht absolut, de es gilt: ist eie + 3 ach 3 zu c: a + + ist eie mooto fallede Nullfolge, de es gilt: a + a < Die Reihe + + ist jedoch icht absolut overget: Budiº a erostoucí posloupost ezáporých reálých ísel. Doaºte: a overguje a overguje. b Sei s N gilt. a overguje lim a 0 N a ud s K K a. Ma wähle N ud K so, dass K N K 0 s N s K a + a + a 3 }{{} + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 }{{} + a a 5 }{{} + + a K + + a K }{{} s N a + a + a a K a K s K s N s K s N s a +a +a 3 + a 4 }{{} + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 }{{} + a a 6 }{{} + +a K a K }{{} s N a + a + a 4 + 4a 8 + 8a K a K s K s N s K

9 Da a eie mooto fallede Folge ichtegartiver Zahle ist, sid diese Abschätzuge zulässig. Also overgiert a geau da, we auch a overgiert. zu b : Da a overgiert bildet die Folge ihrer Partialsumme eie Cauchyfolge. ε > 0 0 ε p N 0 ε : s +p s a a +p < ε Aufgrud der Mootoie vo a gilt: pa +p < ε. Wählt ma p, so gilt a < ε bzw. a < ε. Wählt ma higege p +, so gilt: + a + < ε, woraus zuächst + a + < ε ud edlich + a + < ε folgt. Damit ist die Behauptug bewiese.. Uaºte, ºe : zu a: m, m, zu b: p + m + p p + m m, m m pro p >, b p + m p + p+ [ ] lim lim m [ [ m m0 m, m lim p + p + m p + m0 p + p + p + p + p + p + [ lim [ Spo t te sou ty ásledujících ad ] p + p + m [ ] [ ] m m0 ] [ lim ] ] ] lim x b zu Wir ee die Darstellug der geometrische Reihe x x x für alle x,. 0

10 Für die Summe der Ableituge x gilt wege dem Quotieteriterium + x x x <. Nach dem Satz vo Weierstraÿ ist die Summe gleichmäÿig overget auf [a, b], ud es gilt: x x für alle x,. Nu diereziere wir usere Ausgagsformel ud erhalte: x x x x ud ochmaliges diereziere gibt: x x x x x x x x x x Dies gilt für alle x, ud die absolute Kovergez beim zweite diereziere wird wieder mit dem Quotieteriterium ud dem Satz vo Weierstraÿ begrüdet. Zum Schluÿ erhält ma: x x x x + x x x 3 für alle x,. zu b Nach eier Substitutio i, +, ergibt sich x x für alle x,. Auch hier overgiert die Summe gleichmäÿig auf [a, b], ud somit dürfe wir beide Seite itegriere: x 4. Ur ete overge í rádius mociých ad 0 t dt l x x 0 x. t dt d x b x e + a x c x f x! e + x

11 zu Damit die Reihe overgiert, erhalte wir mit dem Quotieteriterium: x 5 + x 5 < also x < 5. Somit ist der Kovergezradius R 5. zu b Es gilt x 5 + a x 0 x + a x 0 R lim c 0 Somit ergibt sich R lim ud R der Kovergezradius der Ausgagsreihe gegebe durch: zu c Wir verwede hier die Formel ud u bereche wir mit Hilfe der Formel die Kovergezradie beider Reihe. R mi{r, R } mi lim a a ud damit ist {, }. a c R lim c + zur Bestimmug des Kovergezradius. 3 Also gilt: R lim e lim c c + lim +!e +!e lim + + e e. + zu d Ma a die Summe wieder aufspalte ud erhält: x 3 3 x + + e 3 x ud somit gilt für die Kovergezradie mit also isgesamt R lim R lim R. zu e Durch die Substitutio brige wir die Potezreihe erstmal i Normalform: x x ud u erhalte wir mit : R lim also R. zu f Hier wede wir auch eifach ur a ud erhalte: R lim + lim + e also R e.

12 5. Doaºte Cauchyovo Leibitzovo, odeza í riterium: Bu a erostoucí posloupost reálých ísel. Pa a overguje, práv dyº a overguje. b Uaºte pomocí tohoto ritéria: overguje, práv dyº α >. α overguje, práv dyº α >. log α Zu Sei a overget. Sei a a + 4 a a 8 + a }{{} + a a }{{} a }{{}. a +a a 3 +a 4 a 5 +a 6 +a 7 +a 8 a overget. a a + a + a }{{} 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 +a }{{} 8 + a + a + 4a 4 + 8a 8 + a + a 4a 4 Zu b α overgiert geau da we α geometrische Reihe. log α overgiert geau da we overgiert, also we α >. 6. Utersuche Sie die folgede Reihe auf Kovergez: a. α overgiert, also we α > log α log α log α α e + e, b l p l l q, wobei p > 0, q 0 vorgegebee reelle Zahle sid. Zeige Sie auch, daÿ der Wert der Reihe i leier ist als π +. 4 Zu Die Futio ist mooto falled auf 0,. Folglich gilt e e0 + e + e 0 + f : t et + e t fxdx + 0 fxdx + [arcta ex ] 0 π +. 4 Die Reihe ist also overget. Auÿerdem habe wir die Abschätzug für die Summe erhalte.

13 Zu b Die Futioe sid alle mooto auf,.. Fall q 0: x x, x lx, x llx l 3 dt t p 3 dx xl x p 3 l p Die Reihe overgiert also geau da, we das Itegral. Fall q > 0: Ma zeigt, dass die Reihe geau da overgiert, we das Itegral overgiert, also we p >, oder p ud q >. dx x p l x q dx xl x p dt l t p dt overgiert, also für p >. tp 7. Leibitz: Nech posloupost b je erostoucí a overguje ule. Pa ada b overguje. Dirichlet: Nech ada overguje ule. Pa Abel: Nech ada a b overguje. a má omezeé áste é sou ty a ech posloupost b je mootoí a a b overguje. a je overgetí a ech posloupost b je mootoí a omezeá. Pa Zjist te, zda overgují ásledující ady: e log, b π l cos +, f arcta, c log si si, g si, d si + si + /, h l l l. overguje podle Leibitzova riteria. b log overguje podle Leibitzova riteria, arcta log arcta je omezeá a mootoí. Druhé e²eí: arcta x lx arcta x +x x l x l x < 0 potom podle Abelova riteria pro dostate velá x > - protoºe x lx < arcta x. Kovergece pa plye z Leibitzova riteria. + x

14 c si : b je mootoí a overguje ule. ƒáste é sou ty si Im e i Im [e i e i] Im [e i ei ] e i si e i ei e i e i jsou omezeé a overgece plye z Dirichletova riteria. d Prví e²eí: ada si má omezeé áste é sou ty, posloupost + je od jaého leu mootoí a overguje ule. Kovergece plye z Dirichletova riteria. Druhé e²eí: ada si je overgetí viz c a posloupost + je omezeá a mootoí, overgece plye z Abelova riteria. e π l cos + l cosπ + l + 0 cos π l + cosπ cos π l + cosπ Prví ada overguje ap. podle Leibitzova riteri, druhá ada je v abs. hodot me²í eº podle v ty o st edí hodot l π + π π l + terá overguje. si si f π + l, : si si cos cos + cos cos + : si si cos cos + cos cos +. Tyto áste é sou ty jsou omezeé, ada overguje podle Dirichletova riteria. g si + / l l si cos/ + cos si/ l l si l l cos/ + cos l l si/ + cos ady si l l a cos l l overgují podle Dirichletova riteria, poslouposti cos/ a si/ jsou omezeé a mootoí, overgece plye z Abelova riteria.

15 h Podle Leibitzova riteria: Posloupost / l je od jaého leu mootoí a overguje do uly, protoºe l x e x e l x x /x x l x l x e l x x x x l x l e l x x l x l x x x l x < 0 x pro x > dostate velé. Podle Abelova riteria: l je overgetí podle Leibitzova riteria, je mootoí a omezeá.