Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha č. 9 : Akustika Jméno: Ondřej Ticháček Pracovní skupina: 6 Kruh: ZS 6 Datum měření: 2.11.2012 Klasifikace: 1 Zadání 1. Domácí úkol: Spočítejte, jakou vlastní a vyšší harmonické frekvence má struna napjatá zátěží o délce 1 metr víte-li, že její lineární hustota je ϱ = 0.0162 kgm 1. 2. Do vzorce z předchozího úkolu dosad te délku struny v praktiku a spočítejte totéž. Ověřte experimentálně pro prvních 10 rezonančních frekvencí. Z naměřených vyšších harmonických frekvencí zpětně dopočítejte lineární hustotu (použijte metodu nejmenších čtverců) a porovnejte s uvedenou konstantou. Dopočítejte rychlost šíření vlnění na struně. 3. Pro cca 10 různých frekvencí v rozsahu 2 až 6 khz hledejte interferenční minima (nebo maxima) prodlužováním a zkracováním Quinckovy trubice. Vyneste do grafu závislost vlnové délky zvuku (prodloužení trubice) na frekvenci. Z naměřených údajů dopočítejte rychlost zvuku proložením naměřených hodnot s errorbary vhodnou funkcí. 4. Najděte vlastní frekvence Hemholtzova dutinového rezonátoru. Vyneste závislost vlastní frekvence na objemu rezonátoru (změnu objemu rezonátoru provádějte doléváním vody). Vodu přilévejte po 50 ml a pouze do poloviny objemu. Pro hledání vlastní frekvence využijte Fourierovské frekvenční analýzy. Z naměřených hodnot určete rychlost zvuku proložením naměřených hodnot vhodnou funkcí. Část I Stojaté vlnění na struně 2 Vypracování 2.1 Použité přístroje Generátor kmitů (elektronický) s nastavitelnou hodnotou frekvence a měnitelnou amplitudou, generátor mechanického vlnění, kovová struna, závaží 5 kg, měřící pásmo, vodiče, teploměr. 2.2 Teoretický úvod Při hledání lineární hustoty ϱ vycházíme z vztahu f n = n T 2l ϱ = a n, a = a T 2l ϱ, (1) Obrázek 1: Fonograf, předchudce gramofonu [2] kde f n je frekvence n-tého módu, l délka struny a T napětí na struně. Naměřená data vynášíme do grafu frekvenci v závislosti na počtu kmiten (na módu) a z lineární regrese určíme parametr a. Pro lineární hustotu struny z (1) platí ϱ = T (2al) 2. (2) 1
2.3 Postup měření Aparaturu sestavíme podle obrázku 5 v dokumentu [1]. Měření probíhá podle následujícího postupu. ˆ Změříme délku struny l od místa uchycení háčku generátoru vlnění k bodu, kde se struna dotýká kladky. ˆ Na generátoru nastavíme takovou frekvenci, jaká předpokládaná frekvence prvního módu, tj. asi 20 Hz. ˆ Zvolíme vhodnou amplitudu, dostatečnou aby byly módy vidět, ale ne větší. ˆ Zvyšujeme frekvenci než narazíme na 1. mód, zapíšeme skutečnou hodnotu frekvence. ˆ Snížíme amplitudu, změníme frekvenci na dvojnásobek původní. Zvýšíme amplitudu a v okolí nastavené frekvence hledáme druhý mód, hodnotu zapíšeme. ˆ Poslední bod opakujeme pro všechny hledané módy (tj. do 10). Při určování zda je na dané frekvenci skutečně mód, pozorujeme jestli se amplituda kmitů periodicky nemění pokud ano, dochází k tzv. záznějům a je nutné frekvenci upravit. 2.4 Naměřené hodnoty Domácí úkol: Podle vzorce 1 vypočítáme vlastní frekvenci struny o délce 1 m napjaté 5 kg závažím, je-li její lineární hustota ϱ = 0.0162 kgm 1. f 1 = 1 50 = 27.8Hz. (3) 2 0.0162 Vyšší harmonické frekvence budou celočíselnými násobky frekvence vlastní. Pro délku struny v praktiku (l = 1.309 m) bychom stejným postupem dostali frekvenci 21.2 Hz. Naměřené hodnoty jsou v tabulce 1 a v grafu na obrázku 2. Po proložení grafu přímkou jsme z rovnice regrese f n = an (4) odečetli hodnotu paramteru a = 20.74 ± 0.07. Dosazením do vztahu (2) získáváme ϱ = (0.0169 ± 0.0001) kg/m. (5) Podle přibližného vztahu pro rychlost šíření mechanického vlnění T v = ϱ (6) spočítáme z parametru a rychlost šíření jako v = 2la = (54.3 ± 0.4) m/s (7) 2.5 Diskuze Chyba měření byla v této úloze z největší části zapříčiněna nepřesným rozpoznáním frekvence, kdy nastává stojaté vlnění při daném módu. S rostoucím módem a snižující se amlitudou je tato chyba významnější. 2.6 Závěr Určili jsme lineární hustotu struny ϱ = (0.0169 ± 0.0001) kg/m, což přibližně je hodnota, kterou jsme očekávali. Rychlost šíření mechanického vlnění jsme určili jako v = (54.3 ± 0.4) m/s. 2
l = 1.309 m n [1] f [Hz] 1 20.3 2 40.9 3 61.2 4 81.4 5 102.6 6 122.8 7 144.0 8 165.6 9 189.5 10 208.7 Tabulka 1: Naměřené hodnoty frekvence vlnění struny f při n-tém módu stojatého vlnění 3 Použitá literatura Reference [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Akustika [Online], [cit. 9. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/126/mod resource/content/4/akustika 16 10 12.pdf [2] Catalog by Maison de la Bonne Presse, File:Graphophone1901.jpg [Online], [cit. 9. listopadu 2012] http://commons.wikimedia.org/wiki/file:graphophone1901.jpg Část II Quinckova trubice 4 Vypracování 4.1 Použité přístroje Generátor kmitů (elektronický) s nastavitelnou hodnotou frekvence a měnitelnou amplitudou, Quinckova trubice, generátor zvukového vlnění, mikrofon s zesilovačem, osciloskop, měřící pásmo a měřítko, vodiče, teploměr. 4.2 Teoretický úvod Quinckova trubice umožňuje zkoumat interferenci zvuku. Je to dvoucestný interferometr s měnitelnou délkou jednoho ramene. V trubici je zvuk rozdělován do dvou koherentních větví, které spolu opět interferují na výstupu. Obě větve jsou v základním nastavení stejně dlouhé, dráhu jedné z nich je možné měnit posunem. Díky posunu se změní dráha, kterou zvuková vlna urazí než přijde k výstupu z trubice. Obecně se tedy změní i fáze a u výstupu z trubice nastává interference se zvukem z druhé části. Protože je vlny urazí různou dráhu, je jejich amplituda (díky tlumení) různá. Při výstupu z trubice tedy nastává interference dvou vln s obecně různou amplitudou i fází. Protože odvození této interference je poměrně náročné, napíšeme jen potřebný důsledek minimum naměřené intenzity nastává při podmínce ϕ 2 = 2n + 1 π n Z, (8) 2 3
200 150 f [Hz] 100 50 nam łenæ data fit 0 0 2 4 6 8 10 Obrázek 2: Graf závislosti frekvence na módu stojatého vlnění; fit má předpis f = a n, kde a = 20.74 ± 0.07 n [1] což lze vyjádřit jako d n = 2n + 1 λ n Z. (9) 2 Vzdálenost mezi dvěma sousedními minimy odpovídá přesně polovině vlnové délky d = d n+1 dn = λ 2. (10) Protože se při posunu trubce o délku d změní dráha zvuku o 2d, závislost vlnové délky na posunutí bude λ = 2 d. (11) Frekvenci vlnění f známe (je nastavena na generátoru), rychlost zvuku v je tedy určena vztahem λ = v f. (12) 4.3 Postup měření Aparaturu sestavíme podle schématu na obrázku 7 v dokumentu [1]. Měření budeme provádět pro deset různých frekvencí podle následujícího postupu. ˆ Quinckovu trubici nastavíme na nulový rozdíl délky ramen. ˆ Na generátoru nastavíme přibližnou frekvenci (chceme proměřit oblast 3-6 khz v deseti měřeních s přibližně stejnými rozestupy). ˆ Frekvenci generátoru upravíme tak, aby byl signál na osciloskopu stabilní (nepřejížděl z jedné strany na druhou). 4
ˆ Na osciloskopu nastavíme vhodné rozlišení. ˆ Měníme prodloužení dráhy (o 2d) posunutím trubice o vzdálenost d. Jakmile narazíme na minimum, zapíšeme hodnotu posunutí. ˆ Hledáme polohy minim než narazíme na maximální posunutí trubice. 4.4 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty jsou v tabulce 2 a v grafu na obrázku 3. Po proložení grafu vhodnou křivkou jsme z rovnice regrese (pozn.: konstanta 100 je zde proto, aby seděly jednotky) λ = a 100/f (13) odečetli hodnotu paramteru a = 347.8 ± 0.4. Tedy rychlost zvuku jsme určili jako jako v = (347.8 ± 0.4) m/s (14) f [Hz] 3007.3 3310.1 3549.7 3949.8 4298.8 d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] 0.0 11.6 0.1 10.4-0.1 9.8 0.7 8.8-0.1 8.0 5.8 11.8 5.3 10.6 4.8 10.0 5.1 8.6 3.9 8.0 11.7 11.6 10.6 10.6 9.8 10.0 9.4 9.0 7.9 8.2 17.5 11.2 15.9 10.8 14.8 9.6 13.9 8.6 12.0 8.2 23.1 11.6 21.3 10.2 19.6 9.8 18.2 9.2 16.1 7.8 28.9 26.4 24.5 22.8 20.0 8.4 24.2 7.8 28.1 λ 11.6 10.5 9.8 8.8 8.1 σ λ 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2 f [Hz] 4649.4 5001.5 5253.9 5603.4 6001.2 d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] -0.1 6.4-0.2 6.6-0.7 6.4-1.1 6.2-0.9 5.8 3.1 8.0 3.1 7.0 2.5 6.6 2.0 6.2 2.0 5.8 7.1 7.2 6.6 7.0 5.8 6.6 5.1 6.0 4.9 5.8 10.7 7.4 10.1 7.0 9.1 6.8 8.1 6.2 7.8 5.8 14.4 8.2 13.6 7.2 12.5 6.8 11.2 6.4 10.7 6.0 18.5 7.8 17.2 7.0 15.9 7.2 14.4 6.0 13.7 5.8 22.4 6.8 20.7 6.6 19.5 6.6 17.4 6.4 16.6 5.8 25.8 24.0 7.2 22.8 5.8 20.6 6.0 19.5 5.4 27.6 25.7 23.6 22.2 5.8 25.1 λ 7.4 7.0 6.6 6.2 5.8 σ λ 0.6 0.2 0.4 0.2 0.1 Tabulka 2: Naměřené hodnoty posunutí Quinckovy trubice d při nastavené frekvenci zvuku f, vypočtené hodnoty vlnové délky λ pomocí vztahu (11) 4.5 Diskuze Při určování vzájemných vzdáleností dvou maxim/minim jsme si vybrali maxima, jelikož nám přišlo, že jdou snadněji rozpoznat. Na osciloskopu bylo podle nás 5
13 nam łenæ data fit 12 11 {/Symbol l} [cm] 10 9 8 7 6 5 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 f [Hz] Obrázek 3: Graf závislosti vlnové délky na frekvenci zvuku; fit má předpis λ = a 100 f, kde a = 347.8±0.4 (pozn.: konstanta 100 je zde proto, aby seděly jednotky) přesnější určení, kdy je signál téměř (nebo někdy až na šum úplně) nulový, než kdy je hodnota nejvyšší. Zásadní rozdíl v přesnosti by ale nejspíš nenastal. Chyba měření především pramenila z odečítání polohy minim, chybu frekvence určené generátorem zvuku považujeme za zanedbatelnou. Poloha minim tedy i vlnová délka se nejlépe určovala, když bylo zesílení na zesilovači malé, naopak amplituda generátoru vysoká. Měření velmi ovlivňoval hluk v místnosi. Díky tomu, že jsme pracovali se slyšitelnými zvukovými vlnami, museli jsme najít kompromis mezi dostatečnou silou signálu a tím, aby se na nás ostatní skupiny a asistenti příliš nezlobili. Pokud bychom měřili v izolované místnosti, byly by výsledky jistě přesnější. Ve srovnání s tabulkovou hodnotou (viz závěr) mohla nastat poměrně velká chyba při měření teploty. Teploměr byl v jiné části místnosti a my jsme se stále dotýkali Quinckovy trubice; její teplota tedy mohla být vyšší, než námi uvažovaná hodnota. Protože rychlost zvuku s teplotou roste, zmenšovalo by to odchylku našeho výsledku od tabulkové hodnoty. 4.6 Závěr Rychlost zvuku jsme určili v = (347.8 ± 0.4) m/s, což je oproti tabulkové hodnotě při teplotě 23 [2] 345.5 m/s více, nicméně pořád poměrně přesné. 5 Použitá literatura Reference [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Akustika [Online], [cit. 9. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/126/mod resource/content/4/akustika 16 10 12.pdf 6
[2] J. Mikulčák a kol., Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce. Prometheus, Praha 2009. ISBN 978-80-7196-264-9 Část III Hemholtzův rezonátor 6 Vypracování 6.1 Použité přístroje Generátor kmitů (elektronický) s nastavitelnou hodnotou frekvence a měnitelnou amplitudou, generátor zvukového vlnění, Hemholtzův rezonátor (skleněná baňka), mikrofon, bateriový zesilovač, rozhraní COBRA, program PHYWE, kádinky a odměrné válce, voda, vodiče, teploměr. 6.2 Teoretický úvod Hemholtzova rezonance je rezonance mechanického vlnění plynů v uzavřené dutině. Hemholtzův rezonátor je v našem případě reprezentován skleněnou baňkou známých rozměrů a objemu a skleněnou trubicí, která do ní vede. Základní rezonanční frekvenci systému, za předpokladu že délka trubice je ve srovnání s vlnovou délkou zvuku malá, lze vyjádřit jako f = v πr 2 1 2π l + 1.4r V, (15) kde v je rychlost zvuku, l délka hrdla baňky, r poloměr hrdla baňky a V objem dutiny. Tento vzorec je pouze přibližný a platí za předpokladu, že objem hrdla je mnohem menší než objem dutiny. Proto pro menší objemy neplatí moc přesně. Pro 1000 ml baňku jsou tyto hodnoty následující: r = 0.0187 m, l = 0.07 m, V = 0.00103 m 3. 6.3 Postup měření Aparaturu sestavíme podle obrázku 9 v dokumentu [1]. Měníme frekvenci na generátoru a v programu PHYWE (návod je popsán např. v dokumentu [1]) sledujeme fourierovskou analýzu signálu. Ve chvíli, kdy pík v spektru dosáhne maximální amplitudy, odečteme frekvenci z generátoru tato frekvence je rezonanční. Celý postup opakujeme pro různé hodnoty objemu baňky (měníme jej doléváním vody, vždy po 50 ml až do 500 ml). 6.4 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty jsou v tabulce 3 a v grafu na obrázku 4. Po proložení grafu vhodnou křivkou jsme z rovnice regrese f n = a V (16) odečetli hodnotu paramteru a = 5850 ± 10. Uravíme tento parametr aby odpovídal následující rovnici v základních jednotkách na a = 5.85 ± 0.1. Dosazením do vztahu f = a, kde a = v πr 2 (17) V 2π (l + 1.4r) získáváme v = (344 ± 1) m/s (18) 7
V 0 = 1030 ml V H2O [ml] V [ml] f [Hz] 0 1030 177.8 50 980 187.5 100 930 193.5 150 880 197.3 200 830 203.0 250 780 210.7 300 730 216.7 350 680 224.4 400 630 232.7 450 580 244.0 500 530 253.7 Tabulka 3: Tabulka naměřených hodnot rezonanční frekvence Hemholtzova rezonátoru v závislosti na jeho objemu V ; platí V = V 0 V H2O 6.5 Diskuze Větší chyba měření ve srovnání s předchozím úkolem byla způsobena metodou určování rezonanční frekvence. Protože pozorování změny velikosti píku na počítači je poměrně málo přesné, lze špatně určit frekvenci, při níž nastává rezonance. Bylo by lepší, kdybychom například plynule měnili frekvenci a program zaznamenával výšku největšího píku, z grafu závislosti výšky píku na frekvenci by se pak rezonanční frekvence určila snadno. Druhým úskalím v úloze je správná identifikace píku, který máme sledovat. Během měření jsme chvíli sledovali pík příslušící rezonanční frekvenci pravděpodobně jiné části aparatury a divili se, proč nám vychází hodnoty výrazně odlišné od předpokladu. Je pravděpodobné, že to byla rezonance skleněné trubice, v které byl umístěn mikrofon. Bez poměrně přesného odhadu, jaké hodnoty bychom měli dostávat, může být měření velmi nepřesné, resp. úplně špatně provedené. 6.6 Závěr Rychlost zvuku jsme určili v = (344 ± 1) m/s, což je oproti tabulkové hodnotě při teplotě 23 [2] 345.5 m/s méně, nicméně pořád poměrně přesné. 7 Použitá literatura Reference [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Akustika [Online], [cit. 9. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/126/mod resource/content/4/akustika 16 10 12.pdf [2] J. Mikulčák a kol., Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce. Prometheus, Praha 2009. ISBN 978-80-7196-264-9 Část IV Zpracování výsledků Pro statistické zpracování budeme potřebovat následující vztahy [1]: 8
260 250 nam łenæ data fit 240 230 f [Hz] 220 210 200 190 180 170 500 600 700 800 900 1000 1100 V [ml] Obrázek 4: Graf závislosti rezonanční frekvence na objemu Hemholtzova rezonátoru; fit má předpis f = kde a = 5850 ± 10 (pozn.: aby tato rovnice platila v základních jednotkách, je nutné parametr a dělit tisíci) a V, ˆ Aritmetický průměr x = 1 n x i (19) n i=1 ˆ Směrodatná odchylka σ x = 1 n (x i x) 2, (20) n 1 kde x i jsou jednotlivé naměřené hodnoty, n je počet měření, x aritmetický průměr a σ x směrodatná odchylka. i=1 Jedná-li se o nepřímé měření, spočítáme výslednou hodnotu a chybu dle následujících vztahů: Necht u = f(x, y, z,...) (21) x = (x ± σ x ), y = (y ± σ y ), z = (z ± σ z ),..., kde u je veličina nepřímo určovaná pomocí přímo měřených veličin x, y, z,... Pak u = f(x, y, z,...) σ u = ( f x ) 2 σ 2 x + ( ) 2 f σy y 2 + ( ) 2 f σz z 2 +... (22) u = (u ± σ u ), 9
8 Použitá literatura Reference [1] Kolektiv KF, Chyby měření [Online], [cit. 9. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf 10