Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Transkript

1 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud tato přímka prochází bodem [x 0, y 0 = f(x 0 )], potom y 0 = f (x 0 ) x 0 + q Odečtením rovnic dostaneme zápis rovnice tečny: y y 0 = f (x 0 ) (x x 0 ) Normála je přímka kolmá k tečně; pro f (x 0 ) 0 je rovnice normály: y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, potom tečna je rovnoběžná s osou x a normála rovnoběžná s osou y: tečna: y = y 0, normála: x = x 0 Je-li f +(x 0 ) = f (x 0 ) = + nebo f +(x 0 ) = f (x 0 ) =, potom je tečna rovnoběžná s osou y a normála rovnoběžná s osou x: tečna: x = x 0, normála: y = y 0 Napište rovnici tečny a normály ke křivce y = (x + 1) 3 3 x v bodech a) A: x 0 = 1, b) B: x 0 =, c) C = [3, 0] Určíme derivaci y = f (x) = 3 ( 1) 3 x + (x + 1) 3 3 (3 x) a) bod A: x 0 = 1, y 0 = f(x 0 ) = f( 1) = 0 A = [ 1, 0], f ( 1) = 3 4 tečna: y = 3 4(x + 1), normála: y = 1 3 (x + 1) 4 b) bod B: x 0 =, y 0 = f(x 0 ) = f() = 3 B = [, 3], f () = 1 3 = 0 3 tečna: y = 3, normála: x = b) bod C: = [3, 0], f +(3) = f (3) = tečna: x = 3, normála: y = 0 Úhel dvou křivek π Pod pojmem úhel dvou křivek rozumíme úhel ϕ 0,, který svírají tečny ve společném bodě Vypočtěte pod jakým úhlem se protínají grafy následujících funkcí: a) f(x) = x + 6x 1, g(x) = 4x x b) f(x) = ln x, g(x) = ln (x) 1 Nejprve určíme průsečíky (společné body) grafů: a) f(x) = g(x) x + 6x 1 = 4x x x + x 1 = 0 x + x 6 = 0 A = [ 3, 1], B = [, 4] b) ln x = ln x ln x(ln x ) = 0 ln x = 0 : C = [1, 0], ln x = D = [e, 4] Hledaný úhel můžeme určit například ze směrových vektorů tečen v těchto bodech (1, f (x 0 )), (1, g (x 0 )) a) cos ϕ = (1, f (x 0 )) (1, g (x 0 )) (1, f (x 0 )) (1, q (x 0 )) = 1 + f (x 0 ) g (x 0 ) 1 + (f (x 0 )) 1 + (g (x 0 )) f = x + 6, f (A) = 0, f (B) = 10, g = 4 x, g (A) = 10, g (B) = 0 : cos ϕ A = 1 cos ϕ B = b) f = x, f (C) =, f (D) = e, g = ln x 1 x, g (C) = 0, g (D) = 4 e : cos ϕ C = 1 5, cos ϕ D = e (e4 + 4)(e )

2 Mechanický model Uvažujme hmotný bod, který se pohybuje po přímce p Označme t čas a s(t) polohu, v níž se bod nachází v čase t, v t průměrnou rychlost v časovém intervalu t 0, t, v 0 okamžitou rychlost v časovém okamžiku t 0 Dráha, kterou bod urazí za dobu t 0 t je s(t) s(t 0 ) Půměrná rychlost v t = dráha = s(t) s(t 0) čas t t 0 Zkracováním časového intervalu (t t 0 ) přejde průměrná rychlost na t 0, t v okamžitou rychlost v 0 v čase t 0 : v 0 = lim t t0 s(t) s(t 0 ) t t 0 Rychlost pohybu v časovém okamžiku t 0 je definována jako derivace funkce dráhy s(t) podle času t v bodě t = t 0 Zrychlení ( rychlost změny rychlosti ) je derivací rychlosti tj druhou derivací dráhy podle času Hmotný bod se pohybuje po přímce Závislost jeho dráhy (v metrech) na čase (v sekundách) je popsána funkcí s(t) = 1 3 t3 t + 3t Určete: a) okamžitou rychlost a okamžité zrychlení v čase t 0 = 0; b) časy, v nichž se mění orientace pohybu a) s(t) = t 3 t + 3t v(t) = ds dt = t 4t + 3, zrychlení a(t) = dv dt = d t dt = t 4 Okamžitá rychlost v čase t = 0 je v(0) = 3[m/s], okamžité zrychlení a(0) = 4[m/s ] b) Orientace pohybu se mění v časech, v nichž je rychlost nulová: v(t) = 0 : t 4t + 3 = 0 t 1 = 1[s], t = 3[s] Do nádrže tvaru rotačního kužele o poloměru podstavy r 0 = [m] a výšce h 0 = 3 [m] přitéká konstantní rychlostí w = 0004 [m 3 /s] kapalina Určete, jakou okamžitou rychlostí se zvyšuje hladina kapaliny v nádrži v čase t = 8 [s] (čas je měřen od okamžiku, kdy kapalina začala do nádrže přitékat) Najdeme funkci h, která vyjadřuje závisost výšky hladiny v nádrži na čase t: za t sekund přiteče wt [m 3 ] kapaliny, a to je objem V (t) části kužele: w t = V (t) = 1 3 πr (t) h(t) Poloměr r(t) zaplněného kužele v čase t (v t = 0 je r = 0 a h = 0, při výšce hladiny h 0 je poloměr r 0 ) vyjádříme z poměru r(t) = h(t) r(t) = r 0 h(t) a dosadíme do objemu: r 0 h 0 h 0 w t = 1 ( ) 3 π r0 h(t) h(t) h 3 (t) = 3wth 0 h 0 πr0 h(t) = 3 3wth 0 πr 0 = 3 3wh 0 πr 0 Funkce popisující okamžitou rychlost změny výšky hladiny kapaliny v nádrži je dána derivací: h 3wh (t) = πr0 3 t 3 Dosadíme dané hodnoty w = 0004, h 0 = 3, r 0 = h (t) = π t 3 a dopočítáme okamžitou rychlost v čase t = 8 [s] : h (8) = π Průběh funkce byl minule = π 3 t = 0017 [m/s]

3 Globální (absolutní) extrémy Definice: Necht M D(f) a x 0 M Funkce f nabývá na množině M globálního maxima (resp globálního minima) v bodě x 0, jestliže pro všechna x M platí f(x) f(x 0 ) (resp f(x) f(x 0 )) Funkce f definovaná na intervalu I může nabývat globálních extrémů v bodech intervalu I, ve kterých f (x) = 0, v bodech intervalu I, ve kterých f (x) neexistuje, v krajních bodech intervalu I, pokud krajní body patří do I : y = 1 5 (x + x) 4 = 1 (x + x) 4 5, na intervalu 1, Stacionární body: y 4 = 0 : 5 (x + x) 1 5 (x + ) = 0 x = 1 Derivace neexistuje (ale funkce je definovaná) ( jmenovatel = 0) x = 0 1,, x = 1, Hodnoty funkce : a = 1 x = 0 b = f( 1) = 0 f(0) = 1 f() = max min : Mezi všemi obdélníky daného obsahu P vyberte ten, který má nejmenší obvod obvod o = (a + b), obsah P = ab b = P obvod : o = ( ) a + P a a Nejmenší obvod: minimum o pro a > 0 do (1 da = Pa ) do ; da = 0 a = P a = + P, b = P Nejmenší obvod má čtverec o straně P : Určete rozměry parního kotle tvaru válce tak, aby při daném objemu V bylo ochlazování páry ve válci nejmenší, tj aby povrch válce byl minimální povrch S = πr + πrh; objem V = πr h h = Minimální povrch: ds dr = 0 4πr V r = 0 r3 = V π V πr S = πr + πr V πr = πr + V r Povrch válce bude nejmenší pro poloměr r = 3 V π a výšku h = 3 4V π

4 APROXIMACE FUNKCE POLYNOMEM Funkci f(x), která má v bodě x 0 alespoň n-tou derivaci, chceme nahradit v okolí bodu x 0 polynomem n-tého stupně (T n (x)), který se s funkcí v bodě x 0 shoduje ve funkční hodnotě a v hodnotách všech derivací, tj f(x 0 ) = T (x 0 ), f (x 0 ) = T (x 0 ),, f (n) (x 0 ) = T (n) (x 0 ) T n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n Vypočteme derivace T n (x), dosadíme (za x) x 0 a porovnáme s hodnotami funkce f(x 0 ), dostaneme: Tento polynom: Taylorův polynom a 0 = f(x 0 ) a 1 = f (x 0 ) a = 1! f (x 0 ) a 3 = 1 3! f (x 0 ) a n = 1 n! f (n) (x 0 ) Při nahrazení funkce se dopouštíme chyby R(x) = f(x) T (x) Taylorův polynom 4 stupně pro funkci f(x) = x 4 + 3x 5x + x 1 v okolí x 0 = 0 se shoduje s funkcí f(x): f (i) (0) a i = f (i) (0) f (i) ( ) a i = f (i) ( ) i! i! f(x) = x 4 + 3x 3 5x + x f (x) = 4x 3 + 9x 10x f (x) = 1x x = 5 1! f 18 (x) = 4x ! = 18 6 = = 5 6 f (IV ) 4 (x) = 4 4 4! = 4 4 = T 4 (x) = 1 + x 5x + 3x 3 + x 4 Potřebujeme-li často počítat hodnoty f(x) v bodech z okolí - (např f( 19), f( 1), ), sestavíme Taylorův polynom 4 stupně pro tutéž funkci v okolí x 0 = : do derivací dosadíme x 0 = a vypočítáme nové koeficienty a i ; na první pohled vypadá jinak, ale po roznásobení se shoduje T 4 (x) = (x + ) + (x + ) 5(x + ) 3 + (x + ) 4 Hodnoty f( 1) nyní snadno spočítáme, protože v závorce (x + ) je -01 a tu lehce umocníme: f( 1) = ( 01) + ( 01) 5 ( 01) 3 + ( 01) 4 =

5 Doplnění k minulé přednášce Výpočet derivace y = f(x) g(x) y = f(x) g(x) [ zlogaritmujeme ] ln y = g(x) ln f(x) [ zderivujeme ] 1 y y = g 1 (x) ln f(x) + g(x) f(x) f (x) [vyjádříme derivaci] ( y = y g (x) ln f(x) + g(x) 1 ) x y = x sin x [ zlogaritmujeme ] ln y = sin x ln x [ zderivujeme ] 1 y y = cos x ln x + sin x 1 x ) [vyjádříme derivaci] y = y ( cos x ln x + sin x 1 x y = x sin x ( cos x ln x + sin x 1 x ) K výpočtu limit: Je-li lim x c f(x) g(x), f(x) > 0 některý z typů 1, 0, 0 0, pak použijeme lim x 0 (ex + x) 1 x Výsledek: e lim x c f(x)g(x) = lim e ln ( f(x) ) g(x) = e lim g(x) ln f(x) x c = e L x c = 1 = lim e 1 x ln(ex +x) = e L 1, kdel = lim x 0 x 0 x ln(e x + x) ln(ex + x) = 0 = lim x 0 x = 0 0 =