PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO KATEDRA INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Počítačová podpora výuky matematiky, soustavy rovnic 2010 Jiří Kučera
Anotace Pomocí vytvořené aplikace lze interaktivně demonstrovat výpočet soustav lineárních rovnic pomocí čtyř metod řešení (sčítací metodou, dosazovací metodou, Gaussovou eliminační metodou a pomocí Cramerova pravidla). Demonstrace výpočtu probíhá po jednotlivých krocích, které jsou přehledně popsány. Zobrazené soustavy lze vytisknout a vzhled aplikace měnit různým nastavením barev.
Děkuji Mgr. Tomáši Kührovi za věcné rady a připomínky k zpracování této bakalářské práce.
Obsah 1. Úvod 6 2. Uživatelská dokumentace 7 2.1. Spuštění................................ 7 2.2. Ovládání programu.......................... 7 2.2.1. Zadání soustavy a metody.................. 8 2.2.2. Demonstrace výpočtu..................... 12 2.2.3. Další funkce programu.................... 14 3. Programátorská dokumentace 18 3.1. Použité technologie a nástroje.................... 18 3.1.1. Jazyk C#........................... 18 3.1.2. Prostředí.NET........................ 19 3.2. Rozdělení programu dle tříd..................... 20 3.2.1. Manager.cs.......................... 20 3.2.2. Rovnice.cs........................... 20 3.2.3. SoustavaRov.cs........................ 20 3.2.4. Algoritmus.cs......................... 21 3.2.5. Secteni.cs........................... 21 3.2.6. Dosazeni.cs.......................... 21 3.2.7. Gauss.cs............................ 21 3.2.8. Cramer.cs........................... 21 3.2.9. Fraction.cs........................... 22 Závěr 23 Reference 24 D. Obsah přiloženého CD 25 4
Seznam obrázků 1. Úvodní spuštění aplikace........................ 7 2. Zadání soustavy a metody....................... 8 3. Okno pro uložení soustavy....................... 9 4. Okno pro otevření soustavy...................... 10 5. Chybně zadaná hodnota........................ 11 6. Demonstrace výpočtu......................... 12 7. Ovládání demonstrace......................... 13 8. Menu a ikony toolstripu........................ 13 9. Tisk zobrazených soustav....................... 14 10. Náhled tisku.............................. 15 11. Vzhled tištěné stránky......................... 16 12. Nastavení barev............................ 17 13. Microsoft Visual Studio 2008..................... 18 5
1. Úvod Cílem této bakalářské práce je vytvoření výukové aplikace, která pomůže uživateli v lepším pochopení a způsobech řešení soustav lineárních rovnic. Soustava lineárních rovnic je více lineárních rovnic, které mají být splněny současně. Lineární rovnice je rovnice, ve které se neznámé vyskytují pouze v první mocnině. Řešit soustavu rovnic znamená najít taková reálná čísla, která po dosazení za neznámé v rovnicích splňují všechny rovnice současně. Takové řešení může existovat pro danou soustavu jediné, ale také může být takových řešení více nebo nebýt žádné. Vyřešit soustavu lineárních rovnic je jednou z nejčastějších úloh v matematice. Přímé metody, které jsou v této aplikaci pro výpočet soustav použity, dávají v konečném počtu kroků přesné řešení za předpokladu, že během výpočtu nedochází k zaokrouhlování. Aplikace proto umožňuje zobrazovat reálná čísla, u kterých by došlo během výpočtu k zaokrouhlení, ve tvaru zlomku. V aplikaci byla snaha o dodržení zásad tvorby výukových programů podle knihy [3]. Požadavky na aplikaci: umožnit demonstraci metod řešení soustav lineárních rovnic (sčítací, dosazovací, Gaussova eliminační, Cramerovo pravidlo) jednotlivé kroky algoritmu přehledně popsat a graficky znázornit umožnit uživateli zadat libovolnou soustavu rovnic (s omezením rozsahu vstupu podle vybrané metody řešení) zadané soustavy rovnic libovolně ukládat a načítat stručný popis demonstrovaných metod řešení, přehlednou nápovědu uživatelská dokumentace programátorská dokumentace 6
2. Uživatelská dokumentace Tato část se zabývá ovládáním programu. Popisuje spuštění programu s následným zadáním požadované soustavy rovnic, výběrem příslušné metody a vlastním výpočtem. 2.1. Spuštění Činnost programu zahájíme spuštěním souboru Soulinrov.exe ze složky bin. Program není třeba instalovat, pouze spustit z pevného disku počítače nebo libovolného záznamového média. Pro běh aplikace je vyžadován operační systém Microsoft Windows XP nebo vyšší spolu s běhovým prostředím.net Framework 3.5 nebo vyšším. 2.2. Ovládání programu Po spuštění se zobrazí okno pro zadání soustavy a metody, viz obr. 1. Uživatel může zahájit výpočet vyplněním tohoto okna a stiskem tlačítka OK. Při zavření okna (křížkem vpravo nahoře) může uživatel zobrazit nápovědu, načíst soustavu ze souboru, opět zobrazit okno pro zadání soustavy nebo program ukončit. Obrázek 1. Úvodní spuštění aplikace. 7
2.2.1. Zadání soustavy a metody Před spuštěním samotné demonstrace výpočtu je třeba nejprve zadat soustavu a následně vybrat metodu pro její výpočet v okně Zadání soustavy a metody, viz obr. 2. Pole Soustava obsahuje položky: Obrázek 2. Zadání soustavy a metody. Počet rovnic a neznámých Zde máme možnost zadat rozměry soustavy změnou hodnot polí Rovnice a Neznámé. Jejich změnou se přidá nebo odebere řádek či sloupec soustavy. Minimální rozsah soustavy je 2 rovnice o 2 neznámých, maximální rozsah soustavy je 4 rovnice o 4 neznámých. Hodnoty soustavy Zadání hodnot soustavy provádíme nastavením znaménka hodnoty (levým tlačítkem myši nebo pomocí šipek klávesnice) a vlastním zadáním hodnoty (pomocí klávesnice). V tomto poli lze zadat číslice od 0-9 a desetinná čísla pomocí, nebo. v příslušném poli. Žádné jiné hodnoty v těchto polích 8
nejsou povoleny. K přechodu mezi jednotlivými poli soustavy po jednotlivých řádcích lze použít klávesu Tab. Tlačítka Otevřít a Uložit Pro otevření a uložení soustavy použijeme tato tlačítka. Tlačítkem Uložit můžeme uložit zadanou soustavu rovnic do souboru Xml, pomocí formuláře pro uložení, na pevný disk počítače či libovolné záznamové médium, viz obr. 3. Tlačítkem Otevřít načteme soustavu rovnic ze souboru Xml, pomocí formuláře pro otevření, zpětným nahráním hodnot do pole Soustava, viz obr. 4. Obrázek 3. Okno pro uložení soustavy. 9
Obrázek 4. Okno pro otevření soustavy. Pole Metoda obsahuje položky: Výběr metody řešení K výpočtu zadané soustavy rovnic lze vybrat jednu ze čtyř metod řešení. Výběr lze provést kliknutím levého tlačítka myši na příslušnou metodu nebo pomocí šipek klávesnice. Při zvolení metody se zkontroluje rozměr soustavy. Pokud danou metodou nelze soustavu spočítat, je uživatel na tuto skutečnost upozorněn a je mu nabídnuta jiná metoda, kterou soustavu spočítat lze. Pomocí sčítací a dosazovací metody je možné počítat soustavy 2 rovnic o 2 neznámých, pomocí Cramerova pravidla soustavy 2 rovnic o 2 neznámých a také 3 rovnic o 3 neznámých. Úlohy v tomto rozsahu se běžně používají pro vysvětlení algoritmů řešení soustav i pro jejich procvičování. Popis metody řešení Při zvolení metody výpočtu se v tomto poli zobrazí základní popis zvolené metody a některé pojmy, které jsou při výpočtu použity. Na ně si uživatel může myší kliknout a tím, pokud je aktuálně připojen k internetu, o každém pojmu zobrazit článek. Ještě před samotným výpočtem si tedy uživatel 10
může doplnit potřebné znalosti. Popis dále obsahuje nejčastější použití metody, kterým je limitován rozsah vstupu použitý v programu pro konkrétní metodu. Pomůže tedy uživateli s výběrem metody pro výpočet soustavy. Stiskem tlačítka OK dojde ke kontrole zadaných hodnot ve všech polích soustavy. Pokud není nějaká hodnota zadaná správně, příslušné pole zčervená a aplikace nás na tuto skutečnost upozorní příslušným hlášením, viz obr. 5. Při zadání nulových hodnot v celém řádku či sloupci soustavy nás aplikace opět upozorní a nabídne řešení. Je-li vše v pořádku, přejde program již k samotné demonstraci výpočtu soustavy rovnic dle zvolené metody řešení, viz obr. 6. Obrázek 5. Chybně zadaná hodnota. 11
2.2.2. Demonstrace výpočtu Správným zadáním soustavy a výběrem metody přejdeme k samotné demonstraci výpočtu, viz obr. 6. V levé části okna se pod sebe zobrazují jednotlivé soustavy. Na některých řádcích je vpravo za / pomocná informace o probíhajícím kroku výpočtu. V pravé části okna je pak slovní popis principu výpočtu použité metody řešení a právě probíhajícího kroku výpočtu. Mezi hlavní ovládací prvky demonstrace patří: Obrázek 6. Demonstrace výpočtu. Nový krok Postup výpočtu soustavy rovnic se skládá z konečného počtu kroků. Stiskem tohoto tlačítka se spočítá vždy nový krok výpočtu a do levé části okna Demonstrace výpočtu se přidá upravená soustava odpovídající provedenému kroku. V pravé části okna Demonstrace výpočtu je pak slovní popis aktuálního kroku, který často obsahuje konkrétní hodnoty pro libovolně zadanou soustavu. Toto tlačítko se nachází ve spodní části okna Demonstrace výpočtu, viz obr. 7. Další možnost je pomocí klávesy Enter, stiskem ikony toolstripu nebo pomocí menu, viz obr. 8. Tlačítka k ovládání demonstrace Tato 4 tlačítka slouží k ovládání průběhu demonstrace, viz obr. 7. Zleva 12
je to tlačítko Přechod na začátek výpočtu - přesune výpočet na začátek demonstrace. Následuje tlačítko Předchozí krok výpočtu - přesune výpočet na předcházející krok demonstrace. Dále tlačítko Následující krok výpočtu - přesune výpočet na následující krok demonstrace. Pokud následující krok demonstrace není ještě vypočítán, má toto tlačítko stejnou funkci, jako tlačítko Nový krok popsané v předchozím odstavci. Poslední tlačítko Přechod na konec výpočtu - dokončí výpočet všech kroků demonstrace (v případě, že nejsou ještě vypočteny) a přesune výpočet na konec demonstrace. Všechna tlačítka jsou součástí toolstripu i menu, viz obr. 8. Zadat soustavu Toto tlačítko otevře okno pro zadání soustavy a metody, viz obr. 7. Jeho nastavení bylo již popsáno v kap. 2.2.1. Nyní zde můžeme změnit kterékoliv parametry a tlačítkem OK spustit novou demonstraci popisovanou v této kapitole. Toto tlačítko je opět jako ikona toolstripu i součástí menu, viz obr. 8. Obrázek 7. Ovládání demonstrace. Obrázek 8. Menu a ikony toolstripu. Zobrazování hodnot v levé části okna Demonstrace výpočtu je možné přepínat mezi zaokrouhlenými nebo přesnými hodnotami. Zaokrouhlené hodnoty se zobrazí jako desetinné číslo společně se znakem pro zaokrouhlování. Přesné hodnoty se zobrazí jako zlomek v místech, kde by se jinak zobrazila zaokrouhlená hodnota. Této možnosti lze využít k získání přesných výsledků výpočtu pro následné provedení zkoušky. Tato volba je součástí menu. Velikost písma soustavy a textu lze do určitých velikostí měnit. Této možnosti lze s výhodou využít například při zobrazení aplikace na projektoru nebo jiném zobrazovacím zařízení s vysokým rozlišením. Změnu velikostí lze provést pomocí menu. 13
2.2.3. Další funkce programu Pro lepší práci s tímto programem jsou k dispozici některé další funkce, které zlepšují využitelnost aplikace a pro některé osoby (převážně s poruchou barevného vnímání) i přehlednost tohoto programu. Jsou to funkce: Tisk zobrazených soustav Umožní vytisknutí soustav rovnic, které jsou zobrazeny (vypočítány) v levé části okna Demonstrace výpočtu, viz obr. 6. Okno Tisk nabízí možnosti: Vybrat tiskárnu (zobrazeny jsou již nainstalované tiskárny v operačním systému) a její Předvolby (např. tisk v odstínech šedé, kvalita tisku apod.), viz obr. 9. Další možností je Tisk do souboru, Rozsah stránek a Počet kopií. Otevření okna Tisk je možné pomocí ikony toolstripu nebo pomocí menu, viz obr. 8. Obrázek 9. Tisk zobrazených soustav. Náhled tisku Zobrazí vzhled tisknutelných stránek, viz obr. 10. Stránky pro tisk je možné zvětšit pomocí tlačítka Lupa (druhá ikona zleva v menu náhledu) nebo 14
všechny společně zobrazit pro lepší představu vzhledu tisknutelných stránek. Následně můžeme zahájit tisk přímo z tohoto okna pomocí tlačítka Tisk (první ikona zleva v menu náhledu) nebo okno zavřít a použít pro tisk postup popsaný v předchozím odstavci. Otevření okna Náhled je možné pomocí ikony toolstripu nebo pomocí menu, viz obr. 8. Obrázek 10. Náhled tisku. Vzhled tištěné stránky Nabízí volby vzhledu a vlastností tištěné stránky, viz obr. 11. Jsou to volby: Papír - Velikost (A4, A5 a mnoho dalších), dále Papír - Zdroj, velmi důležitá volba Orientace (kdy se při větších rozměrech soustavy rovnic na klasickou velikost papíru A4 nemusí celý výpočet vejít) a volba Okraje. Ve volbě Tiskárna lze též nastavit Název tiskárny a její Vlastnosti. Otevření okna Vzhled stránky je opět možné pomocí ikony toolstripu nebo pomocí menu, viz obr. 8. 15
Obrázek 11. Vzhled tištěné stránky. Nastavení barev Pro lepší přehlednost, ale i pro zpříjemnění práce s tímto programem, je k dispozici možnost nastavení barev u jednotlivých částí okna Demonstrace výpočtu. Patří mezi ně: Barva soustavy Jde o barvu jednotlivých soustav rovnic. V základním nastavení je tato barva tmavě modrá. Barva doplňku Je barva pomocné informace u některých řádků jednotlivých soustav. V základním nastavení je tato barva červená. Barva kroku soustavy Jedná se o podbarvení hodnot aktuální soustavy rovnic probíhajícího kroku výpočtu. V základním nastavení je tato barva světle modrá. Barva textu Je barva slovního popisu principu výpočtu a kroku výpočtu zvolené metody řešení. V základním nastavení je tato barva černá. 16
Barva pozadí Jde o barvu pozadí celého okna Demonstrace výpočtu. V základním nastavení je tato barva bílá. Výchozí nastavení Je základní volba barev nastavená od tvůrce aplikace. Okno pro výběr barvy je na obr. 12. Vyvolání této nabídky pro aktuální barvu je možné pomocí menu. Obrázek 12. Nastavení barev. V menu je také velmi užitečná volba pro uložení nastavených barev. Pokud změníme nastavení barev a chceme mít při novém spuštění aplikace zachováno toto nové nastavení, abychom nemuseli barvy znovu nastavovat, stačí použít tuto volbu a aplikace si nové nastavení barev uloží. Toto uložení nastavených barev lze opět změnit novým výběrem barev a následným uložením v menu volbou Uložit nastavení barev. 17
3. Programátorská dokumentace V této části je popsáno programování aplikace, vývojové prostředí a volba programovacího jazyka. Následuje popis hlavního rozdělení dle vrstev a některých důležitých tříd. 3.1. Použité technologie a nástroje Program je vytvořen ve vývojovém prostředí Microsoft Visual Studio 2008, viz obr. 13. Programovacím jazykem je C# spolu s operačním prostředím.net Framework 3.5. Obrázek 13. Microsoft Visual Studio 2008. 3.1.1. Jazyk C# Je programovací jazyk navržený od začátku pro práci v prostředí.net. Tento jazyk umožňuje využití všech výhod vývojářského prostředí a lepší pochopení základů objektově orientovaného programování. Syntakticky je jazyk C# velmi podobný jak jazyku C++, tak jazyku Java, a to do té míry, že mnoho klíčových slov je naprosto stejných. Návrh tohoto jazyka je však s moderními vývojářskými 18
nástroji sladěn mnohem více než v případě obou zmiňovaných protějšků. Mezi klíčové vlastnosti jazyka C# patří: Plná podpora tříd a objektově orientovaného programování, včetně dědění rozhraní a implementace, virtuálních funkcí a přetěžování operátorů, konzistentní a dobře definovaná množina základních typů, vestavěná podpora automatického generování dokumentace XML, automatické čištění dynamicky přidělované paměti, možnost označení tříd nebo metod uživatelsky definovanými atributy, úplný přístup k základní knihovně tříd prostředí.net a stejně snadný přístup k rozhraní Windows API, ukazatele a bezprostřední přístup k paměti na vyžádání, podpora vlastností a událostí jako v jazyku Visual Basic, možnost překladu kódu do aplikace nebo do knihovny komponent prostředí.net, možnost užití pro tvorbu dynamických webových stránek založených na technologii ASP.NET. Tato charakteristika je podle knihy [4]. 3.1.2. Prostředí.NET Prostředí.NET je zaprvé knihovna, která je stejně rozsáhlá a kompletní jako rozhraní Windows API. Můžeme ji používat k volání stejných funkcí, které dříve poskytoval samotný operační systém Windows: Zobrazení dialogů, ověření uživatelských pověření, volání základních služeb operačního systému, tvorba vláken apod. Kromě toho můžeme tuto knihovnu využívat i v novějších oblastech, jako je přístup k databázím, připojení k Internetu nebo zprostředkování webových služeb. Prostředí.NET nabízí zadruhé operační prostředí (.NET runtime), v němž jsou programy spouštěny. Při spuštění kódu založeného na platformě.net to 19
bude právě operační prostředí.net, které kód spustí. Zajistí rovněž správu spuštěných vláken, podpůrných služeb a v pravém slova smyslu prvotní prostředí, s nímž se kód setká. Prostředí.NET je vrstvou vloženou mezi operační systém Windows a další aplikace, která poskytuje moderní, objektově orientované a snadno použitelné pracovní prostředí pro vývoj a spuštění kódu. Tento popis je z knihy [4]. 3.2. Rozdělení programu dle tříd Z hlediska vrstev je program rozdělen na logickou a prezentační vrstvu. Prezentační vrstvu tvoří 2 formuláře, které zajišťují interakci mezi uživatelem a aplikací. Logickou vrstvu tvoří několik tříd. Některé z nich si nyní popíšeme. 3.2.1. Manager.cs Je třída, která především zajišťuje komunikaci mezi logickou a prezentační vrstvou. Tato třída je důležitá z hlediska rozšiřitelnosti programu. Jako příklad můžeme uvést potřebu změny prezentační vrstvy. Pokud bychom chtěli program používat jako webovou aplikaci, stačí změnit prezentační vrstvu a logická vrstva zůstává zachována beze změn. Veškerá komunikace probíhá přes třídu Manager.cs a stačí tedy upravit komunikaci mezi touto třídou a nově vzniklou prezentační vrstvou. 3.2.2. Rovnice.cs Představuje jeden řádek v dané soustavě rovnic. Je to základní prvek pro soustavu rovnic, který je složen z čísel. Třída umožňuje přidávání a odebírání prvků z dané rovnice. Každá rovnice obsahuje: Prvky Jsou to celá nebo desetinná čísla. Pozici Číselná hodnota určující pořadí v dané soustavě rovnic. Pomocný text Text popisující danou rovnici. 3.2.3. SoustavaRov.cs Tato třída představuje soustavu rovnic. Skládá se z jednotlivých řádků (rovnic), které představuje třída Rovnice.cs. Umožňuje přidávat nebo odebírat jednotlivé řádky soustavy rovnic a také přidávat či mazat pomocná data, která jsou součástí každé soustavy. Každá soustava rovnic obsahuje: 20
Prvky Což jsou jednotlivé řádky (rovnice) popsané v kap. 3.2.2. Pomocná data Číselné hodnoty sloužící jako doplňující informace k demonstraci výpočtu. Text Text zobrazený v kroku výpočtu. 3.2.4. Algoritmus.cs Základní třída pro ostatní algoritmy (metody výpočtu). Obsahuje společné metody (funkce), které jsou následně použitelné pro všechny třídy, které jsou z třídy Algoritmus.cs zděděné. Tyto třídy zajišťují algoritmy pro konkrétní metody výpočtu. Jsou to třídy: Secteni.cs Sčítací (adiční) metoda. Dosazeni.cs Dosazovací (substituční) metoda. Gauss.cs Gaussova eliminační metoda. Cramer.cs Cramerovo pravidlo. 3.2.5. Secteni.cs Tvoří algoritmus pro Sčítací metodu [6]. Skládá se z jednotlivých kroků, které jsou postupně počítány, dokud se algoritmus nedobere ke konečným výsledkům. 3.2.6. Dosazeni.cs Zajišťuje algoritmus pro Dosazovací metodu [6]. Algoritmus se opět skládá z jednotlivých kroků, které postupně tvoří celý výpočet. 3.2.7. Gauss.cs Tato třída implementuje algoritmus pro Gaussovu eliminační metodu popsaný v knize [2]. Celý algoritmus tvoří jednotlivé kroky výpočtu. 3.2.8. Cramer.cs Obsahuje algoritmus pro výpočet pomocí Cramerova pravidla [1]. I tento algoritmus se skládá z jednotlivých kroků tvořících celý výpočet. 21
3.2.9. Fraction.cs Představuje strukturu zlomku. Zajišťuje vypisování zlomků, krácení zlomků, veškeré operace se zlomky (násobení, dělení, sčítání, odčítání), porovnávání zlomků (rovná se, nerovná se, větší, menší). Pomocí zlomků probíhají všechny výpočty, aby jednotlivé mezivýsledky byly přesné a nedocházelo k zaokrouhlování hodnot během výpočtu. Každý zlomek obsahuje: Čitatel Číselná hodnota představující čitatel zlomku. Jmenovatel Číselná hodnota představující jmenovatel zlomku. 22
Závěr Výsledkem této bakalářské práce je aplikace, která umožňuje uživateli naučit se, nebo si připomenout, různé metody výpočtu soustav lineárních rovnic a na praktických příkladech si vyzkoušet výpočet i vlastně zadaných soustav rovnic. Tyto soustavy je možné uložit do souborů a následně načítat a upravovat podle vlastních potřeb. V samotné demonstraci si může uživatel po jednotlivých krocích soustavu vypočítat. Program umožňuje tisk soustav a různé nastavení barev dle vlastní volby. Jako rozšíření aplikace se nabízí možnost pro testování získaných znalostí uživatele např. v podobě testových otázek. Program lze dále rozšiřovat o další metody výpočtu soustav lineárních rovnic. Jistě zajímavá by byla např. grafická metoda. Změnou prezentační vrstvy by se program mohl použít jako webová aplikace. 23
Reference [1] Krutský F.: Algebra I. Vydavatelství UP, Olomouc, 1995. [2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha, 2000. [3] Jandová L.: Počítačová výuka: zásady tvorby výukových programů. Západočeská univerzita, Plzeň, 1995. [4] Robinson S., Allen K. S., Cornes O., Glynn J., Greenvoss Z., Harvey B., Nagel Ch., Skinner M., Watson K.: C# Programujeme profesionálně. Computer Press, Brno, 2003. [5] Míka S.: Numerické metody, lineární algebra. Západočeská univerzita, Plzeň, 1995. [6] Charvát J., Zhouf J., Boček L.: Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. Prometheus, Praha, 2006. 24
D. Obsah přiloženého CD Součástí této práce je CD. Jeho obsahem jsou tři adresáře a jeden soubor. Adresář bin obsahuje spouštěcí soubor aplikace, soubor nápovědy a adresář s uloženými soustavami. Adresář doc obsahuje dokumentaci této práce a zdrojové kódy dokumentace. Adresář src obsahuje zdrojové kódy programu. Soubor readme.txt obsahuje popis spuštění aplikace. 25