OPTIMÁLNÍ FILTRACE METALURGICKÝCH SIGNÁLŮ POMOCÍ INFORMAČNÍCH KRITÉRIÍ Ja Morávka Třiecký ižeýrig, a.s. Abstract Příspěvek popisuje jede přístup k optimálí filtraci metalurgických sigálů pomocí růzých kritérií optimality. Jsou uvažováa a srováváa jak klasická predikčí kritéria MSE, RMSE, MAE a ME, tak i moderí, tzv. iformačí kritéria AIC, SIC a HQ. Pro aalýzu byly použity ejjedodušší filtry typu jedoduchý klouzavý průměr a expoeciálí filtr. stupě. Tyto filtry předpokládají stacioárí sigál ve středí hodotě, tj. sigál s kostatím tredem, čili s kostatí středí hodotou. Hledáí optimálích hodot parametrů obou filtrů bylo uskutečěo v programu MATLAB, a pro srováí, i v tabulkovém procesoru Excel. Přístup je dokumetová a praktickém příkladu aměřeých a agregovaých reálých dat z metalurgického techologického procesu zařízeí plyulého odléváí oceli č. (ZPO ) v Třieckých železárách, a.s. Kokrétě je aalyzová hmotostí tok oceli z licí páve (qlp), který má charakter stacioárího sigálu (ve středí hodotě a rozptylu). Verifikace alezeých optimálích hodot parametrů obou typů filtru byla uskutečěa srováím s výstupy vytvořeého matematického modelu hmotostích toků oceli a ZPO. Úvod Při zpracováí sigálů měřeých a agregovaých (výpočtem staoveých) veliči a ZPO, které jsou dále používáy pro růzé matematicko-statistické modely a výpočtové i řídicí moduly, je často třeba provést filtraci áhodých šumů (chyby měřeí, teplotí, tlakové a mechaické fluktuace apod.) superpoovaých (aditivě, či multiplikativě) a techologicko-techických veličiách. Pro filtraci jsou ejčastěji používáy ejjedodušší filtry typu jedoduchý klouzavý průměr (dále KP) ebo jedoduchý expoeciálí filtr (dále EF, často ozačovaý jako expoeciálí vyrováváí, expoeciálí filtr. stupě,. řádu apod.). Tyto filtry vycházejí z předpokladu filtrace tzv. TS sigálů, tj. tredově stacioárích sigálů (ve středí hodotě) [ARLT 999], které jsou tvořey tredem polyomického charakteru (kostatím, lieárím, kvadratickým) a aditivím áhodým (tzv. bílým ) šumem [CIPRA 98]. Oba jmeovaé ejjedodušší filtry předpokládají stacioárí sigál ve středí hodotě, tj. sigál s kostatím tredem, či s kostatí středí hodotou. Cíl příspěvku lze defiovat pomocí ásledující možiy souvisejících otázek: Která kritéria jsou vhodá pro optimálí filtraci stacioárích sigálů? Jaký je vztah mezi délkou oka KP a koeficietem EF? Jak lze určit optimálí délku oka KP? Lze obdobě určit optimálí hodotu koeficietu EF? Jaká je vhodost použití programů MATLAB a Excel pro daou úlohu? Pro ověřováí přístupů byla použita aměřeá a vypočteá reálá data ze ZPO, kromě jiého i hmotostí tok oceli z licí páve (qlp), který má charakter stacioárího sigálu (ve středí hodotě i rozptylu). Jako SW ástroj k řešeí problematiky byl zatím využívá všeobecě používaý a dostupý tabulkový procesor Excel. Podmíkou jeho použití je aistalováí Aalytických ástrojů a v ich Řešitele (Solveru) ve volbě Doplňky v záložce Nástroje. Excel umožňuje staovovat pomocí Řešitele optimálí hodotu koeficietu filtrace EF. Optimálí délku oka KP však lze staovit až pomocí vestavěého programovacího jazyka VBA ebo pomocí zdlouhavých výpočtů.
Ve studii je uvedeo použití matematického programu MATLAB, který umožňuje automatizovaé a velice efektiví staovováí optimálích parametrů obou typů filtrů pomocí celé možiy klasických i moderích kritérií. Kritéria optimality Pro staoveí optimálích parametrů uvedeých filtračích (vyrovávacích) modelů se používají jak klasická, tak moderí - tzv. iformačí kritéria. Základím pricipem (jádrem) obou typů kritérií je miimalizace míry (fukcioálu J) středí hodoty odchylek mezi výstupími, eboli predikovaými hodotami filtru y( o p kroků (p N = {,, 3...}, ejčastěji je uvažováa -kroková predikce, tj. p = ) a jeho vstupími hodotami x(i+p): (,, ) = { J p k f p i = p g[ y( i + p)]} + h( k, ) mi () kde je - počet hodot vektorů, p - počet kroků predikce, f,g,h - algebraické fukce reálých proměých, k - (modifikovaý) počet parametrů filtrů. V extrémím případě - bez predikce, čili s p = - by došlo ke ztotožěí výstupích a vstupích hodot filtrů, tj. filtry by ztratily účiek koeficiet expoeciálí filtrace by byl rový jedé a taktéž délka oka klouzavého průměru by byla rova jedé. Proto je u fukcioálu J(,p,k) utá alespoň jedokroková predikce, tj. p, p N.. Klasická kritéria Mezi klasická optimalizačí kritéria (která jsou fukcemi dvou parametrů, p) patří kritéria MSE, RMSE, MAE a ME: MSE Mea Square Error (f, g = ( ), sqr, tj. druhá mocia, h ): MSE(, p) = MSE = [ y( i + p)] () p RMSE Root Mea Square Error (f = ( ) / = ( ) = sqrt, g = ( ), h ): p RMSE = MSE = p p [ y( i + p)], (3) MAE Mea Absolute Error (f, g = = abs( ), h ): MAE = p p y( i + p), (4) ME Mea Error (f, g, h ): ME = p p [ y( i + p)]. (5). Moderí iformačí kritéria Moderí, tzv. iformačí (byly získáy a základě pozatků teorie iformace) optimalizačí kritéria vycházejí z klasického kritéria MSE (které je fukcí parametrů a p), přičemž obsahují pealizačí faktor zahrující (modifikovaý) počet parametrů filtrů k (u KP je k rové m, tj. délce
oka, u EF bylo uté zavést modifikovaý, zobecěý počet parametrů, tj. modifikovaou délku oka úměrou koeficietu filtrace: k = m m /α, viz íže). Obecě to zameá, že iformačí kritéria jsou (a rozdíl od klasických kritérií) fukcí až tří parametrů optimalizačí úlohy, eboli fukcioálu, a to parametrů, p, k. Iformačí kritéria jsou používaá pro široké spektrum optimalizačích problémů: optimalizace stupě regresího polyomu [ANDĚL 993], [MELOUN & MILITKÝ 994], optimalizace řádů modelů ARMA a ARIMA [ARLT 999], [CIPRA 98], optimalizace řádů VAR modelů [ARLT 999], optimalizace výběru a počtu regresorů u víceásobé lieárí regrese [MELOUN & MILITKÝ 994], optimalizace výběru a počtu regresorů u dyamických lieárích regresích modelů [CIPRA 98]. K iformačím kritériím áleží ásledující ejčastěji používaé (bývají uvedea v multiplikativím a po logaritmováí i v aditivím tvaru tak uvedeo dále a použito v m-fukcích programu MATLAB): AIC Akaikeovo (Akaikeho) iformačí kritérium : Akaike s Iformatio Criterio: k AIC(, p, k) = AIC = l( MSE) +. () Toto kritérium však obecě ad/podhodocuje odhad velikosti parametrů k a proto byly vyviuty jeho růzé modifikace se sahou o elimiaci přeurčeí viz apř. [ARLT 999], [CIPRA 98], SIC Schwarzovo (Schwarz-Bayesovo, Rissaeovo) iformačí kritérium: k l( ) SIC = l( MSE) +, (7) HQ (HQC) Haa-Quiovo iformačí kritérium (s doporučeou volbou c >, ve vytvořeých m-fukcích je použito c = ): k c l(l( )) HQ = l( MSE) +. (8) Všecha uvedeá (klasická a moderí) kritéria byla použita ve vytvořeých m-fukcích kp_opt (optimálí KP) a ef_opt (optimálí EF) systému MATLAB. 3 Vztah mezi parametry KP a EF Vztah pro výpočet tzv. jedoduchého (se stejými váhami hodot) klouzavého průměru (KP) má jedoduchý tvar (kde m je délka oka KP, je počet hodot vstupího vektoru x): j ykp ( j) = x(, j = m..., m =,,3,.... (9) m j m+ Pro expoeciálí filtr.stupě (EF - vhodý pro stacioárí sigál ve středí hodotě) platí iteračí vztah: yef ( = α x( + ( α) yef ( i ), y() = x(), i =.... () V literatuře [VÍTEČEK & WAWRZICZKOVÁ 988], [GROS 3] je odvoze jedoduchý asymptotický (platý pro velké m) převodí vztah (symbol [.] ozačuje zaokrouhleí a celá, či v daém případě a přirozeá čísla): α m mm = k =, m = α α. () V literatuře [CIPRA 98] je prezetová obdobý vztah vycházející z četých simulací:
α mm = k =, m = m + α α. () Na obr. je ukázáo grafické zázorěí obou převodích vztahů mezi parametry KP a EF: 9 8 7 5 4 3 m...3.4.5..7.8.9 α mm = /a mm = /a- m = [/a] Obr.. Závislost m m (klouzavý průměr) a α (expoeciálí filtrace) 4 Hmotostí tok oceli z licí páve Hmotostí tok oceli z licí páve qlp (v jedotkách [kg/s]) byl vypočte jako prví relativí zpětá diferece z periodicky Time Series Plot for qlp měřeých hodot hmotosti oceli v LP viz obr. (ZPO,.9.4, :5-:5): 8 qlp 4 Obr.. Hmotostí tok qlp [kg/s] a ZPO 3 4 5 Autokorelačí (ACF) a parciálí autokorelačí fukce (PACF) sigálu qlp je viditelá a ásledujícím obr.3: Autocorrelatios.. -. -. - ACF - qlp 5 5 5 lag Partial Autocorrelatios.. -. -. - PACF - qlp 5 5 5 lag Obr. 3. ACF a PACF hmotostího toku qlp a ZPO Jak je z obrázku a hodot korelačích fukcí zřejmé, sigál qlp má charakter časové řady typu AR() s poměrě velkým záporým koeficietem autokorelace. řádu ρ -,49 [CIPRA 98], [ARLT 999].
4. Optimálí klouzavý průměr sigálu qlp Průběhy hodot kritérií RMSE, MAE, ME, SIC, AIC a HQ v závislosti a délce oka KP (optimálí délka oka je ozačea m), geerovaé vytvořeou m-fukcí kp_opt (v programu MATLAB) pro predikci o jede krok (p = ), jsou pro sigál qlp uvedey a obr.4, 5, : 3 KP-opt sigalu qlp : m = 48, p =, RMSE =.54 4 KP-opt sigalu qlp : m = 48, p =, MAE =.737 8 4 8 8 4 3 4 5 k - delka oka 3 4 5 k - delka oka Obr. 4. Průběh kritérií RMSE (m = 48) a MAE (m = 48) pro KP sigálu qlp.8 KP-opt sigalu qlp : m =, p =, ME =.383e-7.7 KP-opt sigalu qlp : m =, p =, SIC = 5.744...4.5..4.3 -.. -.4. -. -.8 -. -. 3 4 5 k - delka oka 5.7 3 4 5 k - delka oka Obr. 5. Průběh kritérií ME (m = ) a SIC (m = ) pro KP sigálu qlp 7 KP-opt sigalu qlp : m =, p =, AIC =.7 KP-opt sigalu qlp : m =, p =, HQ = 5.7543..5.4.5.3.. 3 4 5 k - delka oka 5.7 3 4 5 k - delka oka Obr.. Průběh kritérií AIC (m = ) a HQ (m = ) pro KP sigálu qlp Porováí hodot kritérií se staoveím alezeých optimálích délek oka KP a průběh sigálu qlp včetě KP s optimálí délkou oka m = (staoveou podle kritéria SIC) je viditelé a obr.7:
Optimali delky "oka" KP sigalu qlp podle kriterii Optimali klouzavy prumer sigalu qlp : delka "oka" =, p =, SIC = 5.744 5 9 8 4 7 3 5 4 RMSE MAE SIC AIC HQ 5 5 5 3 35 4 45 5 3 3 4 5 poradi Hodoceí: Obr. 7. Porováí kritérií a průběh sigálu qlp včetě jeho KP s m = (dle kritéria SIC) kritérium ME je pro KP sigálu qlp epoužitelé, iformačí kritéria SIC, AIC a HQ staovili asi 4-8 krát meší hodoty optimálí délky oka (m) KP ež klasická kritéria RMSE a MAE, kritéria SIC a HQ staovili optimálí hodotu délky oka m =, která je stejá jako hodota zjištěá pomocí srováí výsledků matematického modelu hmotostích toků a reálých dat [MORÁVKA, J. 4b]. U kritéria AIC došlo k typickému přeurčeí délky oka. Obecě se však potvrdila vhodost uvedeých iformačích kritérií, přičemž jako referečí je v m-fukci kp_opt používáo kritérium SIC, které se jeví ejspolehlivější (u kritéria HQ jsou jeho hodoty a průběh závislé a volbě kostaty c, která byla v uvažovaém případě staovea a c = ). 4. Optimálí expoeciálí filtrace sigálu qlp Průběhy hodot kritérií RMSE, MAE, ME, SIC, AIC a HQ v závislosti a koeficietu alfa EF, geerovaé vytvořeou m-fukcí ef_opt pro predikci o jede krok (p = ) sigálu qlp, jsou uvedey a obr.8, 9, : EF-opt pro qlp: alfa RMSE =.78448, alfa =, p =, RMSE =.389 3 EF-opt pro qlp: alfa MAE =.7e-5, alfa =, p =, MAE =.55 4 8 4 8 8 4...3.4.5..7.8.9 alfa - koeficiet filtrace...3.4.5..7.8.9 alfa - koeficiet filtrace Obr. 8. Průběh kritérií RMSE (alfa =.8) a MAE (alfa =.7) pro EF sigálu qlp
EF-opt pro qlp: alfa ME =.99995, alfa = p =, ME =.383e-7.8 EF-opt pro qlp: alfa SIC =.8, alfa =., p =, SIC = 5.7.8...5.4.4.3... -....3.4.5..7.8.9 alfa - koeficiet filtrace...3.4.5..7.8.9 alfa - koeficiet filtrace Obr. 9. Průběh kritérií ME (alfa =.) a SIC (alfa =.8) pro EF sigálu qlp.7 EF-opt pro qlp: alfa AIC =.9798, alfa =. p =, AIC = 5.7347.8 EF-opt pro qlp: alfa HQ =.85, alfa =., p =, HQ = 79..7.5..4.5.3.4..3... 5.7...3.4.5..7.8.9 alfa - koeficiet filtrace...3.4.5..7.8.9 alfa - koeficiet filtrace Obr.. Průběh kritérií AIC (alfa =.98) a HQ (alfa =.8) pro EF sigálu qlp Porováí hodot kritérií se staoveím alezeých optimálích koeficietů filtrace EF a průběh sigálu qlp včetě EF s optimálí hodotou koeficietu alfa =.8 (staoveou podle kritéria SIC) je a obr.: Optimali koeficiety filtraci EF sigalu qlp podle kriterii Optimali koef.filtrace sigalu qlp : alfa =.8, p =, SIC = 5 5 4 RMSE MAE SIC AIC HQ 9 8 7 3 5 4 3..4..8...4..8. 3 4 5 poradi Hodoceí: Obr.. Porováí kritérií a průběh sigálu qlp pro EF s alfa =.8 (dle kritéria SIC) kritérium ME je v případě EF pro sigál qlp epoužitelé,
iformačí kritéria SIC, AIC a HQ staovili použitelé hodoty koeficietů expoeciálí filtrace, zatímco klasická kritéria RMSE a MAE selhala jimi alezeé koeficiety expoeciálí filtrace jsou blízké ule, co zameá velice zatvrdlou filtraci rovou přibližě středí hodotě sigálu, kritérium SIC staovilo optimálí koeficiet EF α.8, který velice přesě odpovídá hodotě staoveé pomocí srováí výsledků matematického modelu hmotostích toků a reálých dat [MORÁVKA, J. 4b]. Kritérium HQ staovilo o ěco vyšší, avšak poměrě dobrou hodotu α.8 (při volbě c = ). U kritéria AIC došlo k (pro ěj typickému) podhodoceí koeficietu. Opět se tedy potvrdila vhodost a lepší použitelost (v porováí s klasickými kritéri uvedeých iformačích kritérií, přičemž jako referečí je v m-fukci kp_opt používáo kritérium SIC. 4.3 Porováí obou filtrací u sigálu qlp Získaé výsledky optimálích hodot parametrů KP a EF pro predikci o krok (p = ) u sigálu qlp jsou uvedey v tab.: Tab.. SROVNÁNÍ OPTIMÁLNÍCH HODNOT PARAMETRŮ FILTRACE U SIGNÁLU QLP Kritéria Filtr Parametr Klasická Moderí - iformačí RMSE MAE ME SIC AIC HQ KP m 48 48 EF α.8.7..8.98.8 Hodoceí: Moderí iformačí kritéria se u sigálu qlp jeví jedozačě lépe (poskytují použitelé výsledky) ež kritéria klasická, která v tomto případě úplě selhala. Nejlepší a ejrobustější se jeví kritérium SIC. 5 Závěr Na závěr je možé kostatovat ásledující skutečosti:. Iformačí kritéria (AIC, SIC, HQ) umožňují spolehlivěji, správěji a přesěji určit optimálí hodoty parametrů obou filtrů ež klasická kritéria (RMSE, MSE, MAE, ME). Jako ejlepší a ejrobustější se jeví iformačí kritérium SIC. Dalším použitelým kritériem je HQ, které je však závislé a volbě parametru c. Kritérium AIC poskytuje (pro ěj typické) podhodoceé ebo adhodoceé hodoty parametrů.. Mezi délkou oka jedoduchého klouzavého průměru (m) a koeficietem expoeciálí filtrace.stupě (α) se osvědčily dva jedoduché vztahy: α m m = α, α m = + α. m 3. V programu Excel lze jedoduše a spolehlivě určovat optimálí hodoty koeficietů expoeciálí filtrace pomocí aplikace Řešitel (Solver). Určeí optimálí délky oka klouzavého průměru je zde obtížé (eobejde se bez programováí ve VBA), a proto odhad itervalu optimálích délek oka lze jedoduše staovit přepočtem pomocí výše uvedeých vztahů ze zjištěé optimálí hodoty koeficietu expoeciálí filtrace.
4. V programu MATLAB je situace spíše opačá: velice jedoduše a rychle lze aprogramovat m- fukci pro staoveí optimálího klouzavého průměru. U m-fukce pro staoveí optimálího koeficietu expoeciálí filtrace je situace poěkud obtížější pro hledáí optima je třeba použít fukci fmibd a připravit pro i fukce pro všecha kritéria za použití globálích proměých (a přitom počítat s problémy, které kolem ich vzikají). I v tomto případě by bylo vhodější staovit optimálí délku oka klouzavého průměru a přepočtem určit z í iterval optimálích hodot koeficietu expoeciálí filtrace. Literatura [] ANDĚL, J. 993. Statistické metody..vyd. Praha : Matfyzpress MFF UK Praha, 993. 4 s. [] ARLT, J. 999. Moderí metody modelováí ekoomických časových řad..vyd. Praha: Grada Publishig, s.r.o., 999. 3 s. ISBN 8-79-539-4. [3] CARLBERG, C. 4. Aalýza podikáí s programem Microsoft Excel. Praha : SoftPress, 4, 544 s. [4] CIPRA, T. 98. Aalýza časových řad s aplikacemi v ekoomii. Praha : SNTL, 98, 48 s. [5] GROS, I. 3. Kvatitativí metody v maažerském rozhodováí.. vyd. Praha : Grada Publishig, a.s., 3. 43 s. ISBN 8-47-4-8. [] MELOUN, M. & MILITKÝ, J. 994. Statistické zpracováí experimetálích dat..vyd. Praha : PLUS, 994. 839 s. ISBN 8-8597-5-. [7] MORÁVKA, J. 4a. Matematický model hmotostích toků oceli a ZPO. Případová studie 3. etapy projektu 34. Třiec : Třiecký ižeýrig, a.s., září 4. s. [8] MORÁVKA, J. 4b. Optimálí filtrace hmotostího toku oceli z licí páve a ZPO. Případová studie 4. etapy projektu 34. Třiec : Třiecký ižeýrig, a.s., říje 4. 9 s. [9] MORÁVKA, J. 4c. Optimálí filtrace sigálů a ZPO pomocí jedoduchého klouzavého průměru a expoeciálího filtru. stupě. Případová studie 3. etapy projektu 345. Třiec : Třiecký ižeýrig, a.s., listopad 4. 3 s. [] VÍTEČEK, A. & WAWRZICZKOVÁ, M. 988. Teorie automatického řízeí. Ostrava : skripta PGS VŠB Ostrava, 988. 75 s. Ig. Ja Morávka, Ph.D. 739 Třiec Staré město, Frýdecká, e-mail: ja.moravka@tzi.trz.cz, tel.: 558 53 9